Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

18 Teiler von ganzen Zahlen 2.1Satz über TeilbarkeitsregelnSind a, b, c, d ∈ Z, so gilt:i) a | a (“Reflexivität”);ii) Aus a | b und b | c folgt a | c (“Transitivität”);iii) Aus a | b und c | d folgt (a c) | (b d) (“Multiplikativität”);iv) Aus a | b und a | c folgt a | (u b + v c) für alle u, v ∈ Z (“Linearität”).Beweis (direkt, r1):i) Es gilt a = a 1;ii) Aus b = a f 1 und c = b f 2 folgt c = (a f 1 ) f 2 = a (f 1 f 2 ) ;iii) Aus b = a f 1 und d = c f 2 folgt b d = a f 1 c f 2 = (a c) (f 1 f 2 ) ;iv) Aus b = a f 1 und c = a f 2 folgt u b + v c = a (u f 1 + v f 2 ) .Satz über die TeileranzahlJedes a ∈ N 1 hat höchstens a Teiler.Beweis (direkt, r1):Ist d | a, so gibt es ein f ∈ N 1 mit a = d f. Wegen d ∈ N 1 gilt 1 ≤ d ≤ d f = a.Bezeichnung der TeileranzahlfunktionDie Abbildung d : N 1 → N 1 , n ↦→ d (n) mit d (n) : = card {t ∈ N 1 ; t | n} füralle n ∈ N 1 heißt Teileranzahlfunktion.Der Buchstabe d steht für “Divisor”. In Deutschland schreibt man auch τ(n).Hier steht das τ für “Teiler”.Diese Funktion ist das erste Beispiel einer zahlentheoretischen Funktion.Der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen wird im nächstenAbschnitt behandelt, um den Beweis von Euklid für den Hauptsatz der elementarenZahlentheorie bringen zu können. Soll in einer Vorlesung nur der “moderne”Beweis geführt werden, der hier ebenfalls zu finden ist, so lässt sich der Inhaltder folgenden fünf Abschnitte, die beim Problemlösen in der Zahlentheorie einewichtige Rolle spielen, in das dritte Kapitel hinter 3.5 verschieben.