Elementarteilchenphysik - Desy
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<strong>Elementarteilchenphysik</strong><br />
TEIL I: KAPITEL 1-5<br />
Institut für Experimentalphysik<br />
Universität Hamburg<br />
WS 2002/03<br />
Notizen zur Vorlesung ES 2002/2003<br />
12. Juni 2003 582<br />
Autoren: V. Blobel, A. Meyer, B. Naroska
ii<br />
Physikalische Konstanten 1<br />
Größe Symbol, Gleichung Wert<br />
Lichtgeschwindigkeit im Vakuuma c 299 792 458 m s−1 Plancksche Konstante h 6.6260755(40) × 10−34 J s<br />
Plancksche Konstante, reduziert ¯h 1.05457266(63) × 10−34 J s<br />
6.5821220(20) × 10−22 MeV s<br />
Elementarladung e 1.60217733(49) × 10−19 C<br />
4.8032068(15) × 10−10 esu<br />
Umrechnungsfaktor ¯hc 197.327053(59) MeV fm<br />
Umrechnungsfaktor (¯hc) 2<br />
0.38937966(23) GeV2 mbarn<br />
Elektronenmasse me 0.51099906(15) MeV/c 2<br />
9.1093897(54) × 10 −31 kg<br />
Protonmasse mp 938.27231(28) MeV/c 2<br />
1.6726231(10) × 10 −27 kg<br />
1.007276470(12) u<br />
1836.152701(37) me<br />
Deuteronmasse md 1875.61339(57) MeV/c 2<br />
Atomare Masseneinheit b (1g)/(NAMol) 931.49432(28) MeV/c 2<br />
931.49432(28) MeV c 2<br />
1.6605402(10) × 10−27 kg<br />
permittivity of free space c ε0 8.854187817 . . . × 10 −12 F m −1<br />
permeability of free space c µ0 4π × 10 −7 N A −2<br />
12.566370614 . . . × 10 −7 N A −2<br />
Feinstrukturkonstante d α = e 2 /4πε0¯hc 1/137.0359895(61)<br />
Klassischer Elektronenradius re = e 2 /4πε0mec 2 2.81794092(38) × 10 −15 m<br />
Comptonwellenlänge des Elektrons λe/2π = ¯h/mec = reα −1 3.86159323(35) × 10−13 m<br />
Bohrscher Radius e a∞ = reα −2 0.529177249(24) × 10 −10 m<br />
Wellenlänge eines 1 eV-Teilchens hc/e 1.23984244(37) × 10 −6 m<br />
Rydberg-Energie e hcR∞ = mec 2 α 2 /2 13.6056981(40) eV<br />
Thomson-Wirkungsquerschnitt σT = 8πr 2 e/3 0.66524616(18) barn<br />
Bohrsches Magneton µB = e¯h/2me 5.78838263(52) × 10 −11 MeV T −1<br />
Kernmagneton µN = e¯h/2mp 3.15245166(28) × 10 −14 MeV T −1<br />
Zyklotronfrequenz/Feld (Elektron) ω e cycl /B = e/me 1.75881962(53) × 1011 rad s −1 T −1<br />
Zyklotronfrequenz/Feld (Proton) ω p<br />
cycl /B = e/me 9.5788309(29) × 107rad s−1T−1 Gravitationskonstantef GN 6.67259(85) × 10−11 m3 kg−1 s−2 6.70711(86) × 10−39¯hc(Gev/c 2 ) −2<br />
Standard-Gravitationsbeschleunigungg g 9.80665 m s−2 Avogadrosche Zahl NA 6.0221367(36) × 1023mol−1 Boltzmann-Konstante k 1.380658(12) × 10−23JK−1 8.617385(73) × 10−5eV K−1 Molarvolumenh NAk(273.15)/101325Pa) 22.41410(19) × 10−3m3mol−1 Wiensche Konstante b = λTmax 2.897756(24) × 10−3 Stefan-Boltzmann-Konstante σ = π<br />
m K<br />
2k4 /60¯h 3c2 5.67051(19) × 10−8 W m−2 K−4 Fermi Kopplungskonstante GF /(¯hc) 3 1.16639(1) × 10−5 GeV−2 Schwacher Mischungswinkel sin2 W<br />
ϑ(MZ) 0.23124(24)<br />
± Bosonenmasse mW 80.41(10) GeV/c2 Z0 Bosonenmasse mZ 91.187(7) GeV/c2 Kopplungskonst. der starken WW αs(MZ) 0.119(2)<br />
a Exakt. Das Meter ist die Strecke, die Licht im Vakuum im 1/299792458 Teil einer Sekunde zurücklegt.<br />
b Masse des 12C-Atoms/12. c Exakt. ε0µ0 = 1/c2 .<br />
d Bei Q2 = 0. Bei Q2 ≈ m2 W ist der Wert etwa 1/128.<br />
e Kernmasse ∞ angenommen.<br />
f Absolute Messungen von GN im Labor gibt es nur bei Entfernungen 10−1±1 m.<br />
g Exakt. Auf Meereshöhe.<br />
h Ideales Gas bei STP.<br />
j Im MS Schema.<br />
1 Grundlage ist ”1986 Adjustment of the Fundamental Physical Constants” by E.R. Cohen and B.N. Taylor,<br />
Rev. Mod. Phys. 59, 1121 (1987). Der gesamte Satz der 1986 Konstanten (und eventueller neuer Werte) ist zu<br />
finden unter http://physics.nist.gov/cuu. Die letzte Gruppe von Konstanten stammt aus der Review of Particle<br />
Physics, The European Physical Journal C, 1998.
Inhaltsverzeichnis<br />
LITERATUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii<br />
1 Einführung 1<br />
1.1 Die Teilchen des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.1 Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.1.2 Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.3 Antiteilchen; Positron e + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.4 Elektron-Neutrino und Antineutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.5 Weitere Leptonenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.6 Hadronen, Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.1.7 Baryonenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.1.8 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.2.1 Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.2.2 Das Yukawa Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.3 Relativistische Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2 Relativistische Kinematik 13<br />
2.1 Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.1.1 Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.1.2 Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.1.3 Energie und Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.1.4 Einheiten und Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
2.2.1 Kinematik von Teilchenreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />
2.2.2 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
2.3.1 Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
2.3.2 Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
2.3.3 Teilchenzerfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
3 Teilchenbeschleuniger 43<br />
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
3.4 Synchrotronstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
3.4.1 Strahlungsdämpfung und Quantenanregung. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iv INHALTSVERZEICHNIS<br />
3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
3.5.1 Kreisförmige und lineare Collider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
3.6 Kosmische Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
3.7 Einige Beschleunigeranlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4 Erhaltungssätze und Symmetrien 59<br />
4.1 Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
4.1.1 Räumliche Translation und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
4.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
4.2.1 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
4.2.2 Spin-Statistik-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
4.2.3 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
4.3.1 Interim: Entdeckung der Seltsamkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
4.3.2 Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
4.3.3 Isospin und das π-N-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
4.4 Diskrete Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
4.5 Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
4.5.1 Parität von Drehimpulszuständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
4.5.2 Parität von Fermionen und Antifermionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
4.5.3 Das elektromagnetische Feld und Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
4.5.4 Die Eigenparität des π − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
4.5.5 Quarkmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
4.7 Ladungskonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.7.1 C-Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.7.2 Experimentelle Tests der C-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
4.7.3 Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung . . . . . . . . . 87<br />
4.7.4 G-Parität ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
4.8.1 CP -Eigenzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
4.8.2 Oszillationen der Seltsamkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
4.8.3 K 0 -Regeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
4.9 CP -Verletzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
4.10 Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
4.11 Das CP T -Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
4.12 Zusammenfassung und Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
5 Teilchennachweis und Detektoren 97<br />
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
5.1.1 Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION . . . . . . . 97<br />
Eigenschaften der Bethe–Bloch Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
5.1.2 Vielfachstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
5.1.3 Čerenkovstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
5.1.4 Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
5.1.5 Wechselwirkung von Photonen mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
5.1.6 Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie . . . . . . . . . . . . . 107
INHALTSVERZEICHNIS v<br />
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
5.2.1 Impulsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
5.2.2 Szintillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
5.2.3 Blasenkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
5.2.4 Proportional- und Driftkammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
5.2.5 Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
5.3 Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
5.3.1 Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler) . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
5.3.2 Hadronische Kalorimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
5.3.3 Ein Speicherringdetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
6 Feynmandiagramme und Test der QED 121<br />
6.1 Teilchen-Antiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
6.2 Elementare Prozesse und Feynman-Graphen in der QED . . . . . . . . . . . . . 123<br />
6.3 Einige Reaktionen und Tests der QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
6.3.1 Feynmanregeln und Berechnung von σ (e + e − → µ + µ − ) . . . . . . . . . 129<br />
6.3.2 Der Bosonpropagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130<br />
6.3.3 Test der QED: anomales magnetisches Moment des Myons . . . . . . . . 131<br />
7 Quarks und Hadronen 135<br />
7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
7.2 Die Entdeckung der schweren Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
7.3 Die leichten Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<br />
7.3.1 Die leichten Mesonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
7.3.2 Die leichten Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141<br />
7.3.3 Massenaufspaltung der Baryonen Supermultipletts. . . . . . . . . . . . . 144<br />
7.4 Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
7.4.1 Farbladungen und Confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />
7.5 Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149<br />
7.5.1 e + e − →Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />
7.5.2 Hadronisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br />
7.5.3 Entdeckung der Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153<br />
7.5.4 Spin des Gluons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
7.6 Die “laufende” starke Kopplung αs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155<br />
7.7 Nochmal: Zerfall des J/ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />
8 Tiefunelastische Streuung: Struktur des Nukleons 161<br />
8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />
8.2 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
8.2.1 Elastische Streuung an Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<br />
8.2.2 Elastische Streuung an einer Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . 163<br />
8.2.3 Elastische Elektron Proton Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164<br />
8.3 Unelastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166<br />
8.3.1 Kinematik von unelastischer Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br />
8.3.2 Quark Parton Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br />
8.3.3 Quarkverteilungen im Nukleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171<br />
8.3.4 Quarkladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
vi INHALTSVERZEICHNIS<br />
8.3.5 Quarkimpulssummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br />
8.4 Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175<br />
8.4.1 Strukturfunktion F2(x, Q 2 ) bei HERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
8.4.2 QCD-Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178<br />
8.4.3 QCD-Konsistenztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
8.5 Die Suche nach Quarksubstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
9 Schwache Wechselwirkungen 187<br />
9.1 Zerfall des Pions und Struktur der schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . 188<br />
9.2 Neutrinostrahlen und Entdeckung der neutralen schwachen Wechselwirkung . . . 191<br />
9.3 Universalität der schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194<br />
9.3.1 Leptonuniversalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194<br />
9.3.2 Fermi-Kopplungskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196<br />
9.3.3 Schwache Wechselwirkung von Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196<br />
9.4 Die Z 0 und W ± Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199<br />
9.4.1 Entdeckung der Z 0 und W ± Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200<br />
9.4.2 Paritätsverletzung beim W Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br />
9.4.3 Präzisionsvermessung des W Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<br />
9.4.4 Z 0 Produktion an e + e − Speicherringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<br />
9.4.5 Anzahl der Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211<br />
9.5 Mischung von 3 Familien: CP Verletzung und Top Quark . . . . . . . . . . . . . 213<br />
9.5.1 Entdeckung des Top Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215<br />
10 Neutrinophysik 221<br />
10.1 Neutrino Entdeckung und Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221<br />
10.2 Bestimmung der Neutrinomasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223<br />
10.3 Neutrino mass and oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225<br />
10.3.1 Dirac and Majorana mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225<br />
10.3.2 Neutrino oscillations (Zeitentwicklung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226<br />
10.4 Experimente zu Neutrino Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228<br />
10.5 Neutrinos von der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229<br />
Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229<br />
10.5.1 Sudbury Neutrino Observatory (SNO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233<br />
10.6 Atmosphärische Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
INHALTSVERZEICHNIS vii<br />
LITERATUR<br />
Als begleitendes Buch zur Vorlesung geeignet:<br />
Martin + Shaw<br />
“Particle Physics”<br />
Verlag: John Wiley & Sons (2nd edition 1997)<br />
Mein Kommentar: Ausgezeichnete Einführung, enthält alle Themen, auch moderne, allerdings<br />
ist die Behandlung etwas oberflächlich.<br />
David Griffiths<br />
“Einführung in die <strong>Elementarteilchenphysik</strong>”<br />
Deutsche Ausgabe vergriffen<br />
Harper and Row Publishers, 1987 (englisch)<br />
Mein Kommentar: Exzellente etwas theoretisch orientierte Einführung. Moderne Entwicklungen<br />
nicht enthalten.<br />
Die beiden folgenden Bücher gehören zusammen und man braucht beide.<br />
E. Lohrmann<br />
“Einführung in die <strong>Elementarteilchenphysik</strong>”<br />
Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 2. Auflage 1990<br />
E. Lohrmann<br />
“Hochenergiephysik”<br />
Verlag: B.G. Teubner Stuttgart, 4. Auflage 1992<br />
Mein Kommentar: Ausgezeichnete Bücher, enthalten alles, was man braucht (und vieles mehr!!!!).<br />
Die Erklärungen sind äußerst knapp gehalten.<br />
Auch geeignet:<br />
D.H. Perkins<br />
“Introduction to High Energy Physics”<br />
Verlag: Addison–Wesley, 4th edition, 2000<br />
Mein Kommentar: Generationen haben damit gearbeitet. 4. Auflage enthält alle modernen<br />
Entwicklungen. Teilweise viele Worte und wenig Rechnung. Deutsche Ausgabe von 3. Auflage<br />
mit einigen Fehlern.
viii INHALTSVERZEICHNIS<br />
C. Berger<br />
“Teilchenphysik”<br />
Verlag: Springer 2001, 2. Auflage brandneu.<br />
Mein Kommentar: Sehr schönes Buch, ein etwas anderer Zugang als in Hamburg üblich.<br />
Ferner (nicht als alleinige Literatur geeignet):<br />
K. Bethge + U.E. Schröder<br />
“Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen”<br />
Verlag: Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 2. überarbeitete Auflage 1991<br />
B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche<br />
“Teilchen und Kerne”<br />
Verlag Springer, 5. Auflage 1999, eher Denkweise der Kernphysik<br />
I.S. Hughes<br />
“Elementary Particles”<br />
Verlag: Cambridge University Press, 3. Auflage 1991<br />
Mein Kommentar: Viel ausführlicher als Lohrmann, enthalten vieles, was man braucht. Starke<br />
Betonung des hadronischen Sektors.<br />
Weiterführende Literatur (theoretisch)<br />
F. Halzen, A.D. Martin<br />
Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics<br />
John Wiley & Sons<br />
O. Nachtmann<br />
<strong>Elementarteilchenphysik</strong>; Phänomene und Konzepte<br />
F. Vieweg & Sohn<br />
Spezielle Bücher für apparative Kapitel<br />
R. Fernow<br />
Introduction to experimental particle physics<br />
Cambridge University Press<br />
K. Kleinknecht<br />
Detektoren für Teilchenstrahlung<br />
Teubner Studienbücher<br />
W.R. Leo<br />
Particle Physics Experiments<br />
Springer Verlag 1987
Kapitel 1<br />
Einführung<br />
Die <strong>Elementarteilchenphysik</strong> beschäftigt sich – wie der Name sagt– mit den “elementaren”<br />
oder auch fundamentalen Bausteinen der Natur. Allgemein versteht man darunter Teilchen, die<br />
nicht weiter zusammengesetzt sind. Im Laufe der Zeit hat sich mit verbesserten Experimenten<br />
der Begriff und seine Anwendung geändert. Im 19. Jahrhundert während der Entwicklung des<br />
periodischen Systems der Elemente, hielt man die Atome sicher für die fundamentalen Teilchen,<br />
später ihre Bausteine.<br />
Die ersten fundamentalen Teilchen, die entdeckt wurden, und die wir heute immer noch als solche<br />
akzeptieren, waren das Elektron und das Photon. Die anderen Teilchen, die das Atom bilden,<br />
Protonen und Neutronen im Atomkern, sind nicht elementar. Sie bestehen heutiger Kenntnis<br />
nach aus Quarks. Ob Quarks weiter teilbar sind oder nicht, weiss man nicht. Man weiss, daß<br />
sie Ausdehnungen weniger als 10 −18 m haben, wie alle heute bekannten Elementarteilchen. Die<br />
Suche nach Substruktur geht weiter.<br />
Wie geht man in der Teilchenphysik vor, um Erkenntnisse zu gewinnen? Das ist eine schwierige<br />
Sache, weil man viele der Teilchen mit herkömmlichen Methoden gar nicht “sehen” kann. Man<br />
muß Geräte bauen, die einem Information liefern: das sind heute (noch) zumeist Beschleuniger<br />
und Speicherringe, in denen man durch Kollisionen bei den höchsten erreichbaren Energien<br />
versucht, die Struktur der Teilchen zu verstehen. Hand in Hand damit geht ein Verständnis der<br />
Kräfte, die zwischen den Teilchen wirken.<br />
In der Teilchenphysik pflegt man nicht von Kräften zu sprechen, sondern von Wechselwirkungen.<br />
Es ist aber dasselbe gemeint. Der Ausdruck “Wechselwirkung” wird bevorzugt, weil er sich<br />
z.B. leichter auf Zerfälle anwenden läßt: man sagt, ein Teilchen zerfällt über die schwache<br />
Wechselwirkung.<br />
Die Wechselwirkungen, die in der Teilchenphysik wichtig sind, sind:<br />
• Elektromagnetische Wechselwirkung<br />
• Schwache Wechselwirkung<br />
• Starke Wechselwirkung<br />
Es gibt eine weitere Wechselwirkung, die Gravitationswechselwirkung. Diese ist jedoch in der<br />
Praxis der Teilchenphysik so klein, daß man sie vernachlässigen kann. Vermutlich ist sie aber<br />
prinzipiell sehr wichtig: heutzutage ist man der Meinung, daß man die Masse der Teilchen nur<br />
verstehen kann, falls man die Gravitation in die Beschreibung der Wechselwirkungen einbezieht<br />
(Superstringtheorie, Supergravitation).<br />
Eine erstaunliche Tatsache ist eben angeklungen: man hat trotz vieler Jahrzehnte Experimentieren<br />
und theoretischer Untersuchungen kein Verständnis der Masse der Elementarteilchen.
2 Einführung<br />
Der vielzitierte Higgsmechanismus würde das nicht wesentlich ändern: er würde sagen, wie die<br />
Teilchen ihre Masse bekommen, aber nicht, wie groß dieselbe ist. Der Wert der Masse ist dann<br />
immer noch ein freier Parameter.<br />
Wechselwirkung wird in der Teilchenphysik durch den Austausch von Teilchen beschrieben: Es<br />
sind die elementaren Bosonen, Teilchen mit Spin 1, die die Wechselwirkung vermitteln. Das<br />
Konzept des Teilchenaustauschs ist zunächst fremd. Man muß sich aber klar machen, daß man<br />
z.B. in einem Streuexperiment nur die Wirkung dieser Wechselwirkung sieht:<br />
Nehmen wir an, Teilchen A treffe auf Teilchen B. Nach der Kollision sind Energie und Impuls<br />
geändert. Falls Teilchen B in Ruhe ist, kann ich versuchen die Änderung durch ein geeignetes<br />
Potential zu beschreiben, wie z.B. bei der Streuung geladener Teilchen im Coulombfeld eines<br />
Atomkerns, wo man dann die wohlbekannte Formel für Rutherfordstreuung erhält.<br />
Dieses Bild ist nicht Lorentz-invariant. I.a. sind beide Teilchen, A und B, mit relativistischen<br />
Geschwindigkeiten bewegt. Weiterhin können Teilchen zerfallen: A → A1 + A2, z.B. π → µ ν<br />
oder n → p e − ν. Man muß sich noch einmal klarmachen, daß bei einem Zerfall neue Teilchen<br />
entstehen können: das Elektron ist nicht im Neutron enthalten.<br />
Es stellt sich heraus, daß man eine konsistente Beschreibung erhält, wenn man Wechselwirkung<br />
zwischen Elementarteilchen durch Teilchenaustausch beschreibt. Austauschteilchen sind:<br />
Wechselwirkung Austauschteilchen Name Masse [GeV/c 2 ]<br />
Elektromagnetische γ Photon 0<br />
Schwache W + , W − , Z 0 Intermediäre Bosonen 80,80,91<br />
Starke g (8) Gluonen 0<br />
Beispiele:<br />
Elektromagnetische Wechselwirkung wird vermittelt durch Photonenaustausch, z.B. e lastische<br />
Streuung eines Elektrons an einem Proton wird symbolisch durch folgendes Diagramm (Feynmandiagramm)<br />
1.1 versnschaulicht:<br />
Zeit<br />
✻<br />
e −<br />
γ<br />
e e<br />
e − p<br />
Abbildung 1.1: Feynmandiagramm für die Streuung eines Elektrons an einem Proton. Dargestellt<br />
ist elektromagnetische Wechselwirkung mit Austausch eines Photons. Die Kopplungsstärke<br />
des Photons an die Teilchen ist durch den Betrag deren elektrischer Ladung gegeben.<br />
Schwache Wechselwirkung, Austausch eines W ± im Zerfall eines Neutrons: n → p e − ν ist in<br />
Abb. 1.2 skizziert.<br />
Starke Wechselwirkung, Gluonenaustausch zwischen Quarks: Quarks im Proton werden durch<br />
Gluonenaustausch zusammengehalten.<br />
p
1.1 Die Teilchen des Standardmodells 3<br />
Zeit<br />
✻<br />
p<br />
n<br />
W ±<br />
e −<br />
Abbildung 1.2: Zerfall eines Neutrons über W-Austausch.<br />
Anmerkung: Die Kernkraft, die zwischen Neutronen und Protonen wirkt, wird in der Kernphysik<br />
auch als starke Wechselwirkung bezeichnet. Man versteht sie heute als Restkraft der<br />
starken Kraft zwischen Quarks (wie man van-der-Waals Kräfte als Reste elektromagnetischer<br />
Kräfte auffassen kann).<br />
Die Eigenschaften der Reaktionen zwischen Elementarteilchen kann man zum großen Teil auf<br />
die Eigenschaften der Austauschteilchen zurückführen, wie z.B. auf die Masse der Austauschteilchen.<br />
Wir werden bald sehen, wie diese mit der Reichweite zusammenhängt.<br />
Das Teilchenaustauschbild wird uns sehr bald sehr geläufig sein!<br />
<strong>Elementarteilchenphysik</strong> beschäftigt sich also mit den fundamentalen Teilchen und den Wechselwirkungen<br />
zwischen ihnen. Das Ziel ist, die Beobachtungen nicht nur zu verstehen, sondern<br />
auch in mathematischen Gesetzen – Theorien – zu fassen. Diese Gesetze sollten möglichst<br />
Vorhersagen machen können für weitere Beobachtungen. Diese sollten nachprüfbar sein. Nach<br />
Prüfung muß möglicherweise die Theorie geändert oder erweitert werden. Dann gibt es neue<br />
Vorhersagen, usw.<br />
Der heutige Stand des Wissens über Elementarteilchen ist in einer Theorie zusammengefaßt,<br />
die bescheiden das Standard Modell der Teilchenphysik genannt wird. Auch die Kosmologie<br />
hat ein Standard Modell, die Sonne wird ebenfalls durch ein Standard Modell beschrieben.<br />
Das Standard Modell ist der Maßstab, an dem man die Beobachtungen sozusagen mißt. Aus<br />
vielerlei Gründen ist man überzeugt, daß dieses Standard Modell der Teilchenphysik nicht die<br />
letzte Wahrheit ist. Es ist aber schon eine gute Näherung. Die Experimente, die eine Abweichung<br />
suchen, laufen auf der ganzen Welt auf Hochdruck. Sie sind möglicherweise Zeugen der ersten<br />
Anzeichen, daß es tatsächlich bröckelt: darauf kommen wir gegen Ende der Vorlesung zurück.<br />
1.1 Die Teilchen des Standardmodells<br />
1.1.1 Elektron<br />
1874 George J. Stoney und Herrmann v. Helmholtz: atomare Struktur der Elektrizität aus der<br />
Interpretation der Elektrolyse<br />
1897 Joseph J. Thompson: Entdeckung des Elektrons<br />
Das Experiment von J.J. Thompson hat bereits viele Aspekte typischer Experimente der Teilchenphysik:<br />
geladene Teilchen werden in einem (longitudinalen) elektrischen Feld beschleunigt,<br />
νe
4 Einführung<br />
die Bestimmung der Geschwindigkeit v bzw. von q/m erfolgt durch Ablenkung in elektrischen<br />
und magnetischen Feldern, und eine Ortsbestimmung erfolgt durch einen Fluoreszenzschirm.<br />
1.1.2 Photon<br />
1900 Max Planck: Strahlung des schwarzen Körpers → Emission und Absorption sind quantisiert.<br />
1905 Albert Einstein: Erklärung des photoelektrischen Effekts (maximale kinetische Energie<br />
von Elektronen ist unabhängig von der Intensität der Strahlung) → elektromagnetisches<br />
Feld ist quantisiert.<br />
1922 Arthur H. Compton: Korpuskelcharakter des Photons.<br />
λC ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons.<br />
1.1.3 Antiteilchen; Positron e +<br />
1927 Paul A. M. Dirac: Dirac-Gleichung<br />
∆λ =<br />
2 ϑ<br />
2λC · (1 − cos ϑ) = 2λC · sin<br />
2<br />
(1.1)<br />
mit λC =<br />
h<br />
me · c = 2.4262 × 10−12 m (1.2)<br />
Dirac versuchte, eine Wellengleichung zur Beschreibung eines relativistischen Elektrons aufzustellen.<br />
Dabei gibt es entsprechend der relativistischen Energieformel E 2 = p2 · c2 = m2 ec4 gemäß E = ± � p2c2 + m2 ec4 Lösungen, die Zustände negativer Energie darstellen. Dies stellte<br />
ein Problem dar: Elektronen würden unter Abstrahlung von Energie in Zustände negativer<br />
Energie übergehen. Ein Erklärungsversuch war, daß im Vakuum die Zustände negativer Energie<br />
mit Elektronen gefüllt sind (sie bilden den sogenannten Diracsee); ein fehlendes Elektron mit<br />
Energie Ee− < 0 entspricht dann einem Positron e+ mit Energie Ee + > 0.<br />
1931 C. D. Anderson: Nebelkammerbild mit ”positivem” Elektron.<br />
Die heutige Interpretation der Zustände negativer Energie wurde von Feynman und Stückelberg<br />
gefunden: Teilchen negativer Energie (E < 0), die rückwärts in der Zeit laufen, entsprechen<br />
Antiteilchen positiver Energie (E > 0, die vorwärts in der Zeit laufen. Mit dieser Interpretation<br />
lassen sich alle Prozesse mit Teilchen und Antiteilchen beschreiben.<br />
1.1.4 Elektron-Neutrino und Antineutrino<br />
Die Geschichte der ‘Erfindung’ des Neutrinos durch Pauli 1930 ist bekannt: In Stichworten:<br />
β Zerfall– kontinuierliches Leptonspektrum– Energieerhaltung– unsichtbares Teilchen. Später<br />
wurde das im Neutron Zerfall entstehende Teilchen als νe identifiziert. Erster experimenteller<br />
Nachweis 1958 durch Reines und Cowan.<br />
1.1.5 Weitere Leptonenfamilien<br />
1936 Anderson und Neddermeyer: Entdeckung des Myons in der kosmischen Strahlung. Das<br />
Myon, mit Symbol µ, hat die gleichen elektromagnetischen Eigenschaften wie das Elektron,<br />
es hat jedoch eine höhere Masse mµ = 105.7 MeV/c 2 . Es entsteht z.B. durch kosmische<br />
Strahlung in der oberen Atmospäre und kann die Erde erreichen. Es zerfällt in ein<br />
Elektron und weitere nicht beobachtete Teilchen: µ − → e − + ?. Der Zerfall µ − → e − + γ<br />
wurde nicht beobachtet.
1.1 Die Teilchen des Standardmodells 5<br />
1971 Direkter Nachweis des Myon-Neutrinos: νµ e − → µ − νe; νµ n → µ − p; ¯νµ p → µ + n.<br />
Intensive Neutrinostrahlen zur Untersuchung der Eigenschaften von Neutrinos und Hadronen.<br />
1975 Martin Perl (SLAC): e + e − → τ + τ − mit der Masse mτ = 1 777 MeV/c 2 . Das zugeordnete<br />
Neutrino ντ ist erst im Jahr 2000 am Experiment DONUT im Fermilab in der Nähe<br />
von Chicago nachgewiesen worden.<br />
Man hat also drei Familien von Leptonen, die man schematisch so darstellt:<br />
�<br />
νe<br />
e− �<br />
,<br />
�<br />
νµ<br />
µ −<br />
�<br />
,<br />
�<br />
ντ<br />
τ −<br />
�<br />
Entsprechend die Antileptonen:<br />
� �<br />
+ e<br />
,<br />
¯νe<br />
� µ +<br />
¯νµ<br />
�<br />
,<br />
� �<br />
+ τ<br />
Leptonen sind Fermionen, d.h. Spin 1 Teilchen. Die geladenen Leptonen nehmen an der elek-<br />
2<br />
tromagnetisch Wechselwirkung teil, die ungeladenen Neutrinos nicht. Alle Leptonen nehmen an<br />
der schwachen Wechselwirkung teil aber nicht an der starken.<br />
Leptonenzahl Für Leptonen gilt ein strikter Erhaltungssatz:<br />
Die Zahl der Leptonen minus die Zahl der Anti-Leptonen ist erhalten.<br />
Darüber hinaus ist auch die Leptonfamilienzahl erhalten: Es gibt eine Elektron-Leptonzahl,<br />
eine für Myonen und eine für Tauonen. Hier ist die Regel für die Elektronen-Leptonzahl:<br />
¯ντ<br />
Le = N(e − ) − N(e + ) + N(νe) − N(νe) (1.3)<br />
N(e − ) ist z.B. die Zahl der Elektronen im Zustand. D.h. für einzelne Teilchen ist Le(e − ) = 1<br />
oder Le(νe) = −1. Alle Teilchen der zweiten Leptonenfamilie sowie alle Quarks haben Le = 0.<br />
Da die neutralen Neutrinos nicht an der elektromagnetisch Wechselwirkung teilhaben, gilt für<br />
diese Erhaltung von N(e − ) − N(e + ), Elektronen und Positronen können nur paarweise erzeugt<br />
werden. In schwachen Wechselwirkungen ist das komplizierter!<br />
Einige Eigenschaften von Leptonen sind in Tabelle 1.1 aufgeführt.
6 Einführung<br />
Teilchen Masse Lebensdauer Lτ Lµ Le L Ladung<br />
[MeV/c 2 ] [s] Leptonenzahl<br />
Elektron e − 0.511 stabil 0 0 1 1 -1<br />
e-Neutrino νe < 0.000 001 - 0 0 1 1 0<br />
Myon µ − 105.66 2.197 × 10 −6 0 1 0 1 -1<br />
µ-Neutrino νµ < 0.17 - 0 1 0 1 0<br />
Tau τ − 1 777.0 2.90 × 10 −13 1 0 0 1 -1<br />
τ-Neutrino νe < 18.2 - 1 0 0 1 0<br />
Antiteilchen<br />
Positron e + 0.511 stabil 0 0 -1 -1 1<br />
Anti-e-Neutrino ¯νe < 0.000 001 - 0 0 -1 -1 0<br />
Myon µ + 105.66 2.197 × 10 −6 0 -1 0 -1 1<br />
Anti-µ-Neutrino ¯νµ < 0.17 - 0 -1 0 -1 0<br />
Tau τ + 1 777.0 2.90 × 10 −13 -1 0 0 -1 1<br />
Anti-τ-Neutrino ¯νe < 18.2 - -1 0 0 -1 0<br />
1.1.6 Hadronen, Quarks<br />
Tabelle 1.1: Einige Eigenschaften von Leptonen.<br />
Bisher haben wir Leptonen erwähnt: e ± , ν, νe, . . . . Diese Teilchen sind dadurch charakterisiert,<br />
daß sie nicht an der starken Wechselwirkung teilnehmen.<br />
Teilchen mit starker Wechselwirkung nennt man Hadronen, es gibt zwei große Klassen:<br />
1. Baryonen: Die leichtesten Baryonen sind Proton und Neutron. Alle Baryonen - bis auf<br />
das Proton - sind instabil und zerfallen, wobei zum Schluß immer ein Proton entsteht. Es<br />
gilt ein Erhaltungssatz für die Baryonenzahl. Baryonen sind auch Fermionen, haben also<br />
halbzahligen Spin. Das Proton hat Spin 1<br />
3<br />
, es gibt aber auch Baryonen mit Spin , z.B.<br />
2 2<br />
das ∆.<br />
2. Mesonen: das leichteste Meson ist das Pion: π + , π− , π0 . Für Mesonen gilt kein spezieller<br />
Erhaltungssatz, sie können beliebig erzeugt werden und zerfallen, natürlich unter Beachtung<br />
der anderen Erhaltungssätze. Mesonen haben ganzzahligen Spin, das leichteste<br />
Meson ist das Pion. Es gibt drei Ladungszust ´ ’ande π + , π− , π0 , und es hat z.B. Spin 0. Ein<br />
weiteres berühmtes Meson, das J/ψ hat Spin 1.<br />
Hadronen sind aus Quarks aufgebaut: Baryonen aus drei Quarks, Mesonen aus Quark und<br />
Antiquark.<br />
Messungen der Zerfallsbreite des Z0 am LEP-Speicherring zeigen, daß die Zahl der ”leichten”<br />
Neutrinos gleich drei ist. Experimente zum Nachweis der von der Sonne emittierten Neutrinos<br />
und der in der Atmosphäre erzeugten Neutrinos geben Hinweise auf eine von Null verschiedene<br />
Ruhemasse der Neutrinos (Neutrinooszillationen)<br />
1.1.7 Baryonenzahl<br />
Warum ist das Proton stabil? Experimente zeigen, daß die Lebensdauer des Protons τp > 10 31<br />
Jahre ist (das Alter des Universums ist ≈ 10 10 Jahre).<br />
Dies führt auf die Einführung einer Baryonenzahl B, die offenbar sehr gut erhalten ist. Man<br />
ordnet p und n die Baryonenzahl B = +1 zu, und den Antiteilchen ¯p und ¯n die Baryonenzahl
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme 7<br />
B = −1. Die Baryonenzahl ist offenbar in Teilchenreaktionen erhalten.<br />
1.1.8 Quarks<br />
n → p e − ¯νe<br />
p →\ π0 γ, e¯νe, eγ<br />
p p → ¯p p p p . . . Anti-Baryon-Erzeugung<br />
Das Quarkmodell wurde 1964 unabhängig von zwei Physikern eingeführt, Murray Gell-Mann<br />
und Zweig. Sie konnten durch nur drei Teilchen all Eigenschaften der bekannten Hadronen<br />
erkl ´ ’aren 1<br />
Das Quarkmodell war sehr erfolgreich, als in den folgenden Jahren immer mehr Hadronen entdeckt<br />
wurden. Es hatte einen Nachteil: die Quarks konnten experimentell nicht nachgewiesen<br />
werden. Viele Physiker haben sie deshalb nur für nützliche mathematische Hilfsgrößen gehalten.<br />
Die Quarks als tatsächliche Teilchen wurden erst durch zwei experimentelle Ergebnisse anerkannt:<br />
Streuexperimente am Nukleon ab 1968, die zweifelsfrei belegten, daß Nukleonen Quarks<br />
enthalten. Weiterhin trug die Entdeckung der schweren Quarks 1974 dazu bei. Heute wird die<br />
Wechselwirkung der Quarks durch die Quantenchromodynamik beschrieben. Austauschteilchen<br />
ist das Gluon.<br />
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme<br />
1.2.1 Kräfte, Teilchenaustausch, Reichweite<br />
In Abschnitt 1 stellten wir fest, daß die Kräfte in der <strong>Elementarteilchenphysik</strong> mit dem Teilchenaustausch<br />
zusammenhängen. In diesem Abschnitt werden wir uns mit diesem wichtigen<br />
Gedanken weiter auseinandersetzen.<br />
A B<br />
A<br />
X<br />
g g<br />
Abbildung 1.3: Elastische Streuung über Austausch eines Teilchens X, welches mit der Stärke<br />
g an A und B koppelt.<br />
Das Feynmandiagramm in Abb. 1.3 stellt die elastische Streuung zweier Teilchen A und B mit<br />
den Massen MA und MB dar, der über den Austausch eines dritten Teilchens X der Masse<br />
1 Der Name ‘Quarks’ wurde von Gell-Mann eingeführt, einem der Erfinder des Quarkmodells. Er soll ihn aus<br />
einem Buch von James Joyce haben: Finnegans Wake. Dort kommt eine Satz vor: Three Quarks for Muster<br />
Mark. Damals war noch nicht bekannt, daß es mehr als drei Quarks gibt. Zweig nannte sie ‘Aces’ (Asse).<br />
B
8 Einführung<br />
MX erfolgt. Die Kopplungsstärke g für Teilchen X an Teilchen A und B soll gleich sein. Im<br />
Ruhesystem des einlaufenden Teilchens A stellt der untere Vertex den virtuellen Prozeß<br />
A(MAc 2 , 0) → A(EA, �p) + X(EX, −�p) (1.4)<br />
dar, wobei EX = (p 2 c 2 + M 2 X c4 ) 1/2 und EA = (p 2 c 2 + M 2 A c4 ) 1/2 ist. Der Energieunterschied<br />
zwischen den End– und Anfangszuständen ist also gegeben durch<br />
∆E = EX + EA − MAc 2 → pc für p → ∞ (1.5)<br />
→ MXc 2<br />
für p → 0 (1.6)<br />
∆E ≥ MXc 2 für alle p. Da eine solche Energieverletzung nur für einen Zeitraum τ ≈ ¯h<br />
∆E<br />
aufrecht erhalten werden kann, bekommen wir:<br />
r ≈ R ≡ ¯h<br />
MXc<br />
als die Maximaldistanz, über die X sich ausbreiten kann, bevor es von Teilchen B absorbiert<br />
wird. Diese Maximaldistanz wird Reichweite der Wechselwirkung genannt. Die elektromagnetische<br />
Wechselwirkung hat eine unendliche Reichweite, weil das ausgetauschte Teilchen ein<br />
masseloses Photon ist. Dagegen wird die schwache Wechselwirkung mit dem Austausch sehr<br />
schwerer Teilchen assoziiert – den W und Z Bosonen mit den Massen<br />
was einer Reichweite von<br />
MZ = 91.2 GeV/c 2<br />
RW ≡ ¯h<br />
MW = 80.3 Gev/c 2<br />
(1.7)<br />
(1.8)<br />
(1 GeV = 10 9 eV), (1.9)<br />
MW c ≈ 2 × 10−3 fm (1 fm = 10 −15 m) (1.10)<br />
entspricht.<br />
In vielen Anwendungen ist diese Reichweite sehr klein verglichen mit der de Broglie Wellenlänge<br />
aller beteiligten Teilchen. Die schwache Wechselwirkung kann dann in etwa durch eine Reichweite<br />
0 oder durch eine Punktwechselwirkung angenähert werden, was der Grenze MX → ∞<br />
entspricht, wie in Abb. 1.4 gezeigt.<br />
1.2.2 Das Yukawa Potential<br />
Mit der Einschränkung, daß MA groß wird, können wir die Streuung von B an A nähern durch<br />
die Streuung an einem statischen Potential, dessen Quelle A ist. Dieses Potential wird in der Regel<br />
spinabhängig sein. Indessen kann man seine Haupteigenschaften auch bei Vernachlässigung<br />
des Spins verstehen. Den Austausch von Spin–0 Bosonen, die durch die Klein–Gordon Gleichung<br />
beschrieben werden, kann man folgendermaßen ausrechnen :<br />
−¯h 2 ∂2 φ(x, t)<br />
∂t 2<br />
= −¯h 2 c 2 � ∇ 2 φ(x, t) + M 2 X c 4 φ(x, t). (1.11)
1.2 Wechselwirkungen und Feynman-Diagramme 9<br />
A<br />
B B<br />
Für statische Lösungen reduziert sich dies zu<br />
X<br />
A<br />
M X 8<br />
Abbildung 1.4: .<br />
B B<br />
A A<br />
�∇ 2 φ(x) = M 2 X c2<br />
¯h 2 φ(x), (1.12)<br />
wobei wir φ(x) als statisches Potential interpretieren. Für M 2 X = 0 ist diese Gleichung identisch<br />
mit der, der das elektrostatische Potential Folge leistet, und für eine Ladung −e, die mit einer<br />
Punktladung +e am Ursprung wechselwirkt, ist die Lösung<br />
V (r) = −eφ(r) = − e2<br />
4πɛ0<br />
wobei r = |�x| bedeutet. Die entsprechende Lösung von 1.12 ist<br />
V (r) = − g2<br />
4π<br />
e −r/R<br />
r<br />
1<br />
, (1.13)<br />
r<br />
, (1.14)<br />
wobei R = ¯h/MXc die Reichweite bedeutet, und wir nehmen gleiche Kopplungsstärken g für<br />
Teilchen X an die Teilchen A und B an. g ist ein Kopplungsparameter ähnlich wie bei der<br />
elektromagnetischen Wechselwirkung die Kopplungsstärke durch die Ladung gegeben wird. Man<br />
kann analog zur Feinstrukturkonstante der QED einen dimensionslosen Parameter definieren:<br />
αs = g2<br />
4π¯hc<br />
analog α = e2<br />
4πɛ0¯hc<br />
αs charakterisiert die Stärke der Wechselwirkung bei kurzen Entfernungen r ≤ R.<br />
(1.15)<br />
Diese Form des Potentials wird Yukawa Potential genannt, nach Hideki Yukawa, der 1935 als<br />
erster den Begriff von Kräften infolge massiven Teilchenaustausches einführte. Für MX → 0<br />
reduziert sie sich auf die bekannte Coulombformel in Gleichung 1.13, während sie für sehr große<br />
MX in etwa punktförmig ist. Die effektive Kopplungsstärke der zuletzt genannten Näherung<br />
und ihren Halbwertsbereich kann man am besten unter Berücksichtigung der entsprechenden<br />
Streuamplitude verstehen.
