Notizen zur Zahlentheorie

4. PERMUTATIONSGRUPPEN UND DER SATZ VON CAYLEY 43
1. Sei G := (R + , ·) und sei H := (R, +). Dann ist ϕ : R → R + , x ↦→ ln(x) ein
Homomorphismus.
2. Die Abbildung
ϕ : Z → Zn
x ↦→ [x] n
ist ein Homomorphismus von (Z, +) nach (Zn, +).
Definition 2.12. Homomorphismen, die
• injektiv sind, heißen Monomorphismen
• surjektiv sind, heißen Epimorphismen
• bijektiv sind, heißen Isomorphismen
• Homomorphismen von G → G heißen Endomorphismen.
Bijektive Endomorphismen heißen Automorphismen.
Beispiel: Seien H und K die Untergruppen von S3 mit den Trägermengen
H := {(), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, K := {(), (1, 2)}.
Dann ist H isomorph zur Gruppe (Z3, +), und K isomorph zur Gruppe (Z2, +).
Übungsaufgaben 2.13.
1. Wir haben einen Gruppenhomomorphismus als eine Abbildung ϕ : G → H
definiert, die folgende drei Bedingungen erfüllt:
(a) ϕ(g1 ·G g2) = ϕ(g1) ·H ϕ(g2) für alle g1, g2 ∈ G;
(b) ϕ(g1 −1
−1
G ) = (ϕ(g1)) H für alle g1 ∈ G;
(c) ϕ(1G) = 1H.
Seien G und H Gruppen, und sei ψ eine Abbildung, die die erste Bedingung
ψ(g1 ·G g2) = ψ(g1) ·H ψ(g2) für alle g1, g2 ∈ G
erfüllt. Zeigen Sie, dass ψ dann ein Gruppenhomomorphismus ist, das heißt,
zeigen Sie, dass ψ auch die anderen beiden Bedinungen erfüllt. Hinweis: Starten
Sie mit der dritten Bedingung!
2. Finden Sie alle Gruppenendomorphismen von (Zn, +)! Wieviele davon sind Automorphismen?
3. Die Ordnung eines Gruppenelements g ist das kleinste n ∈ N, sodass g n = 1.
Sei ϕ ein Gruppenhomomorphismus. Seien G und H endliche Gruppen, und sei
ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass für jedes g ∈ G die
Ordnung von g ein Vielfaches der Ordnung von ϕ(g) ist.
4. Finden Sie das kleinste m ∈ N, sodass die Gruppe (Z30, +) in die symmetrische
Gruppe Sm einbettbar ist!
5. Finden Sie eine 4-elementige Untergruppe der S4, die nicht isomorph zur Z4 ist.