Notizen zur Zahlentheorie

Damit können wir
schreiben als:
��
1 2 3
S3 =
1 2 3
4. PERMUTATIONSGRUPPEN UND DER SATZ VON CAYLEY 41
� �
1 2 3
,
2 1 3
Kürzer ist die Zyklenschreibweise:
S3
� �
1 2 3
,
3 2 1
� �
1 2 3
,
1 3 2
� �
1 2 3
,
2 3 1
S3 = � () , � 1 2 � , � 1 3 � , � 2 3 � , � 1 2 3 � , � 1 3 2 �� .
Wie die Zyklenschreibweise Permutationen kodiert, geht aus folgendem Beispiel
hervor.
�
1 2
3 2
3
1
4
5
�
5
=
4
� 1 3 � � 4 5 � = � 3 1 � � 5 4 � = � 5 4 � � 3 1 �
�
1
2
2
3
3
5
4
4
�
5
=
1
� 1 2 3 5 � .
In S3 gibt es x, y, sodass x · y �= y · x.
Definition 2.6. Eine Gruppe (G, ·, −1 , 1) ist abelsch, wenn für alle x, y ∈ G die
Gleichung x · y = y · x gilt.
Die Gruppe S3 ist nicht abelsch:
� 1 2 � ◦ � 1 3 � = � 1 3 2 �
� 1 3 � ◦ � 1 2 � = � 1 2 3 �
Wir sehen also: wenn n ≥ 3, dann ist Sn nicht abelsch.
Übungsaufgaben 2.7.
�
�= .
1. Geben Sie Beispiele für Gruppen an, die bis jetzt noch nicht erwähnt wurden.
2. Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe mit n Elementen. Zeigen Sie, dass für jedes
g ∈ G gilt: g n = 1G. Hinweis: Für G := (Zn ∗ , ·) ist das der Satz von Euler.
Bemerkung: Dieser Satz gilt nicht nur für abelsche, sondern für alle Gruppen.
4. Permutationsgruppen und der Satz von Cayley
Definition 2.8. Sei (G, ·, −1 , 1G) eine Gruppe und sei H ⊆ G. H heißt
Trägermenge einer Untergruppe von G :⇔
1. 1G ∈ H
2. ∀h1, h2 ∈ H : h1 · h2 ∈ H und h −1
1 ∈ H.
(H, · |H×H, −1 |H, 1G) ist dann eine Untergruppe von G.
Übungsaufgaben 2.9.
� �
1 2 3
,
3 1 2
��
.