Notizen zur Zahlentheorie
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Für (3) berechnen wir<br />
Übungsaufgaben 2.3.<br />
2. DEFINITION EINER GRUPPE 37<br />
z · i(z) = i(i(z)) · i(z)<br />
= e.<br />
1. Sei (G, ·, i, e) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass für alle a, b ∈ G die Gleichung<br />
a · x = b genau eine Lösung hat.<br />
2. Sei (G, ·, i, e) eine Gruppe. Benutzen Sie das vorige Übungsbeispiel, um zu<br />
zeigen, dass i(e) = e, und dass für alle x, y ∈ G gilt:<br />
i(x · y) = i(y) · i(x).<br />
3. ∗ Sei (G, ·, i, e) eine Gruppe. Zeigen Sie durch eine Kette von Gleichungen wie<br />
im Beweis von Satz 2.2, dass i(e) = e, und dass für alle x, y ∈ G gilt:<br />
i(x · y) = i(y) · i(x).<br />
4. Finden Sie eine Menge H, eine Funktion · von H × H nach H, eine Funktion<br />
i von H nach H, und ein Element e ∈ H, sodass alle folgende Eigenschaften<br />
erfüllt sind:<br />
(a) Für alle x, y, z ∈ H gelten: (x · y) · z = x · (y · z), e · x = x, x · i(x) = e.<br />
(b) (H, ·, i, e) ist keine Gruppe.<br />
5. Zeigen Sie, dass bei einer Gruppe G die Funktion, die das inverse Element<br />
bestimmt, und das neutrale Element der Gruppe, bereits durch die zweistellige<br />
Gruppenoperation vollständig bestimmt sind. D. h., zeigen Sie: Seien<br />
(G, ◦, i1, e1) und (G, ◦, i2, e2) zwei Gruppen. (Die beiden Gruppen haben also<br />
die Trägermenge G und die zweistellige Operation ◦ gemeinsam.) Zeigen Sie<br />
i1 = i2 und e1 = e2.<br />
Es ist erfreulich, dass man Satz 2.2 automatisch beweisen lassen kann;<br />
die theoretische Grundlage dafür ist die Methode von Knuth und Bendix<br />
[Knuth and Bendix, 1970], die z. B. in [Buchberger, 1982] beschrieben<br />
wird. Eine Implementation dieses Algorithmus, der “Larch”-prover, liefert bei<br />
Eingabe der Gleichungen<br />
e ∗ x = x<br />
i(x) ∗ x = e<br />
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)