Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

16 Abgrenzungen 1.51.5 AbgrenzungenDie Zahlentheorie lässt sich grob in drei Teilgebiete einteilen, die auf diejenigenBereiche der Mathematik bezogen sind, aus denen ihre wichtigsten Hilfsmittelstammen:• Elementare Zahlentheorie (Arithmetik);• Algebraische Zahlentheorie (Algebra);• Analytische Zahlentheorie (Analysis).Es gibt aber noch weitere Teilgebiete, die eine geringere Rolle spielen, wie “geometrischeZahlentheorie” (Geometrie), “probabilistische Zahlentheorie” (Wahrscheinlichkeitstheorie)und “computergestützte Zahlentheorie” (Informatik).Die elementare Zahlentheorie beginnt mit dem Begriff des “Teilers”. Als spezielleTeiler werden die Primzahlen und die mit ihnen mögliche Produktdarstellung dernatürlichen Zahlen untersucht. Zu den zahlreichen Anwendungen des damit gewonnenen“Hauptsatzes (der elementaren Zahlentheorie)” gehört die Analyse einiger“zahlentheoretischer Funktionen” und die Betrachtung von “diophantischenGleichungen”, d. h. von Gleichungen, bei denen nur die ganzzahligen Lösungen interessieren.Zum Beispiel ist einerseits die “Irrationalität” von √ 2 äquivalent mitder Nichtexistenz von Paaren (x, y) ∈ N 2 1 , die x 2 = 2 y 2 erfüllen, und andererseitslassen sich mit Hilfe des Hauptsatzes alle “pythagoreischen Tripel” (x, y, z) ∈ N 3 1angeben, die als Lösungen der Gleichung x 2 + y 2 = z 2 definiert sind. Wir werdenfür die Parameterdarstellung dieser Tripel schon im zweiten Kapitel durch Anwendeneiner “Problemlösestrategie” einen expliziten Zusammenhang zwischenden Parametern und den Lösungskomponenten herleiten.Der zweite Hauptteil der elementaren Zahlentheorie beruht auf einer einfachenUmformulierung der Teilbarkeit, die zum Begriff der “Kongruenz” führt. Die damitvorliegende Äquivalenzrelation ergibt Äquivalenzklassen, die zusammen mitden entsprechenden Verknüpfungen “Addition” und “Multiplikation” Ringe bildenund die mit dem “≡ -Zeichen” anstelle des Gleichheitszeichens die bisherigenGleichungen “bündeln”.Der letzte Hauptteil ist nach dem Vorbild von Gauß der “quadratischen Zahlentheorie”gewidmet. Dazu gehören “quadratische Reste”, “quadratische Formen”und als Ausblick “quadratische Zahlkörper”.