Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

4.9 Aufgaben und Probleme 133Problem 37:Beweise: Unter 79 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gibt es stets mindestenseine, deren Quersumme durch 13 teilbar ist. Zeige durch ein Gegenbeispiel,dass sich hierbei die Zahl 79 nicht durch die Zahl 78 ersetzen lässt.Problem 38:Die positiven ganzen Zahlen a und b sind derart, dass die Zahlen 15a + 16b und16a − 15b beide Quadrate von positiven ganzen Zahlen sind. Man bestimme denkleinsten möglichen Wert, den das Minimum dieser beiden Quadrate annehmenkann.Problem 39:Es sei n eine natürliche Zahl größer als 6 und es seien a 1 , a 2 , . . . , a k alle diejenigennatürlichen Zahlen, die kleiner als n und teilerfremd zu n sind. Man beweise: Fallsa 2 − a 1 = a 3 − a 2 = . . . = a k − a k−1 > 0, dann ist n entweder eine Primzahl odereine Potenz von 2 mit natürlichem Exponenten.Problem 40:Sei d eine positive ganze Zahl ungleich 2, 5, 13. Man zeige, dass es in der Menge{2, 5, 13, d } zwei verschiedene Elemente a, b gibt, für die ab − 1 keine Quadratzahlist.Problem 41:Es sei M eine Menge aus 1985 verschiedenen positiven ganzen Zahlen. Keinedieser Zahlen hat einen Primteiler größer als 26. Man beweise: In M gibt esvier paarweise verschiedene Elemente, für die ihr Produkt die vierte Potenz einerganzen Zahl ist.Problem 42:Man finde ein Paar a, b positiver ganzer Zahlen, die folgenden Bedingungengenügen:(1) Die Zahl ab(a + b) ist nicht durch 7 teilbar,(2) (a + b) 7 − a 7 − b 7 ist durch 7 7 teilbar.Begründe die Antwort!