Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

38 Kernbruchstrategie 2.5gilt. Dann ergibt sich für jedes m ∈ N 2 mit 2 ∤ m ein pythagoreisches Tripel(m ,12 (m2 − 1) , 1 2 (m2 + 1) ) .Diophant gab am Anfang eines Buches, das nur Aufgaben zu pythagoreischenTripeln enthielt, eine Parameterdarstellung für die Lösungsgesamtheit von (2.17)an (siehe [21]). Ähnlich wie schon bei früheren Quellen kann man schließen, dasszur Herleitung der Lösungen anstelle von (2.17) die Produktdarstellung(2.18) x 2 = (z − y)(z + y)benutzt wurde. Diese Methode, bei der eine Gleichung mit mindestens einer Summedurch Klammerung so umgeformt wird, dass sich auf beiden Seiten Produkteergeben, nennen wir Klammerungsstrategie, weil sie bei Zahlentheorieproblemenrelativ oft verwendet werden kann.Bevor wir damit und mit der Kernbruchstrategie alle Lösungen von (2.17) bestimmen,vereinfachen wir die Aufgabe mit Hilfe der Zurückführungsstrategie.Durch Multiplikation von (2.17) mit d 2 folgt, dass mit einer Lösung (x, y, z) auch(dx, dy, dz) für jedes d ∈ N 1 die Gleichung erfüllt. Umgekehrt läßt sich im FalleggT(x, y, z) > 1 der gemeinsame Teiler herausdividieren, sodass jede Lösungdurch “Erweitern” aus einem Lösungstripel entsteht, bei dem die drei Komponentenkeinen gemeinsamen Teiler haben.Der Satz über Teilbarkeitsregeln (Seite 18) ergibt außerdem, dass aus d | x und d | yauch d | z folgt. Damit hat eine Lösung (x, y, z) genau dann teilerfremde Komponenten,wenn ggT(x, y) = 1 gilt. Insbesondere kann höchstens eine Komponentegerade sein. Wegen (2m) 2 = 4 (m 2 ) und (2m + 1) 2 = 4 (m 2 + m) + 1 für allem ∈ N gilt mod (w 2 , 4) = mod (w, 2) für alle w ∈ N. Aus 2 ∤ x und 2 ∤ y würdealso mod (x 2 , 4) = mod (y 2 , 4) = 1 und damit mod (x 2 + y 2 , 4) = 2 folgen - imWiderspruch zu mod (z 2 , 4) ∈ A 2 . Da x und y vertauschbar sind, können wir indem folgenden Satz 2 | x und damit 2 ∤ yz annehmen.Satz über pythagoreische TripelEs sei P: = {(x, y, z) ∈ N 3 1 ; x 2 + y 2 = z 2 , ggT(x, y) = 1 und 2 | x} undQ : = {(u, v) ∈ N 2 1 ; ggT(u, v) = 1, u > v und 2 ∤ (u + v)} . Ist (x, y, z) ∈ Pund stellt u y+zden Kernbruch von dar, so ergibt die Zuordnung (u, v) ↦→v x(x, y, z) eine bijektive Abbildung ψ : Q → P mit ψ(u, v) = (2uv, u 2 − v 2 ,u 2 + v 2 ) (“eindeutige Parameterdarstellung”).