10 Einführung<br />
1.3 Relativistische Wellengleichungen<br />
Wir gehen von der Annahme aus, daß ein Teilchen mit Impuls �p im freien Raum durch die de<br />
Broglie Wellenfunktion2 Ψ(�x, t) = Ne<br />
i(�p · �x − Et)/¯h<br />
(1.16)<br />
mit der Frequenz ν = E/h und der Wellenlänge λ = h/p beschrieben wird. Hier bedeutet<br />
p = |�p| und N eine Normierungskonstante, die im folgenden nicht relevant ist. Die entsprechende<br />
Wellengleichung ist abhängig von der Relation zwischen Energie E und Impuls �p.<br />
Nicht–relativistisch ist<br />
E = , (1.17)<br />
2m<br />
und die Wellenfunktion Gleichung (1.16) erfüllt die nicht–relativistische Schrödinger Gleichung<br />
i¯h ∂Ψ ¯h2<br />
(�x, t) = −<br />
∂t 2m ∇2Ψ(�x, t). (1.18)<br />
Dabei sind Energie- und Impulsoperator:<br />
Relativistisch gilt:<br />
�E = i¯h ∂<br />
∂t<br />
�p 2<br />
und<br />
� �p = ¯h<br />
i � ∇ (1.19)<br />
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 , (1.20)<br />
wobei m die Ruhemasse ist und die entsprechende Wellengleichung ist:<br />
−¯h 2 ∂2 Ψ(�x.t)<br />
∂t 2 = −¯h 2 c 2 ∇ 2 Ψ(�x, t) + m 2 c 4 Ψ(�x, t), (1.21)<br />
was leicht überprüft werden kann, indem man (1.16) in Gleichung (1.21) einsetzt und dabei die<br />
Beziehung (1.20) benutzt. Diese Gleichung wurde 1924 zum ersten Mal von de Broglie vorgeschlagen,<br />
wird aber jetzt in der Regel Klein–Gordon–Gleichung 3 genannt. Ihr Hauptmerkmal<br />
ist die Existenz negativer Energielösungen. Für jede ebene Wellenlösung der Form:<br />
Impuls �p und positiver Energie<br />
gibt es auch eine Lösung<br />
Ψ(�x, t) = N e<br />
i(�p · �x − Ept)/¯h<br />
E = Ep ≡ + � p 2 c 2 + m 2 c 4 ≥ mc 2<br />
die dem Impuls −�p und der negativen Energie<br />
(1.22)<br />
�Ψ(�x, t) ≡ Ψ ∗ (�x, t) = N ∗ exp[i(−�p · �x + Ept)/¯h], (1.23)<br />
E = −Ep = − � p 2 c 2 + m 2 c 4 ≤ −mc 2 .<br />
2 Wir benutzen die Notation �x = (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z).<br />
3 Diese Autoren haben elektromagnetische Wechselwirkungen in die Gleichung mit einbezogen, somit ist sie<br />
für geladene Spin–0 Bosonen anwendbar.
1.3 Relativistische Wellengleichungen 11<br />
entspricht.<br />
Wir müssen feststellen, dass die Energie E sowohl positive wie negative Werte annehmen kann.<br />
Diese Energie enthält aber keinen potentiellen Anteil, sie ist vielmehr die Summe von Ruheund<br />
kinetischer Energie, also eine Größe, die in jedem Fall positiv sein muss.<br />
Man könnte versucht sein, die negativen Energiewerte und die zugehörigen Wellenfunktionen<br />
als physikalisch sinnlos einfach zu ignorieren. Das führt zu mathematischen Schwierigkeiten, da<br />
die Wellenfunktionen mit positiver Energie für sich allein kein voll ständiges Funktionensystem<br />
bilden .<br />
Die negativen Werte für E sind offensichtlich mit der Doppeldeutigkeit der Wurzel von 1.20<br />
verknüpft und diese wiederum mit der zweiten Zeitableitung in der Klein-Gordon-Gleichung.<br />
Paul Dirac versuchte daraufhin, eine Gleichung zu konstruieren, die nur die erste Ableitung nach<br />
der Zeit enthält. Die Lorentz-Invarianz erfordert dann, dass auch die räumlichen Ableitungen<br />
nur in erster Ordnung vorkommen. Die Dirac-Gleichung lautet für ein freies Teilchen<br />
i¯h ∂Ψ<br />
∂t<br />
= −i¯h c<br />
�<br />
α1<br />
�<br />
∂ ∂ ∂<br />
+ α2 + α3 Ψ + β mc<br />
∂x1 ∂x2 ∂x3<br />
2 Ψ (1.24)<br />
Dabei muss man Ψ als einen vierkomponentigen Wellenfunktionsvektor und die Parameter α<br />
und β als 4 x 4-Matrizen wählen.<br />
Die Hoffnung, die negativen Energiewerte damit vermeiden zu können, trog jedoch, denn die<br />
Dirac-Wellenfunktionen müssen auch die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, die eine Konsequenz<br />
der relativistischen Energie-Impuls-Relation und der Form der Operatoren Gl. 1.19 der Operatoren<br />
ist.<br />
Da sich Dirac außerstande sah, die negativen Energiezustände zu eliminieren, machte er die<br />
kühne Annahme, dass sie tatsächlich existieren, aber normalerweise sämtlich mit Elektronen<br />
besetzt sind. Nach seiner Deutung ist der Grundzustand, oft auch das ”Vakuum”genannt, nicht<br />
leer, sondern enthält unendlich viele Elektronen negativer Energie. Das Pauli-Prinzip verbietet<br />
den Übergang eines “normalen” Elektrons von seinem Zustand positiver Energie in ein negatives<br />
Energieniveau, so dass man normalerweise von den vielen negativen Niveaus nichts merkt.<br />
Durch ein γ-Quant mit einer Energie von mehr als 2 m c 2 könnte jedoch ein Elektron von einem<br />
negativen auf ein positives Energieniveau angehoben werden. Das verbleibende Loch im “See”<br />
der Elektronen mit E ¡ 0 sollte sich wie ein Teilchen mit positiver Ladung und positiver Energie<br />
verhalten.<br />
Aufgrund dieser Überlegungen hat Dirac die Existenz von Antiteilchen vorhergesagt und damit<br />
eine der revolutionärsten Ideen der theoretischen Physik hervorgebracht 4 .<br />
Experimentell wurde das erste Antiteilchen 1931/2 von Anderson in der kosmischen Höhenstrahlung<br />
entdeckt (s.o.). Das nächste wurde systematisch gesucht, es war das Antiproton, welches 1955<br />
am Beschleuniger BEVATRON (USA) erzeugt wurde.<br />
Im Rahmen der Teilchenphysik hat dieses Bild eines “Sees” von Elektronen jedoch Nachteile,<br />
so ist es auf Bosonen überhaupt nicht anwendbar, da sie nicht dem Ausschließungsprinzip<br />
gehorchen.<br />
Eine andere Interpretation stammt von Stückelberg und Feynman. Danach besitzen die Wellenfunktionen<br />
mit negativen Energiewerten selber keine physikalische Signifikanz, erhalten sie<br />
aber dadurch, dass man die Zeitrichtung umkehrt. Sie entsprechen dann den Wellenfunktionen<br />
der Antiteilchen, die mit positiver Energie zeitlich vorwärts laufen.<br />
4 Das Diracsche Bild ist später mit großem Erfolg auf Halbleiter übertragen worden.
12 Einführung<br />
Wir wollen diese Idee an dieser Stelle nicht weiter besprechen, sondern kommen im Kapitel<br />
“elektromagnetische Wechselwirkung” nochmal darauf zurück. Hier halten wir fast, daß es zu<br />
jedem Teilchen ein Antiteilchen gibt, bei welchem alle ladungsartigen Quantenzahlen “umgedreht”<br />
sind, also Baryonenzahl, Leptonzahlen, elektrische Ladung, magnetisches Moment, etc.
Kapitel 2<br />
Relativistische Kinematik<br />
Die folgenden Bezeichnungen werden in diesem Kapitel benutzt:<br />
Umrechnungsfaktoren:<br />
Größe Beschreibung Einheit<br />
c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum m s −1<br />
E = Energie eV<br />
T = Kinetische Energie eV<br />
M, m = Masse (Ruhemasse) eV/c 2<br />
M = Matrixelement<br />
λ = Charakteristische Wechselwirkungslänge<br />
�p = Impuls (3-Impuls) eV/c<br />
P, p = Viererimpuls eV/c<br />
η = Vierergeschwindigkeit<br />
σ = Wirkungsquerschnitt barn<br />
Größe Zahlenwert<br />
c = 299 792 458 m s −1<br />
¯h = 6.5821220(20) × 10 −22 MeV s<br />
¯h c = 197.327053(59) MeV fm<br />
(¯h c) 2 = 0.38937966(23) GeV 2 mbarn<br />
barn = 10 −28 m 2<br />
2.1 Spezielle Relativitätstheorie<br />
2.1.1 Lorentztransformation<br />
Inertialsysteme. Ein Inertialsystem ist ein System, in dem jeder Körper, auf den keine äußere<br />
Kraft wirkt, seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung beibehält: �v = konstant. Inertialsysteme<br />
haben eine konstante Relativgeschwindigkeit gegeneinander. In Inertialsystemen<br />
sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel gelten die Maxwellschen Gleichungen in<br />
gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von<br />
elektromagnetischen Wellen im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist.<br />
Die Lorentztransformation gibt den Übergang zwischen den Ortskoordinaten und der Zeit<br />
zwischen zwei Systemen O und O ′ an, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit<br />
�v = (v, 0, 0) bewegen. Die Geschwindigkeit wird oft durch die dimensionslose Größe<br />
β = v/c
14 Relativistische Kinematik<br />
ausgedrückt. Die Lorentztransformation ist mit γ = 1/ � 1 − β 2 gegeben durch:<br />
x ′ = γ(x − vt) x = γ(x ′ + vt ′ )<br />
y ′ = y y = y ′<br />
z ′ = z z = z ′<br />
t ′ �<br />
= γ t − xv<br />
c2 �<br />
�<br />
t = γ t + x′ v<br />
c2 �<br />
z<br />
y<br />
x<br />
�v<br />
y ′<br />
O O ′<br />
Abbildung 2.1: Die Bezugssysteme O und O ′<br />
Relativität der Gleichzeitigkeit. Wenn sich im System O zwei Ereignisse A und B zur<br />
gleichen Zeit, aber an anderem Ort ereignen, dann ereignen sie sich nicht zur gleichen Zeit im<br />
System O ′ . Aus den Transformationsformeln folgt für tA = tB<br />
z ′<br />
t ′ A = t ′ B + γv<br />
c 2 (xB − xA) .<br />
Ereignisse, die in einem System gleichzeitig stattfinden, sind in anderen System nicht gleichzeitig.<br />
Längenkontraktion und Zeitdilatation. Diese in der Gleichung (2.1) ausgedrückten Eigenschaften<br />
sind charakteristisch für Lorentz-Transformationen.<br />
Bewegte Objekte erscheinen in Bewegungsrichtung um den Faktor γ verkürzt. Im System O ′<br />
befinde sich ein Stab der Länge L ′ mit einem Ende bei x ′ = 0 und mit dem anderen Ende<br />
bei x ′ = L ′ . Im System O muß die Position der beiden Enden zur gleichen Zeit, z.B. t = 0,<br />
registriert werden; zu diesem Zeitpunkt ist das eine Ende bei x = 0, das andere bei x = L ′ /γ,<br />
und damit ist mit L = L ′ /γ die Länge verkürzt. Dies wird als Längenkontraktion bezeichnet.<br />
Dimensionen senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung bleiben unverändert.<br />
x ′<br />
L = L ′ /γ (2.1)<br />
Für bewegte Objekte läuft die Zeit langsamer ab. Wenn für eine Uhr im System O ′ am Ort<br />
x ′ = 0 die Zeit t ′ von 0 bis T ′ läuft, dann beginnt sie im System O bei t = 0 und läuft, bis<br />
t ′ = T ′ bei x ′ = 0 ist; dies ist t = γT ′ , d.h. das Zeitintervall ist in O mit T = γT ′ verlängert.<br />
Diese Zeitdilatation wird beim Teilchenzerfall nachweisbar. Die mittlere Lebensdauer τ von<br />
Teilchen wird stets im Ruhesystem angegeben. Bewegte Teilchen haben eine um den Faktor γ<br />
größere mittlere Lebensdauer. Dieser Effekt wird Zeitdilatation genannt. Myonen werden in der<br />
oberen Atmosphäre der Erde durch kosmische Strahlung erzeugt und können bei hohem Impuls<br />
.
2.1 Spezielle Relativitätstheorie 15<br />
trotz der kurzen Lebensdauer von τ = 2.2 × 10 −6 sec die Erdoberfläche erreichen. Allgemein ist<br />
die mittlere Zerfallslänge L = γβcτ = (p/m) τ bei einer mittleren Lebensdauer von τ.<br />
Addition der Geschwindigkeiten. Ein Teilchen bewege sich im System O ′ mit der Geschwindigkeit<br />
u ′ in x-Richtung. Im System O ′ legt es eine Strecke ∆x = γ (∆x ′ + v∆t ′ ) in der Zeit<br />
∆t = γ (∆t ′ + (v/c 2 ) ∆x ′ ) zurück, d.h.<br />
∆x<br />
∆t = ∆x′ + v∆t ′<br />
∆t ′ + (v/c 2 ) =<br />
(∆x ′ /∆t ′ ) + v<br />
1 + (v/c 2 ) (∆x ′ /∆t ′ ) .<br />
Daraus folgt die Transformationformel bzw. Additionsregel für Geschwindigkeiten:<br />
u =<br />
u ′ + v<br />
1 + (u ′ v/c 2 )<br />
. (2.2)<br />
Der Nenner stellt eine relativistische Korrektur dar, die bei kleinen Geschwindigkeiten vernachlässigt<br />
werden kann. Für u ′ = c ist auch u = c: die Lichtgeschwindigkeit ist für alle<br />
Inertialsysteme gleich.<br />
Die Transformationsformel ist kompliziert, weil bei der durch<br />
�v ≡ d�r<br />
dt<br />
definierten Geschwindigkeit sowohl der Zähler als auch der Nenner sich bei Lorentztransformationen<br />
ändern.<br />
2.1.2 Vierervektoren<br />
Die vier Koordinaten eines Zeit-Raum-Punktes werden zu einem Vierervektor<br />
X ≡ (ct, x, y, z) = (ct, �r)<br />
zusammengefaßt. Ein Vierervektor enthält einen raumartig genannten Vektor �r und eine zeitartig<br />
genannte Komponente ct: X = (ct, �r). Die Lorentztransformation eines Vierervektors entlang<br />
der x-Richtung läßt sich mit Matrizen schreiben:<br />
⎛<br />
ct<br />
⎜<br />
′<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
γ −βγ 0 0 ct cosh ω − sinh ω 0 0 ct<br />
⎟ ⎜−βγ<br />
γ 0 0⎟<br />
⎜x<br />
⎟ ⎜−<br />
sinh ω cosh ω 0 0⎟<br />
⎜x<br />
⎟<br />
x ′<br />
X ′ = ⎜<br />
⎝ y ′<br />
z ′<br />
⎟<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ y ⎠<br />
z<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝ y ⎠<br />
z<br />
mit cosh ω = γ und tanh ω = sinh ω/ cosh ω = β. Die Größe ω entspricht einem imaginären<br />
Drehwinkel und wird als Rapidität (Schnelligkeit) bezeichnet und häufig zur Beschreibung von<br />
Teilchenerzeugung verwendet.<br />
Bei Verwendung der Rapidität ω wird die Lorentztransformation ähnlich zur Drehung eines räumlichen Vektors<br />
(zum Beispiel um die z-Achse):<br />
�<br />
′ x<br />
y ′<br />
� � � � �<br />
cos ϑ sin ϑ x<br />
=<br />
mit x<br />
− sin ϑ cos ϑ y<br />
′ ′<br />
2 2 2 2<br />
+ y = x + y .<br />
Die Länge des Vektors ( � x 2 + y 2 bzw. � x ′2 + y ′2 ) ist invariant gegenüber Drehungen (nur positive relle Längen<br />
sind physikalisch sinnvoll).
16 Relativistische Kinematik<br />
Auch wenn sich die einzelnen Komponenten eines Vierervektors bei einer Transformation ändern,<br />
bleibt der folgende Ausdruck unverändert:<br />
I = (ct ′ ) 2 − x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 = (ct · cosh ω − x · sinh ω) 2 − (−ct · sinh ω + x · cosh ω) 2 − y ′ 2 − z ′ 2<br />
= (ct) 2 − x 2 − y 2 − z 2<br />
unter Benutzung der Beziehung cosh 2 ω − sinh 2 ω = 1. Eine solche Größe, die in jedem Inertialsystem<br />
den gleichen Wert hat, wird Invariante genannt. Das Quadrat eines Vierervektors ist<br />
invariant gegenüber Lorentz-Transformation<br />
X 2 ≡ X · X = (ct) 2 − �r 2<br />
invariant unter Lorentztransformationen<br />
und wird nach seinem Vorzeichen klassifiziert:<br />
(ct) 2 − �r 2<br />
⎧<br />
⎪⎨ > 0 zeitartig<br />
= 0 lichtartig<br />
⎪⎩<br />
< 0 raumartig .<br />
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vierervektoren wird definiert als<br />
X1 · X2 = c 2 t1t2 − �r1 · �r2 .<br />
Es ist ebenfalls invariant unter Lorentztransformationen. Alle 4-Tupel, die sich wie der Raumzeit-<br />
Vierervektor X transformieren, sind Vierervektoren.<br />
2.1.3 Energie und Impuls<br />
Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit ist eine für die Definition des relativistischen<br />
Impulses nützliche Größe. Der Vektoranteil ist definiert als zurückgelegte Strecke, dividiert<br />
durch Eigenzeit (mit Eigenzeit τ = t/γ und dτ = dt/γ) :<br />
�η ≡ d�r<br />
dτ<br />
= γ d�r<br />
dt<br />
= γ �v<br />
Für diese Geschwindigkeit gilt �η = γ�v beim Vergleich mit der normalen Geschwindigkeit �v.<br />
Definiert man als nullte Komponente η 0 = d(ct)/dτ = γc, so erhält man den Vierervektor<br />
η = dX<br />
dτ = γ (c, vx, vy, vz) .<br />
Bei Lorentz-Transformationen zwischen Systemen O und O ′ ist die Vierergeschwindigkeit einfacher<br />
zu handhaben: nur der Zähler d�r wird transformiert, denn der Nenner dτ is eine Invariante.<br />
Dagegen müssen bei der normalen Geschwindigkeit sowohl Zähler als auch Nenner transformiert<br />
werden; dies führt zu der komplizierten Additionsregel (2.2) der Geschwindigkeiten. Das<br />
Quadrat der Vierergeschwindigkeit ist, wie erwartet, eine Invariante gegenüber Lorentztransformationen:<br />
η · η = γ 2 � c 2 − v 2 x − v2 y − v2 � 2 2<br />
z = γ c � 1 − v 2 /c 2� = c 2<br />
Relativistischer Impuls. Die klassische Definition von Impuls ist Masse × Geschwindigkeit.<br />
Bei der relativistischen Verallgemeinerung dieses Begriffs stellt sich die Frage, welche der beiden<br />
Geschwindigkeiten benutzt werden sollte (bei Geschwindigkeiten v ≪ c ist γ � 1 und
2.1 Spezielle Relativitätstheorie 17<br />
beide Geschwindigkeiten sind gleich). Bei Benutzung der Geschwindigkeit �v ist das Gesetz der<br />
Impulserhaltung inkonsistent mit dem Relativitätsprinzip. Die Definition des Impulses durch<br />
�p = m�η dagegen ist konsistent mit dem Relativitätsprinzip: wenn Impulserhaltung in einem<br />
Inertialsystem gilt, gilt sie in allen. Damit wird allerdings nicht das Gesetz der Impulserhaltung<br />
bewiesen, denn dies ist eine experimentelle Frage. Die Definition sorgt jedoch für die Konsistenz<br />
zwischen den Inertialsystemen. Mit der Definition des Impulses durch<br />
�p ≡ m�η = γm�v =<br />
m�v<br />
� 1 − v 2 /c 2<br />
und mit der nullten Komponente P0 = γmc = E/c erhält man einen Vierervektor des Impulses:<br />
�<br />
E<br />
P =<br />
c , px,<br />
�<br />
py, pz mit P · P = E2<br />
c2 − �p2 = m 2 c 2<br />
Für die relativistische Definition der Energie gilt dann die Formel<br />
E = γmc 2 =<br />
mc 2<br />
� 1 − v 2 /c 2<br />
= mc2<br />
� 1 − β 2<br />
E 2 = (pc) 2 + � mc 2� 2 .<br />
Nichtrelativistischer Bereich. Bei kleinen Geschwindigkeiten v ≪ c (d.h. β ≪ 1) sind relativistische<br />
Impulse �p = m�η und nichtrelativistische Impulse �p = m�v gleich. Die Energieformel<br />
kann durch eine Reihenentwicklung nach Potenzen von β = v/c dargestellt werden:<br />
E = mc2<br />
�<br />
� = mc2 1 +<br />
1 − β2 1<br />
2 β2 + 3<br />
8 β4 �<br />
+ . . . = mc 2 + 1<br />
2 mv2 + 3<br />
8 mv2β 2 + . . .<br />
Der erste Term ist konstant und wird als Ruheenergie bezeichnet. Der nächste Term ist die<br />
klassische kinetische Energie. Die relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie ist<br />
die Differenz T = γmc 2 − mc 2 = mc 2 (γ − 1).<br />
Masselose Teilchen. Für elektromagnetische Strahlung gilt nach der Elektrodynamik die<br />
Beziehung E = |�p|c. Die gleiche Beziehung gilt für masselose Teilchen, denen ein Viererimpuls<br />
� �<br />
E<br />
P = , �p<br />
c<br />
zugeordnet wird. Masselose Teilchen wie das Photon (und das Neutrino?) bewegen sich mit der<br />
Lichtgeschwindigkeit c.<br />
Erhaltung des Viererimpulses. Die Viererimpuls-Erhaltung wird bei allen kinematischen<br />
Rechnungen vorausgesetzt. Bisher gibt es keine experimentellen Anzeichen dafür, daß der Viererimpuls<br />
in Teilchenreaktionen nicht erhalten sein könnte.<br />
Beispiel: Stoß zweier Lehmklumpen<br />
Zwei Lehmklumpen gleicher Masse m stoßen, jeder mit der Geschwindigkeit 3/5 c, frontal aufeinander.<br />
Wegen der Impulserhaltung �p 1 + �p 2 = 0 ist der beim Stoß entstehende Lehmklumpen<br />
in Ruhe. Aus der Energieerhaltung folgt für die Masse M des entstehenden Lehmklumpens<br />
Mc 2 = 2Em =<br />
2mc 2<br />
� 1 − (3/5) 2<br />
= 5<br />
2 mc2 .<br />
Bei der Kollision wird die kinetische Energie in Ruheenergie umgewandelt, daher ist die Masse<br />
größer als die Summe der Massen des Anfangszustandes.
18 Relativistische Kinematik<br />
2.1.4 Einheiten und Dimensionen<br />
Es ist in der Hochenergiephysik üblich, Faktoren von Potenzen von c in kinematischen Formeln<br />
wegzulassen und von hier ab wird diese Konvention im Skript benutzt, außer in Sonderfällen.<br />
Die Schreibweise von Vierervektoren und ihren Quadraten vereinfacht sich daher zu<br />
P = (E, �p) P · P = E 2 − �p 2 = m 2 .<br />
Einheiten für Energie, Impuls und Masse sind einheitlich Vielfache von eV. Praktisch bedeutet<br />
dies, daß für Energie, Impuls und Masse die folgenden Einheiten benutzt werden:<br />
Energie [MeV] Impuls [MeV/c] Masse<br />
� MeV/c 2 �<br />
Die Geschwindigkeit wird durch die dimensionlose Größe β = v/c angegeben. Es gelten die<br />
Beziehungen:<br />
β = |�p|<br />
1 E<br />
γ = � = βγ =<br />
E<br />
1 − β2 m<br />
|�p|<br />
m<br />
Oft wird auch die Plancksche Konstante ¯h = 1 gesetzt. In den Endformeln muß man sich dann<br />
die Faktoren aus Dimensionsbetrachtungen ergänzt denken. Für diese Umrechnungen sind die<br />
Angaben am Beginn des Kapitels nützlich.<br />
Die Lorentztransformation des Viererimpulses schreibt sich in diesen Einheiten so:<br />
β = v/c ≡ v γ = 1/ � 1 − β 2<br />
P = (E, px, py, pz) mit P · P = E 2 − �p 2 = m 2<br />
p ′ x = γ(px − βE) px = γ(p ′ x + βE ′ )<br />
p ′ y = py<br />
py<br />
p ′ z = pz<br />
pz<br />
= p ′ y<br />
= p ′ z<br />
E ′ = γ (E − βpx) E = γ (E + βp ′ x ) .<br />
Man nennt die Impulskomponente in Richtung der Boost-Achse oft “Longitudinalimpuls”, hier<br />
p� = px. Die Komponente senkrecht zur Boostrichtung heißt dann Transversalimpuls, hier<br />
p⊥ = pT = � p 2 y + p2 z .<br />
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle<br />
Teilchenreaktionen und Zerfälle sind bestimmt einerseits durch die Dynamik (Kräfte) und<br />
anderseits durch die Kinematik (Impuls- und Energieerhaltung). In der Teilchenphysik muß<br />
die relativistische Kinematik benutzt werden. Die Anwendung der relativistischen Kinematik<br />
unter Beachtung der Erhaltung des Viererimpulses bei der Reaktion ist wichtig und erfordert<br />
oft Geschick.<br />
Elastische Streuung. Bei der elastischen Streuung zwischen Teilchen erfolgt lediglich ein Impulsübertrag<br />
zwischen den Teilchen, die bei der Reaktion unverändert bleiben (gleiche Massen
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 19<br />
vor und nach der elastischen Reaktion). Beispiele für elastische Streuung sind die elastische<br />
Proton-Proton- und π-Proton-Streuung:<br />
p + p → p + p<br />
π + + p → p + π +<br />
Unelastische Streuung. Klassisch erfolgt bei einer unelastischen Reaktion eine Umwandlung<br />
zwischen kinetischer Energie und innerer Energie (Wärme, potentielle Energie, . . . ). Relativistisch<br />
erfolgt eine Umwandlung zwischen kinetischer Energie und Ruheenergie (Massen von<br />
Teilchen sind nicht erhalten, es gibt Erzeugung neuer Teilchen) 1 . Beispiele für unelastische<br />
Streuung sind die Reaktionen:<br />
π − + p → K 0 + Λ<br />
π + + p → p + π + + π + + π −<br />
e − + p → e − + n + π + + π + + π −<br />
a<br />
b<br />
1<br />
2<br />
. . .<br />
n<br />
Abbildung 2.2: 2 → n-Teilchen-Reaktion<br />
2.2.1 Kinematik von Teilchenreaktionen<br />
In einer Teilchenreaktion entsteht durch den Stoß von zwei Teilchen a und b (Anfangszustand)<br />
in einem Wechselwirkungsprozess ein Endzustand mit (allgemein) n Teilchen (Abbildung 2.2).<br />
Wegen Energie- und Impulserhaltung gilt für die Viererimpulse die Beziehung<br />
Pa + Pb → P1 + P2 + . . . + Pn .<br />
Bei kinematischen Rechnungen wird soweit möglich Gebrauch von Invarianten gemacht, die in<br />
einem beliebigen System berechnet werden können.<br />
In Fixed-Target-Experimenten werden Strahlteilchen (beam particles) auf ein ruhendes Target<br />
mit Target-Teilchen geschossen. Bei diesen Experimenten gilt �p b = 0 und das Bezugssystem mit<br />
�p b = 0 wird Laborsystem genannt. Das Strahlteilchen trägt den Gesamtimpuls.<br />
Impulse im Schwerpunktsystem (CMS) werden durch einen Stern gekennzeichnet. Im Schwerpunktsystem<br />
verschwindet die Summe der Impulse: �p ∗<br />
�<br />
a + �p∗ b = 0 und i �p∗ i = 0. Rechnungen<br />
im Schwerpunktsystem sind oft einfacher als in anderen Systemen. Ergebnisse aus dem CMS<br />
können dann durch Lorentztransformationen in andere Systeme übertragen werden. Bei Speicherringexperimenten<br />
mit gleichen Impulsbeträgen der beiden Strahlteilchen ist das Schwerpunktsystem<br />
mit dem Laborsystem identisch (bei Kreuzungswinkel Null).<br />
1 Tatsächlich gibt es keinen Unterschied zur klassischen Physik: die Masse einer gespannten Feder ist größer<br />
als die Masse einer ungespannten Feder; nur sind in der Kern- und Teilchenphysik die Anregungsenergien von<br />
gleicher Größenordnung wie Ruheenergien.
20 Relativistische Kinematik<br />
Abbildung 2.3: Blasenkammeraufnahme mit der Reaktion K − + p →<br />
p + π − + ¯ K 0 . Das ¯ K 0 zerfällt als K 0 S in ein π+ π − -Paar.<br />
Gesamtenergie. Eine wichtige Invariante von Reaktionen ist das Quadrat der Gesamtenergie<br />
W im Schwerpunktsystem; die Energie W ist die Energie, die für Wechselwirkungen, insbesondere<br />
für Teilchenerzeugung, insgesamt zur Verfügung steht. Das Quadrat der Gesamtenergie<br />
wird mit s bezeichnet und kann direkt aus den Viererimpulsen der Teilchen berechnet werden:<br />
s = (Pa + Pb) 2 = (P1 + P2 + . . . + Pn) 2 ,<br />
wobei die Viererimpulsen in einem beliebigen System gegeben sein können.<br />
Viererimpulse im Laborsystem (Fest-Target-Experimente). Die Viererimpulse der beiden<br />
Teilchen des Anfangszustands sind<br />
Pa = (Ea, �p a) mit P 2 a = m2 a Pb = (mb, 0)<br />
Das Quadrat der Gesamtenergie ergibt sich aus<br />
s = (Pa + Pb) 2 = P 2 a + P 2 b + 2Pa · Pb (2.3)<br />
= m 2 a + m2 b + 2Eamb (2.4)<br />
Eine wichtige Anwendung ist die Berechnung der Schwellenenergie für eine Endzustand mit<br />
zwei Teilchen der Massen m1 und m2. Die Schwellenenergie im Schwerpunktsystem ist gegeben<br />
durch s = (m1 + m2) 2 und im Laborsystem entspricht dies einer Strahlenergie<br />
E Lab<br />
a<br />
= (m1 + m2) 2 − m 2 a − m2 b<br />
2mb<br />
. (2.5)
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 21<br />
Im Laborsystem sind die Geschwindigkeit und der γ-Faktor des Schwerpunktsystems gegeben<br />
durch<br />
| �pa|<br />
βCM = γCM = Ea + mb<br />
√ .<br />
s<br />
Ea + mb<br />
Viererimpulse im Schwerpunktsystem (Speicherring-Experimente). Die Viererimpulse<br />
der beiden Teilchen des Anfangszustands sind<br />
Pa = (E ∗ a , +�p ∗ ) Pb = (E ∗ b , −�p ∗ )<br />
Das Quadrat der Gesamtenergie ergibt sich aus<br />
s = (Pa + Pb) 2 = (E ∗ a + E ∗ b , 0) 2 = (E ∗ a + E ∗ b ) 2 .<br />
2 → 2-Teilchen-Reaktion. Bei einer Reaktion mit zwei Teilchen im Anfangszustand und zwei<br />
Teilchen im Endzustand gemäß Abbildung 2.4 sind neben dem Quadrat der Gesamtenergie<br />
s zwei weitere Invarianten t und u üblich. Diese Invarianten folgen aus der Vierer-Impuls-<br />
Erhaltung<br />
Pa + Pb = P1 + P2 .<br />
Sie sind definiert durch<br />
t = (Pa − P1) 2 = (Pb − P2) 2<br />
u = (Pa − P2) 2 = (Pb − P1) 2<br />
a<br />
b<br />
Abbildung 2.4: 2 → 2-Teilchen-Reaktion<br />
1<br />
2<br />
mit s + t + u = m 2 a + m2 b + m2 1 + m2 2 ;<br />
Bei der Interpretation der Teilchenreaktion durch den Austausch eines (virtuellen) Teilchens<br />
mit Impuls q = Pa − P1 nach Abbildung 2.5 entspricht die Invariante t der ”Masse” des ausgetauschten<br />
Teilchens. Die Invariante t hat bei gleichen Massen der Teilchen (ma = m1) ein<br />
negatives Vorzeichen. Die Invariante t hängt mit dem Streuwinkel ϑ ∗ des gestreuten Teilchens im<br />
Pa<br />
Pa − P1<br />
P1<br />
Abbildung 2.5: Impulsübertrag
22 Relativistische Kinematik<br />
Schwerpunktsystem zusammen. Dazu wird die Invariante t im Schwerpunktsystem berechnet:<br />
t = (Pa − P1) 2 = m 2 a + m 2 1 − 2E ∗ aE ∗ 1 + 2|�p ∗<br />
a||�p ∗<br />
1| cos ϑ ∗<br />
dabei hängen die Energien und Impulse im Schwerpunktsystem nur von der Gesamtenergie und<br />
den Massen ab. Die Energien im Schwerpunktsystem sind<br />
E ∗ a<br />
1<br />
=<br />
2 √ � 2<br />
s + ma − m<br />
s<br />
2� b<br />
E ∗ 1 = 1<br />
2 √ s<br />
�<br />
2<br />
s + m1 − m 2 �<br />
2<br />
Die Impulse im Schwerpunktsystem sind gegeben durch<br />
|�p ∗<br />
a<br />
| = |�p∗ b | =<br />
�p ∗<br />
a<br />
�p ∗<br />
2<br />
E ∗ b<br />
1<br />
=<br />
2 √ � 2<br />
s − ma + m<br />
s<br />
2� b<br />
E ∗ 2 = 1<br />
2 √ s<br />
ϑ ∗<br />
�p ∗<br />
1<br />
�p ∗<br />
b<br />
�<br />
2<br />
s − m1 + m 2 �<br />
2<br />
Abbildung 2.6: Die Impulse im Schwerpunktsystem<br />
� λ (s, m 2 a , m 2 b )<br />
2 √ s<br />
|�p ∗<br />
1<br />
�<br />
2 λ (s, m<br />
| = |�p∗ 2 | =<br />
1, m2 2)<br />
2 √ ,<br />
s<br />
dabei wurde die Hilfsfunktion λ (a, b, c) = a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2bc − 2ca benutzt.<br />
Kinematik des Zweikörperzerfalls. Ein Teilchen der Masse M zerfällt in zwei Teilchen der<br />
Massen m1 und m2; für die Vierervektoren gilt<br />
P ∗ = P ∗ 1 + P ∗ 2<br />
Für das Quadrat des Vierervektors P ∗ (Größen im Schwerpunktsystem werden durch einen<br />
Stern gekennzeichnet) gilt nach den Regeln der relativistischen Kinematik<br />
P ∗2 = M 2 = (P ∗ 1 + P ∗ 2 ) 2 = m 2 1 + m 2 2 + 2E ∗ 1 E ∗ 2 − 2�p ∗<br />
1 �p ∗<br />
2<br />
Im Schwerpunktsystem sind die Beträge der Impulse der beiden Teilchen gleich (|�p ∗<br />
1<br />
|�p ∗ |) und mit cos ϑ ∗ = −1 und unter Beachtung von M = E ∗ 1 + E ∗ 2 erhält man<br />
M 2 = m 2 1 + m 2 2 + 2E ∗ 1 E ∗ 2 + 2|�p ∗ | 2 = m 2 1 + m 2 2 + 2E ∗ 1 (M − E ∗ 1) + 2 � E ∗2<br />
1 − m 2� 1 .<br />
Diese Gleichung läßt sich nach E ∗ 1<br />
Für den Betrag des Schwerpunktimpulses gilt<br />
auflösen mit dem Ergebnis<br />
E ∗ 1 = M 2 + m 2 1 − m 2 2<br />
2M<br />
|�p1 ∗ | = |�p2 ∗ | = [(M 2 − (m1 + m2) 2 ) (M 2 − (m1 − m2) 2 )] 1/2<br />
.<br />
2M<br />
| = |�p∗ 2 | =<br />
(2.6)
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 23<br />
Drei-Teilchen-Zerfall. Bei dem Zerfall eines Teilchens der Masse M mit Viererimpuls P in<br />
drei Teilchen der Massen m1, m2 und m3 (Energien E1, E2 und E2 im Ruhesystem von M)<br />
definiert man die Viererimpulse Pij = Pi + Pj mit P 2<br />
ij = m2 ij. Es gelten die Beziehungen<br />
M 2 + m 2 1 + m 2 2 + m 2 3 = m 2 12 + m 2 23 + m 2 13<br />
m 2 12 = (P − P3) 2 = M 2 + m 2 3 − 2ME3 .<br />
Im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens liegen alle drei Teilchenimpulse in einer Ebene. Für<br />
den Betrag des Impulses des 3. Teilchens im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens gilt<br />
|�p 3| = [(M 2 − (m12 + m3) 2 ) (M 2 − (m12 − m3) 2 )] 1/2<br />
2M<br />
Der maximale Wert wird erreicht, wenn m12 = m1 +m2, d.h. wenn Teilchen 1 und 2 mit gleicher<br />
Geschwindigkeit in die gleiche Richtung fliegen.<br />
Beispiel: Erzeugung des Υ in der e + e − -Annihilation Das Υ-Meson hat eine Masse von<br />
M = 9.46 GeV/c 2 . In einem e + e − -Speicherring mit gleichen Strahlenergien E ist eine Strahlenergie<br />
E = M/2 = 4.73 GeV erforderlich. Wollte man das Υ-Meson durch Reaktionen von<br />
Positronen der Energie Elab mit ruhenden Elektronen erzeugen, wäre nach der Formel<br />
M 2 = s = 2m 2 e<br />
+ 2meElab<br />
eine Strahlenergie von Elab = 87 560 GeV erforderlich. Man erkennt an dem Ergebnis dieser<br />
Rechnung die Vorteile des Speicherring-Prinzips.<br />
Beispiel: Stoß eines hochenergetischen Teilchens mit einem ruhenden Elektron Die<br />
maximale kinetische Energie, die von einem Teilchen der Masse M und des Impulses p = Mγβ<br />
auf ein freies Elektron in einem einzigen Stoß übertragen werden kann, ist gegeben durch<br />
Tmax =<br />
2m2c2β 2γ2 .<br />
1 + 2γm2/M + (m2/M) 2<br />
m2 ist die Masse des Elektrons. Dieser Ausdruck wird meist durch die für M ≫ 2γm2 gültige<br />
Näherung Tmax = 2m2c 2 β 2 γ 2 = 2m2c 2 (P/M) 2 ersetzt.<br />
Zahlenbeispiel: Ein Proton von 10 GeV/c Impuls kann in einem Stoß auf ein ruhendes Elektron<br />
maximal eine kinetische Energie von 116 MeV übertragen. Der Energieverlust durch Stöße mit<br />
Elektronen ist also gering.<br />
Beispiel: Zerfall des geladenen Pions in Ruhe Das geladene Pion zerfällt gemäß π →<br />
µ + ν in ein geladenes Muon und ein Neutrino, dessen Masse in dieser Rechnung als Null<br />
angenommen wird. Erhaltung von Energie und Impuls erfordert die Beziehung<br />
Pπ = Pµ + Pν<br />
(2.7)
24 Relativistische Kinematik<br />
wobei der Vierervektor Pπ des in Ruhe befindlichen geladenen Pions durch Pπ = (mπ, 0) gegeben<br />
ist. Aus der Gleichung (2.7) folgt Pν = Pπ − Pµ und Quadrieren dieser Gleichung ergibt<br />
und als Ergebnis folgt unmittelbar:<br />
P 2 ν = P 2 π + P 2 µ − 2Pπ · Pµ<br />
0 = m 2 π + m2 µ − 2mπE ∗ µ<br />
E ∗ µ = m2 π + m2 µ<br />
2mπ<br />
(vgl. Gleichung (2.6)). Zur Berechnung des Impulses geht man wieder von Gleichung (2.7) aus<br />
und quadriert die Beziehung Pµ = Pπ − Pν:<br />
P 2 µ = P 2 π + P 2 ν − 2Pπ · Pν<br />
m 2 µ = m2 π − 2mπE ∗ ν<br />
und wegen E ∗ ν = |�p ∗<br />
ν| = |�p ∗<br />
µ| folgt für den Impuls des Myons:<br />
|�p ∗<br />
µ | = m2 π − m2 µ<br />
2mπ<br />
In diesem Fall führt die Rechnung mit Viererimpulsen zu einfachen Formeln.<br />
Invariante Masse Kurzlebeige Teilchen kann man oft nur durch Untersuchung ihrer Zerfallsprodukte<br />
studieren. Das K 0 Meson zerfällt z.B. 10 −10 sec nach der Erzeugung in 2 Pionen,<br />
K 0 → π + π − . Erzeugt man in einem Experiment K 0 Mesonen, so werden die Viervektoren der<br />
Pionen (P1, P2) gemessen und man hat für das K Meson:<br />
PK = P1 + P2<br />
Die Masse des K Mesons ist durch das Quadrat des Vierimpulses gegeben:<br />
m 2 K = P 2 K = (P1 + P2) 2 ) = P 2 1 + P 2 2 + 2 P1 P2 = 2 m 2 π + 2 (E1 E2 − �p1 �p2)<br />
Wenn man also Energie und Impuls der Zerfallsteilchen kennt, kann man die Masse des Mutterteilchens<br />
bestimmen.<br />
I.a. werden in einem Experiment viele Teilchen erzeugt. In Abb. 2.2.1 werden z.B. in π + p<br />
Kollisionen 5 Teilchen erzeugt: π + pπ + π − π 0 . Die Invariante Masse von 3 Teilchen, π + π − π 0 , ist<br />
aufgetragen. Man sieht über einem Kontinuum eine grosse “Resonanz” bei ca. 780 MeV/c 2 .<br />
Man interpretiert diese als kurzlebiges Teilchen, genannt ω, welches in die 3 Pionen zerfällt.<br />
Bei ca. 500 MeV/c 2 sieht man eine weitere kleinere Resonanz, die dem η entspricht. Nicht alle<br />
π + π − π 0 Zustände kommen aus den beiden Teilchen. Es gibt zusätzlich einen “nicht resonanten”<br />
Untergrund. Ein weiteres Beispiel ist in Abb. 2.2.1 zu sehen. Dort ist die invariante Masse von<br />
einem µ + µ − Paar aufgetragen, dass bei HERA erzeugt wird. Man sieht eine deutliche Resonanz<br />
bei 3.1 GeV/c 2 . Sie wird als Meson mit Namen J/ψ interpretiert. Bei ungefähr 3.7 GeV/c 2 ist<br />
ein angeregter Zustand zu sehen. Das J/ψ wird uns später noch beschäftigen.
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 25<br />
Abbildung 2.7: Invariante Masse von π + π − π 0 Kombinationen in π + p<br />
Wechselwirkungen.<br />
Events<br />
6000<br />
4000<br />
2000<br />
0<br />
H1 Data<br />
Fit<br />
200<br />
100<br />
0<br />
3.4 3.6 3.8 4 4.2<br />
Mee,μμ [GeV]<br />
2.5 3 3.5 4<br />
M ee,μμ [GeV]<br />
Abbildung 2.8: Invariante Masse von e + e − und µ + µ − Paaren in e p Wechelwirkungen<br />
bei HERA.
