Notizen zur Zahlentheorie

5. SÄTZE VON LAGRANGE UND FERMAT 47
3. Für alle y ∈ G ist die Abbildung
bijektiv.
ψ : H −→ y · H
h ↦−→ y · h
Die letzte Eigenschaft sagt, dass alle Äquivalenzklassen der Relation ∼H gleich
viele Elemente haben. Das ergibt folgende Konsequenz:
Satz 2.17 (Satz von Lagrange). Sei H Trägermenge einer Untergruppe von
(G, ·), wobei G endlich ist. Dann gilt: |H| teilt |G|.
Die Anzahl der Elemente von G heißt auch die Ordnung von G. Der Satz von
Lagrange sagt also, dass die Ordnung einer Untergruppe ein Teiler der Ordnung
der Gruppe ist.
Definition 2.18. Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Die kleinste Untergruppe
von G, die g enthält, heißt die von g erzeugte Untergruppe. Wir kürzen die
Trägermenge der von g erzeugten Untergruppe mit 〈g〉 ab.
Wie kann 〈g〉 aussehen?
1. Fall: Es gibt n ∈ N mit g n = 1: Dann gilt 〈g〉 = {g 1 , g 2 , . . . , g m = 1},
wobei m das kleinste m ∈ N mit g m = 1 ist. Die Gruppe (〈g〉, ·) ist dann
isomorph zu (Zm, +).
2. Fall: Es gibt kein n ∈ N mit g n = 1: Dann gilt 〈g〉 =
{. . . , g −2 , g −1 , 1G, g, g 2 , . . . }. Die Gruppe (〈g〉, ·) ist dann isomorph zu
(Z, +).
Eine Gruppe G die ein g ∈ G besitzt, sodass 〈g〉 = G, heißt zyklisch. Jede
zyklische Gruppe ist isomorph zu einem (Zm, +) (m ∈ N), oder zu (Z, +).
Definition 2.19. Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei g ein Element von G. Mit
ord (g) (Ordnung von g) bezeichnen wir das kleinste m ∈ N, sodass g m = 1G,
falls es ein solches m gibt; sonst schreiben wir ord g = ∞.
Beispiel: Wir berechnen die Ordnung zweier Elemente der Gruppe (Z5\ {0} , ·).
Es gilt ord ([2]5) = |〈g〉| = |{2, 4, 3, 1}| = 4, und ord ([4]5) = |{4, 1}| = 2.
Satz 2.20 (Satz von Fermat). Sei (G, ·) eine endliche Gruppe und sei g ∈ G.
Dann gilt:
1. ord (g) teilt |G|;
2. g |G| = 1G.
Beweis: Die Gruppe (〈g〉, ·) hat ord (g) Elemente. Nach dem Satz von Lagrange
teilt also ord (g) die Zahl |G|. Die zweite Eigenschaft zeigen wir so: