Notizen zur Zahlentheorie

3. LÖSEN VON KONGRUENZEN 21
Wegen Satz 1.26 ist x ≡ a1 (mod m1) , . . . , x ≡ ar (mod mr) äquivalent zu
(3.3)
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ y (mod m2 ∨ . . . ∨ mr) .
Jetzt müssen wir zeigen, dass (3.3) lösbar ist. Das gilt nach Satz 1.23 genau
dann, wenn
(3.4)
m1 ∧ (m2 ∨ . . . ∨ mr) | y − a1.
Es gilt a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c). Daher ist (3.4) äquivalent zu
(m1 ∧ m2) ∨ (m1 ∧ m3) ∨ . . . ∨ (m1 ∧ mr) | y − a1.
Wir zeigen dazu, dass für i > 1 gilt:
(3.5)
Wir wissen aber
(m1 ∧ mi) | (y − a1).
y − a1 ≡mi ai − a1 ≡(mi∧m1) 0.
Das beweist, dass für alle i > 1 gilt (mi ∧ m1)|(y − a1). Nun ist jedes gemeinsame
Vielfache eine Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, und somit gilt
(3.4).
Beispiel: Wir lösen folgendes System
(3.6)
x ≡ 2 (mod 15)
x ≡ 8 (mod 21)
x ≡ 7 (mod 55)
Wir kennen bereits die Lösungen von x ≡ 2 (mod 15), x ≡ 8 (mod 21). Das
System (3.6) ist daher äquivalent zu
x ≡ 92 (mod 105)
x ≡ 7 (mod 55) .
Wir berechnen ggT (55, 105) und die Kofaktoren nach dem Euklidschen Algorithmus
und erhalten
und daher
105 55
105 1 0
55 0 1
50 1 -1
5 -1 2
0