Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

10 Die Beweissätze 1.2AnfängepostulatFür jedes n ∈ N gilt card A n = n.Der Beweis des nächsten Satzes lässt sich weitgehend mit Hilfe dieses Postulatsführen, wobei im Folgenden stets die AbkürzungenN k : = N \ A k mit k ∈ N und k > 0verwendet werden. Außerdem ist zu beachten, dass {M} ≠ M für beliebigeC-Mengen M gilt.NachfolgersatzDie Nachfolgerabbildung ν : N → N 1 , card E ↦→ card (E ∪ {E}) ist wohldefiniert(d. h. unabhängig von der Auswahl der endlichen Menge E). Sie hatfolgende Eigenschaften:a) (Zunahme) Für jedes m ∈ N ist m < ν(m).b) (Lückenlosigkeit) Ist m ≤ n ≤ ν(m) für m, n ∈ N, so gilt n = m odern = ν(m).c) (Anfängetreue) Für jedes m ∈ N ist A ν(m) = {0} ∪ ν(A m ) = A m ∪ {m}.d) (Bijektivität) Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv.Für C-Mengen A wird 1 : = card {A} gesetzt, weil es keine Kardinalzahl n mit0 < n < card {A} gibt, da A nach Cantor das einzige Element von {A} ist.Die spätere Einführung der “Addition” von natürlichen Zahlen (Seite 13) gehtdann von der Gleichsetzung n + 1 : = ν(n) aus.1.2 Die BeweissätzeNun lassen sich die beiden oben genannten wichtigen Beweisverfahren durch Sätzebegründen. Die skizzenhafte Herleitung des “Minimumsatzes” beruht auf derexpliziten Angabe des Minimums, das vorweg für nicht leere Teilmengen von Ndefiniert wird. Der Beweis des grundlegenden “Induktionssatzes” erfolgt danneinprägsam mit Hilfe des Minimumsatzes.