Notizen zur Zahlentheorie

6. DIE ABZÄHLTHEORIE VON PÓLYA 51
()
(26) (35) (1) (4)
� � 6
= 20 3
4
(13) (46) (2) (5) 4
(15) (24) (3) (6)
4 ×
4
� (12) (36) (45)
2 ×
0
� (123456)
2 ×
0
� (135) (246) 2
Wir bekommen nun für die Anzahl n der Bahnen n = 1 · (20 + 12 + 4) = 3.
12
Beweis des Satzes von Frobenius-Burnside: Wir zählen die Elemente der Menge
F auf zwei Arten, wobei
Wir erhalten
und
F := {(g, ξ) | g ∈ G, ξ ∈ X, g ∗ ξ = ξ} .
|F | = �
|{ξ ∈ X : g ∗ ξ = ξ}| = �
|Fix (g)|
g∈G
g∈G
|F | = �
|{g ∈ G : g ∗ ξ = ξ}| .
ξ∈X
Die Menge {g | g ∗ ξ = ξ} heißt Stabilisator von ξ. Wir schreiben dafür auch
stabG(ξ) = Gξ. Wir zeigen zunächst, dass für alle ξ ∈ X gilt:
(6.1)
|G ∗ ξ| = |{g ∗ ξ | g ∈ G}| = Größe des Orbits von ξ =
|G|
|stabG ξ|
Die Abbildung φ : G → G∗ξ, g ↦→ g ∗ξ ist surjektiv. Außerdem gilt φ (g) = φ (h),
falls g∗ξ = h∗ξ. Das gilt genau dann, wenn g −1 ·h ∈ stabGξ. Nun ist S := stabGξ
eine Untergruppe von G. Die Gleichheit φ (g) = φ (h) gilt also genau dann, wenn
g −1 · h ∈ S. Jedes Element in G ∗ ξ hat also genau |S| Urbilder unter φ, und es
gilt:
|S| · |G ∗ ξ| = |G| .
Wir bekommen also:
�
|{g ∈ G : g ∗ ξ = ξ}| = �
|stabGξ|
ξ∈X
ξ∈X
= �
ξ∈X
|G|
|G ∗ ξ| .
Wir wählen nun Repräsentanten für die Orbits. Wir wählen also ξ1, ξ2, . . . , ξn so,
dass G ∗ ξi ∩ G ∗ ξj = ∅, und G ∗ ξ1 ∪ G ∗ ξ2 ∪ · · · ∪ G ∗ ξn = X. Alle Elemente η