Elementarteilchenphysik - Desy

38 Relativistische Kinematik
Abbildung 2.15: Breit-Wigner Resonanzkurve (nicht-relativistisch)
Der Exponentialfaktor enthält im Exponenten einen Imaginärteil sowie einen Realteil (Γ) entsprechend
der zeitlichen Annahme des Betrags der Amplitude. Durch Integration über die Zeit
erhält man die Amplitude des Zustands b
cb = 〈b(�x)|Hint|a(�x)〉
i
= 〈b(�x)|Hint|a(�x)〉
� T
0
Γ
e
−[ 2 −i(Eb−Ea)]t
dt
1
Γ/2 − i (Ea − Eb)
für T → ∞
Das Betragsquadrat ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zerfall a → b einen Zustand |b〉 mit
der Energie Eb zu finden, wenn die Masse der Resonanz M = Ea ist und beschreibt damit die
Massenunschärfe einer kurzlebigen Resonanz.
c ∗ b cb = |cb (T → ∞)| 2 = 2π
Γ
〈b(�x)|Hint|a(�x)〉 2
Γ/2π
(Eb − M) 2 + Γ 2 /4
� �� �
nichtrelat. Breit-Wigner Kurve
Der Verlauf der Breit-Wigner Kurve ist analog zu Resonanzkurven aus der Mechanik und
dem Elektromagnetismus. In dieser für kurzlebige Resonanzen charakteristischen Breit-Wigner
Kurve ist die Breite bei halber maximaler Höhe (FWHM = full width at half maximum) gleich
dem Parameter Γ, Skizze in Abb. 2.15. Der Parameter wurde vorher in der Einheit [s −1 ] benutzt,
bei einem Bezugssystem, in dem ¯h = 1 ist. Zur Umrechnung der Energieunschärfe in die übliche
Energieeinheit muß Γ mit ¯h multipliziert werden: ∆E = ¯hΓ mit ¯h = 6.582 × 10 −22 MeV s. Die
Beziehung Γ · τ = 1 ist dann die Heisenbergsche Unschärferelation ∆E · ∆t = ¯hΓ · τ = ¯h.
Ein Beispiel ist in Abb. 2.16 zu sehen.