Elementare Zahlentheorie und Problemlösen - Mathematik und ...

46 Aufgaben und Probleme 2.7Problem 8:Das arithmetische Mittel zweier verschiedener natürlicher Zahlen x und y ist einezweistellige Zahl. Sie geht in das geometrische Mittel von x und y über, wennman ihre Ziffern vertauscht.a) Bestimme x und y.b) Weise nach, dass die Aufgabe a) bis auf die Reihenfolge von x und y genauein Lösungspaar hat, wenn die Basis g des benützten Stellungszahlensystems 10ist, dass es dagegen für g = 12 keine Lösung gibt.Problem 9:Eine natürliche Zahl besitzt eine tausendstellige Darstellung im Dezimalsystem,bei der höchstens eine Ziffer von 5 verschieden ist. Man zeige, dass sie keineQuadratzahl ist.Problem 10:Gegeben sind n Ziffern a 1 bis a n in fester Reihenfolge. Gibt es eine natürliche Zahl,bei der die Dezimaldarstellung ihrer Quadratwurzel hinter dem Komma gerademit diesen Ziffern in der vorgeschriebenen Reihenfolge beginnt? Das Ergebnis istzu begründen.Problem 11:Man beweise: Für jede natürliche Zahl n gibt es eine im Dezimalsystem n-stelligeZahl aus den Ziffern 1 und 2 , die durch 2 n teilbar ist.Gilt dieser Satz auch in einem Stellenwertsystem der Basis 4 bzw. 6?Problem 12:Man bestimme die Menge aller natürlichen Zahlen n, für die n 2 n−1 + 1 eineQuadratzahl ist.Problem 13:An einer Tafel stehen die Zahlen 1, 2, 3, . . . , 2002. Man darf irgend zwei Zahlenwegwischen und dafür ihre Differenz anschreiben. Wiederholt man diesen Vorganggenügend oft, so bleibt an der Tafel schließlich nur noch eine Zahl stehen. Es istnachzuweisen, dass diese Zahl ungerade ist.