Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

2.7 Aufgaben und Probleme 432.7 Aufgaben und Probleme zu Kapitel 2Aufgabe 2.1:Suchen und beweisen Sie (mindestens) vier nichttriviale zahlentheoretische Eigenschaftender Fibonacci-Folge (f n ) n , die rekursiv durch f 1 : = 1 , f 2 : = 1 undf n+2 : = f n+1 + f n für alle n ∈ N 1 definiert wird.[Hinweis: “Trivial” wäre, dass (f n ) n eine monoton wachsende Folge natürlicherZahlen ist. Es folgen einige Suchvorschläge: Partialsummen der Folgenglieder undihrer Quadrate, Darstellung der Quadrate der Folgenglieder, ggT benachbarterGlieder, Teilbarkeit durch Primzahlen, Reste bei Division durch feste natürlicheZahlen.]Aufgabe 2.2:Drücken Sie für ungerades n ∈ N 1 die AnzahlA(n) : = card { (x, y) ∈ N 2 1 ; n = x 2 − y 2}mit Hilfe einer zahlentheoretischen Funktion aus.Aufgabe 2.3:Es sei F m : = 2 2m + 1 für m ∈ N. Beweisen Sie, dass ggT(F m , F n ) = 1 für allem, n ∈ N mit m < n gilt.[Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass F m Teiler von F n − 2 ist.]Aufgabe 2.4:Berechnen Sie d : = ggT(323, 391) und stellen Sie d als Linearkombination von323 und 391 dar.Aufgabe 2.5:Berechnen Sie für m, n ∈ N 1 den größten gemeinsamen Teiler von ∑ m−1k=0 9 · 10kund ∑ n−1k=0 9 · 10k .Aufgabe 2.6:a) Ein “Schnellrechner” fordert jemand auf, sich eine dreistellige Zahl zu merken,sie mit 143 zu multiplizieren und die letzten drei Ziffern des Ergebnisses zu