Notizen zur Zahlentheorie

Beispiel: Betrachten wir etwa Z6 :
Beispiel: In Z5 gilt:
4. DER RING Zn
[1] 6 ist invertierbar [1] 6 · [1] 6 = [1] 6
[2] 6 ist nicht invertierbar
[3] 6 ist nicht invertierbar
[4] 6 ist nicht invertierbar
[5] 6 ist invertierbar [5] 6 · [5] 6 = [1] 6
[0] 6 ist nicht invertierbar
[1] 5 · [1] 5 = [1] 5
[2] 5 · [3] 5 = [1] 5
[3] 5 · [2] 5 = [1] 5
[4] 5 · [4] 5 = [1] 5
[0] 5 ist aber nicht invertierbar.
Der folgende Satz gibt an, welche Elemente in Zn invertierbar sind.
Satz 1.33 (Invertierbarkeit). Sei n ∈ N und a ∈ Z. Dann ist [a] n genau dann
invertierbar in Zn, wenn ggT (a, n) = 1.
Beweis: [a] n invertierbar ⇔ ∃x ∈ Z : a · x ≡ 1 (mod n) ⇔ ggT (a, n) teilt
1 ⇔ ggT (a, n) = 1.
Satz 1.34. Seien a, b invertierbare Elemente aus Zn. Dann ist auch a · b invertierbar.
Beweis: Seien u, v ∈ Zn so, dass a · u = [1] n und b · v = [1] n . Dann gilt:
a · b · v · u = [1] n .
Definition 1.35 (Euler’sche ϕ−Funktion). Sei n ∈ N, n > 1. Dann ist ϕ(n)
definiert durch
ϕ (n) := |{a ∈ Zn | a invertierbar}| =
= |{x ∈ {1, 2, . . . , n − 1} | ggT (x, n) = 1}| .
Wir berechnen ϕ (12) = |{1, 5, 7, 11}| = 4 und ϕ (8) = |{1, 3, 5, 7}| = 4. Die
ϕ−Funktion geht auf Leonhard Euler (geboren 1707 in Basel, gestorben 1783 in
St.Petersburg) zurück. Von ihm stammt folgende Verallgemeinerung des kleinen
Fermatschen Satzes.
Satz 1.36 (Satz von Euler). Sei n ∈ N, n > 1, a ∈ Z, ggT (a, n) = 1. Dann
gilt:
a ϕ(n) ≡ 1 (mod n) .
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