26 Relativistische Kinematik<br />
2.2.2 Wirkungsquerschnitt<br />
Die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden einer bestimmten Teilchenreaktion ist durch den<br />
Wirkungsquerschnitt gegeben.<br />
Klassisches Bild der Streuung am Potential. Bei klassischer Berchnung eines Wirkungsquerschnitts<br />
stellt man einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel ϑ und<br />
dem Stoßparameter b (impact parameter) her; der Stoßparameter ist gleich dem Abstand, mit<br />
dem das Projektil am Streuzentrum vorbei fliegen würde, wenn es keine Streuung gäbe. Der<br />
Zusammenhang ϑ(b) hängt von dem speziellen Potential des Streuzentruns ab.<br />
Bild Einlaufende Teilchen, die durch die Fläche dσ = b db dϕ (Kreisring) auftreffen, werden<br />
um den Winkel ϑ in das Raumwinkelelement dΩ = sin ϑdϑdϕ gestreut:<br />
dσ = D(ϑ, ϕ) · dΩ<br />
Der Proportionalitätsfaktor D(ϑ, ϕ) heißt differentieller Wirkungsquerschnitt, das Integral über<br />
den gesamten Raumwinkel ist der totale Wirkungsquerschnitt:<br />
dσ<br />
= D(ϑ, ϕ)<br />
dΩ �<br />
differentieller Wirkungsquerschnitt<br />
σtot = |D(ϑ, ϕ)| dΩ totaler Wirkungsquerschnitt<br />
Streuung an harter Kugel. Das Projektil wird elastisch an einer Kugel mit Radius R getreut.<br />
Dann ist der Zusammenhang zwischen Stoßparameter b und Streuwinkel gegeben durch b =<br />
R cos (ϑ/2). Dann ist der differentielle Wirkungsquerschnitt<br />
dσ<br />
dΩ<br />
= b db<br />
sin ϑ dϑ<br />
R cos (ϑ/2) R<br />
R2<br />
= sin (ϑ/2) =<br />
sin ϑ 2 4<br />
Der differentielle Wirkungsquerschnitt hängt nicht vom Streuwinkel ab (isotrope Streuung).<br />
Nach der Integration über den Azimutwinkel ϕ ergibt sich der differentielle Wirkungsquerschnitt<br />
dσ R2<br />
= π<br />
d cos ϑ 2<br />
Integration über beide Winkel ergibt den totalen Wirkungsquerschnitt<br />
� 2 R<br />
σtot = dΩ = πR2<br />
4<br />
also die Fläche, die die harte Kugel abdeckt.<br />
Rutherford-Streuung. Ein Teilchen der elektrischen Ladung q1 streut an einem stationären<br />
Teilchen der Ladung q2. Die klassische Mechanik ergibt den Zusammenhang zwischen Stoßparameter<br />
b und Streuwinkel ϑ auf Grund der Coulombkraft zwischen den elektrischen Ladungen:<br />
b = q1q2<br />
cot (ϑ/2)<br />
2E<br />
Die Ergebnisse für den differentiellen und den totalen Wirkungsquerschnitt sind<br />
dσ<br />
dΩ =<br />
�<br />
q1q2<br />
4E sin 2 �2 (ϑ/2)<br />
� � �<br />
q1q2<br />
2 π<br />
sin ϑ<br />
σtot = 2π<br />
4E sin 2 dϑ = ∞<br />
(ϑ/2)<br />
0
2.2 Teilchen-Reaktionen und -Zerfälle 27<br />
Der divergierende totale Wirkungsquerschnitt hängt mit der unendlichen Reichweite des Coulomb-<br />
Potentials (1/r-Gesetz) zusammen. Tatsächlich gibt es eine Abschirmung durch andere Atome<br />
und Experimente haben eine endliche Winkelauflösung. Bei Integration über ϑ nicht von 0 bis<br />
π, sondern von einem Wert ϑmin, ist das Integral endlich.<br />
Der Wirkungsquerschnitt einer Reaktion kann in Festtarget- und in Speicherring-Experimenten<br />
experimentell bestimmt werden.<br />
Festtarget-Experiment. Bei einem Festtarget-Experiment wird ein Strahl von N1 Teilchen<br />
pro Zeiteinheit, N1, ˙ auf ein festes Target der Dicke dx gelenkt. Das Target hat eine Teilchendichte<br />
n2, die gegeben ist durch<br />
n2 = NA[Teilchen/mol] · ρ[g/cm 3 �<br />
] Teilchen<br />
A[g/mol]<br />
cm3 �<br />
(A = Atomgewicht, NA = Avogadro-Zahl, ρ = Dichte). Die Zahl der Wechselwirkungen der<br />
Strahlteilchen (Index 1) pro Zeiteinheit, N, ˙ mit den Teilchen des Targets (Index 2) ist proportional<br />
zum Wirkungsquerschnitt σ der Dimension Fläche:<br />
� �<br />
N ˙ = N1<br />
˙ · n2 dx · σ .<br />
Geometrisch kann man sich das (dimensionslose) Produkt n2 · dx·σ als Anteil der Querschnittsfläche<br />
des Target vorstellen, der durch die Targetteilchen abgedeckt wird. Die übliche Einheit<br />
des Wirkungsquerschnitts σ ist 1 barn = 10−28 m2 . Der Faktor L = ˙ N1 ·n2 ·dx wird Luminosität<br />
genannt.<br />
Abbildung 2.9: Zur Definition des Wirkungsquerschnitts<br />
Bei den Wechselwirkungen unterscheidet man zwischen elastischen Wechselwirkungen (zum<br />
Beispiel p p → p p) und inelastischen Wechselwirkungen (zum Beispiel p p → p n π + ):<br />
totaler Wirkungsquerschnitt = σtot = σel + σinel<br />
elastischer Wirkungsquerschnitt = σel<br />
inelastischer Wirkungsquerschnitt = σinel<br />
Die Abschwächung der Intensität eines Teilchenstrahls bei Durchgang durch eine Materieschicht<br />
durch Wechselwirkungen mit den Teilchen des Targets folgt aus der differentiellen Beziehung<br />
dN1(x) = −N1(x) n2 dx σ; die Anzahl der Teilchen 1 in der Eindringtiefe x folgt dem Exponentialgesetz<br />
N1(x) = N 0 1 e−n2·σ·x = N 0 1 e −x/ℓ = N 0 1 e−µ·x
28 Relativistische Kinematik<br />
mit der mittleren freien Weglänge ℓ zwischen Wechselwirkungen bzw. mit dem Absorptionskoeffizienten<br />
µ = 1/ℓ:<br />
mittlere freie Weglänge ℓ = 1<br />
n2 · σ =<br />
A<br />
NA · σ<br />
� �� �<br />
λ [g/cm 2 ]<br />
Die Größe λ ist eine charakteristische Länge mit der Einheit [g/cm 2 ]. Durch Division durch<br />
die Dichte ρ (Einheit [g/cm 3 ]) erhält man die Länge in der gewohnten Einheit [cm]. Man<br />
unterscheidet bei λ nach dem verwendeten Wirkungsquerschnitt;<br />
Stoßlänge (collision length) λT<br />
Wechselwirkungslänge (interaction length) λI<br />
λ −1<br />
T<br />
λ −1<br />
I<br />
· 1<br />
ρ<br />
= NA<br />
A<br />
= NA<br />
A<br />
· σtot<br />
· σinel<br />
Werte der collision length und interaction length sind für viele Materialien im PDG Booklet<br />
angegeben. Bei einer Mischung mehrerer Elemente mit Gewichtsanteilen wj für das Element j<br />
lautet die Formel<br />
λ −1 � wj · σj<br />
= NA<br />
.<br />
Speicherring-Experiment. Die beiden im Gegensinn umlaufenden Strahlen sind in Form von<br />
Paketen gespeichert, in denen N1 und N2 Teilchen gespeichert sind. Wenn f die Frequenz ist,<br />
mit der die Teilchenpakete kollidieren, dann ist die Rate ˙ N der Reaktionen gegeben durch<br />
N ˙ =<br />
� �<br />
N1 · N2<br />
f<br />
Aeff<br />
� �� �<br />
L = Luminosität<br />
·σ = L · σ<br />
bei einer effektiven Überlappungsfläche der Strahlen von Aeff. Bei Teilchenstrahlen homogener<br />
Dichte der Breiten ax und ay wäre Aeff = axay die Querschnittsfläche der Strahlen. Tatsächlich<br />
folgt die Dichteverteilung in Teilchenstrahlen eher einer Gaußverteilung und dann ist die effektive<br />
Fläche gegeben durch Aeff = 4πσxσy, wobei σx und σy die Standardabweichungen der<br />
Teilchendichten senkrecht zur Flugrichtung sind.<br />
Die Anzahl von Ereignissen ist N = σ · � L dt, wobei � L dt die integrierte Luminosität ist. In<br />
Experimenten an Speicherringen wird die integrierte Luminosität im allgemeinen durch Messung<br />
einer Reaktion mit bekanntem Wirkungsquerschnitt σ bestimmt durch � L dt = N/σ.<br />
Typische Werte von Wirkungsquerschnitten. Für Hadron-Hadron-Stöße bei hohen Energien<br />
(starke Wechselwirkung) ist bei hohen Energien die Energieabhängigkeit nur schwach. Für<br />
p p-Streuung ist der totale Wirkungsquerschnitt bei Strahlimpulsen von 10 bis 100 GeV/c etwa<br />
σ = 40 mb. Das Proton erscheint dabei als absorbierende Scheibe mit dem Radius r = 1.2 fm<br />
und der Fläche σ = π(1.2×10 −15 m) 2 ≈ 40mb = 4×10 −30 m 2 . Der Wirkungsquerschnitt für inelastische<br />
Reaktionen von Protonen und Neutronen ist etwa gleich groß und verhält sich für Targets<br />
der Massenzahl A wie σinel ∝ A 0.71 . Für π p-Streuung ist die Abhängigkeit von der Pion Energie<br />
in Abb. 2.10 zu sehen im Vergleich zu Streuung von Photonen (elektromagnetische Wechselwirkung)<br />
und Neutrinos (schwache Wechselwirkung). Bei e + e − -Speicherring-Experimenten bezieht<br />
j<br />
Aj
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 29<br />
Abbildung 2.10: Vergleich der Wirkungsquerschnitte für die Streuung von Pionen (starke Wechselwirkung),<br />
Photonen (elektromagnetische Wechselwirkung) und Neutrinos (schwache Wechselwirkung)<br />
als Funktion des Impulses des einlaufenden Teilchens (Festtarget).<br />
man sich oft auf den Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung von µ-Paaren. Der Wirkungsquerschnitt<br />
dieser Reaktion ist<br />
σ � e + + e − → µ + + µ −� = 4πα2<br />
3s<br />
= 86.8 nb<br />
s [in GeV 2 ] .<br />
Bei einer Gesamtenergie von 10 GeV ist der Wirkungsquerschnitt σ = 0.868 nb = 0.868 × 10 −37<br />
m 2 .<br />
In der schwachen Wechselwirkung ist der Zahlenwert des Wirkungsquerschnitts um viele Größenordnungen<br />
kleiner. Bei 10 GeV/c Strahlimpuls ist der Wirkungsquerschnitt für ν p-Wechselwirkungen<br />
etwa 70 fb = 0.7 ×10 −41 m 2 .<br />
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten<br />
In diesem Kapitel werden einige Ergebnisse aus der Quantenmechanik wiederholt, die aber nur<br />
z.T. in der Vorleung gebracht werden.
30 Relativistische Kinematik<br />
2.3.1 Goldene Regel<br />
Für Teilchenzerfälle muß die Zerfallsrate Γ, und für Teilchenreaktionen der Streuquerschnitt<br />
σ berechnet werden. Für beide Probleme sind (1) die Amplitude für den Prozess und (2) der<br />
verfügbare Phasenraum zu berechnen. Die Amplitude enthält die dynamische Information der<br />
beteiligten Wechselwirkung; der Phasenraumfaktor enthält nur die kinematische Information,<br />
und hängt ab von den Massen, Energien und Impulsen der beteiligten Teilchen.<br />
Diese Rechnungen basieren im einfachsten Fall auf der quantenmechanischen Störungstheorie.<br />
Die Übergangsrate für einen gegebenen Prozess ist nach der ”Goldenen Regel” von Fermi<br />
Übergangsrate = 2π<br />
¯h |M|2 × ρ(E) (2.8)<br />
durch die Amplitude M und den Phasenraum-Faktor ρ(E) bestimmt. Darin ist M die Amplitude<br />
für den Übergang von einem Anfangszustand a in einen Endzustand b. Der Beweis wird<br />
im folgenden skizziert.<br />
Nichtrelativistische Störungsrechnung. Die Herleitung geht aus von der zeitabhängigen<br />
Schrödinger-Gleichung<br />
i¯h ∂ψ<br />
∂t = H0ψ (2.9)<br />
Dabei ist H0 der Hamilton-Operator für stationäre Zustände. Man bestimmt die stationären<br />
Zustände, indem man den Ansatz<br />
ψ = un (�r) e −iEnt/¯h<br />
in die Schrödinger Gleichung (2.9) einsetzt. Man erhält die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung<br />
H0un = Enun , (2.10)<br />
die gelöst werden muß. Die Eigenfunktionen un bilden ein vollständiges Orthonormalsystem mit<br />
der Eigenschaft �<br />
u ∗ m un d�r = δnm . (2.11)<br />
Wenn sich das System in einem Eigenzustand un mit Energieeigenwert En befindet, dann bleibt<br />
es in diesem Zustand; Übergänge zu anderen Zuständen finden nicht statt.<br />
Nun wird ein System betrachtet, in dem Übergänge zwischen Zuständen durch einen Wechselwirkungsterm<br />
Hint nach Abbildung 2.11 bewirkt werden. Der Hamiltonoperator des Systems<br />
ist durch H = H0 + Hint gegeben. In nullter Näherung kann der Zustand dieses Systems noch<br />
durch die Energien En und die Eigenfunktionen un beschrieben werden. Ein bestimmter Anfangszustand<br />
|a〉 kann also durch die Eigenfunktionen un beschrieben werden, ist jedoch nicht<br />
mehr stationär. Der Störoperator Hint bewirkt Übergänge in andere Zustände, zum Beispiel<br />
in den Zustand |b〉. Die Abbildung 2.11 zeigt die Streuung eines im Zustand |a〉 einfallenden<br />
Teilchens in den Zustand |b〉.<br />
Zur Berechnung der Übergangsrate geht man aus von der Schrödinger-Gleichung<br />
i¯h ∂ψ<br />
∂t = (H0 + Hint) ψ . (2.12)
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 31<br />
Hint<br />
|a〉 |b〉<br />
Abbildung 2.11: Der Wechselwirkungsoperator Hint bewirkt den Übergang von dem ungestörten<br />
Eigenzustand |a〉 in einen ungestörten Eigenzustand |b〉.<br />
Die Wellenfunktion ψ wird als Entwicklung nach den ungestörten Eigenfunktionen angesetzt:<br />
ψ = �<br />
cn(t)une −iEnt/¯h . (2.13)<br />
n<br />
Die Koeffizienten cn(t) sind Funktionen der Zeit und |cn(t)| 2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, das<br />
System zur Zeit t im Zustand n mit der Energie En zu finden. Einsetzen in die Schrödinger-<br />
Gleichung (2.12) ergibt:<br />
i¯h �<br />
˙cnune −iEnt/¯h + �<br />
En cnune −iEnt/¯h = �<br />
cn (H0 + Hint) une −iEnt/¯h<br />
n<br />
n<br />
n<br />
(2.14)<br />
Da die Funktionen un Lösungen der Eigenwertgleichung (2.10) sind, heben sich der zweite<br />
Ausdruck auf der linken Seite und der erste Ausdruck der rechten Seite heraus; es verbleibt<br />
i¯h �<br />
˙cnune −iEnt/¯h = �<br />
cnHintune −iEnt/¯h . (2.15)<br />
n<br />
Die Gleichung wird von links mit u ∗ m multipliziert und über den ganzen Raum integriert; unter<br />
Beachtung der Orthonormalität der Funktionen un nach Gleichung (2.11) erhält man<br />
i¯h ˙cm = �<br />
〈m|Hint|n〉 cne i(Em−En)t/¯h<br />
n<br />
n<br />
(2.16)<br />
mit der Abkürzung für das Matrixelement des Wechselwirkungsoperators Hint:<br />
�<br />
〈m|Hint|n〉 = u ∗ m (�r)Hintun(�r) d�r . (2.17)<br />
Die Beziehungen (2.16) für alle m sind äquivalent zur Schrödinger-Gleichung (2.12). Nun wird<br />
eine Näherungslösung dieser Gleichung (2.16) bestimmt. Man nimmt an, daß sich das System<br />
zunächst in einem speziellen Zustand |a〉 des ungestörten Systems befindet (Anfangszustand).<br />
Für die Entwicklungskoeffizienten gilt dann<br />
ca(t) = 1 cn(t) = 0 für n �= a t < t0 (2.18)<br />
Bei einer schwachen Störung treten während der Beobachtungszeit nur wenige Übergänge auf;<br />
der Anfangszustand wird kaum gestört und die anderen Zustände werden nicht wesentlich<br />
bevölkert. Dann kann man die Annahme<br />
ca(t) ≈ 1 cn(t) ≪ 1 für n �= a t > t0 (2.19)
32 Relativistische Kinematik<br />
machen. Mit dieser Annahme wird die Gleichung (2.16) vereinfacht zu<br />
˙cm = 1<br />
i¯h 〈m|Hint|a〉 e i(Em−Ea)t/¯h . (2.20)<br />
Wenn die Störung Hint zur Zeit t0 eingeschaltet wird und danach konstant bleibt, ergibt die<br />
Integration für m �= a bis zur Zeit t = T<br />
cm = 1<br />
i¯h 〈m|Hint|a〉<br />
� T<br />
0<br />
e i(Em−Ea)t/¯h dt = 〈m|Hint|a〉 � i(Em−Ea)T/¯h<br />
1 − e � . (2.21)<br />
Em − Ea<br />
Die Wahrscheinlichkeit, das System nach einer Zeit T in einem bestimmten Zustand m zu<br />
finden, ist durch das Absolutquadrat des Koeffizienten cm(T ) gegeben:<br />
Pma (T ) = c ∗ m (T )cm(T ) = 4 |〈m|Hint|a〉| 2 sin 2 [(Em − Ea) T/ (2¯h)]<br />
(Em − Ea) 2 . (2.22)<br />
Ist die Differenz zwischen den Energien Em und Ea groß, so wird die Übergangswahrscheinlichkeit<br />
wegen des Quadrats der Differenz im Nenner klein sein, und Übergänge in solche Zustände<br />
können für größere Zeiten T vernachlässigt werden. Wenn dagegen für eine Gruppe von Zuständen<br />
m die Energie im Kontinuum nahe bei Ea liegt, kann das Matrixelement 〈m|Hint|a〉 praktisch<br />
unabhängig von m sein und man schreibt 〈b|Hint|a〉. Die Übergangswahrscheinlichkeit wird<br />
dann durch den Faktor<br />
sin 2 [(Em − Ea) T/ (2¯h)]<br />
(Em − Ea) 2<br />
bestimmt, dessen Abhängigkeit von der Energiedifferenz Em − Ea in der Abbildung 2.12 gezeigt<br />
wird. Nur in dem Energiebereich von Ea − ∆E bis Ea + ∆E mit ∆E = 2π¯h/T ist<br />
die Übergangswahrscheinlichkeit wesentlich von Null verschieden, und mit wachsender Zeit T<br />
nimmt die Breite ∆E ab. Die Rechnung ergibt also den aus der Heisenbergschen Unschärferelation<br />
bekannten Zusammenhang.<br />
P<br />
2π¯h/T<br />
−2π¯h/T 0 −2π¯h/T ∆E<br />
Abbildung 2.12: Übergangswahrscheinlichkeit<br />
P als Funktion der Energiedifferenz<br />
∆E = Em − Ea. Es treten<br />
hauptsächlich Übergänge auf zu Energien,<br />
die nahe bei der ursprünglichen Energie<br />
liegen.<br />
Die Gleichung (2.22) ergibt die Übergangswahrscheinlichkeit vom Anfangszustand a in einen<br />
der möglichen Endzustände m. Die totale Übergangswahrscheinlichkeit in alle Zustände des<br />
durch ∆E gegebenen Energieintervall ist die Summe über die individuellen Übergänge:<br />
P (T ) = �<br />
m<br />
�<br />
2<br />
Pma = 4 |〈b|Hint|a〉|<br />
m<br />
sin 2 [(Em − Ea) T/ (2¯h)]<br />
(Em − Ea) 2 . (2.23)
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 33<br />
Dabei wurde das Matrixelement als unabhängig von m angenommen. Dies ist gegeben, wenn<br />
∆E/Ea ≪ 1 gilt. Quantitativ bedeutet diese Bedingung<br />
T ≫ 2π¯h<br />
Ea<br />
≈ 4 × 10−21 sec<br />
Ea [in MeV]<br />
. (2.24)<br />
Schließlich können die diskreten Energiezustände Em durch ein Kontinuum ersetzt werden, man<br />
schreibt für die Energie E(N) und ersetzt die Summe in Gleichung (2.23) gemäß �<br />
� m . . . →<br />
. . . dN durch ein Integral:<br />
P (T ) = 4 |〈b|Hint|a〉| 2<br />
� sin 2 [(E(N) − Ea) T/ (2¯h)]<br />
(E(N) − Ea) 2 dN (2.25)<br />
Zur Berechnung des Integrals kann man die Grenzen nach ±∞ ausdehnen und eine Variablensubstitution<br />
vornehmen:<br />
x = (E(N) − Ea) T<br />
2¯h<br />
Damit wird die Übergangswahrscheinlichkeit<br />
P (T ) = 4 |〈b|Hint|a〉| 2 dN<br />
dE<br />
dN = dN<br />
dE<br />
� +∞<br />
T<br />
2¯h −∞<br />
dE = 2¯h<br />
T<br />
dN<br />
dE<br />
dx .<br />
sin 2 x<br />
dx . (2.26)<br />
x2 Dass Integral hat den Wert π und damit wird die Übergangswahrscheinlichkeit<br />
P (T ) = 2πT<br />
¯h |〈b|Hint|a〉| 2 dN<br />
dE<br />
(2.27)<br />
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist proportional zur Zeit T . Die Übergangsrate wba zwischen<br />
den Zuständen a und b ist P (T )/T und damit erhält man die goldene Regel:<br />
Der letzte Faktor ist der Phasenraumfaktor<br />
wba = 2π<br />
¯h |〈b|Hint|a〉| 2 dN<br />
dE<br />
dN<br />
dE<br />
(2.28)<br />
= ρ (E) (2.29)<br />
und wird auch Zustandsdichte genannt; er gibt die Anzahl der verfügbaren Zustände pro Energieintervall<br />
an.<br />
Phasenraumfaktor. Für ein einzelnes Teilchen ist die Anzahl der Endzustände in einem Volumen<br />
V mit Impulsen im Element d 3 �p gegeben durch V d 3 �p/(2π) 3 . In einem Kasten des Volumens<br />
V = L 3 werden die periodischen Randbedingungen erfüllt, wenn die erlaubten Werte der Komponente<br />
px gegeben sind durch Lpx = 2πn, wobei n eine ganze Zahl ist. Daher ist die Zahl<br />
der erlaubten Zustände im Intervall px bis px + dpx gegeben durch Ldpx/(2π). Relativistische<br />
Wellenfunktionen werden i.a. so normiert, daß die Dichte 2E/V , wobei V ein Normierungsvolumen<br />
ist, das sich bei der Berechnung von physikalischen Größen wie Wirkungsquerschnitten<br />
weghebt. Damit erhält man<br />
Zahl der Endzustände/Teilchen = V d3 �p<br />
(2π) 3 · 2E
34 Relativistische Kinematik<br />
Dieser Ausdruck ist lorentzinvariant.<br />
Bei n-Teilchen-Zuständen ergibt sich die Zahl der verfügbaren Zustände als Produkt der Ein-<br />
Teilchen-Ausdrücke. Durch Multiplizieren mit der Deltafunktion<br />
(2π) 4 δ (4) (P1 + P2 + . . . + Pn − Pa − Pb)<br />
wird die Energie- und Impulserhaltung sichergestellt. Damit erhält man den folgenden Phasenraumfaktor<br />
dΦ (Pa + Pb, P1, P2, . . .) = (2π) 4 δ (4) n� d<br />
(P1 + P2 + . . . + Pn − Pa − Pb)<br />
3 pi<br />
(2π) 3 . (2.30)<br />
· 2Ei<br />
2.3.2 Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt<br />
Die quantenmechanische Rechnung von Wirkungsquerschnitten beruht auf der Anwendung der<br />
Goldenen Regel. Dabei ist noch der Flußfaktor zu berücksichtigen, der die experimentellen<br />
Bedingungen berücksichtigt.<br />
Flußfaktor. Der Flußfaktor ist definiert als Produkt aus dem Fluß der einlaufenden Teilchen<br />
ja und der Dichte der Targetteilchen. Relativistische Wellenfunktionen werden i.a. so normiert,<br />
daß die Dichte 2E/V , wobei V ein Normierungsvolumen ist, das sich bei der Berechnung von<br />
physikalichen Größen wie Wirkungsquerschnitten weghebt. Mit dieser Normierung ist der Fluß<br />
der einlaufenden Teilchen und die Dichte der Targetteilchen ρb gegeben durch (|�v| = relativgeschwindigkeit<br />
der Teilchen a b)<br />
ja =<br />
|�v|<br />
V/(2Ea)<br />
ρb = 2Eb<br />
V<br />
Man kann den Flußfaktor in einem Lorentzinvarianten Ausdruck schreiben:<br />
F = |�v| 4EaEb<br />
V 2<br />
4<br />
=<br />
V 2<br />
�<br />
(Pa · Pb) 2 − m2 am2 b<br />
Da die rechte Seite Lorentzinvariant ist, genügt es, die Gültigkeit in einem Inertialsystem zu<br />
zeigen. Im Laborsystem mit Pa = (Ea, �p a) und Pb = (mb, 0) ist das Produkt der Vierervektoren<br />
Pa · Pb = Eamb. Daher ist<br />
�<br />
(Pa · Pb) 2 − m 2 a m2 b = � E 2 a − m2 a mb = |�v| EaEb<br />
Damit ergibt sich folgender Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:<br />
1<br />
dσ =<br />
4 � (P1P2) − m2 1m2 |M|<br />
2<br />
2 × dΦ (Pa + Pb, P1, P2, . . . ) Fermi’s Goldene Regel<br />
Der Wirkungsquerschnitt ist proportional dem Quadrat des Übergangsmatrixelements M<br />
M = 〈ψf|Hint|ψi〉<br />
das nach den Feynman-Regeln berechnet wird und das die Dynamik (Kräfte, Wechselwirkungen)<br />
der Reaktion beschreibt; dabei sind Ψi und Ψf die Wellenfunktionen des Anfangszustandes (i,<br />
initial state) und des Endzustandes (f, final state) und Hint ist der Wechselwirkungsoperator.<br />
i=1
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 35<br />
2.3.3 Teilchenzerfälle<br />
Lebensdauer und Zerfallsbreite. Der Teilchenzerfall ist ein statistischer Prozess. Für ein<br />
einzelnes Teilchen kann es keine Vorhersage für die tatsächliche Lebensdauer geben, sondern es<br />
kann nur eine mittlere Lebensdauer τ definiert werden, die dem Mittelwert der Lebensdauer für<br />
ein Ensemble von vielen instabilen Teilchen entspricht.<br />
Die Zerfallswahrscheinlichkeit für ein einzelnes Teilchens in der Zeit dt ist Γ · dt, unabhängig<br />
von t, mit einer charakteristischen Konstante Γ mit der Einheit [s −1 ], genannt Zerfallsrate.<br />
Die Zeit des Zerfalls eines einzelnen Teilchens folgt der exponentiellen Dichteverteilung f(t) =<br />
1/Γ exp(−Γt). Für N Teilchen folgt aus der differentiellen Veränderung der Teilchenzahl dN =<br />
−N · Γ · dt das exponentielle Zerfallsgesetz<br />
Für die mittlere Lebensdauer τ ergibt sich<br />
τ =<br />
� ∞<br />
�0 ∞<br />
0<br />
N(t) = N0 · e −Γt<br />
t · N(t) dt<br />
N(t) dt<br />
= −Γ · e−Γt<br />
Γ 2<br />
Wenn es mehrere Zerfallskanäle (Index i) gibt, definiert man einzelne Zerfallsraten Γi mit der<br />
totalen Zerfallsrate<br />
Γtotal = �<br />
Γi und τ = 1<br />
i<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∞<br />
0<br />
Γtotal<br />
Als Verzweigungsverhältnisse Bi definiert man die Verhältnisse Γi/Γtotal (mit �<br />
i Bi = 1.)<br />
Ähnlich wie sich Wirkungsquerschnitte für die verschiedenen Wechselwirkungen unterscheiden,<br />
so hat man auch für die Lebensdauern große Unterschiede je nach Wechselwirkung, die den<br />
Zerfall beherrscht, s. Abb. 2.13.<br />
Resonanzen. Kurzlebige Teilchen werden Resonanzen genannt. Im Experiment lassen sich oft<br />
nur die Zerfallsteilchen messen. Zur Suche nach neuen kurzlebigen Teilchen müssen in möglichst<br />
vielen Zerfällen die Impulse gemessen werden, bei einem Zweiteilchenzerfall also �p 1 und �p 2.<br />
Durch Teilchenidentifierung können den beiden Teilchen Massen m1 und m2 zugeordnet werden;<br />
oft erfolgt die Massenzuordnung auch ohne Teilchenidentifizierung (Massenhypothesen). Damit<br />
sind die Vierervektoren der beiden Zerfallsteilchen bekannt; durch m12 = � (P1 + P2) (P1 + P2)<br />
kann die Zweiteilchenmasse m12 berechnet werden (m12 wird auch effektive oder invariante<br />
Masse des Zweiteilchensystems genannt). In der Häufigkeitsverteilung dN/dm12 der Massen<br />
m12 kann die Resonanz durch ein Maximum identifiziert werden.<br />
Berechnung von Zerfallsraten. Betrachtet wird der Zerfall eines Teilchens der Masse M in<br />
n Teilchen; für die Vierervektoren gilt<br />
P = P1 + P2 + . . . + Pn .<br />
Die Berechnung der Übergangsrate, d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Übergang in den n-<br />
Teilchen-Endzustand mit bestimten Impulsen, ist gegeben durch<br />
= 1<br />
Γ<br />
Übergangsrate = (2π)4<br />
2M |M|2 × dΦ (P, P1, P2, . . . ) Fermi’s Goldene Regel
36 Relativistische Kinematik<br />
Abbildung 2.13: Vergleich von charakteristischen Lebensdauern für Zerfälle über starke, elektromagnetische<br />
und schwache Wechselwirkung.<br />
Abbildung 2.14: Blasenkammeraufnahme mit dem Zerfall eines K + in<br />
drei Pionen: K + → π + π + π − . Die beiden positiven Pionen zerfallen gemäß<br />
π + → µ + νµ. Die Myonen kommen nach einer Reichweite von ca. 1.1 cm<br />
zur Ruhe, und zerfallen dann gemäß µ + → e + ¯νµνe; das Positron ist jeweils<br />
durch eine Spirale sichtbar. Das negative Pion zerfällt gemäß π − → µ − ¯νµ;<br />
das negative Myon wird am Ende seiner Reichweite eingefangen.
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 37<br />
Die Herleitung dieser Formel ist analog zur Diskussion beim Wirkungsquerschnitt. Die Zerfallsrate<br />
Γ für den Zerfall in diesen Endzustand erhält man durch Integration über alle Impulse.<br />
Anwendung: Zerfall π 0 → γγ<br />
Im Schwerpunktsystem kann der Vierervektor des π 0 als P = (M, 0) geschrieben werden. Die<br />
Delta-Funktion δ 4 (P − p1 − p2) kann man daher als Produkt δ(M − E1 − E2) δ 3 (−�p 1 − �p 2)<br />
schreiben. Da die Massen der Zerfallsteilchen in diesem Fall verschwinden (m1 = m2 = 0), ist<br />
E1 = |�p 1| und E2 = |�p 2|. Die Zerfallsrate Γ erhält man durch Integration der Übergangsrate<br />
alle Impulse:<br />
Γ = 1 (2π)<br />
2M<br />
4<br />
(2π) 6<br />
1<br />
4<br />
=<br />
�<br />
|M| 2<br />
|�p 1| |�p 2| δ (M − |�p 1| − |�p 2|) δ (−�p 1 − �p 2) d 3 p1 d 3 p2<br />
1<br />
2M (2π) 2<br />
� 2<br />
|M|<br />
|�p 1| 2 δ (M − 2 |�p 1|) d 3 p1<br />
Das zerfallende π0 hat Spin 0, daher kann das Matrixelement M nur von |�p 1| abhängen:<br />
1<br />
Γ =<br />
2M (4π) 2<br />
� 2<br />
|M|<br />
|�p 1| 2 δ (M − 2 |�p 1|) · 4π |�p 1| 2 dp1<br />
= 1<br />
�<br />
|M|<br />
8πM<br />
2 δ (M − 2 |�p 1|) dp1 mit δ (M − 2 |�p|) = 1<br />
2 δ<br />
�<br />
M<br />
2 − |�p �<br />
1|<br />
ergibt die Zerfallsrate<br />
Γ = 1<br />
16πM |M|2<br />
Bei der Berechnung von |M| 2 muß berücksichtigt werden, daß der Endzustand durch zwei<br />
identische Teilchen gebildet wird (Bose-Statistik). Bei einem Zerfall in zwei Teilchen mit gleichen<br />
Massen m1 = m2 �= 0 wäre die Zerfallsrate<br />
Γ = |�p 1|<br />
|M|2<br />
8πM 2<br />
Breit-Wigner-Resonanzkurve. Betrachtet wird ein instabiles Teilchen a der Masse Ma (Resonanz),<br />
das durch Zerfall in einen Zustand b übergeht: a → b. Entsprechend der exponentiellen<br />
Zerfallswahrscheinlichkeit (∝ e−Γ·t ) muß der Absolutbetrag der Amplitude für den Zustand a<br />
einen exponentiellen Faktor e−Γ/2·t enthalten. Dieser Faktor kommt in der Wellenfunktion zu<br />
dem energieabhängigen Faktor e−ı·E·t hinzu. Die zeitliche Änderung des Zustandes b wird beschrieben<br />
durch<br />
i · ˙cb(t) = ca(t)<br />
����<br />
→ e −Γ/2·t<br />
· 〈b|Hint|a〉 + cb(t) · 〈b|Hint|b〉<br />
� �� �<br />
vernachlässigen<br />
Durch Einsetzen der zeitabhängigen Faktoren und mit Ea = M erhält man<br />
i · ˙cb(t) ∼ = 〈b(�x)|Hint|a(�x)〉 e +i(Eb−Ea)t · e −Γ/2·t
38 Relativistische Kinematik<br />
Abbildung 2.15: Breit-Wigner Resonanzkurve (nicht-relativistisch)<br />
Der Exponentialfaktor enthält im Exponenten einen Imaginärteil sowie einen Realteil (Γ) entsprechend<br />
der zeitlichen Annahme des Betrags der Amplitude. Durch Integration über die Zeit<br />
erhält man die Amplitude des Zustands b<br />
cb = 〈b(�x)|Hint|a(�x)〉<br />
i<br />
= 〈b(�x)|Hint|a(�x)〉<br />
� T<br />
0<br />
Γ<br />
e<br />
−[ 2 −i(Eb−Ea)]t<br />
dt<br />
1<br />
Γ/2 − i (Ea − Eb)<br />
für T → ∞<br />
Das Betragsquadrat ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Zerfall a → b einen Zustand |b〉 mit<br />
der Energie Eb zu finden, wenn die Masse der Resonanz M = Ea ist und beschreibt damit die<br />
Massenunschärfe einer kurzlebigen Resonanz.<br />
c ∗ b cb = |cb (T → ∞)| 2 = 2π<br />
Γ<br />
〈b(�x)|Hint|a(�x)〉 2<br />
Γ/2π<br />
(Eb − M) 2 + Γ 2 /4<br />
� �� �<br />
nichtrelat. Breit-Wigner Kurve<br />
Der Verlauf der Breit-Wigner Kurve ist analog zu Resonanzkurven aus der Mechanik und<br />
dem Elektromagnetismus. In dieser für kurzlebige Resonanzen charakteristischen Breit-Wigner<br />
Kurve ist die Breite bei halber maximaler Höhe (FWHM = full width at half maximum) gleich<br />
dem Parameter Γ, Skizze in Abb. 2.15. Der Parameter wurde vorher in der Einheit [s −1 ] benutzt,<br />
bei einem Bezugssystem, in dem ¯h = 1 ist. Zur Umrechnung der Energieunschärfe in die übliche<br />
Energieeinheit muß Γ mit ¯h multipliziert werden: ∆E = ¯hΓ mit ¯h = 6.582 × 10 −22 MeV s. Die<br />
Beziehung Γ · τ = 1 ist dann die Heisenbergsche Unschärferelation ∆E · ∆t = ¯hΓ · τ = ¯h.<br />
Ein Beispiel ist in Abb. 2.16 zu sehen.
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 39<br />
Abbildung 2.16: Illustration der Begriffe “Resonanz”, Breit-Wigner Verteilung und Phasenraum.
40 Relativistische Kinematik<br />
Breit-Wigner-Kurve<br />
Delta-Funktion<br />
Energie<br />
Glossar<br />
Exklusive Reaktionen Eine Reaktion, bei der sämtliche Teilchen des Endzustandes betrachtet<br />
werden, wird als exklusive Reaktion bezeichnet.<br />
Exponentielle Zeitverteilung Die Zerfallszeit t eines einzelnen instabilen Teilchen folgt einer<br />
exponentiellen Verteilung. Im Ruhsystem des Teilchens ist der Parameter die Zerfallskonstante<br />
Γ mit der Dimension [s −1 ]. Der Erwartungswert der Zerfallszeit ist 〈t〉 = τ = 1/Γ,<br />
die mittlere Lebensdauer. Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist<br />
f(t) dt = 1/τ exp(−t/τ) dt<br />
Die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall bis zur Zeit t0 ergibt sich durch Integration:<br />
� t0<br />
0<br />
f(t) dt = 1/τ<br />
� t0<br />
0<br />
e −t/τ dt = − e −t/τ � � t0<br />
0<br />
= 1 − e−t0/τ<br />
sodaß die Überlebenswahrscheinlichkeit für eine Zeit t0 oder grøßer gegeben ist durch<br />
e −t0/τ .<br />
Bei Bewegung mit Energie E bzw. Impuls �p ist die Überlebenswahrscheinlichkeit eines<br />
Teilchens der Masse M für eine Zeit t0 oder größer, und die Wahrscheinlichkeit für das<br />
Zurücklegen einer Flugstrecke x0 oder größer gegeben durch gegeben durch<br />
P (t0) = e −(M/E)Γt0 P (x0) = e −(M/|�p|)Γx0<br />
Festtarget-Experiment In einem Festtarget-Experiment treffen die Strahlteilchen der Masse<br />
ma auf die Teilchen des Targets mit Masse mb, die sich in Ruhe befinden. Die Gesamtenergie<br />
im Schwerpunktsystem ist W = √ s = � m 2 a + m2 b + 2Eamb, für große Energien<br />
bei Vernachlässigung der Massen also proportional zu √ 2Eamb. Die Gesamtenergie im<br />
Schwerpunktsystem nimmt also nur mit der Wurzel der Strahlenergie Ea zu.<br />
Fermi’s Goldene Regel<br />
Freie Weglänge<br />
Impuls<br />
Inertialsystem Systeme, in denen das 1. Newtonsche Gesetz gilt, heißen Inertialsysteme. Aus<br />
�F = 0 folgt �v = konstant. Inertialsysteme haben eine konstante Relativgeschwindigkeit<br />
gegeneinander. In Inertialsystemen sind die physikalischen Gesetze gleich, zum Beispiel<br />
gelten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise in allen Inertialsystemen. Daraus<br />
folgt, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen, die →<br />
Lichtgeschwindigkeit c, im Vakuum in allen Inertialsystemen gleich c ist. Dies wurde experimentell<br />
durch das Michelson-Experiment gezeigt.
2.3 ∗ Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten 41<br />
Inklusive Reaktionen Eine Reaktion, bei der nicht sämtliche Teilchen der Reaktion betrachtet<br />
werden, wird als inklusive Reaktion bezeichnet. Beispiel für inklusive Reaktionen sind<br />
solche Reaktionen, bei denen nur eines der Teilchen im Endzustand, zum Beispiel π + ,<br />
betrachtet werden, oder die zum totalen Wirkungsquerschnitt beitragenden Reaktionen.<br />
Längenkontraktion<br />
Lebensdauer Die Lebensdauer eines instabilen Teilchens wird i.a. im Ruhesystem des Teilchens<br />
gegeben. Jedes instabile Teilchen hat eine wohldefinierte mittlere Lebensdauer τ.<br />
Lichtgeschwindigkeit Die Vakuuumlichtgeschwindigkeit c ist in allen → Inertialgeschwindigkeiten<br />
gleich. Der Zahlenwert ist festgesetzt als c = 299792458 m s −1 . Daraus abgeleitet<br />
ist das Meter als Lichtweg im Vakuum in 1/299 792 458 einer Sekunde.<br />
Lorentz-Transformation<br />
Luminosität Die Luminosität L ist in einem Streuexperiment der Proportionalitätsfaktor zwischen<br />
dem → Wirkungsquerschnitt σ und der Reaktionsrate ˙ N entsprechend ˙ N = L · σ.<br />
Die Einheit der Luminosiät ist [[m] 2 s−1 ]. Die integrierte Luminosität � L dt multipliziert<br />
mit dem Wirkungsquerschnitt σ ergibt die Anzahl der Reaktionen.<br />
Masse Masse m ist stets die Masse im Ruhesystem des Teilchens, die Ruhemasse. Der Begriff<br />
der relativistischen Masse mrel (oder bewegten Masse) ist überflüssig und wird nicht<br />
benutzt; die Definition mrel = γm unterscheidet sich von der Energie lediglich um den<br />
konstanten Faktor c 2 .<br />
Matrixelement<br />
Poisson-Verteilung Bei einer erwarteten Anzahl N von Teilchenreaktionen folgt die tatsächlich<br />
stattfindende Anzahl n einer Poisson-Verteilung, die durch<br />
n<br />
−N N<br />
PN(n) = e<br />
n!<br />
gegeben ist. Erwartungswert und Varianz σ 2 (Quadrat der Standardabweichung) sind bei<br />
der Poisson-Verteilung gegeben durch N. Die beobachtete Anzahl n von Reaktionen hat<br />
daher bei einem Erwartungswert von N die Standardabweichung σ = √ N.<br />
Rapidität Die Rapidität wird bei<br />
y = 1<br />
2 ln<br />
� � � �<br />
E + pz E + pz<br />
= ln = tanh<br />
E − pz mT<br />
−1<br />
� �<br />
pz<br />
E<br />
Die Rapidität hat ein einfaches Verhalten bei Lorentz-Transformationen in z-Richtung:<br />
bei einer Geschwindigkeit β verändert sich die Rapidität gemäß y → y − tanh −1 β. Damit<br />
bleibt die Form der Rapiditätsverteilung dN/dy unverändert.<br />
Für p ≫ m kann die Rapidiät mit cos θ = pz/p entwickelt werden in<br />
y = 1<br />
2 ln cos2 (ϑ/2) + m 2 /(4p 2 ) + . . .<br />
sin 2 (ϑ/2) + m 2 /(4p 2 ) + . . .
