"Astronomie" (pdf, 1,0 MB) - Richard Reindl

1 Grundlagen der Astronomiezwei Winkel eindeutig bestimmt, die Länge λ = ∢AMQ und die Breite ϕ = ∢QMP mit−180 ◦ < λ ≦ 180 ◦ und −90 ◦ ≦ ϕ ≦ 90 ◦ (1.3.1)In der Geografie wird λ in westlicher Richtung positiv gezählt, ϕ ist auf der Nordhalbkugelpositiv. Der Punkt P in Abb. 1.3.1 hat also ein negatives λ und ein positives ϕ.Die Meridiane heißen auch Längenkreise, alle Orte auf der Kugeloberfläche mit gleicher Breiteϕ bilden einen Breitenkreis. Unter den Breitenkreisen ist der Äquator der einzige Großkreis,die anderen sind Kleinkreise.Die kürzeste Weg zwischen zwei Punkten P und Q der Kugelfläche,derauf derKugelfläche verläuft, ist derGroßkreisbogen⌢ PQ. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punktenmit gleicher Breite verläuft also nicht auf dem Breitenkreis!Abb. 1.3.2 entnimmt man, dass der kürzeste Weg zwischenzwei Punkten gleicher Breite auf der Nordhalbkugel in nördlicheGefielde abweicht (Flugrouten über Grönland!).PRNµMBreitenkreisQDie Länge des Großkreisbogens ⌢ PQ mit dem Mittelpunktswinkelµ ist⌢PQ= R·µ (1.3.2)ÄquatorSAbb.1.3.2 Kürzeste EntfernungAbb. 1.3.3 entnimmt man die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten(λ|ϕ) in kartesische Koordinaten:zx = Rcosϕcosλy = Rcosϕsinλz = Rsinϕ(1.3.3)RPDie y-Achse in Abb.1.3.3 zeigt in der Geografie in die andereRichtung!Den Mittelpunktswinkel µ = ∢PMQ von zwei beliebigenPunkten P(λ 1 |ϕ 1 ) und Q(λ 2 |ϕ 2 ) auf der Kugeloberflächekann man mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen. Aus derDefinition des Skalarproduktes folgtMP·−−→ −→MQ = |MP|·|MQ|·cosµ = R 2 cosµ == x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 (1.3.4)ϕλxAbb.1.3.3 UmrechnungyAus (1.3.3) erhält man die kartesischen Koordinaten der beiden Vektoren:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x−→ 1 Rcosϕ 1 cosλ 1MP = ⎝y 1⎠ = ⎝Rcosϕ 1 sinλ 1⎠ und −−→ x 2 Rcosϕ 2 cosλ 2MQ = ⎝y 2⎠ = ⎝Rcosϕ 2 sinλ 2⎠ (1.3.5)z 1 Rsinϕ 1z 2 Rsinϕ 2Aus (1.3.4) und (1.3.5) folgt danncosµ = cosϕ 1 cosλ 1 cosϕ 2 cosλ 2 +cosϕ 1 sinλ 1 cosϕ 2 sinλ 2 +sinϕ 1 sinϕ 2 (1.3.6)Anwenden des Additionstheorems cosλ 1 cosλ 2 +sinλ 1 sinλ 2 = cos(λ 2 −λ 1 ) liefertcosµ = cosϕ 1 cosϕ 2 cos(λ 2 −λ 1 )+sinϕ 1 sinϕ 2 (1.3.7)6