Elementarteilchenphysik - Desy

32 Relativistische Kinematik
machen. Mit dieser Annahme wird die Gleichung (2.16) vereinfacht zu
˙cm = 1
i¯h 〈m|Hint|a〉 e i(Em−Ea)t/¯h . (2.20)
Wenn die Störung Hint zur Zeit t0 eingeschaltet wird und danach konstant bleibt, ergibt die
Integration für m �= a bis zur Zeit t = T
cm = 1
i¯h 〈m|Hint|a〉
� T
0
e i(Em−Ea)t/¯h dt = 〈m|Hint|a〉 � i(Em−Ea)T/¯h
1 − e � . (2.21)
Em − Ea
Die Wahrscheinlichkeit, das System nach einer Zeit T in einem bestimmten Zustand m zu
finden, ist durch das Absolutquadrat des Koeffizienten cm(T ) gegeben:
Pma (T ) = c ∗ m (T )cm(T ) = 4 |〈m|Hint|a〉| 2 sin 2 [(Em − Ea) T/ (2¯h)]
(Em − Ea) 2 . (2.22)
Ist die Differenz zwischen den Energien Em und Ea groß, so wird die Übergangswahrscheinlichkeit
wegen des Quadrats der Differenz im Nenner klein sein, und Übergänge in solche Zustände
können für größere Zeiten T vernachlässigt werden. Wenn dagegen für eine Gruppe von Zuständen
m die Energie im Kontinuum nahe bei Ea liegt, kann das Matrixelement 〈m|Hint|a〉 praktisch
unabhängig von m sein und man schreibt 〈b|Hint|a〉. Die Übergangswahrscheinlichkeit wird
dann durch den Faktor
sin 2 [(Em − Ea) T/ (2¯h)]
(Em − Ea) 2
bestimmt, dessen Abhängigkeit von der Energiedifferenz Em − Ea in der Abbildung 2.12 gezeigt
wird. Nur in dem Energiebereich von Ea − ∆E bis Ea + ∆E mit ∆E = 2π¯h/T ist
die Übergangswahrscheinlichkeit wesentlich von Null verschieden, und mit wachsender Zeit T
nimmt die Breite ∆E ab. Die Rechnung ergibt also den aus der Heisenbergschen Unschärferelation
bekannten Zusammenhang.
P
2π¯h/T
−2π¯h/T 0 −2π¯h/T ∆E
Abbildung 2.12: Übergangswahrscheinlichkeit
P als Funktion der Energiedifferenz
∆E = Em − Ea. Es treten
hauptsächlich Übergänge auf zu Energien,
die nahe bei der ursprünglichen Energie
liegen.
Die Gleichung (2.22) ergibt die Übergangswahrscheinlichkeit vom Anfangszustand a in einen
der möglichen Endzustände m. Die totale Übergangswahrscheinlichkeit in alle Zustände des
durch ∆E gegebenen Energieintervall ist die Summe über die individuellen Übergänge:
P (T ) = �
m
�
2
Pma = 4 |〈b|Hint|a〉|
m
sin 2 [(Em − Ea) T/ (2¯h)]
(Em − Ea) 2 . (2.23)