42 Relativistische Kinematik<br />
Als Näherung der Rapidität wird die Pseudorapidität η benutzt, wenn Masse und Impuls<br />
des Teilchens nicht gemessen sind; die Pseudorapidität η ist definiert durch<br />
Resonanz<br />
η = − ln (ϑ/2)<br />
und entspricht näherungsweise der Rapidität für p ≫ m und ϑ ≫ 1/γ.<br />
Speicherring-Experiment<br />
Teilchenstreuung, -reaktion<br />
Teilchenzerfall<br />
Vierervektor<br />
Wirkungsquerschnitt<br />
Zeitdilatation<br />
Zerfallsrate<br />
Zerfallskanal<br />
Übergangsmatrixelement<br />
Verzweigungsverhältnis<br />
Wechselwirkung
Kapitel 3<br />
Teilchenbeschleuniger<br />
Dieses Kapitel stammt von R. Heuer und P. Schmüser. Es ist leicht geändert gegenüber der<br />
jetzigen Version in Bergmann-Schäfer, Band IV. Dort wird es demnächst in einer Neuauflage<br />
erscheinen.<br />
3.1 Einleitung<br />
Die wichtigsten Instrumente der experimentellen <strong>Elementarteilchenphysik</strong> sind Hochenergiebeschleuniger<br />
und Speicherringe, mit denen Elektronen oder Protonen, aber auch Positronen<br />
oder Antiprotonen auf Energien von vielen GeV beschleunigt werden, sowie komplexe Nachweisapparaturen<br />
zur Registrierung und Identifikation der bei einer Reaktion erzeugten Teilchen. In<br />
diesem Abschnitt soll auf die physikalischen Grundprinzipien dieser Instrumente und die technische<br />
Verwirklichung eingegangen werden.<br />
Teilchenbeschleuniger enthalten in der Regel drei verschiedene Elemente:<br />
1. Eine Teilchenquelle, meist in Verbindung mit einem Vorbeschleuniger,<br />
2. Beschleunigungsstrecken zur schrittweisen Erhöhung der Energie und<br />
3. magnetische Felder zur Führung und Fokussierung des Teilchenstrahls.<br />
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen<br />
Die Beschleunigung und Ablenkung geladener Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern<br />
wird durch die Lorentz-Kraft bewirkt<br />
�F = d�p<br />
dt = e ( � E + �v × � B)<br />
Dieser Ausdruck gilt auch für Geschwindigkeiten nahe c, wobei �p = m0�v/ � (1 − v 2 /c 2 ) der relativistische<br />
Impuls ist. Abgesehen vom Betatron werden bei allen Hochenergie-Beschleunigern<br />
elektrische Wechselfelder zur Energieerhöhung der Teilchen eingesetzt. Für die Ablenkung und<br />
Fokussierung relativistischer Teilchen sind jedoch Magnetfelder wesentlich effektiver: bei v � c<br />
entspricht die Ablenkwirkung eines mit Elektromagneten leicht erreichbaren Feldes von 2 Tesla<br />
der eines elektrischen Feldes von 600 MV/ m, welches weit jenseits der technischen Möglichkeiten<br />
liegt.<br />
Die meisten Hochenergie-Beschleuniger sind kreisförmig; die Beschleunigungs- und Ablenkstrecken<br />
werden immer wieder durchlaufen. Dies gilt insbesondere für Speicherringe, in denen
44 Teilchenbeschleuniger<br />
Abbildung 3.1: Prinzip eines der ersten Linearbeschleuniger mit Driftröhren (Wideroe)<br />
Abbildung 3.2: Prinzip eines Zyklotrons. Links der Magnet mit der spiralförmigen Teilchenbahn<br />
und austretendem Strahl. Rechts eine Vergrößerung der Teilchenbahn in den beiden Vakuumgefäßen<br />
(‘D-Dosen=DEEs’). Im Zwischenraum ist das hochfrequente Beschleunigungsfeld<br />
angeordnet.
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen 45<br />
Abbildung 3.3: Prinzipbild eines Synchrotrons (rechts); links ist eine Beschleunigungseinheit<br />
(cavity) skizziert.<br />
der Teilchenstrahl nach dem Ende des Beschleunigungsvorgangs für viele Stunden umläuft. Wir<br />
beschränken uns im Folgenden auf Synchrotrons (Abb. 3.3), die durch eine energieunabhängige<br />
Sollbahn charakterisiert sind; die magnetischen Führungs- und Fokussierungsfelder werden synchron<br />
mit dem Teilchenimpuls erhöht. In Abb. 3.1 und 3.2 sind andere Beschleunigertypen<br />
skizziert: ein Linearbeschleuniger und ein Zyklotron.<br />
Wir betrachten jetzt die Bewegung von Teilchen mit konstantem Impuls p0 in einem Kreisbeschleuniger,<br />
der in der horizontalen Ebene liegt. Ein homogenes Magnetfeld B0 wird in vertikaler<br />
Richtung angelegt, um die Teilchen mit Ladung e auf eine Kreisbahn mit dem<br />
Krümmungsradius ρ zu bringen:<br />
B0 = p0<br />
eρ<br />
Das homogene Führungsfeld allein reicht nicht aus, einen Strahl ohne Intensitätsverlust zu beschleunigen<br />
und zu speichern. Die Teilchen legen in einem Speicherring enorme Entfernungen<br />
zurück (10 6 − 10 10 km) und würden sich infolge der unvermeidlichen Strahldivergenz rasch<br />
von der Sollbahn entfernen und die Wand des Vakuumrohres treffen, wenn magnetische Linsen<br />
sie nicht immer wieder zur Sollbahn zurücklenken würden. Für diese Linsen kommen die in<br />
Elektronenmikroskopen verwendeten Solenoidspulen nicht in Frage, da sie nur im Streufeldbereich<br />
fokussieren und für relativistische Teilchen viel zu schwach sind. Die Alternative sind<br />
Quadrupolmagnete (Abb. 3.4), deren Feldkomponenten sich in der Form<br />
Bx = g · y By = g · x (3.1)<br />
schreiben lassen. Dabei wird mit x (y) die horizontale (vertikale) Abweichung der Teilchen von<br />
der Achse des Magnets bezeichnet und g ist der Gradient; typische Werte sind 20 T/m für<br />
Quadrupole mit Eisenpolschuhen und 100 - 200 T/m für supraleitende Quadrupole. Die auf
46 Teilchenbeschleuniger<br />
Teilchenimpuls und -ladung normierte Fokussierungsstärke ist K = e g/p. Ein Quadrupol der<br />
Länge l hat die Brennweite f = 1/(K l) (Näherung der dünnen Linse).<br />
Ein Nachteil im Vergleich zu optischen Sammellinsen ist, dass ein Quadrupol immer nur in<br />
einer Ebene fokussiert, in der dazu senkrechten Ebene dagegen defokussiert. Eine Fokussierung<br />
in beiden Richtungen wird erreicht, indem man Quadrupole mit alternierenden Gradienten<br />
periodisch aneinanderreiht. Das Alternating-Gradient-Synchrotron (AGS) in Brookhaven, USA,<br />
und das Protonensynchrotron (PS) beim CERN in Genf waren die ersten Protonenbeschleuniger<br />
mit AG-Fokussierung.<br />
Abbildung 3.4: Feldverlauf und Kräfte in einem Quadrupol auf ein positiv geladenes Teilchen,<br />
welches aus der Zeichenebene herausfliegt. Links ist ein horizontal fokussierender und rechts ein<br />
horizontal defokussierende Quadrupol dargestellt.<br />
Die Teilchen entfernen sich in dieser periodischen Magnetanordnung nur wenig von der Sollbahn,<br />
da sie durch die stark fokussierenden Quadrupollinsen immer wieder zurückgelenkt werden.<br />
Daher kann die Apertur der Magnete klein sein. Im HERA-Protonen-Speicherring ist der<br />
Strahlrohrdurchmesser nur 55 mm, obwohl die Protonen den 6.3 km langen Ring innerhalb der<br />
Speicherzeit von typisch 10 Stunden mehr als 10 9 -mal durchlaufen.<br />
Die Teilchen führen um die Sollbahn Schwingungen aus, die man Betatronschwingungen nennt,<br />
sie sind prinzipiell in Abb. 3.6 skizziert.<br />
Abbildung 3.5: Koordinatensystem zur Beschreibung der Teilchenbewegung im Beschleuniger.<br />
Bezeichnet man die Bahnkoordinate mit s und die Abweichungen von der Sollbahn mit x bzw.<br />
y (in Abb. 3.5 ist das übliche Koordinatensystem skizziert), so gelten folgende Differentialgleichungen:
3.2 Strahloptik und Betatronschwingungen 47<br />
x ′′ (s) + K(s)x(s) = 0, y ′′ (s) − K(s)y(s) = 0 (3.2)<br />
In einem horizontal fokussierenden Quadrupol (der vertikal defokussiert) gilt K(s) = K0 > 0,<br />
in einem horizontal defokussierenden Quadrupol entsprechend K(s) = −K0 < 0. Die Lösungen<br />
von (3.2) sind quasiharmonische, amplituden- und frequenzmodulierte Schwingungen<br />
x(s) = A(s) cos(Φ(s) − Φ0),<br />
wobei für die Amplituden- und Phasenfunktion gilt<br />
A(s) = a � β(s),<br />
dΦ<br />
ds<br />
= 1<br />
β(s)<br />
und a eine Konstante der Dimension (Länge) 1/2 ist. Die Lösung y(s) hat die gleiche Form.<br />
Es tritt hier eine sehr wichtige Funktion auf, die Betafunktion, die die Ortsabhängigkeit der<br />
Amplitude und der Wellenlänge der Betatronschwingungen angibt:<br />
A(s) ∼ � β(s), λ(s) = 2π β(s)<br />
Bei vorgegebener Magnetstruktur ist die Betafunktion eindeutig bestimmt. An jeder Stelle im<br />
Ring kann man ein Phasenraumdiagramm mit den Achsen x(s) und x ′ (s) = dx/ds auftragen.<br />
Teilchentrajektorien mit gleichem Amplitudenfaktor a aber verschiedenen Phasen Φ0 liegen auf<br />
einer Ellipse. Die Fläche der Ellipse, die einen bestimmten Prozentsatz des Strahls einschliesst<br />
(z.B. 90%), schreibt man in der Form F = π ɛ und definert damit einen weiteren wichtigen<br />
Strahlparameter, die Emittanz ɛ. Wenn man die Teilchen durch den Ring verfolgt, ändert die<br />
Ellipse ihre Form und Orientierung, aber die Fläche bleibt invariant. Dies ist eine Konsequenz<br />
des Liouville-Theorems über die Invarianz der Phasenraumdichte. Während der Beschleunigung<br />
schrumpft die Emittanz umgekehrt proportional zum Impuls p. Die normierte Emittanz<br />
ɛn = ɛ/(m0c) sollte im Prinzip invariant bleiben von der Teilchenquelle bis hin zur maximalen<br />
Energie, sofern nichtlineare oder stochastische Effekte wie Synchrotronstrahlung, Streuung am<br />
Restgas im Vakuumrohr oder Störsignale in den Stromversorgungsgeräten vernachlässigt werden<br />
können. Im allgemeinen beobachtet man eine gewisse Emittanzaufweitung, die natürlich<br />
unerwünscht ist, weil sie den Strahlquerschnitt vergrößert und die Luminosität der Maschine<br />
herabsetzt.<br />
Der Beschleunigerring (Prinzipbild in Abb. 3.3) besteht im allgemeinen aus einer großen Zahl<br />
identischer “FODO”-Zellen, die jeweils einen fokussierenden Quadrupol F, einen defokussierenden<br />
Quadrupol D und zwei nichtfokussierende Element O enthalten, meist Dipolmagnete oder<br />
auch Driftstrecken. Die Periodizität der Magnetanordnung führt zu einer entsprechenden Periodizität<br />
der Betafunktion. Die Teilchentrajektorien dürfen jedoch keinesfalls periodisch sein,<br />
dies muss sogar strikt vermieden werden, denn sonst würden die unvermeidlichen Feldstörungen<br />
der Magnete bei jedem Umlauf mit der gleichen Phase durchlaufen werden (s. Abb. 3.6). Das<br />
Resultat wäre ein resonanzartiges Anwachsen der Schwingungsamplitude und letztendlich der<br />
Verlust des gesamten Strahls. Die Zahl der Betatronschwingungen pro Umlauf, auch Q-Wert genannt,<br />
darf also nicht ganzzahlig sein, weil sonst Dipol-Störfelder zum Strahlverlust führen. Aber<br />
auch halbzahlige Q-Werte sind verboten, um Resonanzen aufgrund von Quadrupolstörfeldern<br />
zu vermeiden.<br />
Ein Teilchenstrahl überdeckt immer ein gewisses Impulsband von ∆p/p0 � 10 −3 . Die Brennweite<br />
der Quadrupole ist impulsabhängig. Die resultierenden “chromatischen” Fehler in der
48 Teilchenbeschleuniger<br />
Abbildung 3.6: Links: Prinzipskizze Betatronschwingung. Rechts: Horizontale gegen vertikale<br />
Q-Werte, die Linien deuten Resonanzen an, die beim Betrieb vermieden werden müssen.<br />
Strahloptik werden durch Sextupollinsen korrigiert. Aus diesem Grund sind auch drittelzahlige<br />
Q-Werte gefährlich. In supraleitenden Magneten gibt es darüberhinaus Multipolfehler, die<br />
durch permanente bipolare Ströme im supraleitenden Kabel erzeugt werden und Resonanzen<br />
noch höherer Ordnung zur Folge haben. Ein Diagramm der horizontalen und vertikalen Q Werte<br />
kann man in Abb. 3.6 sehen.<br />
3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen<br />
Die Energieerhöhung der Teilchen wird traditionell Beschleunigung genannt, obwohl sich die<br />
Geschwindigkeit im relativistischen Bereich nur noch unwesentlich ändert. Was wirklich vergrößert<br />
wird, ist die bewegte Masse der Teilchen. Hochfrequente elektrische Felder werden<br />
dafür eingesetzt. Die Beschleunigungseinheiten sind Hohlraumresonatoren (Abb. 3.6), die im<br />
Stehwellen- oder Wanderwellenbetrieb arbeiten und zu TM-Schwingungen mit transversalem<br />
magnetischem und longitudinalem elektrischem Feld angeregt werden. Die Hochfrequenzleistung<br />
wird über Hohlleiter eingekoppelt. Die Wände des Hohlraumresonators müssen eine möglichst<br />
gute Leitfähigkeit haben, um Ohmsche Verluste gering zu halten. Normalerweise verwendet man<br />
Kupfer, aber in den letzten Jahren sind auch supraleitende Resonatoren aus Niob mit großem<br />
Erfolg gebaut und betrieben worden. Am TESLA-Testbeschleuniger werden Feldstärken bis 25<br />
MV/m erreicht.<br />
In einem Kreisbeschleuniger muss die Frequenz des Hochfrequenz-(HF)-Systems an die Umlauf-
3.3 Beschleunigung und Synchrotronschwingungen 49<br />
Abbildung 3.7: Prinzip der Energie- und Phasenfokussierung, oben für nicht-relativistische Teilchen<br />
(v ≪ c) und unten für relativistische Teilchen (v � c). Im relaticvistischen Fall wird das<br />
Referenzteilchenmit Impuls p0 mit zwei Teilchen verglichen, die eine Impulsabweichung haben.<br />
Beim Umlauf n sollen alle drei Teilchen den Resonator mit der Sollphase ψ0 der HF durchlaufen.<br />
Beim Umlauf (n+1) passiert nur das Referenzteilchen den Resonator mit der Sollphase<br />
ψ0 und erhält den nominellen Energiezuwachs E0. Das Teilchen mit p > p0 kommt später an<br />
und erhält einen kleineren Energiezuwachs, das Teilchen mit p < p0 kommt früher und erhält<br />
einen größeren Energiezuwachs. Die Folge sind annähernd harmonische Schwingungen um die<br />
Energie und Phase des Referenzteilchens.<br />
frequenz der Teilchen angepasst werden. Als Referenz wählen wir ein Teilchen mit Sollimpuls p0<br />
und stellen die Bedingung auf, dass bei jedem seiner Durchgänge durch den HF-Resonator die<br />
HF-Phase denselben Wert Φ0 hat, so dass dieses “Referenzteilchen” immer den gleichen Energiezuwachs<br />
erhält. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Hochfrequenz fHF ein ganzzahliges<br />
Vielfaches der Umlauffrequenz f0 des Referenzteilchens ist: fHF = h · f0. Der Impuls p0 wächst<br />
natürlich infolge der Energieerhöhung an, aber dies ist ein langsamer “adiabatischer” Prozess.<br />
In Protonenbeschleunigern muss die Frequenz fHF proportional zur Teilchengeschwindigkeit<br />
erhöht werden. In einem der Vorbeschleuniger für HERA ändert sich fHF um einen Faktor 3<br />
zwischen der Anfangsenergie von 50 MeV und der Endenergie von 7 GeV. Elektronen sind meist<br />
so nahe an der Lichtgeschwindigkeit, dass die Frequenz konstant gehalten werden kann.<br />
Die Synchronisation von Hochfrequenzphase und Teilchendurchgang wird dadurch erschwert,<br />
dass im Strahl nicht nur Teilchen mit Sollimpuls p0 vorhanden sind. Teilchen mit p = p0 +<br />
∆p haben im allgemeinen eine andere Umlaufzeit als das Referenzteilchen mit p = p0. In
50 Teilchenbeschleuniger<br />
Elektronenbeschleunigern ist in sehr guter Näherung v = c. Elektronen mit p > p0 haben eine<br />
größere Umlaufzeit als das Referenzteilchen, weil ihr Bahnradius in den Dipolmagneten größer<br />
ist. In Protonenbeschleunigern ist häufig beim Beginn der Beschleunigung v deutlich kleiner<br />
als c, dann haben Protonen mit p > p0 eine kürzere Umlaufzeit als das Referenzteilchen. Mit<br />
wachsender Energie geht v → c, so dass bei hohen Protonenenergien die Situation wie bei<br />
Elektronen wird.<br />
Wir betrachten einen Elektronenkreisbeschleuniger mit einer einzelnen Beschleunigungsstrecke.<br />
Abb. 3.7 zeigt, dass die Phase der Hochfrequenzspannung während des Teilchendurchgangs<br />
zwischen 90 ◦ und 180 ◦ gewählt werden muß, damit ein Strahl mit einem endlichen Impulsband<br />
±∆p nicht auseinanderläuft. Wenn T0 die Umlaufzeit für das Referenzteilchen mit p = p0 ist,<br />
so braucht ein Elektron mit ∆p > 0 eine Zeit T > T0 , es kommt somit bei einer kleineren HF-<br />
Amplitude an der Beschleunigungsstrecke an und erhält einen geringeren Energiezuwachs als<br />
das Referenzteilchen. Umgekehrt ist es für ein Elektron mit ∆p < 0. Die Konsequenz ist, dass die<br />
Teilchen annähernd harmonische Schwingungen um die Energie und Phase des Referenzteilchens<br />
durchführen. Die Frequenz dieser Synchrotronschwingungen ist wesentlich geringer als die der<br />
Betatronschwingungen. Im HERA-Protonenspeicherring gibt es 31.15 Betatronschwingungen<br />
pro Umlauf, aber nur 0.002 Synchrotronschwingungen.<br />
Aus Abb. 3.7 ist ersichtlich, dass nur die Teilchen in einem begrenzten Phasenintervall um die<br />
Sollphase Φ0 beschleunigt werden. Teilchen, die stark davon abweichen, werden abgebremst.<br />
Daher besteht der Strahl aus kurzen Paketen (”bunches”) von Teilchen. Elektronen müssen<br />
zur Kompensation des Energieverlustes durch Synchrotronstrahlung auch nach Erreichen der<br />
Endenergie ständig nachbeschleunigt werden. Sie sind daher stets aus Strahlpaketen aufgebaut.<br />
Bei einem Protonenspeicherring könnte man nach Erreichen der Endenergie die Beschleunigungsspannung<br />
abschalten und eine gleichförmig über den Umfang verteilte Strahlintensität<br />
erreichen, aber das ist für Collider-Experimente unerwünscht. Im Speicherbetrieb wählt man<br />
daher Φ0 = 180 ◦ und bewahrt damit die Paketierung des Protonenstrahls, ohne den Teilchen<br />
im Mittel Energie zuzuführen.<br />
3.4 Synchrotronstrahlung<br />
In den Dipolmagneten eines Kreisbeschleunigers erfahren die geladenen Teilchen eine Zentripetalbeschleunigung,<br />
die nach den Gesetzen der Elektrodynamik zur Abstrahlung von Energie<br />
führt. Die abgestrahlte Leistung P wächst quadratisch mit der Energie E0 der Teilchen und der<br />
Größe des Magnetfeldes B an; sie ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Ruhemasse<br />
m0.<br />
P = 2 e<br />
3<br />
2 e<br />
4πɛ0<br />
2c3 (m0 c2 ) 4 · E2 0 · B 2<br />
Für vorgegebenen Krümmungsradius ρ ist B = p0/(eρ) ≈ E0/(eρc), und der Energieverlust pro<br />
Umlauf wird<br />
Numerisch ergibt sich:<br />
·<br />
eɛ0<br />
U0 = e2<br />
�<br />
E0<br />
m0c2 �4 1<br />
ρ<br />
U0[keV ] = 8.85 · 10 −5 E4 0<br />
ρ
3.4 Synchrotronstrahlung 51<br />
wobei E0 in GeV und ρ in m einzusetzen ist.<br />
Abbildung 3.8: a) Axialsymmetrische Strahlungsverteilung eines bewegten Elektrons im Schwerpunktsystem;<br />
b) Scharf nach vorne gebündelte Verteilung im Laborsystem.<br />
Beim Elektron–Positron–Speicherring PETRA mit ρ = 192 m beträgt der Energieverlust pro<br />
Umlauf U0 = 60 MeV für E0 = 19 GeV. Im Large Electron Positron Ring LEP am CERN<br />
wächst diese Zahl auf 2.8 GeV bei einer Strahlenergie von 100 GeV an. Diese enormen Verluste<br />
müssen ständig durch ein äußerst leistungsfähiges Hochfrequenzbeschleunigungssystem ausgeglichen<br />
werden. LEP wird der größte Kreisbeschleuniger für Elektronen bleiben, Energien von<br />
vielen 100 GeV bis TeV lassen sich nur noch mit Linearbeschleunigern realisieren. Für Elektronen<br />
im GeV–Bereich ist die Synchrotronstrahlung scharf nach vorn gebündelt (s. Abb. 3.8)<br />
und erstreckt sich vom sichtbaren Licht bis in den Röntgenbereich.<br />
Die Abstrahlung ist umgekehrt proportional zur vierten Potenz der Masse des Strahlteilchens<br />
und ist bei den heutigen Protonenbeschleunigern vernachlässigbar. Im Large Hadron Collider<br />
LHC wird ein Proton von 7 TeV etwa 10 keV pro Umlauf verlieren. Das ist für das HF–<br />
System und die Strahldynamik unerheblich, bedeutet aber eine starke Wärmebelastung für das<br />
Kryogeniksystem der supraleitenden Magnete.<br />
3.4.1 Strahlungsdämpfung und Quantenanregung.<br />
Die Synchrotronstrahlung in Elektronenkreisbeschleunigern hat neben ihren negativen Auswirkungen<br />
auch einige positive Einflüsse: sie wirkt sich günstig auf die Strahlstabilität aus. Die zur<br />
Kompensation der Strahlungsverluste ständig erforderliche Nachbeschleunigung der Elektronen<br />
führt dazu, daß Betatron– und Synchrotronschwingungen gedämpft werden. Die Abstrahlung<br />
der Photonen erfolgt nahezu parallel zur Flugrichtung des Elektrons, so daß die Longitudinal–<br />
und Transversal–Komponenten des Impulses gleichermaßen vermindert werden, während die<br />
Beschleunigungsstrecke nur die Longitudinalkomponente erhöht. Dadurch verringert sich kontinuierlich<br />
der Winkel zwischen Teilchenimpuls und Sollbahn. Die transversale Ausdehnung eines<br />
Strahlpakets wird kleiner, schrumpft allerdings nicht auf null, sondern auf Minimalwerte, die<br />
durch die Quantennatur der Strahlung und die daraus resultierenden statistischen Schwankungen<br />
bestimmt sind. Zudem hat ein Elektron mit ∆p > 0(∆p < 0) eine höhere (geringere)<br />
Abstrahlung als das Referenzteilchen. Die Differentialgleichung für Synchrotronschwingungen<br />
erhält infolgedessen einen Dämpfungsterm, aber auch hier treten die Quantenfluktuationen auf,<br />
die ein Schrumpfen auf null verhindern. Die Energieverteilung in einem Elektron–Positron–
52 Teilchenbeschleuniger<br />
Speicherring wird durch eine Gaussfunktion beschrieben, deren Varianz quadratisch mit der<br />
Energie anwächst<br />
mit<br />
w(E) =<br />
1<br />
√ 2π · σ exp � −(E − E0) 2 / 2σ 2�<br />
(3.3)<br />
σ = 55¯hc<br />
64 √ 3 · E4 0<br />
(m0c2 1<br />
3 · . (3.4)<br />
) ρ<br />
Im ADONE–Speicherring in Frascati (Italien) mit E0 = 1.5 GeV betrug die Energieunschärfe<br />
σ = 0.9 MeV, im PETRA–Ring mit E0 = 19 GeV bereits 22 MeV. Diese beträchtliche, durch<br />
die Quantennatur der Synchrotronstrahlung verursachte Energiebreite der Elektronen– und<br />
Positronenstrahlen ist sehr nachteilig bei der Untersuchung schmaler Resonanzen wie der ψ–<br />
oder Upsilon-Teilchen.<br />
Die Dämpfung der Betatron– und Synchrotronschwingungen bewirkt, daß Elektronen den Einfluß<br />
von Störungen rasch “vergessen”. Bei Protonen oder Ionen ist dies nicht der Fall. Jede von<br />
außen angeregte Schwingung, sei es durch Rippel im Magnetfeld oder Rauschen der Hochfrequenz,<br />
bleibt erhalten und vergrößert die Emittanz. Aktive Maßnahmen wie stochastische oder<br />
Elektronen–Kühlung sind nötig, um die Oszillationen der individuellen Protonen oder Antiprotonen<br />
zu reduzieren. Kollektive Schwingungen lassen sich durch Oktupolmagnete dämpfen, da<br />
in höheren Multipolfeldern die Betatronfrequenz amplitudenabhängig wird, so daß die Phasenkohärenz<br />
der Teilchen allmählich verloren geht. Dieser Effekt wird Landau–Dämpfung genannt,<br />
aber die Oszillation der einzelnen Protonen wird dabei nicht gedämpft.<br />
3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger<br />
Eine ganze Kette von Beschleunigern ist nötig, um Teilchen auf Energien von vielen GeV oder<br />
sogar TeV zu bringen. Dafür gibt es physikalische, technische und finanzielle Gründe, von denen<br />
wir einige aufführen.<br />
1. Normal- oder supraleitende Magnete haben nur einen begrenzten Bereich von etwa 1:20<br />
zwischen dem niedrigsten nutzbaren Feld (Feldverzerrungen durch Remanenz im Eisen<br />
oder permanente Ströme im Supraleiter) und dem Maximalfeld (Sättigung im Eisenjoch<br />
oder kritischer Strom des Supraleiters).<br />
2. Der Querschnitt eines Protonenstrahls sinkt umgekehrt proportional zur Energie, daher<br />
kann man bei hohen Energien die Apertur der Magnete reduzieren.<br />
3. Auf niederenergetische Protonenpakete wirken stark defokussierende Kräfte aufgrund der<br />
elektrostatischen Abstoßung. Um eine Strahlaufweitung zu verhindern, benötigt man viele<br />
Quadrupole mit kurzer Brennweite. Bei relativistischen Teilchen heben sich abstossenden<br />
elektrischen und die anziehenden magnetischen Kräfte nahezu auf.<br />
Abb. 3.9 zeigt als Beispiel die Vorbeschleuniger für die Elektron-Proton-Speicherringanlage<br />
HERA. Die Elektronen aus einer Glühkathode werden auf 50 keV beschleunigt und in einen<br />
Wanderwellen-Linearbeschleuniger (LINAC I) eingeschossen, der sie auf eine Energie von 220<br />
MeV bringt. In einem Synchrotron von 100 m Durchmesser (DESY II) wird die Energie auf<br />
7.5 GeV erhöht. Ein zweites Synchrotron, der umgebaute Speicherring PETRA, beschleunigt
3.5 Teilchenquellen und Vorbeschleuniger 53<br />
Abbildung 3.9: HERA und seine Vorbeschleuniger.<br />
die Elektronen auf 12 GeV, und von dort werden sie endlich in den HERA-Elektronenring<br />
eingeschossen.<br />
Auf der Protonenseite beginnt man zunächst mit einer lonenquelle, die negativ geladene Wasserstoffionen<br />
von 18 keV liefert. Die nächste Beschleunigerstufe ist ein elektrischer Hochfrequenz-<br />
Quadrupol. Dieser relativ neue Vorbeschleunigertyp hat bemerkenswerte Eigenschaften: er beschleunigt<br />
die Ionen auf 750 keV, fokussiert sie und macht aus dem gleichförmigen Strahl der<br />
lonenquelle einen paketierten Strahl. Dieser wird für den nachfolgenden Linearbeschleuniger<br />
(LINAC III) gebraucht, der die Ionenenergie auf 50 MeV erhöht. Die H–Ionen werden danach<br />
in das Synchrotron DESY III eingeschossen. Sie durchlaufen eine dünne Kunststoff-Folie, in<br />
der beide Elektronen abgestreift und aus den negativ geladenen Ionen positiv geladene Protonen<br />
werden. Das Abstreifen der Elektronen ist ein stochastischer Effekt. Man kann damit<br />
das Liouville-Theorem umgehen und im Synchrotron eine höhere Phasenraumdichte als in den<br />
Vorbeschleunigern erzielen. Bei einer Energie von 7.5 GeV werden die Protonen in den PETRA-<br />
Ring geschossen, dort auf 40 GeV gebracht und danach in den HERA-Protonenring injiziert.<br />
3.5.1 Kreisförmige und lineare Collider<br />
Die Experimente an Hochenergiebeschleunigern lassen sich in zwei Klassen unterteilen: Festtargetexperimente,<br />
bei denen ein hochenergetischer Teilchenstrahl auf stationäre Protonen oder<br />
Kerne trifft, sowie Experimente mit kollidierenden Strahlen. Messungen mit Myon-, Pion, Kaonoder<br />
Neutrinostrahlen sind notwendigerweise vom Festtargettyp. Sie haben den gravierenden<br />
Nachteil, dass ein Großteil der Strahlenergie in nutzlose Bewegungsenergie der Sekundärteilchen<br />
übergeht. Die für die Erzeugung neuer Teilchen relevante Energie W im Schwerpunktsystem ist<br />
(Gleichung 2.4)<br />
W = √ s =<br />
�<br />
m 2 1 + m 2 2 + 2E1m2<br />
wobei m1 die Masse des Strahlteilchens und m2 die Masse des Targetteilchens ist. Trifft ein<br />
100 GeV-Pion auf ein ruhendes Proton, so verbleibt eine Schwerpunktsenergie von nur 14 GeV.<br />
Noch dramatischer wird dieser Verlust für Elektron-Positron-Wechselwirkungen: wollte man<br />
(3.5)
54 Teilchenbeschleuniger<br />
ein Υ-Teilchen erzeugen, indem man einen Positronenstrahl auf ruhende Elektronen schießt, so<br />
müssten die Positronen die utopische Energie von 90000 GeV haben. In einem Speicherring mit<br />
gegenläufigen Elektronen- und Positronenstrahlen braucht man nur 4.73 GeV pro Strahl.<br />
Die Ereignisrate R = ˙ N an einem Collider ist<br />
R = L σ (3.6)<br />
Dabei ist σ der Wirkungsquerschnitt der betrachteten Reaktion und L die Luminosität des<br />
Speicherrings. Für einen Elektron-Positron-Speicherring mit Nb Elektronen- und Positronenpaketen<br />
pro Strahl, die jeweils N− bzw. N+ Teilchen enthalten, wird die Luminosität<br />
L = N− · N+ · Nb · f0<br />
4πσxσy<br />
Hierin bedeuten f0 die Umlauffrequenz und σx, σy die Varianzen der Ladungsverteilung der<br />
Strahlpakete am Wechselwirkungspunkt. Typische Werte sind 1 mm horizontal und < 0.1 mm<br />
vertikal. Heutige Collider erreichen L = 10 31 bis 10 33 cm −2 s −1 .<br />
Die Luminosität ist umgekehrt proportional zum Strahlquerschnitt. Durch Minimalisierung<br />
der Betafunktion am Wechselwirkungspunkt (man spricht von Mini-Beta- oder sogar Mikro-<br />
Beta-Anordnungen) kann man L deutlich vergrößern. Dazu ist es erforderlich, Quadrupole sehr<br />
nah an den Wechselwirkungspunkt zu bringen und teilweise mit in den experimentellen Aufbau<br />
einzubeziehen. Eine Erhöhung der Teilchenzahlen N+ und N− steigert ebenfalls die Luminosität.<br />
Hierbei ist jedoch eine interessante Grenzbedingung gegeben: bei der Strahlkreuzung wirkt das<br />
Positronenpaket wie eine fokussierende Linse auf das Elektronenpaket und umgekehrt. Dadurch<br />
verändert sich der Q-Wert, d. h. die Zahl der Betatronschwingungen pro Umlauf. Die Q-Wert-<br />
Variation muß hinreichend klein sein (bei Elektron-Positron-Speicherringen erfahrungsgemäß<br />
< 0.025, bei Proton-Proton- oder Antiproton-Proton-Ringen eine Größenordnung weniger),<br />
damit Resonanzen vermieden werden, die die Strahlen instabil machen.<br />
In einer Tabelle sind einige der heute betriebenen oder im Bau oder der Planung befindlichen<br />
Großbeschleuniger und Collider aufgeführt. Der LEP-Speicherring wird der größte e + e − –<br />
Speicherring bleiben, da wegen der E 4 -Abhängigkeit der Synchrotronstrahlung eine signifikante<br />
Energieerhöhung nicht mehr durch Vergrößerung des Radius erreicht werden kann. Um<br />
Elektron-Positron-Wechselwirkungen im Bereich von 500 GeV und darüber studieren zu können,<br />
bleibt nur der Weg, Strahlen aus Linearbeschleunigern frontal aufeinander zu schießen. Ein erster<br />
Schritt ist mit dem SLC (Stanford Linear Collider) in Stanford gemacht worden. Dort werden<br />
Elektronen und Positronen im Linearbeschleuniger auf Energien zwischen 40 und 50 GeV gebracht.<br />
Die Pakete laufen hintereinander auf verschiedenen Flanken einer elektro-magnetischen<br />
Wanderwelle. Am Ende der Beschleunigung durchlaufen sie zwei entgegengesetzte 180 ◦ -Bögen<br />
und kommen in der Experimentierzone zur Kollision. Durch extrem feine Fokussierung sind<br />
Strahldimensionen unter 2 µm am Wechselwirkungspunkt erreicht worden. Für die geplanten<br />
Collider im 500 bis 1000 GeV-Bereich muss die Fokussierung noch wesentlich feiner werden,<br />
damit trotz der einmaligen Strahlkreuzung Luminositäten von 10 34 cm −2 s −1 oder mehr erzielt<br />
werden können. Die Untersuchungen an der Final Focus Test Beam Facility in Stanford<br />
beweisen, dass dies möglich sein sollte.<br />
3.6 Kosmische Beschleuniger<br />
Kosmische Strahlung wurde 1912 von Viktor Hess in Ballonflügen entdeckt. Man muß unterscheiden<br />
zwischen der Strahlung, die auf die Erdatmosphäre trifft: primäre kosmische Strahlung
3.6 Kosmische Beschleuniger 55<br />
und der sekundären, die wir auf der Erdoberfläche messen. Weit unterhalb der Erdoberfläche<br />
ändert sich die Zusammensetzung wiederum, was durch die unterirdischen Neutrinoexperimente<br />
ausgenutzt wird.<br />
Abbildung 3.10: Das Spektrum der kosmischen Strahlung.<br />
Die primäre Komponente der kosmischen Strahlung besteht vorwiegend aus Protonen und zu<br />
einem winzigen Bruchteil aus Elektronen und schweren Kernen. Die Energiespektren sind zudem<br />
sehr verschieden. Die hadronische Komponente entspricht etwa 98%, davon sind wiederum 87%<br />
Protonen, 12% α Teilchen und 1% schwere Kerne (bis Fe, Co, Ni). Das Energiespektrum wird<br />
meist logarithmisch dargestellt (Abb. 3.10). Weiterhin ist ein starker Neutrinofluß vorhanden,<br />
der aber nur schwer nachzuweisen ist.<br />
Die Teilchen mit den höchsten Energien überhaupt sind in der kosmischen Strahlung registriert<br />
worden: Energie/Nukleon� 10 20 eV.<br />
Es ist Gegenstand heutiger Forschung, die Mechanismen und Orte der Beschleunigung aufzufinden.<br />
Unsere Galaxis ist zweifellos eine Quelle kosmischer Strahlung. Die höchsten Energien<br />
kommen aber von außerhalb der Galaxis, z.B. von Supernovae und AGNs. AGNs (Active Galactic<br />
Nuclei) sind ein Oberbegriff für viele sehr verschiedenartige Objekte, die beobachtet werden.<br />
In denen spielen sich wilde Prozesse ab, so daß es auch zur Beschleunigung und Emission von<br />
hochenergetischen Teilchen kommt.
56 Teilchenbeschleuniger<br />
3.7 Einige Beschleunigeranlagen<br />
Lab Acc. Year Beams Energy (GeV) Experiments<br />
CERN LEP 89-00 e + e − 90-210 Aleph, Opal, L3, Delphi<br />
LHC 07- pp 14000 Atlas, CMS, LHC-B, Alice<br />
DESY HERA 92- ep 320 ZEUS, H1, Hermes<br />
FNAL Tevatron 88- p¯p 1960 D0, CDF<br />
SLAC PEP-II 99- e + e − 3+9 Υ(4S) BaBar<br />
KEK KEK-B 99- e + e − 3+9 Υ(4S) Belle<br />
Cornell CESR 99- e + e − 5.5+5.5 Υ(4S) CLEO<br />
BNL RHIC 00- IonIon 50-500 Star,Phenix,Brahms,Phobos
3.7 Einige Beschleunigeranlagen 57<br />
SLAC 2 MILE ACCELERATOR
58 Teilchenbeschleuniger
Kapitel 4<br />
Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
4.1 Symmetrieeigenschaften<br />
In der Physik spricht man von Symmetrieeigenschaften, wenn ein physikalisches System aus<br />
einem bestimmten Zustand durch eine Transformation in einen anderen möglichen Zustand<br />
übergeht, der sich vom ersten Zustand in gewissen Eingenschaften nicht unterscheidet: das<br />
System verhält sich invariant gegenüber einer Symmetrietransformation in bezug auf bestimmte<br />
Eigenschaften. Symmetrieeigenschaften hängen eng zusammen mit Invarianzeigenschaften und<br />
Erhaltungssätzen.<br />
Symmetrieeigenschaften werden mathematisch durch die Gruppentheorie behandelt. Eine Symmetriegruppe<br />
ist durch eine Transformationsvorschrift definiert; Beispiel ist die Gruppe der<br />
Rotationen im Raum. Invarianz gegenüber einer kontinuierlichen Symmetrietransformation bedingt<br />
die Existenz einer Erhaltungsgröße (Noethers Theorem, Emmy Noether 1918). Die Erhaltungsgröße<br />
ist dabei die Erzeugende der Gruppe.<br />
In der Teilchenphysik spielen drei Arten von Symmetrien eine besondere Rolle:<br />
• Kontinuierliche Raum-Zeit-Symmetrien,<br />
• Diskrete Symmetrien, und<br />
• Kontinuierliche dynamische Symmetrien.<br />
Zu den kontinuierlichen Raum-Zeit-Symmetrien gehören die Zeitverschiebung, die räumliche<br />
Translation und die Rotation um eine beliebige Achse im Raum. Offenbar sind Naturgesetze<br />
invariant unter diesen Transformationen. Die aus der Invarianz folgenden Erhaltungssätze<br />
sind in der Tabelle 4.1 angegeben. Die Invarianzen bedeuten, daß die Bewegungsgleichungen<br />
bzw. die ein System beschreibende Lagrangefunktion eines Systems forminvariant gegenüber<br />
Lorentztransformationen sind.<br />
Symmetrie Erhaltungssatz<br />
Zeitverschiebung ↔ Energie<br />
Räumliche Translation ↔ Impuls<br />
Rotation ↔ Drehimpuls<br />
Eichtransformation ↔ Ladung<br />
Tabelle 4.1: Symmetrien und Erhaltungssätze<br />
Zu den kontinuierlichen dynamischen Symmetrien gehören Eichsymmetrien. Aus der Invarianz<br />
der Lagrange-Funktion elektrisch geladener Teilchen gegenüber globalen Phasentransformatio-
60 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
nen folgt die Erhaltung der elektrischen Ladung (Tabelle).<br />
Quantenmechanik-Wiederholung. Ein Zustand |a〉 wird durch eine Wellenfunktion ψa(�r, t) beschrieben, die<br />
Lösung der Schrödinger-Gleichung<br />
i ∂<br />
∂t ψ = � Hψ<br />
ist (NB. ¯h = 1, c = 1). Der Hamilton-Operator � H ist der Operator der totalen Energie. In Operatoren der<br />
Quantenmechanik gibt es die Ersetzungen<br />
E → i∂/∂t �p → 1/i � ∇<br />
Physikalischen Meßgrößen ist ein Operator � F zugeordnet. Der Erwartungswert der physikalischen Meßgröße ist<br />
für den Zustand |a〉 gegeben durch den quantenmechanischen Erwartungswert<br />
〈F 〉 = 〈a| � �<br />
F |a〉 ≡ ψ ∗ a � F ψa d 3 �r<br />
Die Varianz (Unschärfe) der physikalischen Meßgröße ist gegeben durch den Erwartungswert<br />
(∆F ) 2 � � �<br />
2<br />
� �2 = 〈a| �F − 〈F 〉 |a〉 ≡ �F − 〈F 〉 ψa d 3 �r<br />
Wenn die Wellenfunktion ψa Eigenfunktion zu dem Operator � F ist, gilt die Eigenwertgleichung<br />
�F ψa = faψa<br />
mit dem Eigenwert fa. Der Eigenwert fa ist gleich dem Erwartungswert 〈F 〉, die Varianz (Unschärfe) ist dann<br />
Null, d.h. der Eigenwert ist eine Konstante der Bewegung.<br />
Eigenfunktionen zum Hamilton-Operator � H können gleichzeitig Eigenfunktionen zu einem anderen Operator<br />
sein. Für einen Operator � F gelte gleichzeitig mit � Hψa = Eaψa auch die Eigenwertgleichung<br />
Dann gilt auch<br />
�H � F ψa = � Hfaψa = fa � Hψa = � F � Hψa<br />
�F ψa = faψa .<br />
oder<br />
ψ ∗ a<br />
� � � �<br />
�H F� − F� H�<br />
ψa ≡ �H, F�<br />
= 0<br />
Das Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Operatoren � H und � F ; man sagt, die Operatoren kommutieren.<br />
Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz gemeinsamer<br />
Eigenfunktionen zu zwei Operatoren ist das Kommutieren der beiden Operatoren.<br />
Der Kommutator wird allgemein zu zwei Operatoren � F und � G durch<br />
� �<br />
�F , G�<br />
≡ � F � G − � G � F<br />
als neuer Operator definiert. Wenn der Kommutator verschwindet (d.h. wenn die beiden Operatoren � F und � G<br />
vertauschbar sind), gibt es Lösungen, die gleichzeitig Eigenfunktionen zu den beiden Operatoren � F und � G sind.<br />
Weiterhin gilt für einen Operator � F , der nicht explizit zeitabhängig ist:<br />
Kommutiert ein Operator mit dem Hamiltonoperator, so verschwindet<br />
die zeitliche Ableitung. Es handelt sich um eine Erhaltungsgröße.
