"Astronomie" (pdf, 1,0 MB) - Richard Reindl

1 Grundlagen der AstronomieAus (1.6.20) folgt für den konstanten Betrag des DrehimpulsesAus (1.6.40) erhält man mit (1.6.41)L = | ⃗ L| = mvr sinα (1.6.41)dA = 1 2Ldt (1.6.42)mWegen der Konstanz des Drehimpulses gilt also derFlächensatz oder das 2. Kepler’sche Gesetz:Der Vektor ⃗r(t) überstreicht in gleichenZeiten gleiche Flächen.(1.6.43)t 1A 1A 2Ft 4t 2t 3Die gesamte Fläche der Ellipse ist nach (1.6.37) und(1.6.25)t 4 −t 3 = t 2 −t 1A 1 = A 2A = p22∫ 2π0Abb.1.6.8 Flächensatzdϑ2= abπ (1.6.44)(1+ecosϑ)Die Auswertung des Integrals in (1.6.44) gelingt z.B. mit MAPLE. Aus (1.6.42) folgtmit der Umlaufdauer T. Mit (1.6.26) folgtAus (1.6.46) folgt mit (1.6.31), (1.6.34) und (1.6.27)A = LT = abπ (1.6.45)2mT = 2abπr 0 v 0(1.6.46)a 3T 2 = γM4π 2 (1.6.47)d.h. das 3. Kepler’sche Gesetz gilt auch für elliptische Umlaufbahnen.Wir haben schon bemerkt, dass r(t) und damit auch ϑ(t) nicht in geschlossener Form dargestelltwerden kann, allerdings kann man t(ϑ) in Form eines Integrals darstellen. Start zur Zeit t = 0bei ϑ = 0 vorausgesetzt, gilt wegen des FlächensatzesA(t)A(T) = t T(1.6.48)Wie in (1.6.44) folgt dann nach kleinen Umformungent(ϑ) = TA(T) ·A(t) = T (1−e2 ) 3 22π∫ ϑdϑ·(1+ecosϑ) 2 (1.6.49)Im Perihel (r 0 , v 0 ) und im Aphel (r 1 , v 1 ) ist der Winkel α zwischen ⃗r und ⃗v gleich 90 ◦ . Aus derDrehimpulserhaltung und (1.6.41) folgt dann0r 0 v 0 = r 1 v 1 (1.6.50)25