Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

24 Kettenbruchalgorithmus 2.3Bezeichnung der KettenbruchentwicklungEs sei α 1 ∈ R\Z, 2 1α i+1 : =α i −[α i ] für i ∈ N 1, solange α i ∉ Z ist, und es werdeq i : = [α i ] gesetzt. Dann heißt im Falle α n ∈ Z das n-Tupel [q 1 , q 2 , . . . , q n ] undim Falle α i ∉ Z für alle i ∈ N 2 die in der Form [q 1 , q 2 , . . .] geschriebene Folge(q n ) n∈N1Entwicklung von α 1 in einen (einfachen) Kettenbruch.Bricht die Entwicklung ab, so heißt der Kettenbruch endlich. Die natürlichenZahlen q 2 , q 3 , . . . heißen Teilnenner des Kettenbruchs. Die (reellen) Zahlenα 2 , α 3 , . . . bezeichnet man als vollständige Quotienten. Der Bruch [q 1 , . . . , q s ]für s ∈ {2, . . . , n} bzw. für s ∈ N 2 wird s-ter Näherungsbruch von α 1 genannt.Für u 1 ∈ R und u i ∈ R + , i = 2, . . . , n, wird durch1(2.6) [u 1 , u 2 , . . . , u n ] : = u 1 +1u 2 +u 3 + . . . 1ein (einfacher) Kettenbruch definiert.u nSatz über die KettenbruchentwicklungIst (r 1 [ , . . . , r n ) ∈ N n 1 das Euklidische Tupel von (r 0 , r 1 ) ∈ Z × N 1 und wirdrq i : = i−1]r für i = 1, . . . , n gesetzt, so stellt [q1 , . . . , q n ] die Kettenbruchentwicklungvon r 0idar.r 1Beweis (finite Induktion, r1):Euklidischer AlgorithmusKettenbruchalgorithmusr 0 = q 1 r 1 + r 2 , 0 < r 2 < r 1r 0r 1= q 1 + r 2r 1, 0 < r 2r 1< 1r 1 = q 2 r 2 + r 3 , 0 < r 3 < r 2r 1r 2= q 2 + r 3r 2, 0 < r 3r 2< 1.r n−1 = q n r n + 0r n−1r n.= q n2 R bezeichnet die Menge der reellen Zahlen. [16] enthält eine elementare Einführung. R +ist die Menge der positiven reellen Zahlen. Q stellt die Menge der rationalen Zahlen dar undQ + steht für {q ∈ Q ; q > 0}.