4.1 Symmetrieeigenschaften 61<br />
4.1.1 Räumliche Translation und Impulserhaltung<br />
Wir wollen als einfachen Fall ein System von Teilchen betrachten, das im Raum um einen<br />
konstanten Vektor �a verschoben werden soll. Falls es als ganzes verschoben wird und keine<br />
äußeren Kräfte wirken, so werden die physikalischen Eigenschaften ungeändert bleiben. In der<br />
QM drückt sich das als Invarianz des Hamiltonoperators aus. Der Ortsvektor der Teilchen des<br />
Systems �xi wird transformiert nach:<br />
�xi → �x ′ i = �xi + �a (4.1)<br />
Wir betrachten nur eine infinitesimale Translation: δ�x = �a. Invarianz des Hamiltonoperators<br />
heißt dann:<br />
�H(�x ′ 1 , �x′ 2 , . . . ) = � H(�x1 + δ�x, �x2 + δ�x, . . . )<br />
Für ein einzelnes freies Teilchen ist diese Eigenschaft unmittelbar erfüllt, wie man an seinem<br />
Hamiltonoperator sieht:<br />
�H = − 1<br />
2m ▽2 = − 1<br />
� 2 ∂ ∂2 ∂2<br />
+ +<br />
2m ∂x2 ∂y2 ∂z2 �<br />
�H(�x ′ ) = � H(�x + δ�x) = � H(�x) (4.2)<br />
Allgemein gilt: der Hamiltonoperator ist invariant unter Translation<br />
die durch folgenden Operator ausgedrückt werden kann:<br />
�H(�x ′ 1, �x ′ 2 . . . ) = � H(�x1, �x2 . . . ), (4.3)<br />
�Dψ(�x) ≡ ψ(�x + δ�x) (4.4)<br />
wo ψ(�x) eine Wellenfunktion des Systems ist. Entwicklen wir rechts nach δ�x, so erhalten wir:<br />
ψ(�x + δ�x) = ψ(�x) + δ�x · � ▽ψ(�x)<br />
Erinnern wir uns an die Definition des Impulsoperators: � �p = −i � ∇, so gilt:<br />
Wir wenden � D auf die Wellenfunktion:<br />
an. Dann<br />
Vergleich mit 4.4 gibt:<br />
�D = 1 + iδ�x · � �p (4.5)<br />
ψ ′ (�x) = � H(�x)ψ(�x)<br />
�Dψ ′ (�x) = � D � H(�x)ψ(�x) (4.6)<br />
�D ψ ′ (�x) = ψ ′ (�x + δ�x) = � H(�x + δ�x) ψ(�x + δ�x)<br />
= � H(�x) ψ(�x + δ�x) = � H(�x) � D ψ(�x) (4.7)
62 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Hier haben wir jetzt die Invarianz des Hamiltonoperators 4.3 ausgenutzt. Vergleich mit 4.6 und<br />
4.7 ergibt:<br />
[ � D � H(�x) − � H(�x) � D]ψ(�x) = 0<br />
Da das für eine beliebige Wellenfunktion gilt, so folgt, daß der Kommutator von � D und � H<br />
verschwindet, das heißt � D und auch ��p ist eine Erhaltungsgröße.<br />
[ � D, � H] = 0<br />
� �<br />
��p, H�<br />
= 0 (4.8)<br />
Das kann man leicht auf ein System von N Teilchen verallgemeinern. Dann gilt, daß der totale<br />
Impuls<br />
�p =<br />
N�<br />
�pi<br />
i=1<br />
erhalten ist.<br />
In analoger Weise kann bewiesen werden, daß die Energieerhaltung in einem abgeschlossenen<br />
System gleichbedeutend ist mit der Invarianz gegenüber der Verschiebung der Zeitkoordinate.<br />
Drehimpulserhaltung ist gleichbedeutend mit der Invarianz gegenüber Rotationen.<br />
4.2 Drehimpuls<br />
Dieses Kapitel bringt vor allem anfangs viel Wiederholung aus der Quanenmechanik, die nicht<br />
detailliert in der Vorleung gebracht wird. Insbesondere werden auch Auf– und Absteigeoperatoren<br />
in der Teilchenphysik nicht nochmal besprochen.<br />
Drehimpulse in der Quantenmechanik (Wiederholung). Klassisch ist der Bahndrehimpuls definiert durch<br />
das Vektorprodukt von Orts- und Impulsvektor:<br />
Vektor � L = �r × �p mit Komponenten<br />
Lx = ypz − zpy<br />
Ly = zpx − xpz<br />
Lz = xpy − ypx<br />
(bei den Komponenten von � L gilt für die Indizes die zyklische Vertauschung). Der Drehimpuls ist bei Bewegungen<br />
von Teilchen in einem Zentralfeld eine erhaltene Größe (z.B. Planetenbewegung). Der quantenmechanische<br />
Operator<br />
��L = ��r × ��p wird in üblicher Weise gebildet, indem für die Impulskomponenten der entsprechende Operator eingesetzt wird;<br />
er hat eine wichtige Bedeutung bei dreidimensionalen Problemen im Zentralpotential. Die Komponenten Lx, Ly<br />
und Lz des Drehimpulsvektors � L lassen sich als Operatoren in kartesischen und in Polarkoordinaten schreiben:<br />
�Lx = ¯h<br />
�<br />
y<br />
i<br />
∂<br />
�<br />
∂<br />
− z =<br />
∂z ∂y<br />
−¯h<br />
�<br />
sin ϕ<br />
i<br />
∂<br />
�<br />
∂<br />
+ cot ϑ cos ϕ (4.9)<br />
∂ϑ ∂ϕ<br />
�Ly = ¯h<br />
�<br />
z<br />
i<br />
∂<br />
�<br />
∂<br />
− x =<br />
∂x ∂z<br />
¯h<br />
�<br />
cos ϕ<br />
i<br />
∂<br />
�<br />
∂<br />
− cot ϑ sin ϕ (4.10)<br />
∂ϑ ∂ϕ<br />
�Lz = ¯h<br />
�<br />
x<br />
i<br />
∂<br />
�<br />
∂<br />
− y =<br />
∂y ∂x<br />
¯h ∂<br />
. (4.11)<br />
i ∂ϕ<br />
Der Operator für das Quadrat des gesamten Bahndrehimpulses ergibt sich durch Summation der Quadrate der<br />
Komponenten:<br />
�L 2 = � L 2 x + � L 2 y + � L 2 z = −¯h 2<br />
� �<br />
1 ∂<br />
sin ϑ<br />
sin ϑ ∂ϑ<br />
∂<br />
�<br />
+<br />
∂ϑ<br />
1<br />
sin 2 ∂<br />
ϑ<br />
2<br />
∂ϕ2 �
4.2 Drehimpuls 63<br />
Der Operator enthält nur die Winkelkoordinaten ϑ und ϕ (und nicht die Koordinate r). Die eckige Klammer entspricht<br />
gerade dem Operatorteil der winkelabhängigen Wellengleichung (siehe unten, Gleichung (4.12)). Daraus<br />
ergibt sich direkt, daß die Wellenfunktion ψ auch Eigenfunktion zum Operator � L 2 ist:<br />
�L 2 ψ = ℓ (ℓ + 1) ¯h 2 ψ .<br />
Kugelfunktionen (Wiederholung). Die Lösung ψ(r, ϑ, ϕ) der Schrödinger-Gleichung für ein Zentralpotential<br />
V (r) kann in Produktform ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r) Y (ϑ, ϕ) geschrieben werden. Die winkelabhängige Wellenfunktion<br />
Y (ϑ, ϕ) ist die Lösung der winkelabhängigen Wellengleichung<br />
1 ∂<br />
sin ϑ ∂ϑ<br />
�<br />
sin ϑ ∂Y<br />
∂ϑ<br />
�<br />
+ 1<br />
sin 2 ϑ<br />
∂2Y = −ℓ (ℓ + 1) Y , (4.12)<br />
∂ϕ2 die das Potential V (r) nicht enthält. Die Lösungen sind die Kugelfunktionen Yℓm(ϑ, ϕ), die von den Quantenzahlen<br />
ℓ und m abhängen. Die Kugelfunktionen für ℓ = 0, 1 und 2 sind:<br />
Y0,0 = � 1/4π<br />
Y1,0 = � 3/4π cos ϑ<br />
Y1,±1 = ∓ � 3/8π sin ϑ e ±iϕ<br />
Die Kugelfunktionen sind gleichzeitig Eigenfunktionen zu � L 2 und zu � Lz:<br />
�L 2 Yℓm(ϑ, ϕ) = ℓ (ℓ + 1) Yℓm(ϑ, ϕ)<br />
�Lz Yℓm(ϑ, ϕ) = mℓ Yℓm(ϑ, ϕ)<br />
Y2,0 = � 5/16π � 3 cos 2 ϑ − 1 �<br />
Y2,±1 = ∓ � 15/8π cos ϑ sin ϑ e ±iϕ<br />
Y2,±2 = � 15/32π sin 2 ϑ e ±2iϕ<br />
(4.13)<br />
Kommutatoren. Für weitere Betrachtungen zum Drehimpuls ist die Benutzung von Kommutatoren<br />
vorteilhaft. Für die beiden Operatoren � Lx und � Ly ist der Kommutator<br />
�<br />
�Lx, � � �<br />
Ly ≡ �Lx � Ly − � Ly � �<br />
Lx = ¯h 2<br />
�<br />
x ∂<br />
�<br />
∂<br />
− y = i¯h<br />
∂y ∂x<br />
� Lz<br />
(4.14)<br />
und in entsprechender Weise gilt auch (zyklische Vertauschung der Indizes)<br />
�<br />
�Ly, � �<br />
Lz = i¯h � Lx (4.15)<br />
�<br />
�Lz, � �<br />
Lx = i¯h � Ly . (4.16)<br />
Diese Beziehungen zeigen, daß je zwei Komponenten des Drehimpulses nicht kommutieren. Es<br />
gilt jedoch: � � � � � �<br />
�L 2 , Lx<br />
� = �L 2 , Ly<br />
� = �L 2 , Lz<br />
� = 0 .<br />
Es ist also möglich, eine Eigenfunktion zum Operator � L 2 und zum Operator einer Komponente<br />
von � L zu bestimmen. üblicherweise werden Eigenfunktionen zu den Operatoren � L 2 und � Lz<br />
betrachtet.<br />
Die Kommutatorregeln (4.14), (4.15) und (4.16) für die Drehimpulskomponenten sind tatsächlich<br />
allgemeiner als die ursprünglichen Gleichungen (4.9) bis (4.11). Sie bilden die Basis für die Algebra<br />
des Drehimpulses.<br />
Räumliche Rotationsinvarianz und Drehimpuls. Wir betrachten infinitesimale Rotationen.<br />
Bei der Rotation bleiben die Achsen fest, und das System wird gedreht, z.B. für eine<br />
Drehung um den Winkel δφ um die z Achse:<br />
xi → x ′ i = xi cos δφ + yi sin δφ (4.17)<br />
yi → y ′ i = −xi sin δφ + yi cos δφ (4.18)<br />
zi → z ′ i = zi (4.19)
64 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Falls Invarianz gegen Rotation vorliegt, so ist die den gedrehten Zustand beschreibende Funktion<br />
Ψ ′ gleich der ursprünglichen Funktion am Punkt R −1 �r, der durch die Drehung R nach �r gedreht<br />
wird: Ψ ′ (�r) = Ψ(R −1 �r). Dies legt die Transformation Ψ ′ = � UΨ fest. Für eine infinitesimale<br />
Rotation ε = δφ um die z-Achse erhält man damit<br />
(Für kleine Winkel benutzt man die Näherung: sin ε � ε und cos ε � 1.)<br />
Die infinitesimale Rotation kann in der Form<br />
�UΨ(x, y, z) = Ψ(R −1 �r) � Ψ(x + εy, y − εx, z) (4.20)<br />
�<br />
= Ψ(x, y, z) + ε y ∂Ψ<br />
�<br />
− x∂Ψ<br />
(4.21)<br />
∂x ∂y<br />
= (1 − iε(xpy − ypx)) Ψ (4.22)<br />
�U = 1 − iε � J z<br />
(4.23)<br />
geschrieben werden. Der Operator � J z wird der Generator der Rotationen um die z-Achse genannt.<br />
Wegen<br />
1 = � U † �<br />
U � = 1 + iε � J †<br />
� �<br />
z 1 − iε � � �<br />
†<br />
J z = 1 + iε �J<br />
z − � �<br />
J z + O(ε 2 )<br />
folgt, daß der Generator � J z hermitesch (J † = J) ist und daher eine quantenmechanische Observable<br />
ist. Der Vergleich mit Gleichung (4.14) zeigt, daß der Generator � J z identisch ist mit<br />
der dritten Komponente des Drehimpulsoperators � � J.<br />
Die Rotation um einen endlichen Winkel ϑ kann durch eine Folge von n infinitesimalen Rota-<br />
tionen aufgebaut werden:<br />
�U(ϑ) =<br />
� � �<br />
n<br />
�U(ε) = 1 − i ϑ<br />
n � �n J z −→<br />
n→∞ e−iϑ � J z<br />
Entsprechende Hermitesche Operatoren können für Rotationen um die x- und y-Achse eingeführt<br />
werden. Diese Operatoren erfüllen die Kommutatorregeln (mit zyklischer Vertauschung)<br />
analog zu den Relationen (4.14) bis (4.16).<br />
Schiebeoperatoren. In der formalen Herleitung der Eigenschaften des Drehimpulses in der<br />
Quantenmechanik geht man von dem Operator � J aus, für dessen Komponenten Jx, Jy und Jz<br />
(bzw. J1, J2 und J3) die folgenden Vertauschungsregeln gelten:<br />
[Jx, Jy] ≡ JxJy − JyJx = iJz (+ zyklische Vertauschung der Indizes) (4.24)<br />
� � 2 2<br />
J , Jx ≡ J Jx − JxJ 2 = 0 etc (4.25)<br />
Die Interpretation in Analogie zum klassischen Bahndrehimpuls wird nicht benötigt. Aus den<br />
Vertauschungsregeln folgt, daß es gemeinsame Eigenzustände zu J 2 und Jz gibt; deren Eigenwerte<br />
werden mit j(j + 1) bzw. mit m bezeichnet.<br />
Schiebeoperatoren J+ und J−, auch genannt Aufsteige- und Absteige-Operatoren, werden eingeführt<br />
durch<br />
J+ = Jx + iJy mit JzJ+ − J+Jz = +J+<br />
J− = Jx − iJy mit JzJ− − J−Jz = −J− .
4.2 Drehimpuls 65<br />
Mit diesen Beziehungen läßt sich die folgende Identität herleiten:<br />
Jz (J+ |j m〉) = (m + 1) (J+ |j m〉) .<br />
Daraus folgt, daß die Wellenfunktion (J+ |j m〉) ein Eigenzustand zum Operator Jz ist mit<br />
Eigenwert m+1. Entsprechend ist die Wellenfunktion (J− |j m〉) ein Eigenzustand zum Operator<br />
Jz mit Eigenwert m − 1. Die Schiebeoperatoren, angewendet auf eine Wellenfunktion |j m〉,<br />
ergibt also eine Änderung der z-Komponente des Drehimpulses von +1 bzw. −1.<br />
Aus dieser Algebra läßt sich herleiten, daß die einzig möglichen j-Werte<br />
j = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .<br />
sind und daß m die Werte zwischen −j und +j in Schritten von ∆m = 1 annnehmen kann.<br />
Man erhält also aus den Vertauschungsregeln halbzahlige Werte des Drehimpulses. Damit kann<br />
auch der halbzahlige Spin s und der halbzahlige Gesamtdrehimpuls j beschrieben werden.<br />
Die folgende Zusammenfassung zeigt die Eigenschaften der Drehimpulsoperatoren:<br />
Jz |j m〉 = m |j m〉<br />
J 2 |j m〉 = j(j + 1) |j m〉<br />
J+ |j m〉 = � j(j + 1) − m(m + 1) |j m+1〉<br />
J− |j m〉 = � j(j + 1) − m(m − 1) |j m+1〉 .<br />
Die Schiebeoperatoren können auch zur Berechnung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzt<br />
werden, die bei der Addition von Drehimpulsen auftreten.<br />
4.2.1 Addition von Drehimpulsen<br />
Die Addition von Drehimpulszuständen erfolgt in der Quantenmechanik nach Regeln, die aus<br />
den Kommutatoreigenschaften folgen. Zwei Drehimpulse, � J 1 und � J 2, mit den Quantenzahlen j1<br />
und j2 können zu einem resultierenden Drehimpuls � J kombiniert werden, mit einer Quantenzahl<br />
j, die der Ungleichung<br />
|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2<br />
Ein Drehimpulseigenzustand mit festen Werten von j und m hat allgemein keine festen Werte<br />
von m1 und m2.<br />
Quantenmechanisch entsteht der Eigenzustand mit den Quantenzahlen j und m durch Addition<br />
von j1 und j2 in allen möglichen Linearkombinationen, die die Beziehung<br />
m1 + m2 = m (4.26)<br />
erfüllen. In der ket-Schreibweise ist die Addition von zwei Zuständen |j1 m1〉 und |j2 m2〉<br />
zum Zustand |j m〉 zu betrachten. Bei der Zusammensetzung bzw. Zerlegung von Drehimpulszuständen<br />
treten Koeffizienten C auf, die Clebsch-Gordan-Koeffizienten heißen und tabelliert<br />
sind. Es gibt zwei äquivalente Formeln, wobei in den Summen jeweils die Bedingung<br />
m1 + m2 = m zu beachten ist:<br />
|j m〉 = �<br />
C j j1 j2<br />
m m1 m2 |j1 m1〉 |j2 m2〉 (4.27)<br />
|j1 m1〉 |j2 m2〉 =<br />
j1, j2<br />
j1+j2 �<br />
j=|j1−j2|<br />
C j j1 j2<br />
m |j m〉 (4.28)<br />
m1 m2
66 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Die Berechnung der Koeffizienten erfolgt durch die Forderung, daß der Zustand |j1 j2 j m〉 Eigenzustand<br />
des Drehimpulsoperators � L 2 und des Operators � Lz für die z-Komponente ist. Die<br />
Koeffizienten sind nicht eindeutig festgelegt, unterschiedliche Konventionen unterscheiden sich<br />
um eine komplexen Faktor vom Betrag 1; hier wird die Konvention nach Condon and Shortley 1<br />
benutzt.<br />
Die Tabelle 4.1 enthält die Clebsch-Gordan-Koeffizienten bis zur Dimension 2 × 2.<br />
Für ein zusammengesetztes System aus zwei Systemen wird auch die Abkürzung<br />
|j1 j2 m1 m2〉 ≡ |j1 m1〉 |j2 m2〉<br />
benutzt und für einen Zustand mit dem Satz von Drehimpulsquantenzahlen ℓ, s, mℓ, ms wird<br />
die Schreibweise<br />
|ℓ, s, mℓ, ms〉<br />
benutzt.<br />
Beispiel: Addition von Drehimpulsen j1 = 1/2 und j2 = 1.<br />
Frage ist, welche Zustände gibt es? Der Gesmtdrehimpuls kann sein J = 3/2 oder 1/2.<br />
Wir betrachten die Zustände mit J = 3/2. Die Zustände mit m = ±3/2 können nur durch<br />
|3/2 +3/2〉 = |1 +1〉|1/2 +1/2〉 (4.29)<br />
|3/2 −3/2〉 = |1 −1〉|1/2 −1/2〉 (4.30)<br />
realisiert werden. Die Anwendung des Schiebeoperators J− auf die Zustände mit j1 = 1/2 und<br />
j2 = 1 ergeben:<br />
J− |1 +1〉 = √ 2|1 0〉 J− |1/2 +1/2〉 = |1/2 −1/2〉<br />
J− |1 0〉 = √ 2|1 − 1〉 J− |1/2 −1/2〉 = 0 (4.31)<br />
J− |1 −1〉 = 0<br />
Der Schiebeoperator J− wird nun auf beide Seiten der Gleichungen (4.29) angewendet, bei der<br />
Umformung werden die Eigenschaften (4.31) benutzt:<br />
Man erhält schließlich:<br />
J− |3/2 +3/2〉 = J− |1 +1〉|1/2 +1/2〉<br />
= (J− |1 +1〉)|1/2 +1/2〉 + |1 +1〉 (J− |1/2 +1/2〉)<br />
√ 3 · |3/2 +1/2〉 = √ 2 · |1 0〉|1/2 +1/2〉 + 1 · |1 +1〉|1/2 −1/2〉<br />
|3/2 +1/2〉 = � 2/3 |1 0〉|1/2 +1/2〉 + � 1/3 |1 + 1〉|1/2 −1/2〉 (4.32)<br />
Durch nochmaliges Anwenden von J− auf 4.32 erhält man einen weiteren Zustand |3/2 −1/2〉.<br />
D.h. zu J = 3/2 gibt es 4 Zustände, die sich aus Drehimpuls 1 und 1/2 zusammmensetzen<br />
lassen. Alle Zustände sind nochmal zusammengestellt:<br />
|3/2 +3/2〉 = |1 +1〉|1/2 +1/2〉 (4.33)<br />
|3/2 +1/2〉 = � 2/3 |1 0〉|1/2 +1/2〉 + � 1/3 |1 + 1〉|1/2 −1/2〉 (4.34)<br />
|3/2 −1/2〉 = � 2/3 |1 0〉|1/2 −1/2〉 + � 1/3 |1 − 1〉|1/2 +1/2〉 (4.35)<br />
|3/2 −3/2〉 = |1 −1〉|1/2 −1/2〉 (4.36)<br />
1 Condon and Shortley, The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York 1953.
4.2 Drehimpuls 67<br />
1/2×1/2<br />
1<br />
+1 1 0<br />
+1/2 +1/2 1 0 0<br />
+1/2 −1/2 1/2 1/2 1<br />
−1/2 +1/2 1/2 −1/2 −1<br />
1×1<br />
1×1/2<br />
+1 +1<br />
3/2<br />
+3/2 3/2 1/2<br />
+1 +1/2 1 +1/2 +1/2<br />
+1 −1/2 1/3 2/3 3/2 1/2<br />
0 +1/2 2/3 −1/3 −1/2 −1/2<br />
0 −1/2<br />
−1 +1/2<br />
2×1 3<br />
+3 3 2<br />
+2 +1 1 +2 +2<br />
+2<br />
+1<br />
2<br />
+2 2<br />
1 +1<br />
−1/2 −1/2 1<br />
+1 0 1/2 1/2 2<br />
0 +1 1/2 −1/2 0<br />
0 1/3 2/3 3<br />
+1 2/3 −1/3 +1<br />
1<br />
+1<br />
1<br />
0<br />
2/3 1/3 3/2<br />
1/3 −2/3 −3/2<br />
−1 −1/2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
+1<br />
+1 −1 1/6 1/2 1/3<br />
0 0 2/3 0 −1/3 2<br />
−1 +1 1/6 −1/2 1/3 −1<br />
1<br />
3<br />
0<br />
+1 −1 1/5<br />
0 0 3/5<br />
−1 +1 1/5<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
+1<br />
+2 −1 1/15 1/3 3/5<br />
+1 0 8/15 1/6 −3/10<br />
0 +1 6/15 −1/2 1/10<br />
0 −1 1/2 1/2 2<br />
−1 0 1/2 −1/2 −2<br />
−1 −1 1<br />
2<br />
0<br />
1/2<br />
0<br />
−1/2<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
1<br />
0<br />
3/10<br />
−2/5<br />
3/10<br />
−1<br />
0<br />
+1<br />
3<br />
−1<br />
6/15<br />
8/15<br />
1/15<br />
5/2<br />
+5/2 5/2 3/2<br />
1/2 1 3/2 +3/2<br />
+1 −1/2 2/5 3/5 5/2 3/2<br />
0 +1/2 3/5 −2/5 −1/2 −1/2<br />
0 −1/2 3/5 2/5 5/2 3/2<br />
−1 +1/2 2/5 −3/5 −3/2 −3/2<br />
3/2×1/2<br />
2<br />
+2 2 1<br />
−1 −1/2<br />
−2 +1/2<br />
4/5 1/5 5/2<br />
1/5 −4/5 −5/2<br />
+3/2 +1/2 1 +1 +1<br />
−2 −1/2 1<br />
+3/2 −1/2 1/4 3/4 2 1<br />
+1/2 +1/2 3/4 −1/4 0 0<br />
5/2<br />
+5/2 5/2 3/2<br />
+3/2 +1 1 +3/2 +3/2<br />
+1/2 −1/2 1/2 1/2<br />
−1/2 +1/2 1/2 −1/2<br />
2<br />
−1<br />
1<br />
−1<br />
+3/2 0 2/5 3/5 5/2 3/2 1/2<br />
−1/2 −1/2 3/4 1/4 2<br />
+1/2 +1 3/5 −2/5 +1/2 +1/2 +1/2<br />
−3/2 +1/2 1/4 −3/4 −2<br />
3/2×1<br />
+2<br />
+1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
3/2×3/2<br />
−2<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
+3/2 −1 1/10 2/5 1/2<br />
+1/2 0 3/5 1/15 −1/3 5/2 3/2 1/2<br />
−1/2 +1 3/10 −8/15 1/6 −1/2 −1/2 −1/2<br />
2<br />
−1<br />
2×1/2<br />
+2<br />
1<br />
−1<br />
1/2 1/10<br />
−1/6 −3/10 3 2<br />
−1/3 3/5 −2 −2<br />
+2 −1/2 1/5 4/5 5/2 3/2<br />
+1 +1/2 4/5 −1/5 +1/2 +1/2<br />
−1 −1 2/3 1/3 3<br />
−2 0 1/3 −2/3 −3<br />
−2 −1<br />
1/70 1/10 2/7 2/5 1/5<br />
8/35<br />
18/35<br />
2/5 1/14 −1/10 −1/5<br />
0 −2/7 0 1/5<br />
8/35 −2/5 1/14 1/10 −1/5 4<br />
1/70 −1/10 2/7 −2/5 1/5 −1<br />
+1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
+1/2 −1 3/10 8/15 1/6<br />
−1/2 0 3/5 −1/15 −1/3 5/2 3/2<br />
−3/2 +1 1/10 −2/5 1/2 −3/2 −3/2<br />
1<br />
3<br />
−1<br />
−1/2 −1<br />
−3/2 0<br />
2<br />
−1<br />
−2 1/14 3/10 3/7 1/5<br />
−1<br />
0<br />
3/7<br />
3/7<br />
1/5 −1/14 −3/10<br />
−1/5 −1/14 3/10<br />
1 1/14 −3/10 3/7 −1/5<br />
Notation:<br />
1<br />
−1<br />
m 1 m 2<br />
.<br />
.<br />
.<br />
−3/2 −1/2<br />
3/5<br />
2/5<br />
.<br />
.<br />
.<br />
2/5<br />
−3/5<br />
−3/2 −1<br />
J J<br />
M M<br />
1<br />
5/2<br />
−5/2<br />
1<br />
...<br />
...<br />
m 1 m 2 Coefficients<br />
7/2<br />
+7/2 7/2<br />
+2 +3/2 1 +5/2 +5/2<br />
+2 +1/2 3/7 4/7 7/2<br />
+1 +3/2 4/7 +3/2<br />
5/2<br />
+3/2<br />
4<br />
4 4 3<br />
+2 +2 1 +3 +3<br />
+2 +1 1/2 1/2<br />
+1 +2 1/2 −1/2<br />
+2 0<br />
+1 1<br />
0 2<br />
+2 1/7<br />
+1 4/7<br />
0 2/7<br />
+1/2<br />
+2<br />
+1<br />
4 3 2<br />
+2 +2 +2<br />
−1 −27/70<br />
3/14 1/2 2/7<br />
4/7 0 −3/7 4 3 2 1<br />
3/14 −1/2 2/7 +1 +1 +1 +1<br />
+2 −1 1/14 3/10 3/7 1/5<br />
+1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3/7 1/5 −1/14 −3/10<br />
3/7 −1/5 −1/14 3/10<br />
1/14 −3/10 3/7 −1/5<br />
4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
3/2<br />
+3/2<br />
16/35 2/5<br />
1/35 −2/5 7/2<br />
−18/35<br />
−3/2 1/35<br />
−1/2 12/35<br />
1/2 18/35<br />
7/2 5/2<br />
3/2 4/35<br />
−1/2 −1/2<br />
4/35 27/70<br />
18/35 3/35<br />
12/35 −5/14<br />
1/35 −6/35<br />
3/2<br />
+3<br />
5/2 3/2 1/2<br />
+1/2 +1/2<br />
2/5 2/5<br />
0 −3/10<br />
1/5<br />
1/2<br />
2/5 −1/10<br />
−1/2 −1/2<br />
+1 −3/2<br />
2/5 1/10<br />
0 −1/2<br />
−1/5 −1/5<br />
−1 1/2<br />
0 3/10 7/2 5/2 3/2<br />
−2 3/2<br />
2/5 −2/5 −3/2 −3/2 −3/2<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3/2<br />
−1/2<br />
1/2<br />
2/7 18/35 1/5<br />
4/7 −1/35 −2/5<br />
1/7−16/35<br />
2/5<br />
7/2<br />
−5/2<br />
5/2<br />
−5/2<br />
−1 −3/2 4/7 3/7 7/2<br />
−2 −1/2 3/7 −4/7 −7/2<br />
3<br />
3 2<br />
2×3/2<br />
5/2<br />
−3/7<br />
+3/2 +3/2 1 +2 +2<br />
+3/2 +1/2 1/2 1/2<br />
+1/2 +3/2 1/2 −1/2<br />
+3/2 −1/2<br />
+1/2 +1/2<br />
−1/2 +3/2<br />
3 2<br />
+1 +1<br />
1/5 1/2<br />
3/5 0<br />
1/5 −1/2<br />
1<br />
+1<br />
3/10<br />
−2/5<br />
3/10<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2×2<br />
−1/2<br />
+3/2 −3/2 1/20 1/4 9/20 1/4<br />
1/2<br />
+1/2 −1/2 9/20 1/4 −1/20 −1/4<br />
3/2<br />
1/5 +1/2<br />
−1/2 +1/2 9/20 −1/4 −1/20 1/4 3 2<br />
6/35<br />
−3/2 +3/2 1/20 −1/4 9/20 −1/4 −1 −1<br />
5/14<br />
+1/2 −3/2 1/5 1/2<br />
−3/35 −1/5<br />
−1/2 −1/2 3/5 0<br />
−3/2 +1/2 1/5 −1/2<br />
−1/2<br />
−3/2<br />
1<br />
−1<br />
3/10<br />
−2/5 3 2<br />
3/10 −2 −2<br />
−3/2 1/2 1/2 3<br />
−1/2 1/2 −1/2 −3<br />
−3/2 −3/2 1<br />
4 3 2<br />
−2 −2 −2<br />
0 −2 3/14 1/2 2/7<br />
−1 −1 4/7 0 −3/7 4<br />
−2 0 3/14 −1/2 2/7 −3<br />
−1<br />
−2<br />
−2<br />
−1<br />
−2 −3/2<br />
3<br />
−3<br />
1/2 1/2<br />
1/2 −1/2<br />
Abbildung 4.1: Clebsch Gordan-Koeffizienten mit der Zeichenkonvention von Condon and Shortley.<br />
Zu jedem Koeffizienten gehört noch die Quadratwurzel, d.h. −8/15 bedeutet − � 8/15.<br />
−2<br />
1<br />
4<br />
−4<br />
−2 1
68 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Ähnlich kann man die Zustände zu J = 1/2 konstruieren.<br />
4.2.2 Spin-Statistik-Theorem<br />
Systeme identischer Teilchen. Wenn zwei Teilchen identisch sind, sollten sie in der Wellenfunktion<br />
in gleicher Weise behandelt werden. Der physikalische Zustand sollte unverändert<br />
sein, wenn die beiden Teilchen vertauscht werden, daraus folgt die Forderung<br />
ψ(1, 2) = e iϕ ψ(2, 1) mit |ψ(1, 2)| 2 = |ψ(2, 1)| 2 .<br />
Die zweifache Vertauschung führt zum ursprünglichen Zustand zurück, also folgt<br />
e 2iϕ = 1 und e iϕ = ±1 .<br />
Aus der Identität von zwei Teilchen folgt also für deren Wellenfunktion unter Vertauschung der<br />
beiden Teilchen<br />
ψ(1, 2) = ±ψ(2, 1) .<br />
Diese Symmetrieverhalten unter Vertauschung kann auf Systeme von n identischen Teilchen<br />
und die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für das gesamte System verallgemeinert werden.<br />
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für ein n-Teilchensystem lautet:<br />
�H(1, 2, . . . , n)Ψ(1, 2, . . . , n; t) = i¯h ∂<br />
Ψ(1, 2, . . . , n; t)<br />
∂t<br />
Der Hamilton-Operator ist symmetrisch gegenüber der Vertauschung von zwei identischen Teilchen,<br />
denn die Identität bedeutet gerade, daß die Teilchen ohne Änderung von � H vertauscht<br />
werden können. Im folgenden soll � Pij ein Operator sein, der die Teilchen i und j vertauscht.<br />
Der Operator wird zunächst auf den Hamilton-Operator eines n-Teilchen-Systems angewendet:<br />
und für identische Teilchen gilt<br />
�Pij � H(1, 2, . . . , i, . . . , j, . . . , n) = � H(1, 2, . . . , j, . . . , i, . . . , n)<br />
�H(1, 2, . . . , j, . . . , i, . . . , n) = � H(1, 2, . . . , i, . . . , j, . . . , n) .<br />
Der Hamilton-Operator selbst verhält sich also symmetrisch bei der Vertauschung von zwei<br />
identischen Teilchen. Daher erhält man bei der Anwendung des Vertauschungsoperators � Pij<br />
auf die n-Teilchen-Schrödingergleichung das Ergebnis, daß entweder sowohl die Wellenfunktion<br />
Ψ(1, 2, . . . , n) als auch deren zeitliche Ableitung ∂Ψ(1, 2, . . . , n)/∂t sich symmetrisch verhalten<br />
oder sich antisymmetrisch verhalten. Daraus folgt, daß der Symmetriecharakter zeitlich konstant<br />
bleibt: die Wellenfunktion Ψ zum Zeitpunkt t und die Wellenfunktion Ψ + (∂Ψ/∂t)dt zum<br />
Zeitpunkt t + dt haben den gleichen Symmetriecharakter.<br />
Die nichtrelativistische Quantenmechanik kann keine Aussagen über den Symmetriecharakter<br />
von Wellenfunktionen für Systeme identischer Teilchen machen. In der Quantenfeldtheorie wurde<br />
im Spin-Statistik-Theorem die Beziehung zwischen Spin und Statistik bewiesen.<br />
Spin-Statistik-Theorem:<br />
Fermionen-Systeme (Pauli-Prinzip): Systeme identischer Teilchen mit halbzahligem<br />
Spin (Fermionen) werden durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei der<br />
Vertauschung von je zwei Teilchen antisymmetrisch verhalten gemäß<br />
�PijΨ(1, 2, . . . , i, . . . , j, . . . , n) = −Ψ(1, 2, . . . , j, . . . , i, . . . , n) ,
4.2 Drehimpuls 69<br />
Bosonen-Systeme: Systeme identischer Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen)<br />
werden durch Wellenfunktionen beschrieben, die sich bei der Vertauschung von je<br />
zwei Teilchen symmetrisch verhalten.<br />
Es wird nun wieder der Fall von zwei identischen Teilchen betrachtet, wobei ein Teilchen sich<br />
in einem Quantenzustand a und das andere Teilchen sich in einem Quantenzustand b befinden<br />
soll. Bei der Schreibweise der Zwei-Teilchen-Wellenfunktion als Produkt von zwei entsprechenden<br />
Ein-Teilchen-Wellenfunktionen verlangt das Spin-Statistik-Theorem eine der folgenden<br />
Wellenfunktionen:<br />
ψS = 1<br />
√ 2 [ψa(r1)ψb(r2) + ψa(r2)ψb(r1)] (4.37)<br />
ψA = 1<br />
√ 2 [ψa(r1)ψb(r2) − ψa(r2)ψb(r1)] (4.38)<br />
Dabei sind ψa und ψb orthonormierte Wellenfunktionen, daher muß bei der Linearkombination<br />
der Faktor 1/ √ 2 stehen.<br />
Die Postulate verlangen nicht, daß die totale Wellenfunktion eines Systems identischer Teilchen<br />
als Linearkombination von Produkten von Einteilchen-Wellenfunktionen geschrieben werden<br />
kann. Falls dies jedoch möglich ist, stellen die obigen symmetrischen und antisymmetrischen<br />
Linearkombinationen die für einen Zwei-Boson- bzw. Zwei-Fermion-Zustand gültigen Wellenfunktionen<br />
dar. Die antisymmetrische Wellenfunktion verschwindet identisch, wenn die beiden<br />
Zustände a und b gleich sind, zwei Fermionen können also nicht den gleichen Zustand einnehmen.<br />
4.2.3 Spin 1/2<br />
Die Leptonen und die Quarks haben eine Spin von 1/2 und daher ist der Fall des Spins 1/2 der<br />
wichtigste Fall. Die beiden möglichen Spineinstellungen |s m〉 werden auf verschiedene Arten<br />
dargestellt:<br />
� �<br />
1<br />
|1/2 1/2〉 | ⇑ 〉<br />
0<br />
� �<br />
0<br />
|1/2 −1/2〉 | ⇓ 〉<br />
1<br />
Der allgemeine Zustand kann in der Form<br />
α|1/2 +1/2〉 + β|1/2 −1/2〉 ≡<br />
� α<br />
β<br />
�<br />
mit |α| 2 + |β| 2 = 1<br />
geschrieben werden. Dabei geben |α| 2 und |β| 2 die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß die Messung<br />
der z-Komponente den Wert 1/2 bzw. −1/2 ergibt.<br />
Die Spinoperatoren � S1, � S2 und � S3 mit der Eigenschaft [ � Si, � Sj] = i � Sk mit zyklischer Vertauschung<br />
der Indizes sind analog zu den allgemeinen Drehimpulsoperatoren definiert; sie können<br />
durch die Pauli-Matrizen dargestellt werden in der Form � � S ≡ 1/2 �σ.<br />
σ1 =<br />
� 0 1<br />
1 0<br />
�<br />
σ2 =<br />
� 0 −i<br />
i 0<br />
�<br />
σ3 =<br />
� 1 0<br />
0 −1<br />
�
70 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Beispiele für die Anwendung der Operatoren auf allgemeine Zustände sind:<br />
� �<br />
α �S1 =<br />
β<br />
1<br />
� �<br />
β<br />
2 α<br />
�S 2 � �<br />
α<br />
1 =<br />
β<br />
1<br />
� � � �<br />
1 0 α<br />
=<br />
4 0 1 β<br />
1<br />
� �<br />
α<br />
4 β<br />
� �<br />
α �S3 =<br />
β<br />
1<br />
� �<br />
α<br />
2 −β<br />
��S 2 � � �<br />
α<br />
= �S 2<br />
1 +<br />
β<br />
� S 2 2 + � S 2 �<br />
3<br />
� �<br />
α<br />
=<br />
β<br />
3<br />
� �<br />
α<br />
4 β<br />
Die letzte Zeile zeigt, daß der allgemeine Zustand ein Eigenzustand zum Operator � 2<br />
S� ist mit<br />
dem Eigenwert s(s + 1) = 3/4.<br />
Zwei Spin 1/2 Teilchen. Das aus zwei Spin 1/2 Teilchen zusammengesetzte System hat einen<br />
Spin von 1 oder 0. Zum Spin 1 ergeben sich drei Zustände (Triplett):<br />
|1 +1〉 = |1/2 +1/2〉 |1/2 +1/2〉<br />
|1 0〉 = � 1/2 |1/2 +1/2〉 |1/2 −1/2〉 + � 1/2 |1/2 −1/2〉 |1/2 +1/2〉<br />
|1 −1〉 = |1/2 −1/2〉 |1/2 −1/2〉<br />
und zum Spin 0 ergibt sich ein Zustand (Singlett/Singulett):<br />
|0 0〉 = � 1/2 |1/2 +1/2〉 |1/2 −1/2〉 − � 1/2 |1/2 −1/2〉 |1/2 +1/2〉<br />
Bei einem System aus zwei identischen Spin 1/2 Teilchen verhält sich die Spinwellenfunktion<br />
des Tripletts symmetrisch unter Vertauschung und die Spinwellenfunktion des Singuletts antisymmetrisch<br />
unter Vertauschung der beiden Teilchen. Entsprechend dem Pauli-Prinzip muß<br />
dann die Ortswellenfunktion sich antisymmetrisch (Triplett) bzw. symmetrisch (Singulett) unter<br />
Vertauschung verhalten.<br />
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien<br />
4.3.1 Interim: Entdeckung der Seltsamkeit<br />
Im Jahre 1946 haben Rochester und Butler in Nebelkammern, in denen sie eine Bleiplatte<br />
als Target angebracht und die sie mit Höhenstrahlung bombardiert hatten, seltsame Teilchen<br />
beobachtet: Sie sahen aus wie ein “V” oder eine Gabel. Man interpretierte sie als langlebige,<br />
neutrale (im Detektor unsichtbare) Teilchen, die dann in zwei geladene zerfielen.<br />
Solche Teilchen wurden später häufig beobachtet, als man hochenergetische Teilchenstrahlen<br />
zur Verfügung hatte. Eine Prototyp Reaktion ist:<br />
Danach zerfallen die neutralen Teilchen:<br />
Λ → pπ −<br />
π − p → K 0 Λ<br />
K 0 → π + π −<br />
Λ ist ein Baryon, K 0 ein Meson, beide ungeladen, d.h. im Detektor nicht sichtbar (in Abb. 4.2<br />
ist ein Blasenkammerbild von solch einer Reaktion zu sehen). Seltsam war, daß diese Teilchen
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 71<br />
mit Wirkungsquerschnitten erzeugt wurden, die eindeutig auf starke Wechselwirkung hinwiesen.<br />
Andererseits erfolgte der Zerfall so langsam, daß ein meßbarer Zerfallsweg auftrat. Die<br />
Lebensdauern sind etwa<br />
Abbildung 4.2: Blasenkammeraufnahme einer Reaktion π − p → K 0 Λ mit nachfolgendem Zerfall<br />
Λ → pπ − und K 0 → π + π − .<br />
τ ∼ 10 −10 s,<br />
charakteristisch für schwache Wechselwirkung.<br />
Weiterhin traten diese neuen Teilchen immer paarweise auf (assoziierte Produktion). Man erfand<br />
eine additive Quantenzahl “Seltsamkeit” oder “Strangeness” S und definierte<br />
SΛ = −1 SK0 = +1<br />
Man postulierte, daß die Seltsamkeit in starker Wechselwirkung erhalten ist und in schwacher<br />
verletzt sein kann.<br />
π − p → K 0 Λ<br />
S 0 0 +1 − 1<br />
Heute wissen wir, daß man ein neues Quark entdeckt hatte, das s Quark. Da in starken Wechselwirkungen<br />
die Quarksorte erhalten ist, können diese neuen Quarks nur paarweise als Quark–<br />
Antiquark erzeugt werden.
