Elementarteilchenphysik - Desy

10 Einführung
1.3 Relativistische Wellengleichungen
Wir gehen von der Annahme aus, daß ein Teilchen mit Impuls �p im freien Raum durch die de
Broglie Wellenfunktion2 Ψ(�x, t) = Ne
i(�p · �x − Et)/¯h
(1.16)
mit der Frequenz ν = E/h und der Wellenlänge λ = h/p beschrieben wird. Hier bedeutet
p = |�p| und N eine Normierungskonstante, die im folgenden nicht relevant ist. Die entsprechende
Wellengleichung ist abhängig von der Relation zwischen Energie E und Impuls �p.
Nicht–relativistisch ist
E = , (1.17)
2m
und die Wellenfunktion Gleichung (1.16) erfüllt die nicht–relativistische Schrödinger Gleichung
i¯h ∂Ψ ¯h2
(�x, t) = −
∂t 2m ∇2Ψ(�x, t). (1.18)
Dabei sind Energie- und Impulsoperator:
Relativistisch gilt:
�E = i¯h ∂
∂t
�p 2
und
� �p = ¯h
i � ∇ (1.19)
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 , (1.20)
wobei m die Ruhemasse ist und die entsprechende Wellengleichung ist:
−¯h 2 ∂2 Ψ(�x.t)
∂t 2 = −¯h 2 c 2 ∇ 2 Ψ(�x, t) + m 2 c 4 Ψ(�x, t), (1.21)
was leicht überprüft werden kann, indem man (1.16) in Gleichung (1.21) einsetzt und dabei die
Beziehung (1.20) benutzt. Diese Gleichung wurde 1924 zum ersten Mal von de Broglie vorgeschlagen,
wird aber jetzt in der Regel Klein–Gordon–Gleichung 3 genannt. Ihr Hauptmerkmal
ist die Existenz negativer Energielösungen. Für jede ebene Wellenlösung der Form:
Impuls �p und positiver Energie
gibt es auch eine Lösung
Ψ(�x, t) = N e
i(�p · �x − Ept)/¯h
E = Ep ≡ + � p 2 c 2 + m 2 c 4 ≥ mc 2
die dem Impuls −�p und der negativen Energie
(1.22)
�Ψ(�x, t) ≡ Ψ ∗ (�x, t) = N ∗ exp[i(−�p · �x + Ept)/¯h], (1.23)
E = −Ep = − � p 2 c 2 + m 2 c 4 ≤ −mc 2 .
2 Wir benutzen die Notation �x = (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z).
3 Diese Autoren haben elektromagnetische Wechselwirkungen in die Gleichung mit einbezogen, somit ist sie
für geladene Spin–0 Bosonen anwendbar.