"Astronomie" (pdf, 1,0 MB) - Richard Reindl

3 SterneUnter der nicht sehr realistischen Annahme einer konstanten Dichte ̺ des Sterns gilt∫ r0̺r ′ 2 dr ′ = 1 3 ̺r3 (3.1.5)und damitMitfolgt aus (3.1.6)W G = − 163 π2 γ∫ R0̺2r 4 dr = − 1615 π2 γ̺2R 5 (3.1.6)̺ = M V = M 3M=R3 4πR 3 (3.1.7)4π3W G = − 3 5 · γM2R(für konstantes ̺)(3.1.8)Für eine andere Dichteverteilung ̺(r) ändert sich in (3.1.8) lediglich der Zahlenfaktor. Für dieDichteverteilung der Sonne ist der Wert ungefähr dreimal größer. Damit erhält man für dieSonneW G⊙ ≈ − 9 5 · γM2R = −6,8·1041 J (3.1.9)Aus geologischen Untersuchungen weiß man, dass die Erde schon einige Milliarden Jahre vonungefähr der gleichen Sonnenenergie getroffen wird. Ein Satz der statistischen Physik, der sogenannteVirialsatz,besagt,dassnurdieHälftederfreiwerdendenGravitationsenergieabgestrahltwerden kann, die andere Hälfte ist thermische Energie der Sonne. Die Zeit ∆t, die die Sonne aufGrund der Gravitationsenergie mit konstanter Leuchtkraft strahlen könnte, ist∆t = |W G⊙|2L ⊙=6,8·1041 J2·3,84·10 26 W = 8,9·1014 s = 2,8·10 7 a (3.1.10)Diese Zeit ist ungefähr um den Faktor Hundert kleiner als dietatsächliche bisherige Lebensdauerder Sonne, d.h. es muss eine andere, sehr ergiebige Energiequelle in der Sonne und den Sternenvorhanden sein.3.2 Druck und Temperatur in SternenEine dünne Schicht Sternmaterie der Dicke dr und der Fläche A (die Fläche stehe senkrechtauf einem Radiusvektor) hat die Masse dm ∗ = ̺(r)Adr. Durch die Gewichtskraft dF diesesMassestücks ändert sich der Druck auf der Strecke dr umdp = − dF A = −γm(r)dm∗ r 2 A= − γm(r)̺(r)Adrr 2 A= − γm(r)̺(r)drr 2 (3.2.1)Das Minuszeichen deshalb,weil einer Verkleinerungvon r (dr < 0) eine Vergrößerung desDrucksentspricht. Aus (3.1.10) folgtdpdr = −γm(r)̺(r)r 2 (3.2.2)Als Randbedingung für den Druck nehmen wir p(R) = 0, d.h. wir integrieren von R bis r:∫ rp(r) = −Rγm(r)̺(r)r 2dr = γ∫ Rrm(r)̺(r)r 2 dr (3.2.3)50