72 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
MESONEN (B=0)<br />
Quarkinhalt Spin 0 Zustand Spin 1 Zustand S<br />
ud π + (140) ρ + (769) 0<br />
uu, dd π 0 (135) ρ 0 (769) 0<br />
du π − (140) ρ − (769) 0<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
us K + (494) K ∗+ (892) 1<br />
ds K 0 (498) K ∗0 (896) 1<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
sd K 0 (498) K ∗0 (896) −1<br />
su K − (494) K ∗− (892) −1<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
ss φ(1020) 0<br />
Tabelle 4.2: Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen einiger Mesonen.<br />
π − = ud, p = uud K 0 = ds Λ = uds<br />
Beim Zerfall muß sich das s–Quark umwandeln, was nur in schwacher Wechselwirkung erlaubt<br />
ist. Das Diagramm ist:<br />
Λ<br />
{ d<br />
s<br />
u u<br />
W -<br />
Im folgenden gehen wir von Teilchen aus, die nur u, d und s Quarks und ihre Antiteilchen<br />
enthalten.<br />
4.3.2 Isospin<br />
Schon kurz nach der Entdeckung des Neutrons 1932 hat W. Heisenberg postuliert, daß Proton<br />
und Neutron die beiden Zustände eines einzigen Teilchens, des Nukleons, sind. Dies wurde<br />
nahegelegt aus der Analyse von pp- und pn-Streudaten und durch den Vergleich der Bindungszustände<br />
von Spiegelkernen wie 3 H, 3 He. Nach Abzug der Coulombkräfte sind die Kernkräfte<br />
zwischen pp, pn und nn offenbar identisch (im gleichen Spinzustand), man spricht von<br />
der Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte. Die relative Massendifferenz zwischen Proton und<br />
Neutron ist lediglich δm/m = 0.13%; sie wird auf die elektromagnetische Wechselwirkung<br />
zurückgeführt. Man kann Proton und Neutron als die beiden ”Einstellungen” eines Teilchens<br />
auffassen. Dies legt der Vergleich mit den beiden Spineinstellungen eines Elektrons nahe: ohne<br />
Magnetfeld ist die Energie beider Einstellungen gleich, und mit Magnetfeld B �= 0 gibt es<br />
Energieunterschiede gemäß E0 ± µBB.<br />
d<br />
u<br />
-u<br />
d<br />
}<br />
}<br />
p<br />
π<br />
-
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 73<br />
BARYONEN (B=1)<br />
Quarkinhalt Zustand Spin S<br />
uud p(938) 1/2 0<br />
udd n(940) 1/2 0<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
uds Λ(1116) 1/2 −1<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
uus Σ + (1189) 1/2 −1<br />
uds Σ 0 (1193) 1/2 1 −1<br />
dds Σ − (1197) 1/2 −1<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
uss Ξ 0 (1315) 1/2 −2<br />
dss Ξ − (1321) 1/2 −2<br />
Tabelle 4.3: Quarkzusammensetzung und Quantenzahlen einiger Baryonen.<br />
Analog zum Spin wurde daher ein Isospin I eingeführt mit Operatoren, die den gleichen Vertauschungsrelationen<br />
folgen wie der Drehimpuls J:<br />
[Ij, Ik] ≡ IjIk − IkIj = iIℓ<br />
und Auf- und Absteige-Operatoren<br />
I+ = I1 + i I2<br />
mit zyklischer Vertauschung der Indizes<br />
I− = I1 − i I2 .<br />
Für das Nukleon mit Isospin 1<br />
ergeben sich danach die zwei Isospinzustände Proton |p〉 und<br />
2<br />
Neutron |n〉:<br />
|p〉 = |1/2 + 1/2〉 |n〉 = |1/2 − 1/2〉<br />
In der Folgezeit wurden weitere Multipletts von Hadronen gefunden; die folgende Tabelle gibt<br />
einen Überblick. Innerhalb eines Multipletts sind die Massenunterschiede zwischen den verschieden<br />
geladenen Mitgliedern des Multipletts gering.<br />
Multiplett Isospin Teilchenmultipletts<br />
Singulett I = 0 η Λ Ω −<br />
Dublett I = 1/2 K 0 , K + K − , ¯ K 0 (n, p) (Ξ − , Ξ 0 )<br />
Triplett I = 1 (π − , π 0 , π + ) (Σ − , Σ 0 , Σ + )<br />
Quartett I = 3/2 (∆ − , ∆ 0 , ∆ + , ∆ ++ )<br />
Für die Teilchenmultipletts wird eine Hyperladung Y definiert durch<br />
Hyperladung Y = B + S<br />
(B = Baryonenzahl, S = Seltsamkeit), und die elektrische Ladung Q (in Einheiten der Elementarladung)<br />
eines Teilchens eines Multipletts wird durch die dritte Komponente des Isospins<br />
bestimmt:<br />
Elektr. Ladung Q = I3 + Y/2 .<br />
Diese Beziehung heißt Gell-Mann–Nishijima Beziehung.
74 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Postulat: Die starke Wechselwirkung ist invariant unter Rotationen<br />
im Isospin-Raum. Physikalische Größen wie Wirkungsquerschnitt<br />
und Zerfallsrate hängen nur vom Betrag | � I| des Isospins und nicht<br />
von der dritten Komponente I3 ab, die die elektrische Ladung bestimmt.<br />
Beispiel: Verhältnis von Wirkungsquerschnitten.<br />
Mit Hilfe der Isospin-Invarianz läßt sich folgern, daß die Beziehung<br />
σ(pp → π + d)<br />
σ(np → π 0 d)<br />
für die Reaktionsquerschnitte σ gilt. Für die Reaktionsraten der beiden Reaktionen gilt bei<br />
Isospin-Invarianz<br />
σ ∝ |Amplitude| 2 ∝ �<br />
|〈I ′ , I ′ 3|A|I, I3〉| 2 .<br />
Das Deuteron d hat Isospin 0 und das π-Meson hat Isospin 1, der Endzustand beider Reaktion<br />
hat daher Isospin I = 1 mit der dritten Komponente I3 = +1 bzw. 0. Der Anfangszustand pp<br />
ist ebenfalls ein reiner Zustand mit Isospin I = 1, dagegen gilt für den Anfangszustand np die<br />
Zerlegung<br />
|n〉|p〉 = |1/2 −1/2〉|1/2 +1/2〉 = � 1/2|1 0〉 − � 1/2|0 0〉<br />
dieser Zustand hat also nur einen Anteil von 50% mit Isospin I = 1, daraus folgt das Verhältnis<br />
der Wirkungsquerschnitte.<br />
4.3.3 Isospin und das π-N-System<br />
Nukleonresonanzen. Es gibt zwei Arten von angeregten Nukleonen oder Nukleonresonanzen,<br />
solche mit Isospin I = 1/2, bezeichnet mit N, und solche mit Isospin I = 3/2 ), bezeichnet mit<br />
∆ (s. Abb.4.3). Die Lebensdauer der Zustände ist von der Größenordnung τ = 10 −24 sec und<br />
sie zerfallen über die starke Wechselwirkung in ein Nukleon (Proton oder Neutron) und in ein<br />
oder mehrere π-Mesonen. Die möglichen Ladungszustände sind durch den Isospin festgelegt,<br />
siehe Tabelle.<br />
I<br />
= 2<br />
Resonanz Isospin Ladungszustände<br />
N I = 1/2 N 0 N +<br />
∆ I = 3/2 ∆ − ∆ 0 ∆ + ∆ ++<br />
Betrachtet wird der Zerfall der einfach positiv geladenen Resonanzen N + und ∆ + . Nach der<br />
Tabelle der Clebsch-Gordan-Koeffizienten ergeben sich die folgenden Isospin-Zerlegungen:<br />
N + : |1/2, +1/2〉 = + � 2/3|1 + 1〉|1/2 − 1/2〉 − � 1/3|1 0〉|1/2 + 1/2〉<br />
∆ + : |3/2, +1/2〉 = + � 1/3|1 + 1〉|1/2 − 1/2〉 + � 2/3|1 0〉|1/2 + 1/2〉<br />
Daraus ergeben sich die folgenden Verhältnisse der Zerfallswahrscheinlichkeiten:<br />
N + : Γ � N + → π + + n � : Γ � N + → π − + p � = 2 : 1<br />
∆ + : Γ � ∆ + → π + + n � : Γ � ∆ + → π − + p � = 1 : 2
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 75<br />
Abbildung 4.3: Erzeugung von ∆ Resonanzen in π p Wechselwirkungen.<br />
Experimentell wird dieses aus dem Isospin-Formalismus folgende Ergebnis bestätigt.<br />
Isospin und π-N-Reaktionen. Mit den zwei Ladungszuständen des Nukleons und den drei<br />
Ladungszuständen des Pions kann eine große Zahl von π-N-Streuexperimenten unternommen<br />
werden. Der Isospin-Formalismus erlaubt es, die vielen möglichen Prozesse auf zwei unabängige<br />
Isospin-Amplituden M1/2 (Gesamtisospin 1/2) und M3/2 (Gesamtisospin 3/2) zurückzuführen,<br />
mit denen alle πN → πN-Prozesse beschrieben werden können. Der Verlauf der totalen und<br />
elastischen Wirkungsquerschnitte für π ± p- und π ± d-Kollisionen als Funktion der Energie ist<br />
in Abbildung 4.4 gezeigt. Er zeigt insbesondere bei kleinen Energie eine deutliche resonante<br />
Struktur, die auf Nukleonresonanzen mit Isospin I = 1/2 und I = 3/2 zurückzuführen ist. In<br />
der π + p-Streuung ist der Zwischenzustand ein reiner Isospin I = 3/2-Zustand, in dem daher<br />
nur ∆ + -Resonanzen auftreten können.<br />
Grundlage sind die beiden folgenden Annahmen:<br />
• in Systemen von Hadronen werden die Isospins der Teilchen vektoriell wie Drehimpulse<br />
addiert; auch im Isospinraum können die Clebsch-Gordan-Koeffizienten benutzt werden.<br />
• Der Hamilton-Operator der starken Wechselwirkung vertauscht mit dem Operator des<br />
Isospins.<br />
Der Isospin des π-N-Systems setzt sich aus den Isospinzuständen des π-Mesons und des Nukle-
76 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Cross section (mb)<br />
Cross section (mb)<br />
200<br />
100<br />
50<br />
20<br />
10<br />
5<br />
100<br />
2<br />
10 1 10 10 10<br />
1.2 2 3 4 5 6 7 8 910 20 30 40<br />
50<br />
20<br />
10<br />
5<br />
–1 2 3<br />
πp<br />
πd<br />
2.1 3 4 5 6 7 8 910 20 30 40 50 60<br />
Center of mass energy (GeV)<br />
2<br />
10 1 10 10 10<br />
⇓<br />
⇓<br />
π + p total<br />
π + p elastic<br />
π ± d total<br />
π – p total<br />
π – p elastic<br />
–1 2 3<br />
Laboratory beam momentum (GeV/c)<br />
Abbildung 4.4: Die totalen und elastischen Wirkungsquerschnitte für π ± p-Kollisionen und π ± d-<br />
Kollisionen (nur totale Wirkungsquerschnitte) als Funktion des Strahlimpulses und als Funktion<br />
der Gesamtenergie im Schwerpunktsystem.
4.3 Isospin und Flavour-Symmetrien 77<br />
ons zusammen:<br />
Die beiden einfachen Fälle<br />
|πN〉 = |I, I3〉π|I, I3〉N<br />
|π + p〉 = |1, +1〉π|1/2, +1/2〉N = 1 · |3/2, +3/2〉<br />
|π − n〉 = |1, −1〉π|1/2, −1/2〉N = 1 · |3/2, −3/2〉<br />
führen für das π-N-System auf reine Isospin-3/2-Zustände. Durch π + p- und π − n-Stöße wird<br />
also ein Isospin-3/2-Zustand gebildet, der dann wieder zu einem eindeutigen π + p bzw. π − n-<br />
Endzustand führt.<br />
Die anderen π-N-Zustände enthalten Anteile von Gesamtisospin 1/2 und 3/2.<br />
σ(π + p → π + p) : σ(π − p → π 0 n) : σ(π − p → π − p)<br />
= � �<br />
�M3/2 �2 : 2 �<br />
�<br />
�M3/2 − M1/2<br />
�<br />
9<br />
2 : 1 �<br />
9<br />
� M3/2 + 2M1/2<br />
�<br />
�2 =<br />
�<br />
9 : 2 : 1 wenn I = 3/2 dominiert<br />
0 : 1 : 2 wenn I = 1/2 dominiert<br />
Die Gültigkeit dieser Beziehungen läßt sich in Resonanzbereichen kontrollieren. Resonanzen<br />
im π-N-System mit Isospin I = 3/2 werden mit dem Buchstaben ∆ bezeichnet. Die erste<br />
Resonanz ist das ∆(1232) mit einer Masse von etwa 1232 MeV/c 2 , Spin 3/2 und Isospin 3/2.<br />
Man erkennt in der Abbildung 4.4 das berechnete Verhältnis von 9 : 1 zwischen σ(π + p → π + p)<br />
und σ(π − p → π − p) im Bereich dieser Resonanz.<br />
Resonanzen im π-N-System mit Isospin I = 1/2 werden mit dem Buchstaben N bezeichnet.<br />
Die Resonanz N(1520) (Masse bei 1520 MeV/c 2 , Isospin 1/2 und Spin 3/2) ist im Wirkungsquerschnitt<br />
σ(π − p → π − p) deutlich sichtbar; wie erwartet, sieht man im Wirkungsquerschnitt<br />
σ(π + p → π + p) kein Maximum bei dieser Masse.<br />
Quark Baryonzahl B Spin J Isospin I I3 Seltsamkeit S el. Ladung Q [e]<br />
u +1/3 1/2 1/2 +1/2 0 +2/3<br />
d +1/3 1/2 1/2 −1/2 0 −1/3<br />
d +1/3 1/2 0 0 −1 −1/3<br />
u −1/3 1/2 1/2 −1/2 0 −2/3<br />
d −1/3 1/2 1/2 +1/2 0 +1/3<br />
s −1/3 1/2 0 0 +1 +1/3<br />
Tabelle 4.4: Isospin und Quarks
78 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
4.4 Diskrete Symmetrien<br />
Betrachtet werden die folgenden Operatoren:<br />
• Raumspiegelung � P : �r → �r ′ = −�r<br />
• Ladungskonjugation � C: alle ladungsartigen Quantenzahlen (wie elektrische Ladung, magnetisches<br />
Moment, B, L, Seltsamkeit, Charm, . . . ) werden umgekehrt; der Operator<br />
verwandelt Teilchen in Antiteilchen<br />
Invarianz des Systems unter diesen Operationen bedeutet für einen Eigenzustand von � P oder � C,<br />
daß Übergänge nur zu Eigenzuständen mit dem gleichen Eigenwert erfolgen können. Eigenwerte<br />
von � P oder � C sind multiplikative Quantenzahlen.<br />
Weiterhin wird noch der Operator<br />
• Zeitumkehr � T : t → t ′ = −t<br />
betrachtet. Auch Kombinationen der Operatoren wie � C � P und � C � P � T werden betrachtet. Nach<br />
dem CPT-Theorem sind alle Wechselwirkungen invariant unter dem Produkt � CP T . Es gibt<br />
keine experimentellen Hinweise, die diesem Theorem widersprechen.<br />
Ursprünglich wurde allgemein angenommen, daß die Gesetze der Physik generell invariant unter<br />
den einzelnen Operationen � P , � C und � T sind. Experimentell wurde jedoch 1956 gezeigt,<br />
daß Raumspiegelungssymmetrie in der schwachen Wechselwirkung maximal verletzt ist. Weiterhin<br />
wurde 1964 experimentell gezeigt, daß die schwache Wechselwirkung unter der Produkt-<br />
Operation � CP nur angenähert invariant ist; hier ist die Verletzung von der Größenordnung<br />
10 −3 .<br />
4.5 Parität<br />
Die Paritätstransformation � P besteht in der räumlichen Inversion der Koordinaten:<br />
�r = (x, y, z) → �r ′ = (x ′ , y ′ , z ′ ) = −�r = (−x, −y, −z).<br />
Diese Operation ist in Abb. 4.5 illustriert und wird mit der Spiegelung an einer Ebene verglichen.<br />
Ein System heißt invariant gegenüber der Paritätstransformation, wenn der Hamilton-Operator<br />
unter der Operation ungeändert bleibt:<br />
�H(�r ′<br />
1 , �r′ 2 , . . .) = � H(−�r1, −�r2, . . .) = � H(�r1, �r2, . . .)<br />
� �<br />
�H, P�<br />
= 0<br />
Wenn dies gilt, sind<br />
• die Paritäten von Anfangs- und Endzustand einer Reaktion gleich, und<br />
• die Parität ist für gebundene Zustände eine gute Quantenzahl.<br />
Zustände von Atomen und Kernen sind mit großer Präzision Eigenzustände der Parität, wie<br />
die experimentelle Suche nach paritätsverletzenden Übergängen gezeigt hat. Dies zeigt, daß<br />
in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen Paritätserhaltung gilt. Dagegen ist die<br />
Paritätserhaltung in der schwachen Wechselwirkung verletzt; dies wird im Kapitel 4.6 diskutiert.<br />
Im folgenden wird die schwache Wechselwirkung nicht betrachtet und es wird untersucht, was<br />
aus der Paritätserhaltung in starken und elektromagnetischen Wechselwirkungen folgt.<br />
Der Paritätsoperator wird zunächst auf einen Ein-Teilchen-Zustand angewendet:<br />
�P ψ(�r, t) = Paψ(−�r, t) (4.39)
4.5 Parität 79<br />
Abbildung 4.5: a) Spiegelung an einer Ebene; b) Raumspiegelung (Paritätstransformation).
80 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
wobei der Index a das Teilchen kennzeichnet. Da die zweifache Anwendung des Paritätsoperators<br />
auf den ursprünglichen Zustand führt, gilt P 2 a = 1 und Pa = +1 oder −1. Für eine Impulseigenfunktion<br />
ψ �p (�r, t) = exp [i (�p · �r − Et)] ist<br />
�P ψ �p (�r, t) = Paψ �p (−�r, t) = Paψ −�p (�r, t)<br />
Ein Teilchen in Ruhe, d.h. �p = 0, ist also ein Eigenzustand zum Paritätsoperator mit dem<br />
Eigenwert Pa. Der Eigenwert Pa wird Eigenparität, kurz Parität, des Teilchens genannt. Experimentell<br />
kann die Eigenparität von Teilchen, die in Reaktionen erzeugt oder vernichtet werden,<br />
bestimmt werden. Dagegen lassen sich aus dem Experiment keine Aussagen über die Eigenparität<br />
von Teilchen machen, die sowohl im Anfangs- als auch im Endzustand vorhanden sind.<br />
Die Verallgemeinerung der Gleichung (4.39) ist<br />
�P ψ(�r1, �r2, . . . t) = P1P2 · · · ψ(−�r1, −�r2, . . . t)<br />
mit einem eigenen Faktor für jedes Teilchen. Parität ist eine multiplikative Quantenzahl.<br />
4.5.1 Parität von Drehimpulszuständen<br />
Teilchen in definierten Drehimpulszuständen sind ebenfalls Eigenzustände der Parität. Die Wellenfunktion<br />
hat die Form<br />
ψnℓm(�r) = R(r)Y m<br />
ℓ (ϑ, ϕ)<br />
mit den Polarkoordinaten r, ϑ und ϕ. In Polarkoordinaten bedeutet die Paritätstransformation<br />
r → r ′ = r, ϑ → ϑ ′ = π − ϑ, ϕ → ϕ ′ = π + ϕ<br />
Für diese Transformation haben die Kugelfunktionen Y m<br />
ℓ (ϑ, ϕ) die Eigenschaft<br />
und es folgt<br />
Y m<br />
ℓ (ϑ, ϕ) → Y m<br />
ℓ (π − ϑ, π + ϕ) = (−1) ℓ Y m<br />
ℓ (ϑ, ϕ)<br />
�P ψnℓm(�r) = Paψnℓm(−�r) = Pa(−1) ℓ ψnℓm(�r)<br />
d.h. der Drehimpulszustand mit der Bahndrehimpulsquantenzahl ℓ führt auf einen Faktor (−1) ℓ .<br />
4.5.2 Parität von Fermionen und Antifermionen<br />
Bisher ist bei der Diskussion der Raumspiegelung die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung<br />
benutzt worden. Zustände z.B. mit Elektronen und Positronen werden dabei durch getrennte<br />
Wellenfunktionen beschrieben. In der relativistischen Beschreibung mit der Dirac-Gleichung<br />
beschreibt eine einzige vierkomponentige Wellenfunktion sowohl Elektronen als auch Positronen,<br />
und dadurch gibt es eine Beziehung zwischen den Eigenparitäten des Elektrons und Positrons.<br />
Die Analyse zeigt, daß die Dirac-Gleichung nur verträglich ist mit der Paritätserhaltung für<br />
Pe + Pe− = −1 (4.40)<br />
d.h. mit entgegengesetzten Eigenparitäten von Elektron und Positron. Das gleiche Argument<br />
gilt für alle Fermion- und Antifermion-Eigenparitäten:<br />
Pf P ¯ f = −1<br />
mit der Bezeichnung ¯ f für das Antiteilchen des Fermions f.
4.5 Parität 81<br />
Diese theoretische Vorhersage läßt sich experimentell überprüfen durch die Untersuchung der<br />
Reaktion<br />
e + + e − → γγ<br />
Im Parapositronium befinden sich ein Elektron und ein Positron in einem gebundenen Zustand<br />
mit der Bahndrehimpulsquantenzahl ℓ = 0 (s-Zustand). Die Parität des Anfangszustands ist<br />
daher Pi = Pe +Pe−(−1)0 = Pe +Pe−. Durch eine Messung der Parität des Zwei-Photonensystems<br />
kann das Produkt Pe + Pe− bestimmt werden. Indirekt ist diese Messung möglich durch Untersuchung<br />
der Polarisation der emittierten Photonen. Das Experiment bestätigt die theoretische<br />
Erwartung (4.40).<br />
Da Elektronen und Positronen stets in Paaren erzeugt oder vernichtet werden, ist die Bestimmung<br />
der Paritäten von Elektron bzw. Positron alleine nicht möglich. Das gleiche gilt für die<br />
anderen geladenen Leptonen (µ und τ). Nach Konvention ordnet man den Teilchen e − , µ − und<br />
τ − die Eigenparität +1 und den Antiteilchen e + , µ + und τ + die Eigenparität −1 zu.<br />
Die gleiche Konvention wird für Quarks und Antiquarks benutzt. Auch für Protonen, Neutronen<br />
etc. wird die Eigenparität als +1 festgelegt, sodaß die Eigenparität der entsprechenden<br />
Antiteilchen −1 ist.<br />
4.5.3 Das elektromagnetische Feld und Photonen<br />
Die Eigenparität des Photons kann aus den elektromagnetischen Feldgleichungen theoretisch<br />
hergeleitet werden. Diese Herleitung ergibt als Eigenparität des Photons Pγ = −1. Diese Zuordnung<br />
ist im Einklang mit den beobachteten atomaren Übergängen durch Photonemission:<br />
es tritt immer eine Paritätsänderung an den Kernen auf.<br />
4.5.4 Die Eigenparität des π −<br />
Die Eigenparität des π − wurde experimentell in der Reaktion<br />
π − + d → n + n<br />
gemessen. Negative Pionen werden in flüssigem Deuterium abgebremst und von einem Deuteriumatom<br />
eingefangen. Sie bilden ein pionisches Atom, in dem das Elektron durch das π −<br />
ersetzt wird. Das π − geht unter γ-Emission über in einen s-Zustand (ℓ = 0, mit Wellenfunktion<br />
ψπ(0) �= 0), von dem aus es vom Deuteron absorbiert wird. Der Gesamtdrehimpuls des<br />
Anfangszustands ist 1 (Spin des Deuterons ist 1, Spin des π − und Bahndrehimpuls sind Null).<br />
Der beobachtete Endzustand wird aus zwei Neutronen gebildet; dies ist ein System aus zwei<br />
identischen Fermionen, dessen Wellenfunktion antisymmetrisch gegenüber der Vertauschung<br />
der beiden Neutronen sein muß (Pauli-Prinzip). Diese Forderung legt den Bahndrehimpuls ℓ ′<br />
zwischen den beiden Neutronen fest, wie die Tabelle zeigt, in der die möglichen Werte des<br />
Bahndrehimpulses ℓ ′ , der Gesamtspin S ′ des nn-Systems und der Symmetriecharakter der Wellenfunktion<br />
bei einem Gesamtdrehimpuls von 1 angegeben ist (s = symmetrisch, a = antisymmetrisch):<br />
Bahndrehimpuls Spin S ′ des Symmetrie für Gesamtsymmetrie<br />
ℓ ′ nn-Systems ℓ ′ -Anteil S ′ -Anteil<br />
0 1 s s s<br />
1 0 a a s<br />
1 1 a s a<br />
2 1 s s s
82 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Größe Raumspiegelung<br />
Skalar � P (s) = +s<br />
Pseudoskalar � P (p) = −p<br />
Vektor (polarer Vektor) � P (�v) = −�v<br />
Pseudovektor (axialer Vektor) � P (�a) = +�a<br />
Tabelle 4.5: Verhalten von Skalaren und Vektoren unter der Raumspiegelung � P .<br />
In diesem Fall hat Vertauschen der Neutronen die gleiche Wirkung wie die Paritätsoperation; die<br />
räumliche Wellenfunktion ist symmetrisch für einen geraden Wert von ℓ ′ und antisymmetrisch<br />
für ℓ ′ = 1. Nur die Kombination S ′ = ℓ ′ = 1 verhält sich antisymmetrisch, also liegt die<br />
Parität des Endzustandes mit (−1) ℓ′ = −1 eindeutig fest. Wegen Paritätserhaltung hat der<br />
Anfangszustand ebenfalls Parität −1, also ist<br />
Pπ · (−1) ℓ · Pd = −1<br />
Daraus folgt die negative Eigenparität des π − mit Pπ = −1, denn für die Eigenparität des<br />
Deuterons gilt Pd = P 2 N · (−1)ℓd = 1 beim Bahndrehimpuls der Nukleonen im Deuteron von<br />
ℓd = 0 oder = 2.<br />
Die Eigenparität des π 0 wurde unabhängig durch Messung der Spinkorrelation der beiden<br />
Zerfalls-Photonen bestimmt, sie ist ebenfalls −1. Die Parität aller Teilchen eines Isospin Multipletts<br />
ist gleich.<br />
4.5.5 Quarkmodell<br />
Mesonen im Quarkmodell. Mesonen sind im Quarkmodell gebundene Zustände aus einem<br />
Quark q und einem Antiquark ¯q. Bei einem relativen Bahndrehimpuls von ℓ ist demnach die<br />
Parität des q¯q-Zustandes gegeben durch<br />
P = (−1) ℓ Pq P¯q<br />
Die Grundzustände haben relativen Bahndrehimpuls von ℓ = 0. Es ergibt sich eine negative<br />
Eigenparität sowohl im Spin-Singlettzustand (⇑⇓) als auch im Spin-Triplettzustand (⇑⇑). Man<br />
nennt die Mesonen mit J P = 0 − Pseudoskalare (Beispiel π, und die J P = 1 − Vektormesonen<br />
(Beispiel ρ).<br />
Relative Bahndrehimpuls Spin-Parität<br />
Spinorientierung<br />
Singulett ⇑⇓ ℓ = 0 J P = 0 − pseudoskalare Mesonen<br />
Triplett ⇑⇑ ℓ = 0 J P = 1 − Vektormesonen<br />
4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung<br />
Im Jahre 1956 kamen die beiden Theoretiker Lee und Yang zu dem Schluß, daß die schwache<br />
Wechselwirkung möglicherweise nicht invariant unter der Raumspiegelung � P ist. Ausgelöst wurde<br />
diese Vermutung durch das sogen. τ − θ-Paradoxon: man beobachtete Zerfälle von zunächst
4.6 Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung 83<br />
unbekannten Teilchen in zwei und in drei Pionen, bei denen der Endzustand offenbar unterschiedliche<br />
Parität hatte. Deshalb nahm man an, daß es sich um zwei Teilchen handelte: eins<br />
nannte man θ eins τ. Bald stellte man fest, daß sie gleiche Masse, Spin und Lebensdauer haben,<br />
es sich also um ein Teilchen handelte 2 . Lee und Yang stellten fest, daß Paritätserhaltung in<br />
der starken und elektromagnetischen Wechselwirkung gut experimentell überprüft war, nicht<br />
jedoch in der schwachen Wechselwirkung.<br />
Das Transformationsverhalten verschiedener Größen unter der Raumspiegelung � P ist in der<br />
Tabelle 4.5 angegeben. Polare Vektoren wie der Ortsvektor �r oder der Impuls �p ändern unter<br />
Raumspiegelung ihr Vorzeichen; dagegen bleibt ein axialer Vektor wie der Drehimpuls � L = �r�p<br />
unter Raumspiegelung unverändert. Man definiert eine Größe als skalares Produkt eines polaren<br />
und eines axialen Vektors<br />
�σK · �p e ,<br />
die die Emissionsrichtung des Elektrons mit Impuls �p e relativ zum Kernspin �σK beschreibt. Unter<br />
der Paritätstransformation � P ändert diese ”skalare” Größe ihr Vorzeichen, man nennt diese<br />
Größe pseudoskalar. Wenn Invarianz unter � P gegeben ist, so muß der Erwartungswert dieser<br />
Größe Null sein. Eine Messung muß also im Mittel Null ergeben; jeder von Null verschiedene<br />
Wert bedeutet Paritätsverletzung.<br />
Das Wu-Experiment. Historisch das erste Experiment, in dem Paritätsverletzung nachgewiesen<br />
wurde, war das “Wu Experiment”. Zur Untersuchung möglicher Paritätsverletzung wurde<br />
durch Wu et al. ein Experiment zum β-Zerfall von 60Co unternommen. 60Co (Spin J = 5)<br />
zerfällt in einem reinen Gamow-Teller-Übergang in 60Ni∗ (Spin J = 4), wobei der totale Drehimpuls<br />
der Leptonen des Endzustands J = 1 ist. Aus Drehimpulserhaltung folgt, daß auch der<br />
Spin des Elektrons in die Richtung des Drehimpulses � J zeigen muß. Durch Kühlung auf 0.01 K<br />
in einem Solenoiden wurde die 60Co-Kerne ausgerichtet, und diese Ausrichtung konnte durch<br />
die Winkelverteilung der γ-Strahlung von 60Ni∗ überprüft werden.<br />
Das Prinzip des Wu-Experimentes ist in Abb. 4.6 skizziert.<br />
Gemessen wurden die relativen Elektron-Intensitäten beim β-Zerfall des 60Co gegen die den<br />
Spin ausrichtende Feldrichtung. Die Ergebnisse waren konsistent mit einer Verteilung der Form<br />
� �<br />
�σ · �p<br />
I(ϑ) = 1 + α<br />
E<br />
= 1 + α v<br />
cos ϑ<br />
c<br />
mit α = −1 (�σ ist der Einheitsvektor in Drehimpulsrichtung, �p und E sind Impuls und Energie<br />
des Elektrons, und ϑ ist der Emissionswinkel des Elektrons relativ zur Drehimpulsrichtung). Die<br />
Abhängigkeit von der Elektronengeschwindigkeit v wurde im Bereich 0.4 < v/c < 0.8 überprüft.<br />
Die Messung einer von Null verschiedenen pseudoskalaren Meßgröße bedeutet, daß die Paritätserhaltung<br />
in der Wechselwirkung verletzt ist. Die longitudinale Polarisation oder Helizität<br />
ist definiert durch<br />
H = I+ − I−<br />
I+ + I−<br />
≡ α v<br />
c ,<br />
wobei I+ und I− die Intensitäten für �p parallel bzw. antiparallel zu �σ sind. Das experimentelle<br />
Ergebnis aus β-Zerfällen ist<br />
�<br />
+1<br />
α ≈<br />
für e +<br />
−1 − für e<br />
, (4.41)<br />
2 Heute nennen wir dieses Teilchen K Meson (Spin 0).
84 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Abbildung 4.6: Prinzip des Wu Experiments, mit dem 1956 die Verletzung der Parität nachgewiesen<br />
wurde.<br />
d.h. beim β-Zerfall werden die Elektronen mit Helizität ≈ −1, und Positronen mit Helizität<br />
≈ +1 emittiert.<br />
Das Ergebnis der Gleichung (4.41) bedeutet für ein masseloses Teilchen vollständige Polarisation,<br />
H = +1 oder −1. Diese vollständige Polarisation wird daher für Neutrinos bzw. Antineutrinos<br />
erwartet. Die Helizität der Neutrinos wurde in einem klassischen Experiment von Goldhaber<br />
1958 experimentell bestimmt, das Experiment ist z.B. im Buch von Perkins oder Martin-Shaw<br />
erklärt. Das Ergebnis dieses Experiments und auch späterer zur Helizität von Anti-neutrinos<br />
bestätigten die obigen Erwartungen.<br />
Das Neutrino Am Neutrino kann man besonders einfach die Paritätsverletzung sehen: In<br />
einem Experiment von Goldhaber 1958 wurde experimentell nachgewiesen, daß beim Neutrino<br />
der Spin immer “entgegengesetzt zur Flugrichtung” steht. D.h. präziser: wir nehmen an,<br />
daß das Neutrino exakt masselos ist, dann fliegt es mit Lichtgeschwindigkeit. Nehmen wir die<br />
Flugrichtung als Quantisierungsachse +z, dann ist �p=(0,0,p). Die z Komponente des Spins ist<br />
immer � Sz χν = −1/2, d.h. die Helizität H = ms/s = −1.<br />
Wir haben eine Richtung vorgegeben: den Impuls des Neutrinos (Polarvektor) und eine Axialvektor:<br />
� S, den Spin des Neutrinos.<br />
Wenden wir den Paritätsoperator auf das Neutrino an, so kehrt sich �p um, � S aber nicht: jetzt<br />
wäre Sz=+1/2. Das wird für das Neutrino nie beobachtet! Es gilt allgemein für Teilchen in<br />
schwacher Wechselwirkung: Teilchen nehmen polarisiert an schwacher Wechselwirkung teil: bei<br />
Teilchen ist der Spin vorwiegend entgegengesetzt zur Flugrichtung ausgerichtet, bei Antiteilchen<br />
in Flugrichtung. Vollständige Polarisation tritt auf, wenn die Teilchen masselos sind (und damit<br />
Lichtgeschwindigkeit haben).
4.7 Ladungskonjugation 85<br />
Die Neutrinos sind nur schwer nachzuweisen, deshalb muß man ihre Helizität indirekt messen:<br />
das kann man z.B. über den Pionzerfall machen.<br />
Das geladene π ± zerfällt schwach, z.B.:<br />
π + → µ + + νµ.<br />
Die Lebensdauer ist lang, τ = 2.6 · 10 −8 s. Wir kennen den Spin des Pions: J P = 0 − und wir<br />
wissen, daß das Neutrino Helizität −1 hat. Da Drehimpulserhaltung gilt, wissen wir auch, daß<br />
das Myon seinen Spin entgegengesetzt zur Flugrichtung hat. Man muß also die Polarisation<br />
der Myonen messen. Das Ergebnis solcher Experimente zeigte genau wie das Goldhaber Experiment,<br />
daß die Ausrichtung des Neutrino Spins entgegengesetzt zur Flugrichtung ist, für<br />
Antineutrinos dagegen in Flugrichtung. Diese Tatsache ist eine entscheidende Eigenschaft der<br />
schwachen Wechselwirkung, die dann in die Theorie eingebaut werden muß.<br />
4.7 Ladungskonjugation<br />
Nach der Quantenfeldtheorie gibt es zu jedem Teilchen ein Antiteilchen. Das Antiteilchen hat bei<br />
allen ladungsartigen Quantenzahlen das umgekehrte Vorzeichen; zu den ladungsartigen Quantenzahlen<br />
gehören: elektrische Ladung, Baryonen- und Leptonenzahl, Seltsamkeit, Charm, . . . .<br />
Teilchen und Antiteilchen haben gleiche Masse, Lebensdauer und Spin.<br />
Der Operator � C der Ladungskonjugation ersetzt alle Teilchen durch ihre Antiteilchen im gleichen<br />
Zustand, sodaß Ort, Impuls etc. ungeändert bleiben. Da die elektrische Ladung und das<br />
magnetische Moment jedes Teilchens im Vorzeichen umgedreht werden, bleiben die elektromagnetischen<br />
Wechselwirkungen unter dieser Operation unverändert; die Ladungskonjugation ist<br />
auch eine Symmetrie der starken Wechselwirkung. In der schwachen Wechselwirkung ist die<br />
Symmetrie der Ladungskonjugation verletzt. Im folgenden wird nur die starke und elektromagnetische<br />
Wechselwirkung betrachtet, bei der der Operator � C der Ladungskonjugation mit dem<br />
Hamiltonoperator vertauscht: � �<br />
�C, H�<br />
= 0<br />
4.7.1 C-Parität<br />
Der Operator der Ladungskonjugation transformiert ein Teilchen b, dessen Zustand durch |b〉<br />
bezeichnet wird, in sein Antiteilchen ¯ b:<br />
�C|b〉 = | ¯ b〉 . (4.42)<br />
Teilchen und Antiteilchen sind gleich, wenn alle ladungsartigen Quantenzahlen gleich Null sind;<br />
Beispiele sind γ und π 0 . Solche Teilchen α sind Eigenzustände zum Operator der Ladungskonjugation<br />
und man kann<br />
�C|α〉 = Cα|α〉 . (4.43)<br />
schreiben, wobei Cα ein Phasenfaktor ist. Da eine zweite Transformation das Antiteilchen wieder<br />
zurück in das Teilchen transformiert, ist C 2 α = 1 und Cα = ±1. Man könnte einen entsprechenden<br />
Phasenfaktor auch in Gleichung (4.42) einführen; dieser Faktor hat jedoch keine physikalischen<br />
Konsequenzen, weil die relative Phase von Teilchen und Antiteilchen nicht gemessen<br />
werden kann, und daher wird der Faktor nicht eingeführt.<br />
Die Teilchen γ, π 0 . . . sind Eigenzustände von � C mit Eigenwerten ±1, die durch die C-Erhaltung<br />
gemessen werden können. Teilchen-Antiteilchen-Paare sind Eigenzustände, wobei der Operator
86 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
�C Teilchen b und Antiteilchen ¯ b vertauscht. Wenn der Zustand unter Vertauschung b ↔ ¯ b<br />
symmetrisch oder antisymmetrisch ist, dann ist<br />
�C|b ¯ b〉 = | ¯ b b〉 = ±|b ¯ b〉 (4.44)<br />
und daher ist |b ¯ b〉 ein Eigenzustand unter � C. Beispiel ist ein π + π − -Paar in einem Zustand mit<br />
Bahndrehimpuls L, für das<br />
�C|π + π − ; L〉 = (−1) L |π + π − ; L〉 (4.45)<br />
gilt, denn die Teilchen-Vertauschung vertauscht den relativen Ortsvektor in der räumliche Wellenfunktion.<br />
Bei Systemen aus Fermion-Antifermion gibt es insgesamt drei Faktoren mit dem Ergebnis<br />
�C|f ¯ f; S, L, J〉 = (−1) L+S |f ¯ f; S, L, J〉 . (4.46)<br />
Neben dem Faktor (−1) L für den Bahndrehimpuls L gibt es den Faktor (−1) S+1 von der Vertauschung<br />
der Teilchen in der Spinwellenfunktion; ein Faktor (−1) kommt von der Fermion-<br />
Antifermion-Vertauschung. Das neutrale Pion, π 0 , zum Beispiel ist ein uū- oder d ¯ d-Zustand mit<br />
1 S0, d.h. mit L + S = 0 und daher ist die C-Parität im Quarkmodell C π 0 = +1.<br />
4.7.2 Experimentelle Tests der C-Invarianz<br />
Der Wert der C-Parität des π 0 von C π 0 = +1 nach dem Quarkmodell wird durch seinen<br />
hauptsächlichen Zerfall π 0 → γγ bestätigt:<br />
�C|π 0 〉 = Cπ 0|π0 〉<br />
� C|γγ〉 = CγCγ|γγ〉 = +|γγ〉 .<br />
Die C-Parität des Photons kann wie seine Parität aus dem Verhalten des klassischen elektromagnetischen<br />
Feldes hergeleitet werden. Da sich das Vorzeichen der elektrischen Ladung ändert,<br />
müssen auch das elektrische Feld und das Potential ihr Vorzeichen ändern und es gilt unter<br />
Ladungskonjugation<br />
�A(�r, t) → Cγ � A(�r, t) � E(�r, t) → − � E(�r, t) Φ(�r, t) → −Φ(�r, t)<br />
Einsetzen in die Gleichung<br />
�E = − � ∇Φ − ∂ � A<br />
∂t<br />
ergibt die C-Parität Cγ = −1 für das Photon. C-Erhaltung kann durch die Untersuchung<br />
des möglichen Zerfalls des π 0 in drei Photonen geprüft werden. Dieser Zerfall wurde bisher<br />
experimentell nicht beobachtet und die untere Grenze<br />
R ≡ Γ(π0 → γγγ)<br />
Γ(π 0 → γγ)<br />
< 3.1 × 10−8<br />
wurde bestimmt. man kann daraus schließen, daß C-Erhaltung in starken und elektromagnetischen<br />
Wechselwirkungen gilt und daß die C-Parität des Photons negativ ist.<br />
Eine weitere Bestätigung kommt aus dem Zerfall von Positronium . . .
