Notizen zur Zahlentheorie

4. DER RING Zn
(b) f(x) = x·(x−1)
2 .
8. Eine Funktion f : Z → Z heißt kompatibel genau dann, wenn für alle x1, x2 ∈ Z
mit x1 �= x2 der Quotient f(x1)−f(x2)
ganzzahlig ist. Zeigen Sie, dass die Menge
x1−x2
der kompatiblen Funktionen von Z überabzählbar ist.
4. Der Ring Zn
In Z definieren wir für n ∈ N die Relation ≡n durch
a ≡n b :⇔ n | b − a.
Die Relation ≡n ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse von a ∈ Z ist
{a + z · n | z ∈ Z} =: [a] n .
Die Faktormenge bezeichnen wir mit Zn.
Zn = {[a] n | a ∈ Z} .
Zn hat n Elemente, und zwar [0] n , [1] n , . . . , [n − 1] n . Auf Zn definieren wir ⊕
und ⊙ durch:
[a] n ⊕ [b] n := [a + b] n
[a] n ⊙ [b] n := [a · b] n .
Wir müssen zeigen, dass ⊕ und ⊙ wohldefiniert sind; wir geben hier nur den
Beweis für die Wohldefiniertheit von ⊙. Wir wählen also a, a ′ , b, b ′ ∈ Z sodass
[a] n = [a ′ ] n und [b] n = [b ′ ] n . Zu zeigen ist, dass dann
gilt. Es ist also zu zeigen:
[a · b] n = [a ′ · b ′ ] n
n | a · b − a ′ · b ′
n | a · b − ab ′ + ab ′ − a ′ b ′
n | a · (b − b ′ ) + b ′ · (a − a ′ ) .
Das gilt, denn laut Vorraussetzung gilt n | (b − b ′ ) und n | (a − a ′ ). Daher ist
[a · b]n = [a ′ · b ′ ]n, und somit ist das Ergebnis von [a]n ⊙ [b]n unabhängig von der
Auswahl der Repräsentanten.
Wir geben nun ein Beispiel für eine nicht wohldefinierte Operation. Auf der
Menge Q definieren wir die Relation
Wir definieren:
a ∼ b :⇔ ⌊a⌋ = ⌊b⌋ .
⌊a⌋ ⊙ ⌊b⌋ := ⌊a · b⌋ .
a = 0.1 b = 100 ⌊0.1 · 100⌋ = 10
a ′ = 0 b ′ = 100 ⌊0 · 100⌋ = 0
Da 0 �∼ 10, ist die Operation ⊙ ist also nicht wohldefiniert.
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