"Astronomie" (pdf, 1,0 MB) - Richard Reindl

1.5.4 Das Gravitationspotential1 Grundlagen der AstronomieIm Ursprung eines Koordinatensystems ruht die Masse M. Die Kraft auf eine Masse m am Ort⃗r ist dann eine Zentralkraft (negativ, wenn nach innen gerichtet):F(r) = − γM mr 2 (1.5.15)mit r = |⃗r|. Mit W(r) bezeichnen wir die potentielle Energie der Masse m in der Entfernungr vom Ursprung. Um m mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen, muss die Gesamtkraftauf m verschwinden, d.h. von außen muss auf m die Kraft ⃗ F ∗ = − ⃗ F wirken. Die Arbeit,um m von ⃗r nach ⃗r + d⃗s zu verschieben, ist gleich der Änderung der potentiellen Energie:dW = − ⃗ F(⃗r)·d⃗s = −F(r)·dscosϕ} {{ }dr(1.5.16)Die Änderung der potentiellen Energie hängt nur von derradialen Wegänderung dr ab, nicht jedoch von der Richtungvon d⃗s. Für einen Weg, der auf einer Kugelfläche umZ verläuft, ist dr = 0 und somit ist die potentielle Energieauf Kugelschalen um Z konstant, die Kugelschalen sindÄquipotentialflächen .O⃗F ∗SdrϕQPd⃗s⃗rdr so klein, dass QS≈ ⌢ QSAbb.1.5.4 ZentralkraftDie Masse m wird von einem Punkt auf einer Kugelschale mit Radius r 1 zu einem Punkt aufeiner Kugelschale mit Radius r 2 verschoben. Die Änderung der potentiellen Energie bei dieserVerschiebung ist∫ r 2 ∫ r 2 [γM m∆W = − F(r)dr =r 2 dr = − γM m ] r2( 1= γM m − 1 )rrr 1 r 1r 1 r 21( 1∆W = γM m − 1 )r 1 r 2(1.5.17)(1.5.18)Wegen r im Nenner kann r = 0 nicht als Bezugspunkt für die potentielle Energie verwendetwerden. Wir wählen daher einen unendlich fernen Punkt als Bezugspunkt, d.h. W(r) ist dieÜberführungsarbeit von einem unendlich fernen Punkt (r 1 → ∞) nach r 2 = r. Mit (1.5.17) folgtdann:( ( 1W(r) = lim γM m − 1r 1 →∞ r 1 r))= − γM mr(1.5.19)Das Potential ϕ(r) des Gravitationsfeldes ist die potentielle Energie einer Masse m geteiltdurch m:ϕ(r) = W(r) oder W(r) = ϕ(r)·m (1.5.20)mAus (1.5.19) folgtϕ(r) = − γM r(Potential einer Punktmasse M) (1.5.21)An den Orten ⃗r 1 ,⃗r 2 ,.....,⃗r n befinden sich die felderzeugenden Massen m 1 ,m 2 ,.....,m n . Da dieGesamtkraft auf eine Testmasse m am Ort ⃗r gleich der Summe der Einzelkräfte ⃗ F i ist, ist19