4.7 Ladungskonjugation 87<br />
4.7.3 Verletzung der C-Invarianz in schwacher Wechselwirkung<br />
Die C-Operation verwandelt ein ν in ein ν. Dabei wird weder der Impuls noch der Spin beeinflußt.<br />
D.h. wir bekommen ein Teilchen, was nicht existiert: ein ν mit Helizität −1. Hintereinanderausführen<br />
von � P und � C ergibt wieder einen existierenden Zustand, die Paritätsoperation<br />
verändert die relative Ausrichtung von Impuls und Spin, die Ladungskonjugation erzeugt ein<br />
Antiteilchen. Wir bekommen also ein Antineutrino mit Helizität +1, welches existiert.<br />
4.7.4 G-Parität ∗<br />
(Anmerkung: dieser Abschnitt wird in der Vorlesung ausgelassen!)<br />
Das Konzept der G-Parität erlaubt Auswahlregeln im Zerfall von Meson-Resonanzen; es läßt<br />
sich zurückführen auf Ladungskonjugations- und Isospin-Invarianz.<br />
Der Operator � C der Ladungskonjugation kann nur für neutrale Systeme Eigenwerte haben.<br />
Durch Kombination mit Isospin-Rotationen kann ein Operator<br />
�G = � C � R = � C exp (iπI2)<br />
definiert werden, der auch für einige geladenen Systeme die Formulierung von Auswahlregeln<br />
erlaubt. Die Operation � G ist eine Rotation um 180◦ um die zweite Achse im Isospinraum, gefolgt<br />
von der Ladungskonjugation.<br />
Ein Zustand |I I3 = 0〉 wird betrachtet. Dieser Zustand verhält sich unter Isospinrotationen<br />
wie die Kugelfunktion Y m<br />
ℓ (ϑ, ϕ) unter Rotationen in Ortsraum. Die � R-Operation entspricht der<br />
Transformation ϑ → π − ϑ, ϕ → π − ϕ und dafür gilt<br />
Y 0<br />
ℓ → (−1)ℓ Y 0<br />
ℓ<br />
und daher ist auch der Zustand |I I3 = 0〉 Eigenzustand zu � R mit dem Eigenwert (−1) I .<br />
Das neutrale Pion ist Eigenzustand von � C mit Eigenwert +1, denn es gibt den Zerfallsmode<br />
π 0 → γγ. Daher ist das π 0 Eigenzustand zum Operator � G mit Eigenwert −1:<br />
�G|π 0 〉 = −|π 0 〉 .<br />
Bei der Anwendung des Operators � G auf ein geladenes Pion kehrt zunächst der Operator � R<br />
das Vorzeichen der Komponente I3 um, zum Beispiel π + → π − , und der Operator � C ändert die<br />
Ladung erneut. Daher kann man schreiben<br />
�G|π + 〉 = ±|π + 〉<br />
� G|π − 〉 = ±|π − 〉<br />
Die geladenen Pionen sind also Eigenzustände zum Operator � G, allerdings mit einer willkürlichen<br />
Phase bei der Operation � C, zu der sie nicht Eigenzustände sind. Es ist üblich, für alle Elemente<br />
eines Isospin-Multipletts die gleiche G-Parität festzulegen, und daher kann man allgemein<br />
schreiben:<br />
�G|π〉 = −|π〉 .<br />
Die G-Parität ist eine multiplikative Quantenzahl und daher gilt für einen Zustand aus n Pionen<br />
�G|ψ(nπ)〉 = (−1) n |ψ(nπ)〉 .<br />
Folgerung ist, daß ein Meson mit positiver G-Parität nur in eine gerade Zahl von Pionen zerfallen<br />
kann und ein Meson mit negativer G-Parität nur in eine ungerade Zahl von Pionen zerfallen<br />
kann.
88 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Die η- und η ′ -Mesonen haben Isospin I = 0 und eine C-Parität von +1, denn es gibt einen<br />
Zerfall in zwei Photonen. Der Zerfall über die starke Wechselwirkung in zwei Pionen ist wegen<br />
der Paritätserhaltung verboten. Da die beiden Mesonen positive G-Parität haben, ist ein Zerfall<br />
in drei Pionen durch starke Wechselwirkung ebenfalls verboten. Es bleibt ein die G-Parität<br />
verletzender elektromagnetischer Zerfall in drei Pionen. Die Zerfallsbreite der η- und η ′ -Mesonen<br />
ist daher mit 1.18 keV bzw. 0.2 MeV sehr klein.<br />
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen<br />
Als klar war, daß die schwache Wechselwirkung die Parität und die C-Parität einzeln verletzt,<br />
hatte man angenommen, daß CP (Kombination von Ladungskonjugation und Parität) immer<br />
noch eine “gute” Symmetrie sei. Man hat also in der schwachen Wechselwirkung Eigenzustände<br />
zu CP zu betrachten.<br />
4.8.1 CP -Eigenzustände<br />
Die neutralen K-Mesonen gehören zu den beiden in der Tabelle 4.6 angegebenen Isospin-<br />
Dubletts.<br />
Meson Quark-System Seltsamkeit Masse in MeV<br />
K + us S = +1 493.7<br />
K 0 ds S = +1 497.7<br />
sd S = −1 497.7<br />
K− su S = −1 493.7<br />
K 0<br />
Tabelle 4.6: Die beiden Dubletts der K-Mesonen.<br />
Die beiden neutralen Mesonen K 0 und K 0 haben entgegengesetzte Quarkzusammensetzung und<br />
unterschiedliche Seltsamkeit. Sie sind bei ihrer Erzeugung in Reaktionen der starken Wechselwirkung<br />
durch die Erhaltung der Seltsamkeit unterschieden (Eigenzustände der Seltsamkeit).<br />
Erzeugungsreaktionen sind unter anderem folgende:<br />
π − + p → K 0 + Λ<br />
π − + p → K 0 + K − + p<br />
π − + p → K 0 + Λ + n + n<br />
π + + p → K 0 + K + + p<br />
Die Schwellenenergien dieser Reaktionen sind unterschiedlich. Durch entsprechende Wahl der<br />
Strahlenergie kann ein reiner K 0 -Strahl erzeugt werden. Das ist auch möglich am pp Speicherring<br />
LEAR:<br />
p + p → K − + π + + K 0<br />
p + p → K + + π − + K 0<br />
K 0 und K 0 sind Teilchen und Antiteilchen. Sowohl das K 0 als auch das K 0 sind Eigenzustände<br />
zum Paritätsoperator, der Eigenwert ist −1 (pseudoskalare Mesonen). Sie sind nicht Eigen-
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen 89<br />
zustände zum Ladungskonjugationsoperator C. Es gelten folgende Beziehungen 3 :<br />
�P |K 0 〉 = −|K 0 〉<br />
�C|K 0 〉 = −|K 0 〉<br />
�CP |K 0 〉 = +|K 0 〉<br />
� P |K 0 〉 = −|K 0 〉<br />
� C|K 0 〉 = −|K 0 〉<br />
� CP |K 0 = +|K 0 〉<br />
K0 und K 0 unterscheiden sich in der Seltsamkeit um |∆S| = 2. Sie können beide durch die<br />
schwache Wechselwirkung in zwei oder drei Pionen zerfallen (erinnere: θ − τ Rätsel!). Dabei<br />
gilt |∆S| = 1. Dadurch daß sie beim Zerfall den gleichen Endzustand haben, können die beiden<br />
Zustände sich mischen durch virtuelle Pion-Zwischenzustände:<br />
K 0 � �<br />
2π<br />
↔ ↔ K<br />
3π<br />
0<br />
s<br />
|K0 〉 |K 0 W W 〉<br />
d<br />
u<br />
u<br />
d<br />
s<br />
s<br />
|K0 〉 |K 0 u u 〉<br />
Abbildung 4.7: Quarkdiagramme zum Übergang K 0 → K 0 . Es gibt weitere Diagramme, bei<br />
denen das u-Quark durch c- oder t-Quarks ersetzt ist.<br />
Diese Übergänge mit |∆S| = 2 sind von zweiter Ordnung in der schwachen Wechselwirkung. Im<br />
Quarkbild wird diese Umwandlung durch die Diagramme 4.7 beschrieben; in weiteren Diagrammen<br />
sind die u-Quarks durch c- oder t-Quarks ersetzt. Ein reiner K 0 -Zustand zur Zeit t = 0 wird<br />
in eine Überlagerung von K 0 und K 0 übergehen. Beim Zerfall in zum Beispiel zwei oder drei<br />
π-Mesonen durch die schwache Wechselwirkung geht der Zerfall von einem CP -Eigenzustand<br />
aus. Die Linearkombinationen von K 0 und K 0 , die Eigenzustände zu CP sind, werden als K 0 1<br />
und K 0 2 bezeichnet:<br />
|K 0 1 〉 = 1 √ 2<br />
|K 0 2 〉 = 1 √ 2<br />
�<br />
|K 0 〉 + |K 0 �<br />
〉<br />
�<br />
|K 0 〉 − |K 0 �<br />
〉<br />
d<br />
W<br />
W<br />
CP = +1<br />
CP = −1<br />
Die beiden Endzustände aus zwei π-Mesonen und drei π-Mesonen haben den CP -Eigenwert +1<br />
bzw. −1:<br />
π 0 π 0 , π + π − Wir hatten weiter oben bereits Parität und C-Parität von Zwei-Pionen Systemen<br />
angeschaut. Hier kommt jeweils “+” heraus, da sie aus dem Zerfall eines Spin 0 Teilchens<br />
kommen.<br />
3 Warnung: Für die Vorzeichen der ladungstransformierten Zustände gibt es verschiedene Konventionen. Das<br />
hat aber auf die Argumentation dieses Kapitels keine wichtige Auswirkung.<br />
d<br />
s
90 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
π 0 π 0 π 0 Im drei-Pion Zustand muß man den Drehimpuls zweier Pionen � L12 in ihrem Schwerpunktsystem<br />
betrachten. � L3 ist dann der Drehimpuls des dritten Pions um den Schwerpunkt<br />
der ersten beiden im Gesamtschwerpunktsystem. Da das K Spin 0 hat, muß gelten:<br />
�L12 + � L3 = 0<br />
woraus wiederum folgt L12 = L3, wobei Li jeweils für die Drehimpulsquantenzahl steht.<br />
Deshalb ist die Parität des drei Pion Zustands:<br />
Die C Parität ist, falls die Bahndrehimpulse 0 sind:<br />
P = P 3 π (−1)L12 (−1) L3 = −1 (4.47)<br />
C = (Cπ 0)3 = +1.<br />
Also haben wir CP = −1 wie erwartet.<br />
π + π − π 0 Die Parität berechnet sich wie bei den drei neutralen Pionen (Gleichung 4.47). Für die<br />
C-Parität bekommen wir:<br />
C = C π 0 (−1) L12 = (−1) L12<br />
Daher haben wir:<br />
CP = (−1) L12+1 .<br />
Der Drehimpuls des zwei-Pionen Systems kann gemessen werden durch Messen der Winkelverteilung.<br />
Es kommt heraus L12 = 0 und damit CP = −1.<br />
Der Q-Wert der beiden Zerfälle ist unterschiedlich, daher sind die Phasenraumfaktoren und<br />
damit die Zerfallsraten sehr unterschiedlich, wie in der folgenden Tabelle angegeben.<br />
Zustand Zerfall Lebensdauer<br />
|K0 1〉 = 1 �<br />
√ |K<br />
2<br />
0 〉 + |K 0 �<br />
〉 → 2π CP = +1 τ1 = 0.9 × 10−10 sec<br />
|K0 2 〉 = 1 �<br />
√ |K<br />
2<br />
0 〉 − |K 0 �<br />
〉 → 3π CP = −1 τ2 = 0.5 × 10−7 sec<br />
4.8.2 Oszillationen der Seltsamkeit<br />
Bisher sind die Amplituden der K0 1- und K0 2-Zustände ohne ihre Zeitabhängigkeit angegeben<br />
worden. Die zeitliche Entwicklung wird im Ruhesystem angegeben. Dann gibt es zwei Faktoren,<br />
einen Faktor e−imt mit rein imaginärem Exponenten (Energie gleich Ruhemasse m) und einen<br />
Faktor e−Γt/2 , der die Zerfallswahrscheinlichkeit beschreibt. Die Massen und Zerfallskonstanten<br />
der beiden Zustände K0 1- und K0 2 werden mit m1 und Γ1 bzw. mit m1 und Γ1 bezeichnet. Die<br />
zeitliche Entwicklung wird dann durch die Amplituden<br />
beschrieben.<br />
|K 0 1(t)〉 = |K 0 1(0)〉 e −(im1+Γ1/2)t<br />
|K 0 2 (t)〉 = |K0 2 (0)〉 e−(im2+Γ2/2)t<br />
Zur Zeit t = 0 wird eine reiner K 0 -Zustand angenommen, der sich experimentell durch Wahl<br />
einer bestimmten Energie realisieren läßt. Wegen der Beziehung<br />
|K 0 〉 � � = t=0 1 �<br />
0 √ |K1 (0)〉 + |K<br />
2<br />
0 2 (0)〉�
4.8 CP -Eigenzustände und die neutralen K-Mesonen 91<br />
Intensity<br />
1<br />
K 0<br />
K 0<br />
∆m · τ1 = 0.5<br />
0<br />
0 10<br />
t/τ1<br />
Abbildung 4.8: Oszillationen der K 0 - und K 0 -Intensitäten für einen ursprünglich<br />
reinen K 0 -Strahl. Ein Wert von ∆m τ1 = 0.5 wurde angenommen.<br />
sind die Amplituden der K0 1- und K0 2-Zustände zur Zeit t = 0 gleich: 1/√2 |K0 1 (0)〉 = 1/√2 |K0 2 (0)〉 =<br />
|K0〉. Aus dem reinen K0-Zustand wird sich im Laufe der Zeit eine Mischung von K 0- und K 0 -<br />
Zuständen entwickeln auf Grund der Beziehungen<br />
|K 0 (t)〉 = 1 �<br />
0<br />
|K<br />
2<br />
1(t)〉 + |K 0 2(t)〉 �<br />
|K 0 (t)〉 = 1 �<br />
0<br />
|K<br />
2<br />
1(t)〉 + |K 0 2(t)〉 �<br />
zwischen den Amplituden. Die Intensitäten ergeben sich aus dem Betragsquadrat der Amplituden<br />
I(K 0 ) = � �<br />
� 0 0<br />
〈K (t)|K (t)〉 �2 I0 �<br />
−Γ1t −Γ2t −(Γ1+Γ2)t/2<br />
= e + e + 2e cos ((m2 − m1) t) �<br />
I(K 0 �<br />
�<br />
) = �〈K 0 (t)|K 0 �<br />
�<br />
(t)〉<br />
� 2<br />
4<br />
= I0<br />
4<br />
� e −Γ1t + e −Γ2t − 2e −(Γ1+Γ2)t/2 cos ((m2 − m1) t) �<br />
mit I(0) = |〈K0 |K0 〉| 2<br />
t=0 . Diese Formeln enthalten einen Oszillationsterm mit der ”Frequenz”<br />
∆m = |m2−m1|. Die Abbildung zeigt für den Zahlenwert ∆m = 0.5Γ1 den zeitlichen Verlauf der<br />
Intensitäten von K0 und K 0 . Experimentell konnte die Zahl der K 0 -Reaktionen als Funktion des<br />
Abstands von der K0-Quelle gemessen werden. Der Meßwert von ∆m ist (0.5300 ± 0.0012) ×<br />
10 10sec−1 . Dies entspricht einer Massendifferenz von etwa 3.5 × 10−12 MeV/c2 . Dieser Massenunterschied<br />
kann theoretisch durch Unterschiede in den Beiträgen verschiedener virtueller<br />
Zustände zur Selbstenergie in Prozessen zweiter Ordnung in der schwachen Wechselwirkung<br />
abgeschätzt werden.<br />
4.8.3 K 0 -Regeneration<br />
Die K 0 1-K 0 2-Mischung führt auf einen Regenerationsprozess. Angenommen man hat zu Beginn<br />
einen reinen K 0 -Strahl. Wenn dieser für eine Zeit in der Größenordnung von 100 K 0 1 -
92 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Lebensdauern durch Vakuum fliegt, ist praktisch die gesamte K 0 1-Komponente zerfallen (d.h.<br />
50 % der ursprünglichen Intensität) und es bleibt die K0 2-Komponente. Wenn dieser Reststrahl<br />
nun auf Materie trifft, wird es zu Reaktionen auf Grund der starken Wechselwirkung kommen,<br />
bei denen die Komponenten mit Seltsamkeit S = +1 und S = −1 entsprechend<br />
|K2〉 = 1<br />
�<br />
√ |K<br />
2<br />
0 〉 − |K 0 �<br />
〉<br />
wesentlich sind. Nach Durchgang durch Materie mit nuklearen Wechselwirkungen (starke Wechselwirkung)<br />
sollte der Reststrahl aus 50 % |K 0 〉 und 50 % |K 0 〉 bestehen. Die Existenz von K 0<br />
mit S = −1 in großer Entfernung von der Quelle eines reinen K 0 -Strahls mit S = +1 wurde<br />
experimentell durch Reaktionen wie K 0 + p → Λ + π + bestätigt.<br />
Die |K0 〉- und die |K 0 〉-Komponenten haben im Material unterschiedliche Wechselwirkungen;<br />
das |K 0 〉 enthält ein s-Quark und kann Endzustände mit Hyperonen (zum Beispiel Λ) erzeugen.<br />
Nach Verlassen des Materials gibt es eine |K 0 〉-Amplitude f|K0 〉 und eine |K 0 〉-Amplitude<br />
f|K 0 〉, wobei wegen der unterschiedlichen Wechselwirkungen |f| > |f| ist. Der ursprüngliche<br />
K0 2-Strahl wird durch die Wechselwirkungen mit der Materie transformiert in<br />
1<br />
�<br />
√ f|K<br />
2<br />
0 〉 − f|K 0 �<br />
〉 = f − f<br />
2 √ 2<br />
= 1<br />
2<br />
�<br />
f|K 0 〉 + f|K 0 �<br />
〉 + f + f<br />
� f − f � |K1〉 + 1<br />
2<br />
2 √ 2<br />
� f + f � |K2〉<br />
�<br />
f|K 0 〉 − f|K 0 �<br />
〉<br />
Eine Komponente des K1-Zustands wird also regeneriert; experimentell kann diese Regeneration<br />
nachgewiesen werden durch die ππ-Zerfälle des K1.<br />
4.9 CP -Verletzung<br />
Die neutralen K-Mesonen erlauben sehr empfindliche Tests der CP -Erhaltung. Tatsächlich<br />
wurde im Zerfall der neutralen K-Mesonen in einem historischen Experiment von Christensen,<br />
Cronin und Fitch 1964 eine kleine CP-Verletzung gefunden. Bei ihrer Apparatur handelt sich<br />
um ein Zwei-Arm Spektrometer, in dem Zerfallspionen gemessen und identifiziert werden. Das<br />
Prinzip des Experiments ist: man erzeugt einen K 0 Strahl, wartet bis alle K0 1 zerfallen sind<br />
und mißt die K 0 2<br />
Zerfälle. Drei Pion zerfälle dominieren , es wurde aber ein winziger Anteil von<br />
Zwei Pion Zerfällen gefunden. Im Experiment fand man z.B. in 22700 Drei Pion Zerfällen 45±9<br />
Zwei Pion Zerfälle. Die CP-Verletzung ist also ein winziger Effekt von der Größenordnung 10 −3 ,<br />
im Gegensatz zur Paritätsverletzung, die maximal ist (falls das Neutrino masselos ist, hat es<br />
immer Helizität −1).<br />
Die Erklärung der CP-Verletzung ist bis heute nicht vollständig gelungen. Allerdings wurde<br />
gerade im letzten Jahr (2001/2002) ein großer Fortschritt erzielt: man hat zum ersten Mal<br />
CP-Verletzung auch in einem anderen System als dem K 0 System gemessen, nämlich in B 0<br />
Zerfällen, s. später.<br />
Man kann für das K 0 System ganz allgemein ansetzen:<br />
K 0 S = K 0 1 − ɛ K 0 2<br />
K 0 L = ɛ K0 1 + K0 2<br />
(4.48)<br />
(4.49)<br />
K0 S ist dann das kurzlebige K0 , K0 L das langlebige. ɛ ist eine komplexe Zahl mit kleinem Betrag.<br />
Es gibt zwei Möglichkeiten für das Auftreten des Zwei Pionzerfalls von K 0 L :
4.10 Zeitumkehr 93<br />
Abbildung 4.9: Asymmetrie in der Zerfallsrate für Reaktionen 4.50 (bezeichnet als N − ) und<br />
4.51 (bezeichnet als N + ) aufgetragen gegen die Zeit.<br />
• “indirekt”: der kleine Anteil ɛ K 0 1<br />
• “direkt”: K 0 2<br />
selbst zerfällt in 2 Pionen.<br />
ist dafür verantwortlich;<br />
Kürzlich (circa 1999/2000) wurde experimentell geklärt, dass beide Teile vorhanden sind.<br />
CP-Verletzung ist wichtig, um zu verstehen, warum das Weltall –heutiger Kenntnis nach– nahezu<br />
ausschließlich aus Materie besteht. Man nimmt an, dass nach dem Urknall Materie und<br />
Antimaterie zunächst gleich häufig vorhanden war und die Asymmetrie erst bei der Abkühlung<br />
auftrat. Eine Grundvoraussetzung ist eine Unsymmetrie zwischen der Wechselwirkung von Materie<br />
und Antimaterie.<br />
CP-Verletzung liefert diese; man sieht das leichter an folgender Reaktion:<br />
K 0 L → π + e − νe<br />
K 0 L → π− e + νe<br />
(4.50)<br />
(4.51)<br />
Die beiden Reaktionen gehen durch die CP-Operation ineinander über. Man hat einen kleinen<br />
Unterschied in der Zerfallsrate gefunden, s. Abb. 4.9.<br />
4.10 Zeitumkehr<br />
Die Prüfung der Invarianz der Gesetze der Teilchenphysik gegenüber der Zeitumkehr � T ist<br />
schwieriger als bei den Operatoren � P und � C. Alle Teilchen sind Eigenzustände zu � P und einige<br />
Teilchen sind Eigenzustände zu � C. Jedoch ist kein Teilchen Eigenzustand zu � T und daher kann<br />
T-Erhaltung nicht einfach durch Multiplizieren von Quantenzahlen geprüft werden.<br />
Empfindliche Tests von Zeitumkehrinvarianz bestehen in der genauen Messung von Größen, die<br />
exakt Null sein sollten. Das klassische Beispiel ist das statische elektrische Dipolmoment des
94 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
Neutrons. Für ein Elementarteilchen müßte das elektrische Dipolmoment in die Spinrichtung<br />
zeigen, weil es keine andere definierte Richtung gibt. Jedoch ist das Dipolmoment ein Vektor<br />
und der Spin ein Pseudovektor, und ein nichtverschwindendes elektrisches Dipolmoment würde<br />
daher Paritätsverletzung bedeuten. Unter Zeitumkehr ändert der Spin sein Vorzeichen, nicht<br />
aber das Dipolmoment, und ein nichtverschwindendes elektrisches Dipolmoment würde daher<br />
auch T-Verletzung bedeuten. Die augenblickliche experimentelle Grenze für das elektrische Dipolmoment<br />
des Neutrons ist<br />
d < 0.63 × 10 −25 e cm<br />
Tabelle 4.7 zeigt das Verhalten verschiedener Größen unter den Operationen � P und � T . Um die<br />
Invarianz gegenüber der Zeitumkehr-Transformation zu testen, muß man eine Größe bilden, die<br />
bei der Operation � T ihr Vorzeichen ändert, bei der Operation � P jedoch nicht. Eine solche Größe<br />
ist<br />
�σ · (�p e × �p ν) , (4.52)<br />
die unter � T ihr Vorzeichen ändert und die beim β-Zerfall polarisierter Neutronen gemessen<br />
werden kann (�σ = Spin des Neutrons, �p e = Impuls des Elektrons, �p ν = Impuls des Neutrinos).<br />
Die Transformationseigenschaften unter � T und � P ergeben sich aus Tabelle 4.7. Wenn Invarianz<br />
unter � T gegeben ist, muß die Messung der Größe in Gleichung 4.52 im Mittel Null ergeben.<br />
Die Messung ergab tatsächlich Null im Rahmen der Meßfehler. Bei dieser Messung wurde der<br />
Neutrino-Impuls durch Messung des Proton-Impulses und Ausnutzung von Impulserhaltung<br />
bestimmt.<br />
Transformation �r �p �σ � E � B �σ · (�pe × �p ν)<br />
Ort Impuls Spin Elektr. Feld Magnetfeld<br />
Raumspiegelung � P −�r −�p +�σ − � E + � B +<br />
Zeitumkehr � T +�r −�p −�σ + � E − � B −<br />
Tabelle 4.7: Das Verhalten verschiedener Größen unter Raumspiegelung und Zeitumkehr.<br />
Prinzip des detaillierten Gleichgewichts. T -Invarianz führt zu einer Beziehung zwischen<br />
einer Reaktion und der zeitlich umgekehrten Reaktion. In der klassischen Physik ist diese beziehung<br />
vertraut, denn die Newtonschen Bewegungsgleichungen sind von zweiter Ordnung in der<br />
Zeit und daher sind sie invariant unter Zeitumkehr t → −t. In der Quantenmechanik werden<br />
durch die Zeitumkehr � T die Teilchenimpulse und die z-Komponenten der Spins im Vorzeichen<br />
umgedreht. Durch zusätzliche Raumspiegelung � P können die Vorzeichen der Teilchenimpulse<br />
wiederum im Vorzeichen umgedreht werden. Wenn über die Spinprojektionen gemittelt wird,<br />
sollte sich Reaktionen a+b → c+d und c+d → a+b nur durch die Vertauschung von Anfangsund<br />
Endzustand unterscheiden, und die Reaktionsraten sollten bei Mittelung über die Spinzustände<br />
gleich sein. Diese Prinzip des detaillierten Gleichgewichts genannte Beziehung ist in<br />
der starken und der elektromagnetischen Wechselwirkung experimentell bestätigt worden.<br />
Spin des geladenen Pions. Der erste Hinweis darauf, daß der Spin des Pions gleich Null<br />
ist, kam durch die Anwendung des Prinzips des detaillierten Gleichgewichts auf die Reaktion<br />
p + p → π + + d und die Umkehrreaktion π + + d → p + p bei gleicher Schwerpunktsenergie.<br />
Die Messung der Wirkungsquerschnitte beider Reaktionen wurde mit unpolarisierten Teilchen<br />
durchgeführt; dies enspricht einer Mittelung über die möglichen Anfangszustände der Spins.
4.11 Das CP T -Theorem 95<br />
Über die Endzustände der Spins wurde summiert. Für jeden Spin Sf des Endzustands muß<br />
daher ein Faktor (2Sf +1) berücksichtigt werden. Auch Fluß- und Phasenraumfaktoren müssen<br />
berücksichtigt werden. Die differentiellen Wirkungsquerschnitte sind gegeben durch<br />
und<br />
dσ(pp → π + d)<br />
d cos ϑ<br />
dσ(π + d → pp)<br />
d cos ϑ<br />
= (2Sπ + 1) (2Sd + 1)<br />
2π<br />
= (2Sp + 1) 2<br />
2π<br />
p 2 p<br />
vivf<br />
p 2 π<br />
vivf<br />
|Mfi| 2 ,<br />
|Mif| 2<br />
wobei ϑ der Streuwinkel, pπ und pp die Impulsbeträge des Pions und des Protons sind, und vi<br />
und vf die relativen Geschwindigkeiten der pp- bzw. π + d-Paare im Schwerpunktsystem sind. Das<br />
Prinzip des detaillierten Gleichgewichts besagt, daß die über Spins gemittelten Streuamplituden<br />
gleich sind:<br />
|Mif| 2 = |Mfi| 2 .<br />
Für das Verhältnis der differentiellen Wirkungsquerschnitte ergibt dies<br />
dσ(pp → π + d)/d cos ϑ<br />
dσ(π + d → pp)/d cos ϑ<br />
= 3<br />
� �2 pπ<br />
pp<br />
(2Sπ + 1) ,<br />
wenn für Sp und Sd die bekannten Spinwerte 1/2 bzw. 1 eingesetzt werden. Das Verhältnis<br />
bestimmt den Wert des Pion-Spins. Die Messung der beiden Wirkungsquerschnitte Anfang der<br />
50 Jahre ergab das Ergebnis Sπ = 0.<br />
4.11 Das CP T -Theorem<br />
Alle Wechselwirkungen sind unter der kombinierten Operation der Ladungkonjugation � C, der<br />
Raumspiegelung � P und der Zeitumkehr � T invariant. Man nennt dies das CP T -Theorem; in der<br />
Quantenfeldtheorie läßt sich zeigen, daß das Theorem in jeder relativistischen Quantentheorie<br />
gilt, in denen sich Signale nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.<br />
Eine Folgerung aus dem CPT Theorem ist, daß Teilcheneigenschaften wie Masse, Betrag der<br />
Ladung und des magn. Momentes von Teilchen und Antiteilchen exakt gleich sein müssen. In<br />
Tabelle 4.8 sind experimentelle Grenzen an solchen Größen aufgeführt.<br />
Measured Quantity Limit or value<br />
(MK0 − MK 0)/(MK0 + M 0) K<br />
(Me + − Me−)/(Me + + Me−) < 10−19<br />
< 4 × 10−8<br />
(MΛ − MΛ )/(MΛ + MΛ) (−5 ± 5) × 10−6 (Qp − Qp)/e < 2 × 10−5 � � �� �<br />
Qp<br />
Qp<br />
(8 ± 6) × 10−10 Mp<br />
− Qp<br />
Mp<br />
Mp<br />
+ Qp<br />
Mp<br />
(µe + − µe−)/(µe + + µe−) −(3 ± 5) × 10−13<br />
(τ µ + − τ µ −)/(τ µ + + τ µ −) < 10−4 Tabelle 4.8: Experimentelle Grenzen an Differenzen zwischen Teilchen und Antiteilchen.
96 Erhaltungssätze und Symmetrien<br />
4.12 Zusammenfassung und Quantenzahlen<br />
Tabelle 4.9 gibt einen Überblick über die in den starken, elektromagnetischen und schwachen<br />
Wechselwirkungen gültigen Erhaltungssätze.<br />
Erhaltungssatz Wechselwirkung<br />
stark e.m. schwach<br />
Energie, Impuls, Drehimpuls ja ja ja<br />
Ladung Q, Baryonenzahl B ja ja ja<br />
Leptonzahl L, Le, Lµ, Lτ ja ja ja<br />
Parität, C-Parität ja ja nein<br />
Seltsamkeit, Charm, Bottom, Top ja ja nein<br />
Isospin ja nein nein<br />
CP ja ja nein<br />
T ja ja nein (??)<br />
CP T ja ja ja<br />
Tabelle 4.9: Tabelle der Erhaltungssätze und Wechselwirkungen<br />
Mit den Erhaltungssätzen verbunden sind Quantenzahlen, die den elementaren Teilchen zugeordnet<br />
werden können. Den Quarks und den Hadronen, sowie dem Photon und Gluon kann<br />
Spin und Parität, bezeichnet mit J P , zugeordnet werden. Teilchen, die Eigenzustände der La-<br />
dungskonjugation sind, kann darüberhinaus auch eine C-Parität zugeordnet werden, die zu J<br />
zusammengefaßt wird.<br />
Quarks und Hadronen kann weiterhin ein Isospin I zugeordnet werden; bei einigen Hadronen<br />
ist zusätzlich eine G-Parität möglich 4 , die mit dem Isospin zu der Angabe von I G zusammengefaßt<br />
wird. Weitere Quantenzahlen wie Baryonen- und Leptonenzahl sind in der Tabelle 4.9<br />
aufgeführt. Achtung: Die Tabelle stellt den Stand des Wissens um das Jahr 2002 dar. Modifikation<br />
können auftreten, z.B. wenn man bestätigt, daß Neutrinos Masse haben, und damit die<br />
Le,µ,τ nicht mehr separat erhalten sind. Die Verletzung wird aber sehr klein sein!<br />
4 In dieser Vorlesung ausgelassen!<br />
P C
Kapitel 5<br />
Teilchennachweis und Detektoren<br />
Detektoren sind i.a. nur geeignet zum Nachweis von Teilchen mit genügend großer Lebensdauer.<br />
Für kurzlebige Teilchen müssen andere Methoden verwandt werden, s. z.B. “invariante<br />
Masse”. Kann man den Spurverlauf eines Teilchens messen und damit z.B. die Krümmung im<br />
Magnetfeld, so kann man daraus Impuls und Ladung bestimmen. Falls es gelingt, auch die<br />
Teilchenenergie oder auch die Teilchengeschwindigkeit zu bestimmen, so kann man die Masse<br />
berechnen. Bei hohen Energien ist letzteres oft nicht möglich. Oft kann man aber indirekt über<br />
die Wechselwirkung der Teilchen mit der Detektormaterie oder mit anderer Materie auf ihre<br />
Natur schliessen. . .<br />
Wir diskutieren also zunächst die Wechselwirkung von Teilchen mit Materie. Überwiegend<br />
geschieht diese Wechselwirkung durch elektromagnetische Wechselwirkung:<br />
• Ionisation<br />
• Vielfachstreuung<br />
• Čerenkovstrahlung<br />
• Bremsstrahlung, e → e + γ<br />
• Paarbildung, γ → e + + e −<br />
Wichtige Ausnahme: Messung von Hadronen und Jets durch starke Wechselwirkung in “hadronischen<br />
Kalorimetern”.<br />
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie<br />
5.1.1 Wechselwirkung schwerer geladener Teilchen: IONISATION<br />
Basis vieler Detektoren ist die IONISATION, die ein geladenes Teilchen beim Durchqueren<br />
von Materie (gasförmig, flüssig oder fest) bewirkt. Durch Ionisation von Atomen bleiben bewegliche<br />
Elektronen und schwere Ionen zurück. Durch Anlegen elektrischer Felder werden die<br />
Ladungsträger auf Elektroden gesammelt und zu meßbaren Signalen verarbeitet.<br />
Anwendungen z.B.:<br />
• Gasgefüllte Spurkammern<br />
– Geigerzähler<br />
– Proportionalkammern
98 Teilchennachweis und Detektoren<br />
– Driftkammern<br />
• Halbleiterzähler<br />
Quantitativ kann man den Energieverlust eines Teilchens durch Ionisation durch die Bethe–<br />
Bloch Formel angeben.<br />
− dE z<br />
= D · ne<br />
dx 2<br />
β2 �<br />
ln 2mec2 (βγ) 2<br />
− β<br />
I<br />
2 �<br />
+ . . .<br />
(5.1)<br />
D ist eine Ansammlung von Konstanten, ne ist die Zahl der Elektronen pro Volumeneinheit in<br />
der durchlaufenen Materie. β und z beschreiben das ionisierende Teilchen.<br />
Bedeutung der Größen:<br />
2 (¯hc)2<br />
D= 4πα<br />
mec 2<br />
= 5.1 · 10−25 MeV cm 2<br />
z · e Ladung des ionisierenden Teilchens<br />
β Geschwindigkeit β = v<br />
ne<br />
c<br />
Elektronendichte in der durchquerten Materie [cm−3 ] ne = NA · Z · ρ<br />
A<br />
NA<br />
Avogadrozahl<br />
Z Kernladungszahl<br />
A Atomgewicht [g]<br />
ρ Dichte [g/cm 3 ]<br />
I mittl. Ionisationsenergie [eV] ≈ 16 · Z 0.9 eV<br />
Als Dimension für den spezifischen Energieverlust dE/dx kommt in Gleichung 5.1 heraus:<br />
[MeV/cm]. Ebenfalls gebräuchlich ist es, durch die Dichte ρ zu dividieren und den Energieverlust<br />
differentiell in der sogenannten “Massenbelegungsdichte” X = ρx anzugeben:<br />
dE<br />
dX<br />
� MeV<br />
g/cm −2<br />
�<br />
= 1 dE<br />
ρ dx<br />
Der spezifische Energieverlust ist in Abb. 5.1 dargestellt als Funktion von βγ. Zusätzlich ist die<br />
Skala für den Impuls mehrerer Teilchenarten angegeben.<br />
Eigenschaften der Bethe–Bloch Formel<br />
Der spezifische Energieverlust dE<br />
dx ist:<br />
• unabhängig von der Masse des Teilchens<br />
• nur abhängig von seiner Geschwindigkeit β ((βγ) 2 = β 2 /(1 − β 2 )). Bei kleinen β ist die<br />
Abhängigkeit stark, ∼ 1/β 2 .<br />
• ∼ Z, d.h. der Anzahl Elektronen im Material<br />
• ∼ Z<br />
A<br />
Da Z für viele Stoffe ≈ 0.5 ist, ist die Abhängigkeit des Wertes des spezifischen Energieverlustes<br />
A<br />
vom Medium gering. Der Verlauf von dE<br />
zeigt ein Minimum bei βγ ∼ 3 − 4, danach steigt er<br />
dx
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 99<br />
− dE/dx (MeV g −1 cm 2 )<br />
10<br />
8<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0.1<br />
1.0 10 100 1000 10 000<br />
βγ = p/Mc<br />
0.1<br />
0.1<br />
H 2 liquid<br />
He gas<br />
Fe<br />
Sn<br />
Pb<br />
1.0 10 100 1000<br />
Muon momentum (GeV/c)<br />
1.0 10 100 1000<br />
Pion momentum (GeV/c)<br />
0.1 1.0 10 100 1000 10 000<br />
Proton momentum (GeV/c)<br />
Abbildung 5.1: Spezifischer Energieverlust in verschiedenen Materialien als Funktion von βγ<br />
(flüssiger Wasserstoff wird in der Blasenkammer benutzt.) Zusätzlich ist der Impuls für Myonen,<br />
Pionen und Protonen angegeben.<br />
dE/dx (keV/cm)<br />
32<br />
28<br />
24<br />
20<br />
16<br />
12<br />
8<br />
μ π K p<br />
0.1<br />
e<br />
D<br />
Al<br />
1 10<br />
Momentum (GeV/c)<br />
Abbildung 5.2: Messung des Energieverlustes in einer Driftkammer in Abhängigkeit des Impulses.<br />
C
100 Teilchennachweis und Detektoren<br />
Abbildung 5.3: Elektrische Feldlinien eines geladenen Teilchens in Ruhe (links) und eines mit<br />
γ = 3 bewegten (rechts).<br />
Abbildung 5.4: Energieverlust-Verteilung für π-Mesonen und Elektronen in einer Schicht von 1.5<br />
cm Argon mit 5% CH4 bei Normalbedingungen. Die Histogramme sind Daten und die Kurven<br />
verschiedene Modellrechnungen.<br />
wieder an, allerdings nur logarithmisch. Dieser sogenannte ‘relativistische Wiederanstieg’ hängt<br />
mit der relativistischen Verformung des elektrischen Feldes zusammen, welches das Teilchen<br />
umgibt (s. Abb. 5.3).<br />
Die Anzahl der Ionen und Elektronen, die durch den Energieverlust erzeugt werden, hängt von<br />
der Ionisationsenergie des Stoffes ab. Typische Werte sind ≈ 20 − 40eV für Gase und 3eV<br />
für Halbleiter. In Halbleitern entstehen also etwa 10 mal mehr Ionenpaare als in gasgefüllten<br />
Kammern, was u.a. zu einer guten Energieauflösung führt.<br />
Der diskutierte Ausdruck für die Bethe–Bloch Formel 5.1 gilt nur für “schwere” Teilchen, z.B.<br />
Myonen, Pionen, Kaonen, Protonen, Deuteronen, etc. Für Elektronen ist bei hohen Energien der<br />
Energieverlust durch Bremsstrahlung wichtiger. Für den Energieverlust durch Ionisation muß<br />
bei Elektronen in der Bethe–Bloch Formel eine Korrektur angebracht werden, die berücksichtigt,<br />
daß das Projektil die gleiche Masse hat wie das Atomelektron.<br />
Man kann die Formel 5.1 auf mehrere Arten herleiten, klassisch wurde sie z.B. von Bohr abgeleitet.<br />
Man findet solche klassischen Näherungsrechnungen in vielen Büchern [Lohrmann1,Leo].<br />
Quantenmechanisch wurde sie von Bethe und Bloch abgeleitet.<br />
Die Bethe–Bloch Formel gibt den mittleren Energieverlust an. Der Energieverlust, der in einzelnen<br />
Stoßprozessen stattfindet, fluktuiert um diesen Mittelwert. Die Verteilung ist asymmetrisch
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 101<br />
R/M (g cm −2 GeV −1 )<br />
50000<br />
20000<br />
10000<br />
5000<br />
2000<br />
1000<br />
500<br />
200<br />
100<br />
50<br />
20<br />
10<br />
5<br />
2<br />
1<br />
0.1 2 5 1.0 2 5 10.0 2 5 100.0<br />
βγ = p/Mc<br />
0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0<br />
Pion momentum (GeV/c)<br />
0.1<br />
Pb<br />
Fe<br />
H 2 liquid<br />
He gas<br />
0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0<br />
Muon momentum (GeV/c)<br />
0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 50.0<br />
Proton momentum (GeV/c)<br />
Abbildung 5.5: Reichweite in verschiedenen Materialien.<br />
und hat einen langen Ausläufer zu hohen Energien (Landauverteilung, s. Abb. 5.4). Grob ist<br />
die Erklärung dafür:<br />
• dicke Absorber: viele Stöße→ Gaußverteilung<br />
• dünne Absorber:<br />
– viele Stöße mit kleinem dE<br />
dx<br />
– wenige mit großem dE<br />
dx<br />
Reichweite Summiert man den Energieverlust auf, bis das Projektil alle Energie verloren<br />
hat, so erhält man die Reichweite:<br />
R =<br />
� 0<br />
E<br />
C<br />
1<br />
−dE/dx dE<br />
Bei “niedrigen” Energien kann man durch Messung der Reichweite auf die Energie schließen.<br />
Bei hohen Energien ist eine Messung der Reichweite meist nicht mehr möglich. Ein Überblick<br />
über die Reichweite ist in Abb. 5.5 gegeben.<br />
5.1.2 Vielfachstreuung<br />
Die elastische Streuung geladener Teilchen an Atomkernen führt hauptsächlich zu einer Richtungsänderung<br />
(s. Skizze in Abb. 5.6). Der Energieübertrag ist i.a. klein. Der Wirkungsquerschnitt<br />
ist gegeben durch die Rutherfordformel:
102 Teilchennachweis und Detektoren<br />
x/2<br />
x<br />
s plane<br />
Ψ plane<br />
y plane<br />
θ plane<br />
Abbildung 5.6: Vielfachstreuung in einer Ebene in einer Materieschicht der Dicke x. Das Teilchen<br />
tritt von links ein. θplane ist dasselbe wie θx in Gl. 5.2.<br />
dσ<br />
dΩ =<br />
� Z z e 2<br />
2 p v c<br />
� 2<br />
1<br />
4 θ sin 2<br />
Die kleinen Streuwinkel sind am wahrscheinlichsten, man hat daher meist viele kleine Ablenkungen.<br />
Man kann durch statistische Betrachtung eine Formel für die Ablenkung eines Teilchens<br />
in einer Ebene nach Durchlaufen einer Materieschicht x angeben. Die Verteilung des Winkels<br />
θx in einer Ebene ist näherungsweise Gaußförmig mit einer Standardabweichung von:<br />
θx = � 〈θ 2 〉 =<br />
13.6 MeV<br />
p β c<br />
Hierbei ist X0 die Strahlungslänge (s. Gleichung 5.6). Die Formel gilt für ein einfach geladenes<br />
Teilchen, sonst muß noch mit z multipliziert werden. Man sieht an Gl. 5.2, daß die Vielfachstreuung<br />
groß wird für kleine Impulse. Vielfachstreuung kann in der Praxis leicht eine Begrenzung<br />
liefern z.B. für die Meßgenauigkeit von Impulsen, Richtungen, etc. und begrenzt damit auch<br />
die Möglichkeit, Massen zu messen.<br />
5.1.3 Čerenkovstrahlung<br />
Effekt: Emission elektromagnetischer Strahlung (im optischen, vor allem aber auch im UV<br />
Bereich). Der Čerenkov-Effekt tritt beim Durchgang schneller, geladener Teilchen durch ein<br />
Medium mit Brechungsindex n > 1 auf. Die Lichtgeschwindigkeit im Medium ist dann: c/n<br />
und Čerenkovstrahlung wird emittiert, falls die Geschwindigkeit des Teilchens die Bedingung<br />
erfüllt:<br />
v > c/n.<br />
v ≪ c : Teilchen polarisiert das Medium radialsymmetrisch, d.h. vor und hinter sich gleicher-<br />
n<br />
maßen: es resultiert keine Abstrahlung.<br />
v > c<br />
: Teilchen “überholt” das von ihm erzeugte el.mag. Feld→Entstehung einer Wellenfront<br />
n<br />
ähnlich Machschem Kegel →Čerenkovstrahlung. cos θc = c<br />
v n<br />
Da cos θc ≤ 1 gelten muss, folgt obige Bedingung für die Teilchengeschwindigkeit. Beim Čerenkoveffekt<br />
hat man i.a. eine sehr geringe Lichtausbeute: der Energieverlust beträgt ca. 400 eV/cm; vgl. Ionisation:<br />
2 MeV/cm. Trotzdem Einsatz zur Teilchenidentifikation bei bekanntem Impuls, früher<br />
� x<br />
X0<br />
(5.2)
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 103<br />
Abbildung 5.7: Links: Geometrische Konstruktion zur Veranschaulichung des Čerenkov-Effekt<br />
und der Čerenkov-Bedingung. Rechts: Skizze eines Cerenkovzählers, in dem man den Cerenkovwinkel<br />
messen kann.<br />
meist als Schwellencerenkov Zähler.<br />
Heutzutage wird oft eine Anordnung verwandt, die es erlaubt, den Čerenkovwinkel zu messen:<br />
RICH=Ring Imaging Cerenkov Counter (z.B. DELPHI Experiment) oder<br />
DIRC=Detection of internally reflected Čerenkovradiation im BABAR Experiment.<br />
5.1.4 Energieverlust von Elektronen: Bremsstrahlung<br />
Elektronen verlieren ihre Energie hauptsächlich durch “Bremsstrahlung”, Abstrahlung von Photonen<br />
im Feld eines Kerns. Der Effekt ist nur für leichte geladene Teilchen wichtig. Bei heute in<br />
der Praxis erreichten Energien ist Bremsstrahlung nur wichtig für Elektronen (Ausnahme evtl.<br />
Astroteilchenphysik).<br />
Wahrscheinlichkeit, nach einer dünnen Schicht dx, ein Photon der Energie zwischen k und k+dk<br />
zu finden ist (Näherungsformel für hohe Energien E):<br />
Eigenschaften der Bremsstrahlung:<br />
Φ(E, k)dxdk � dx<br />
• Emissionswinkel der Photonen ist klein: ∼ m<br />
E<br />
• Photonenspektrum ∼ 1<br />
k “Bremsstrahlungsspektrum”<br />
Mittlerer Energieverlust durch Bremsstrahlung:<br />
−dE = dx<br />
− dE<br />
E<br />
X0<br />
= dx<br />
X0<br />
� E<br />
k=0<br />
X0<br />
k dk<br />
k<br />
dk<br />
k<br />
= E dx<br />
X0 ist die sogenannte Strahlungslänge, die von der Materie abhängt. Die Energie eines Elektrons<br />
nach Durchqueren der Materieschicht x folgt durch Integration:<br />
X0<br />
(5.3)<br />
(5.4)
104 Teilchennachweis und Detektoren<br />
dE (X −1<br />
dx 0 )<br />
1<br />
E<br />
−<br />
1.0<br />
0.5<br />
0<br />
1<br />
Electrons<br />
Møller (e − )<br />
Positron<br />
annihilation<br />
Positrons<br />
Bhabha (e + )<br />
Ionization<br />
Lead (Z = 82)<br />
Bremsstrahlung<br />
0.20<br />
0.15<br />
0.10<br />
0.05<br />
10 100 1000<br />
E (MeV)<br />
Abbildung 5.8: Normierter Energieverlust pro Strahlungslänge in Blei für Elektronen als eine<br />
Funktion der Elektronen oder Positronen Energie.<br />
E = E0 exp (− x<br />
X0<br />
(cm 2 g −1 )<br />
). (5.5)<br />
E0 ist die Anfangsenergie. X0 ist also die Materiedicke, nach der die Energie eines Elektrons (im<br />
Mittel) auf 1/e abgenommen hat. Für hohe Energien ist X0 durch folgenden Ausdruck gegeben:<br />
1<br />
X0<br />
= 4 Z 2<br />
� �<br />
NA<br />
α<br />
A<br />
3<br />
�<br />
¯hc<br />
mc2 �2 �<br />
183<br />
ln<br />
Z1/3 �<br />
Z und A charakterisieren das Material, α ist die Feinstrukturkonstante und mc 2 die Masse<br />
des Elektrons. Der Energieverlust durch Ionisation ist für Elektronen in Abhängigkeit von der<br />
Energie ungefähr konstant, wenn die Elektronenenergie nicht zu klein ist. Der Energieverlust<br />
durch Strahlung nimmt mit der Energie zu, s. Gl. 5.4. Daher dominiert bei hohen Energien<br />
der Verlust durch Abstrahlung. Man definiert die “kritische Energie” als die Energie, wo beide<br />
Verlustraten gleich sind (vgl. Abb. 5.8):<br />
dE<br />
dx (Ekrit)|rad = dE<br />
Näherungsweise ist die kritische Energie gegeben durch:<br />
dx (Ekrit)|ion.<br />
Ekrit � 600<br />
Z [MeV]<br />
Dies ist nur eine “Faustformel”. Bessere Näherungen (durch Anpassung an Daten) sind:<br />
Substanzen.<br />
Ekrit � 610<br />
[MeV] für feste, flüssige<br />
Z + 1.24<br />
Ekrit � 710<br />
[MeV] für gasförmige<br />
Z + 0.92<br />
(5.6)
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 105<br />
Cross section (barns/atom)<br />
1 Mb<br />
1 kb<br />
1 b<br />
1 Mb<br />
1 kb<br />
Cross section (barns/atom) 10 mb<br />
1 b<br />
σ p.e.<br />
σ Rayleigh<br />
σ p.e.<br />
σ Rayleigh<br />
σ Compton<br />
σ Compton<br />
(a) Carbon (Z = 6)<br />
− experimental σtot κnuc κe (b) Lead (Z = 82)<br />
− experimental σ tot<br />
κ nuc<br />
10 mb<br />
10 eV 1 keV 1 MeV<br />
Photon Energy<br />
1 GeV 100 GeV<br />
Abbildung 5.9: Gesamtwirkungsquerschnitt für Photonen als Funktion der Photonenenergie für<br />
verschiedene Prozesse. Dabei bezeichnet Kn = e + e − Paar Produktion am Kern; Ke am Elektron;<br />
σincoh bezeichnet Comptonstreuung an den Elektronen, der Rest ist nicht so wichtig.<br />
5.1.5 Wechselwirkung von Photonen mit Materie<br />
Die Wechselwirkung von Photonen mit Materie ist auch eine elektromagnetischer Prozeß. Bei<br />
niedrigen Energien gibt es drei wichtige Prozesse, deren Wahrscheinlichkeit unterschiedlich von<br />
der Photonenergie k abhängt (vgl. auch Abb. 5.9 und 5.10):<br />
• Photoeffekt, σ ∼ k −3 bei hohen Energien, darunter auch ‘Kanten’<br />
• Comptonstreuung σ ∼ k −1<br />
κ e
106 Teilchennachweis und Detektoren<br />
Tabelle 5.1: Strahlungslänge X0, kritische Energie Ekrit und hadronische Absorptionslänge λHad<br />
für einige Materialien.<br />
Material X0[g/cm 2 ] Ekrit[MeV ] λHad[g/cm 2 ]<br />
H2 63.0 340.0 52.4<br />
Al 24.0 47.0 106.4<br />
Ar 18.9 35.0 119.7<br />
Kr 11.3 21.5 147.0<br />
Xe 8.5 14.5 168.0<br />
Fe 13.8 24.0 131.9<br />
Pb 6.3 6.9 193.7<br />
Bleiglas SF 5 9.6 ∼11.8<br />
Plexiglas 40.5 80.0 83.6<br />
H2O 36.0 93.0 84.9<br />
NaI(Tl) 9.5 12.5 152.0<br />
Bi4Ge3O12 8.0 10.5 164.0<br />
1.0<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
P 0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
Pb<br />
Fe<br />
NaI<br />
Ar<br />
H2O<br />
0.0<br />
1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000<br />
Photon energy (MeV)<br />
Abbildung 5.10: Wahrscheinlichkeit P, daß eine Photonwechselwirkung zu einer e − e + Paarbildung<br />
führt.<br />
• e + e − Paarbildung σ � konstant<br />
Beim Photoeffekt wird ein Elektron durch das Photon herausgelöst, das Photon wird dabei<br />
vollständig absorbiert. Beim Comptoneffekt wird dagegen ein Photon am (fast) freien Elektron<br />
gestreut; γ + e → γ + e. Paarbildung erfolgt nach der Reaktion: γ + Kern → e + e − + Kern. Die<br />
Anwesenheit des Kerns bei Paarbildung ist notwendig, um Impuls und Energie gleichzeitig zu<br />
erhalten (→ Übung!).<br />
C<br />
H
5.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 107<br />
Wegen der angegebenen Energieabhängigkeit der Wirkungsquerschnitte, ist bei hohen Energien,<br />
E ∼ > 10 MeV, nur noch Paarbildung wichtig wie man in Abb. 5.9 sieht.<br />
(Die Prozesse können außer am Kern auch an den Atomelelektronen (natürlich mit anderer<br />
Wahrscheinlichkeit) stattfinden.)<br />
Die Intensität eines γ–Strahls nimmt durch Paarbildung exponentiell ab mit der durchlaufenen<br />
Materiedicke x:<br />
I = I0 exp(− 7x<br />
)<br />
9X0<br />
(Vgl. Formel 5.5 für den Energieverlust durch Bremsstrahlung!) Diese Formel gilt erst im “asymptotischen”<br />
Bereich, E > 1 GeV, d.h. weit oberhalb der Schwellenenergie von 2mec 2 = 1.1 MeV.<br />
5.1.6 Starke Wechselwirkung von Teilchen mit Materie<br />
Eine wichtige Wechselwirkung von Hadronen (π ± , K ± , K 0 , p, n, etc) mit Materie ist die starke<br />
Wechselwirkung oder auch Kernwechselwirkung. Sie ist unabhängig von der Ladung des einfallenden<br />
Teilchens und nur Hadronen nehmen daran teil (Hadronen=Teilchen, die aus Quarks<br />
zusammengesetzt sind). Wir betrachten zunächst nur die Wechselwirkung mit Nukleonen, Protonen<br />
oder Neutronen. Der Wirkungsquerschnitt für irgendeine Reaktion von Pionen, σT , ist<br />
in Abb. 4.4 als Funktion der Energie dargestellt. Er setzt sich zusammen aus dem inelastischen<br />
Wirkungsquerschnitt, den man auch Absorptionswirkungsquerschnitt σabs nennt, und<br />
dem elastischen Wirkungsquerschnitt. Er zeigt bei niedrigen Energien eine komplizierte Struktur<br />
(Bildung von kurzlebigen Teilchen oder Resonanzen) und wird dann fast flach. Bei den<br />
höchsten Energien steigt er leicht an.<br />
Ein Strahl von Hadronen mit der Intensität I0, der auf Materie fällt, wird nach der Wegstrecke<br />
x abgeschwächt gemäß:<br />
I = I0 e −x/λ<br />
ρ und A sind Dichte und Atomgewicht der durchlaufenen Materie.<br />
Die mittlere freie Weglänge zwischen zwei Wechselwirkungen ist dann:<br />
oder gebräuchlicher (in [g/cm 2 ]):<br />
λcoll =<br />
A<br />
NA ρ σT<br />
Xcoll = A<br />
NA σT<br />
Bei inelastischen Wechselwirkungen wird das Nukleon aufgebrochen und mindestens ein weiteres<br />
Teilchen (zumeist ein Pion) erzeugt. Dieser Wirkungsquerschnitt ist der für die Bildung von<br />
hadronischen Kaskaden wichtige Anteil. Man definiert dann die Absorptionslänge λI:<br />
λI =<br />
A<br />
σinel.ρ NA<br />
Eine wichtige Frage für Detektoren von hadronischer Wechselwirkung ist: wie berechnet sich<br />
der Wirkungsquerschnitt an einem Kern aus dem an Nukleonen. Man setzt im allgemeinen an:<br />
σabs(A) = σ0 A α
108 Teilchennachweis und Detektoren<br />
und paßt sowohl σ0 als auch α an die Daten an. Zahlenwerte sind z.B. σ0 = 41.2 mb und α � 0.7.<br />
Macht man ein einfaches geometrisches Modell des Kerns in dem man annimmt, daß die Kerndichte<br />
konstant ist, so ist das Volumen ∼ A. Nimmt man weiter an, daß Kerne Kugelgestalt<br />
haben, so gilt für den Radius:<br />
RA = R0 A 1/3<br />
Man würde dann für den Querschnitt des Kerns erwarten: σ = π R 2 0 A2/3 , also α � 2/3. Aus<br />
Experimenten weiß man: R0 � 1.2 fm (fm=10 −15 m).<br />
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen<br />
Die Reaktionen, die beschrieben wurden, werden in vielfältigen Detektoren benutzt. Ein Experiment<br />
enthält meist eine Vielzahl von Komponenten und es gibt immer einen Optimierungsprozeß.<br />
Es haben sich einige “Standarddetektorsysteme” herausgebildet. An Beschleunigern hat<br />
man:<br />
• Festtargetexperimente: Spektrometer mit Spurerkennung, Teilchenidentifikation;<br />
• Targetkalorimeter für Neutrinoexperimente<br />
• Speicherringexperimente: oft Solenoiddetektoren mit Spurerkennung, Kalorimetern, Myondetektoren<br />
Dazu kommen oft noch viele spezialisierte Komponenten. Ein wichtiger Detektortyp, der für<br />
die Neutrinophysik eingesetzt wird, ist ein großer Wasser Čerenkovdetektor.<br />
5.2.1 Impulsmessung<br />
Die Bewegung eines Teilchens der Ladung q im Magnetfeld wird beschrieben durch:<br />
�FL = d�p<br />
dt = q (�v × � B)<br />
�FL ist die Lorentzkraft. Falls das Magnetfeld homogen ist und Energieverluste durch Wechselwirkungen<br />
vernachlässigt werden, so bleibt der Impulsbetrag konstant und das Teilchen ändert<br />
nur seine Richtung und beschreibt eine helixförmige Bahn. Am einfachsten ist die Bewegung<br />
zu verstehen, falls das Magnetfeld senkrecht zur (anfänglichen) Bewegungsrichtung ist. In der<br />
Ebene senkrecht zu � B resultiert eine Kreisbewegung mit Radius R. Benutzt man noch die<br />
Zentripetalkraft p 2 /(γm R), wobei γ m v = p ist, so erhält man für ein Teilchen der Ladung e:<br />
p = 0.2998 B R (5.7)<br />
Einheiten sind: [p] = GeV/c; [B] = T ; [R] = m. Messung von R durch Messung der<br />
Spurparameter ergibt dann den Impuls, genauer den Impuls transversal zur Flugrichtung: pT .<br />
Die erreichbare Genauigkeit kann man leicht durch Betrachten des Kreissegments mit Sehne l,<br />
Sagitta s und Radius R abschätzen. Es gelten folgende elementare Beziehungen (s. Abb. 5.11):<br />
s = R (1 − cos θ<br />
θ<br />
θ θ<br />
) = 2 R sin2 ; sin ∼<br />
2 4 2 2<br />
Mit diesen Näherungen gilt:<br />
R = L2<br />
8 s<br />
∼ L<br />
2 R
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen 109<br />
Abbildung 5.11: Krümmungsgradius R, Ablenkwinkel θ und Sagitta s für ein geladenes Teilchen<br />
des Impulses p in einem homogenen Magnetfeld der Länge L.<br />
Setzt man dies in Gl. 5.7 ein, so folgt:<br />
B L2<br />
p = 0.3<br />
8 s<br />
Man kann annehmen, daß die relative Impulsauflösung durch die von der Sagitta s gegeben ist:<br />
∆p<br />
p<br />
= ∆s<br />
s<br />
In einer Driftkammer misst man den Spurverlauf meist mehrfach. Für N äquidistante Punkte<br />
hat Glückstern eine Formel angegeben, die die erreichte Impulsauflösung mit der erreichten<br />
Genauigkeit ɛ eines Meßpunktes korreliert.<br />
Hier ist L die projizierte Spurlänge im Magnetfeld und es ist angenommen, daß N groß ist<br />
(N > 10). Man erhält dann für die Impulsauflösung:<br />
∆p<br />
p<br />
= ∆s<br />
s<br />
= ɛ<br />
L 2<br />
� 720<br />
N + 4<br />
p<br />
0.3 B<br />
Diese Formel wird Glücksternformel genannt, sie beruht auf statistischen Überlegungen zum<br />
Einfluß der N Messungen. Die Auflösung verbessert sich also schneller durch Erhöhen der<br />
Spurlänge als durch Erhöhen des Magnetfeldes oder der Auflösung der Meßpunkte.<br />
Praktisch erreichbar in Driftkammern: ∆pT<br />
pT ≈ 0.01 pT (Auflösung der Koordinatenmessung etwa<br />
100 µm). In Siliziumstreifendetektoren erreicht man 20 µm. In Zukunft sollen am LHC auch<br />
Siliziumdetektoren zur Impulsmessung benutzt werden.<br />
5.2.2 Szintillatoren<br />
In einem Szintillationsmaterial wird die durch ein geladenes Teilchen übertragene Anregungsenergie<br />
in sichtbares Licht umgewandelt. Wichtige anorganische Szintillatoren sind Natriumiodid<br />
mit Thalliumzusatz oder Wismutgermanat (Bi4Ge3O12, BGO). Sie zeichnen sich durch<br />
große Lichtausbeute und kleine Strahlungslänge aus, sind jedoch teuer und empfindlich und haben<br />
lange Lichtabklingzeiten (einige µs). Organische Szintillatoren lassen sich preisgünstig für<br />
großflächige Zähler herstellen. Der Szintillationsprozeß ist hier zweistufig: zunächst werden Molekülniveaus<br />
angeregt, bei deren Zerfall blaues oder UV-Licht emittiert wird. Dem Szintillator
110 Teilchennachweis und Detektoren<br />
Abbildung 5.12: a) Prinzip der Lichtauslese mit einem “Fischschwanz”-Lichtleiter; b) Prinzipieller<br />
Aufbau eines Photomultipliers. Das Elektrodensystem befindet sich in einem evakuierten<br />
Glaskolben. Der Photomultiplier wird meist durch einen Mu-Metall-Zylinder aus hochpermeablem<br />
Werkstoff gegen magnetische Streufelder abgeschirmt (auch gegen das Erdmagnetfeld) c)<br />
Wellenlängenschieberauslese eines Szintillators<br />
ist eine “Wellenlängenschieber”–Substanz zugesetzt, die über Fluoreszenz daraus längerwelliges<br />
Licht macht. Die Lichtausbeute ist bei organischen Szintillatoren deutlich geringer, aber auch<br />
die Lichtabklingzeiten sind kürzer (einige ns), so daß Plastik-Szintillatoren für genaue Zeitmessungen<br />
eingesetzt werden können.<br />
Das Szintillationslicht wird über Lichtleiter aus Plexiglas auf die Photokathode eines Photomultipliers<br />
geleitet, s. Abb. 5.12. Die Quantenausbeute beträgt für Bialkali-Kathoden etwa 25%,<br />
d. h. auf 4 Photonen kommt im Mittel ein Photoelektron. Durch ein 10- bis 14-stufiges Sekundärelektronenvervielfacher<br />
(Dynoden)-System erreicht man Verstärkungsfaktoren von 10 6<br />
bis 10 8 , so daß ein einzelnes Photoelektron ein elektronisch meßbares Signal an der Anode des<br />
Photomultipliers liefert. Szintillationszähler mit Plastik-Szintillatoren werden häufig für Flugzeitmessungen<br />
eingesetzt. Bei Zählern von mehreren Metern Länge und etwa 20 cm Breite,<br />
deren Licht an beiden Schmalseiten mit Photomultipliern registriert wird, sind Zeitauflösungen<br />
von ∼ 0.2 ns erreichbar.<br />
5.2.3 Blasenkammer<br />
Die Blasenkammer ist in den 60er Jahren eines der wichtigsten Instrumente der <strong>Elementarteilchenphysik</strong><br />
gewesen, und viele neue Teilchen wurden in diesem Gerät entdeckt, das einen<br />
visuellen Zugang in die subatomare Welt eröffnete. Heute ist diese Aufgabe von abbildenden
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen 111<br />
Driftkammern übernommen worden. In einer Blasenkammer befindet sich ein verflüssigtes Gas,<br />
meist flüssiger Wasserstoff, unter Überdruck. Eine schnelle Expansion mit Hilfe eines Kolbens<br />
versetzt die Flüssigkeit in einen überhitzten Zustand. Entlang der lonisationsspur geladener<br />
Teilchen bilden sich Gasblasen, die mit Blitzlampen beleuchtet und durch mehrere Kameras<br />
stereoskopisch photographiert werden. Der große Vorteil einer Blasenkammer besteht darin,<br />
daß alle geladenen Teilchen sichtbar gemacht werden. Aus der Krümmung der Spuren in einem<br />
Magnetfeld von 2-3.5 Tesla kann man die Teilchenimpulse berechnen. Die Blasenkammer ist<br />
als Detektor für Speicherringe nicht geeignet, weil sie nicht “triggerbar” ist, d. h. nicht durch<br />
ein externes elektronisches Signal für ein interessierendes Ereignis zum Ansprechen gebracht<br />
werden kann, da der Expansionsvorgang zu langsam verläuft.<br />
5.2.4 Proportional- und Driftkammern<br />
Die wichtigsten Instrumente zur Messung von Teilchenspuren sind heute große gasgefüllte<br />
Proportional- und Driftkammern mit einer Vielzahl von Signaldrähten. Der Vorläufer solcher<br />
Kammern ist das Proportionalzählrohr, bei dem sich ein dünner Anodendraht (Durchmesser<br />
20-50 µm) konzentrisch in einem gasgefüllten Rohr befindet. Das elektrische Feld ist radial vom<br />
Anodendraht nach außen gerichtet und hat die Größe<br />
Abbildung 5.13: Vieldraht-Proportionalkammer; oben: schematischer Aufbau; unten: Äquipotentiallinien<br />
(gestrichelt) und elektrische Feldlinien in der Umgebung zweier Anodendrähte in<br />
der Ebene senkrecht zur Drahtrichtung.<br />
E(r) = U<br />
ln b<br />
a<br />
a=Drahtradius, b= Rohrradius, U=angelegte Spannung.<br />
Ein ionisierendes Teilchen erzeugt längs seiner Spur Elektron-Ion-Paare. Die Elektronen wandern<br />
zum Anodendraht und werden durch das hohe Feld in der Nähe des Drahtes so stark beschleunigt,<br />
dass Sekundärionisationsprozesse mit einer lawinenartigen Ladungsträgervermehrung<br />
auftreten. Die Gasverstärkung kann bis zu 10 5 betragen. Die Signalhöhe ist proportional zur<br />
Ionisationsdichte.<br />
· 1<br />
r<br />
(5.8)
112 Teilchennachweis und Detektoren<br />
In einer Vieldraht-Proportionalkammer (Abb. 5.13) sind parallele Anodendrähte in 2 bis 3 mm<br />
Abstand angeordnet; der Drahtdurchmesser ist typisch 20 µm. Die Drähte befinden sich zwischen<br />
Kathodenebenen. In der Nähe der Anodendrähte ist das elektrische Feld annähernd radial<br />
wie beim Zählrohr. Als Füllgase verwendet man Argon mit Beimischungen von CO2, CH4 oder<br />
anderen molekularen Gasen. Die räumliche Auflösung ist σ = d/ √ 12 , wo d der Drahtabstand<br />
ist. Wesentlich bessere Auflösungen sind mit Driftkammern möglich. Hierbei nutzt man aus,<br />
Abbildung 5.14: Oben: Elektrische Feldlinien in einer planaren Driftkammer. Unten:<br />
Äquipotentiallinien in einer Zelle einer Driftkammer (schematisch); +HV2: Potential des Anodendrahtes;<br />
−HV1: Potential der Kathodendrähte; übrige Drähte: Potential variierend zwischen<br />
0 und −HV1.<br />
dass die primär erzeugten Elektronen mit nahezu konstanter Driftgeschwindigkeit zum Signaldraht<br />
wandern und die Gasverstärkung erst in unmittelbarer Nähe des Drahtes einsetzt. Aus<br />
der Zeitdifferenz zwischen dem Signal auf dem Anodendraht und dem Durchtritt des ionisierenden<br />
Teilchens durch die Kammer kann man den Abstand der Teilchenspur vom Signaldraht<br />
berechnen. Eine Auflösung von 200 µm ist in großen Driftkammern erreichbar, bei speziellen<br />
Kammern sind auch Werte unter 100 µm erzielt worden. Abb. 5.14 zeigt eine typische Driftkammerzelle.<br />
Trotz der wesentlich besseren Ortsauflösung kann ein viel größerer Signaldrahtabstand<br />
als bei einer Proportionalkammer gewählt werden.<br />
An den Elektron-Positron-Speicherringen benutzt man vorwiegend zylindrische Driftkammern<br />
mit tausenden von Signaldrähten, die in vielen konzentrischen Lagen angeordnet sind. Aus<br />
der Krümmung der Spuren in einem Magnetfeld von 0.5 bis 2 Tesla können die Impulse aller<br />
geladenen Teilchen bestimmt werden. Für eine ausführliche Darstellung verweisen wir auf<br />
Kleinknecht. In Abb. 5.15 und 5.16 ist der Querschnitt von Vieldrahtdriftkammern gezeigt.
5.2 Spurdetektoren für geladene Teilchen 113<br />
Abbildung 5.15: Querschnitt durch die Argus Driftkammer mit einem Ereignis: e + e − → B 0 +<br />
B 0 . Letzteres oszilliert in ein B 0 . Die gemessenen Spuren sind Zerfallsprodukte der beiden B 0<br />
Mesonen. Gezeigt ist eine Projektion in die Ebene senkrecht zu den kollidierenden e + e − Strahlen<br />
durch den Kollisionspunkt.
114 Teilchennachweis und Detektoren<br />
Sperrspannung<br />
p + -Auslesestreifen<br />
Metallisierung (Al)<br />
n-Silizium<br />
-<br />
-<br />
+<br />
+<br />
+<br />
-<br />
-<br />
-<br />
-<br />
Ausleseelektronik<br />
+<br />
+<br />
+<br />
n + -Silizium<br />
ionisierendes<br />
Teilchen<br />
Metallisierung (Al)<br />
E<br />
N l<br />
p-Halbleiter<br />
Leitungsband<br />
Valenzband<br />
Verarmungszone<br />
n-Halbleiter<br />
Abbildung 5.17: Links: Prinzip eines Halbleiterdetektors für Präzisionsdetektoren, z.B. Mikrovertexdetektoren.<br />
Rechts: a) Energieniveaus am pn–Übergang von dotierten Halbleitern im<br />
Bändermodell, b) Dichte der Ladungsträger.<br />
5.2.5 Halbleiterdetektoren/Mikro-Vertexdetektoren<br />
Der Nachweis relativ langlebiger Teilchen (z.B. B-Hadronen) sowie die Bestimmung sekundärer<br />
Vertizes erlangt immer größere Bedeutung bei vielen teilchenphysikalischen Fragestellungen.<br />
Silizium-Mikrovertexdetektoren erlauben eine Ortsmessung mit einer Auflösung von etwa 10<br />
µm und ermöglichen damit die präzise Vermessung von Spuren, deren Extrapolation zum<br />
Primärvertex und die Identifizierung von Zerfalls-(Sekundär)vertizes.<br />
Mikrostreifendetektoren sind grossflächige (Größenordnung 4-6 cm 2 ), meist 300 µm dicke Halbleiterdioden<br />
mit einer feinen, streifenförmigen Strukturierung der Elektroden mit Abständen<br />
von typischerweise 50 µm auf einer oder auch auf beiden Oberflächen (siehe Abb. 5.17). Es handelt<br />
sich um pn-Grenzschichten, die bei einigen 100 V angelegter Spannung in Sperr-Richtung<br />
betrieben werden, wodurch eine an Ladungsträgern verarmte sensitive Region entsteht. Hochenergetische<br />
Teilchen erleiden beim Durchtritt durch eine solche Diode einen Energieverlust,<br />
der zur Erzeugung von etwa 22000 Elektron-Loch-Paaren führt, welche im elektrischen Feld zu<br />
den Elektrodenstreifen driften und dort elektronisch verstärkt werden. Die vom durchfliegenden<br />
Teilchen freigesetzte Ladung verteilt sich durch kapazitive Kopplung auf mehrere benachbarte<br />
Streifen. Der Ort des Teilchendurchgangs wird über den Schwerpunkt dieser Einzelladungen<br />
berechnet. Dies erlaubt die Bestimmung des Teilchendurchtrittspunkts mit einer Genauigkeit<br />
von wenigen Mikrometern.<br />
Hintereinander und in mehreren Lagen zylindrisch um den Wechselwirkungspunkt angeordnete<br />
Mikrostreifendetektoren bilden einen Mikro-Vertexdetektor, wie er in den Experimenten<br />
verwendet wird. Abb. zeigt schematisch den Schnitt durch einen solchen zweilagigen Mikro-<br />
Vertexdetektor senkrecht zur Strahlachse zusammen mit den rekonstruierten Spuren eines Ereignisses.<br />
Pixeldetektoren sind matrixförmig unterteilte Siliziumdetektoren mit noch besserer Ortsauflösung<br />
a)<br />
b)<br />
E l EF<br />
E v<br />
N e<br />
X<br />
X
5.3 Kalorimeter 115<br />
von jeweils etwa 5 µm in beiden orthogonalen Richtungen.<br />
5.3 Kalorimeter<br />
5.3.1 Elektromagnetische Kalorimeter (Schauerzähler)<br />
Bei hohen Energien lösen sowohl Photonen als auch Elektronen, die auf Materie treffen, elektromagnetische<br />
Schauer aus. Das sind Kaskadenprozesse, bei denen Bremsstrahlung und e + e − –<br />
Paarbildung abwechseln:<br />
γ → e + e −<br />
und e ± → e ± γ<br />
(Zur Erinnerung: beide Prozesse finden nur im Feld eines Kernes statt.) Diese Schauerbildung<br />
ist in der Praxis das wichtigste Merkmal für die Wechselwirkung von Photonen und Elektronen.<br />
Abbildung 5.18: Stark vereinfachtes Modell zur Entwicklung eines elektromagnetischen Schauers.<br />
Um ein qualitatives Verständnis für die Schauer zu entwickeln, kann man ein stark vereinfachtes<br />
Modell von Heitler heranziehen. Heutzutage werden Schauer in allen Details im Computer simuliert.<br />
Im Heitler Modell (Skizze in Abb. 5.18) nimmt man an, daß nach einer Strahlungslänge<br />
X0<br />
1. ein Elektron der Energie E jeweils ein Photon abgestrahlt hat mit der Energie E/2<br />
2. ein Photon der Energie E ein e + e − Paar gebildet hat, die beide Energien E/2 haben<br />
Dieses ist zwar eine grobe Vereinfachung, aber plausibel, da sowohl Paarbildung als auch Bremsstrahlung<br />
durch X0 charakterisiert sind.<br />
Folge: Nach jeder Strahlungslänge verdoppelt sich die Zahl der Teilchen, wenn man e + , e − und γ<br />
als Teilchen zählt. Nach t Strahlungslängen hat man also 2 t Teilchen. Weiterhin halbiert sich die<br />
Teilchenenergie nach jeder Strahlungslänge, d.h. nach t Strahlungslängen hat man E(t) = E/2 t .<br />
Nach einigen Strahlungslängen gibt es etwa gleich viele e + , e − und γ. e ± induzierte und γ<br />
induzierte Schauer unterscheiden sich kaum mehr.<br />
Der Schauer hört in diesem einfachen Modell schlagartig auf, wenn die Energie unter die kritische<br />
Energie sinkt. Dann dominiert Ionisation über Bremsstrahlung. An dieser Stelle hat dann die<br />
Teilchenzahl auch ihr Maximum erreicht. Sei tmax die Tiefe, bei der das eintritt. Also:
116 Teilchennachweis und Detektoren<br />
(1/E 0 ) dE/dt<br />
0.125<br />
0.100<br />
0.075<br />
0.050<br />
0.025<br />
Energy<br />
Photons<br />
× 1/6.8<br />
Electrons<br />
30 GeV electron<br />
incident on iron<br />
0.000<br />
0 5 10 15<br />
0<br />
20<br />
t = depth in radiation lengths<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
Number crossing plane<br />
Abbildung 5.19: Links: Computersimulation für Elektronen von 30 GeV, die in Eisen aufschauern.<br />
Histogramm: normierter Energieverlust pro Strahlungslänge. Punkte: Zahl der Elektronen<br />
mit Energie größer 1.5 MeV (rechte Achse); Vierecke: Zahl der Photonen mit Energie größer 1.5<br />
MeV skaliert auf dieselbe Zahl wie Elektronen. Rechts: Longitudinales Schauerprofil in Kupfer<br />
für Elektronen unterschiedlicher Energie. Die Spektren sind auf gleiche Fläche normiert.<br />
ln E<br />
Ekrit<br />
Und die Position des Schauermaximums ist:<br />
E/2 tmax = Ekrit<br />
E = 2 tmax Ekrit<br />
= tmax ln 2<br />
tmax = ln(E/Ekrit)<br />
ln 2<br />
An der Stelle haben wir dann eine Teilchenzahl:<br />
Nmax = 2 tmax = e tmax ln 2 = E0<br />
Ekrit<br />
Die Zahlen, die man mit diesem groben Modell berechnet, sind nur der Größenordnung nach<br />
richtig. Eine wesentliche Tatsache ist auch bei genaueren Rechnungen noch richtig:<br />
Die Tiefe tmax des Schauermaximums nimmt nur logarithmisch<br />
(d.h. langsam) mit der Primärenergie zu.<br />
Für Blei, z.B. ist mit Ekrit = 7 MeV:<br />
E = 5 GeV tmax = 9.5<br />
E = 50 GeV tmax = 12.8
5.3 Kalorimeter 117<br />
Eine Computersimulation für Elektronen von 30 GeV, die in Eisen aufschauern, ist in Abb.5.19<br />
zu sehen.<br />
Die laterale Ausdehnung des Schauers ist wesentlich bestimmt durch Vielfachstreuung im Material<br />
des Detektors. Man gibt einen “Molièreradius” an<br />
RM = X0<br />
21 MeV<br />
.<br />
Nur etwa 10% der Gesamtenergie wird in einem Schauer außerhalb eines Zylinders mit Molièreradius<br />
deponiert, 99% sind innerhalb von 3.5 RM.<br />
Die Energieauflösung hängt im Endeffekt davon ab, wieviele Elektronen zum elektrischen Signal<br />
beitragen. Das wiederum hängt ab von:<br />
1. Deponierte Energie in den aktiven Lagen des Detektors (Fluktuationen der Stichprobe,<br />
“sampling fluctuations”)<br />
2. Energieverluste longitudinal oder seitlich<br />
3. Rauschen im Detektor und in der Elektronik<br />
4. Überlagerung von Signalen (“pileup”)<br />
Falls die Fluktuationen der Poisson Statistik folgen, so ist die Standard Abweichung σ = √ N<br />
und<br />
σ(N)<br />
N<br />
Ekrit<br />
= 1<br />
√ N<br />
Falls N ∼ E, so ist auch die Energieauflösung ∼ 1/ √ E und wird besser mit höherer Energie.<br />
Es gibt homogene elektromagnetische Kalorimeter, die aus Einkristallen bestehen, z.B. NaI, CsI,<br />
Bleiglas oder BGO (s. z.B. auch im Abschnitt über Szintillatoren). Inhomogene Kalorimeter<br />
bestehen abwechselnd aus Absorber und Detektorschichten, Beispiele sind in Abb. 5.20. Als<br />
Absorber wird meist Pb gewählt, als Detektor z.B. Szintillator oder flüssiges Argon, evtl auch<br />
Proportionalkammern.<br />
5.3.2 Hadronische Kalorimeter<br />
Hadronische Kalorimeter werden für die Messung hadronischer Kaskaden optimiert. Man kann<br />
die Energie von einzelnen Hadronen aber wichtiger noch von Jets messen. Jets sind je nach<br />
Energie mehr oder weniger kollimierte Bündel von Hadronen. Hadronen machen starke Wechselwirkung<br />
mit der Materie des Detektors, d.h. es werden Kaskaden von Pionen und anderen<br />
Hadronen erzeugt. Charakteristische Dimension von hadronischen Kalorimetern ist daher die<br />
Absorptionslänge λI.<br />
Die Bauweise von hadronischen Kalorimetern ist wie bei inhomogenen elektromagnetischen<br />
Kalorimetern: Absorber wechselt ab mit Detektormaterial, s. Abb. 5.20. Da λI wesentlich größer<br />
ist als X0 sind hadronische Kalorimeter viel größer. In Abb. 5.21 und 5.22 ist die Ausdehnung<br />
eines hadronichen Schauers in Eisen und Kupfer verdeutlicht.<br />
Beispiel: Blei: X0 = 0.56 cm, λI = 17.1 cm<br />
Eisen X0 = 1.76 cm, λI = 16.7 cm<br />
Die Energieauflösung wird bestimmt durch die physikalischen Prozesse und durch statistische<br />
Fluktuationen. Bei Kernreaktionen hochenergetischer Teilchen entstehen drei Komponenten:
118 Teilchennachweis und Detektoren<br />
Abbildung 5.20: Verschiedene Bauweisen inhomogener Kalorimeter. A=Absorber,<br />
S=Szintillator, W=Wellenlängenschieber, LA=Flüssiges Argon, MWPC=Proportionalkammer.<br />
• hochenergetische Hadronen: schnelle π ± , K ± , Nukleonen, . . .<br />
• elektromagnetische Komponente: ausgelöst durch π 0 → γ γ<br />
• Kernfragmente hoher Masse, auch ‘abgdampfte’ n, α<br />
Nur die erste Komponente trägt zur Ausbildung des hadronischen Schauers bei. Die zweite initiiert<br />
einen elektromagnetischen Schauer. Die dritte ist für den Nachweis verloren. Um eine gute<br />
Auflösung zu erreichen, muß man vor allem erreichen, daß der Schauer möglichst vollständig<br />
absorbiert wird und daß die hadronische und elektromagnetische Komponente mit ähnlicher<br />
Auflösung nachgewiesen werden.<br />
In einem sogenannten kompensierenden Uran Kalorimeter im ZEUS Detektor ist das erreicht<br />
worden und es hat folgende Auflösung:<br />
wobei E in GeV einzusetzen ist.<br />
5.3.3 Ein Speicherringdetektor<br />
∆E/E � 0.35<br />
√ E<br />
Wir wollen hier als Beispiel in Abb. 5.23 den H1-Detektor vorstellen, der am Speicherring HERA<br />
Daten nimmt. Es sind viele verschiedene Detektorkomponenten zur Impuls- und Richtungsmessung<br />
sowie zur Identifikation der erzeugten Teilchen erforderlich, die dargestellt sind.
5.3 Kalorimeter 119<br />
Abbildung 5.21: Mittlerer Anteil der Energie, der in Eisen deponiert wird, als Funktion der<br />
Dicke des Absorbers. Transversal ist der Absorber groß genug, so daß keine Verluste auftreten.<br />
Depth in Iron (cm)<br />
200<br />
150<br />
100<br />
99%<br />
95%<br />
/ Bock param.<br />
/ CDHS data<br />
/ CCFR data<br />
50<br />
5 10 50 100 500 1000<br />
Single Hadron Energy (GeV)<br />
Abbildung 5.22: Links: Laterale Entwicklung eines hadronischen Schauers (ZEUS Uran Kalorimeter)<br />
in verschiedenen Tiefen. Rechts: Tiefe in Eisen, bei der 99% bzw. 95% eines hadronischen<br />
Schauers enthalten sind.<br />
Hauptkomponenten: zylinderförmige Spurenkammer (CJC), die zusammen mit dem Magnetfeld<br />
die Impulsbestimmung erlaubt. Das Magnetfeld ist solenoidförmig, d.h. � B erzeugt Feldlinien<br />
parallel zum Strahl. Ein Kalorimeter umgibt die Spurkammer, es hat eine elektromagnetische<br />
Sektion und eine hadronische. Das Rückflußjoch des Magneten dient als Absorber für Hadronen.<br />
Myonen werden außen in darin befindlichen Spurkammern nachgewiesen.<br />
12<br />
11<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
Depth in Iron (λ I )
120 Teilchennachweis und Detektoren<br />
1 Strahlrohr und Strahlmagnete 2 Zentrale Spurkammern<br />
3 Vorwärtsspurkammern mit Übergangsstrahlungsmodulen<br />
4 Elektromagnetisches Kalorimeter (Blei/Flüssig–Argon)<br />
5 Hadronisches Kalorimeter (Edelstahl/Flüssig–Argon)<br />
6 Supraleitende Spule (B = 1.15 T) 7 Kompensationsmagnet (B = 4.83 T)<br />
8 Helium–Kälteanlage 9 Myon–Kammern<br />
10 Instrumentiertes Eisenjoch (Eisenplatten und Streamerrohrkammern)<br />
11 Myon–Toroidmagnet (B = 1.6 T)<br />
12 rückwärtige Spurkammer und Kalorimeter<br />
13 Vorwärtskalorimeter (Plug) 14 Betonabschirmung<br />
15 Flüssig–Argon–Kryostat<br />
Abbildung 5.23: Der H1–Detektor.