Elementarteilchenphysik - Desy

16 Relativistische Kinematik
Auch wenn sich die einzelnen Komponenten eines Vierervektors bei einer Transformation ändern,
bleibt der folgende Ausdruck unverändert:
I = (ct ′ ) 2 − x ′ 2 − y ′ 2 − z ′ 2 = (ct · cosh ω − x · sinh ω) 2 − (−ct · sinh ω + x · cosh ω) 2 − y ′ 2 − z ′ 2
= (ct) 2 − x 2 − y 2 − z 2
unter Benutzung der Beziehung cosh 2 ω − sinh 2 ω = 1. Eine solche Größe, die in jedem Inertialsystem
den gleichen Wert hat, wird Invariante genannt. Das Quadrat eines Vierervektors ist
invariant gegenüber Lorentz-Transformation
X 2 ≡ X · X = (ct) 2 − �r 2
invariant unter Lorentztransformationen
und wird nach seinem Vorzeichen klassifiziert:
(ct) 2 − �r 2
⎧
⎪⎨ > 0 zeitartig
= 0 lichtartig
⎪⎩
< 0 raumartig .
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vierervektoren wird definiert als
X1 · X2 = c 2 t1t2 − �r1 · �r2 .
Es ist ebenfalls invariant unter Lorentztransformationen. Alle 4-Tupel, die sich wie der Raumzeit-
Vierervektor X transformieren, sind Vierervektoren.
2.1.3 Energie und Impuls
Vierergeschwindigkeit. Die Vierergeschwindigkeit ist eine für die Definition des relativistischen
Impulses nützliche Größe. Der Vektoranteil ist definiert als zurückgelegte Strecke, dividiert
durch Eigenzeit (mit Eigenzeit τ = t/γ und dτ = dt/γ) :
�η ≡ d�r
dτ
= γ d�r
dt
= γ �v
Für diese Geschwindigkeit gilt �η = γ�v beim Vergleich mit der normalen Geschwindigkeit �v.
Definiert man als nullte Komponente η 0 = d(ct)/dτ = γc, so erhält man den Vierervektor
η = dX
dτ = γ (c, vx, vy, vz) .
Bei Lorentz-Transformationen zwischen Systemen O und O ′ ist die Vierergeschwindigkeit einfacher
zu handhaben: nur der Zähler d�r wird transformiert, denn der Nenner dτ is eine Invariante.
Dagegen müssen bei der normalen Geschwindigkeit sowohl Zähler als auch Nenner transformiert
werden; dies führt zu der komplizierten Additionsregel (2.2) der Geschwindigkeiten. Das
Quadrat der Vierergeschwindigkeit ist, wie erwartet, eine Invariante gegenüber Lorentztransformationen:
η · η = γ 2 � c 2 − v 2 x − v2 y − v2 � 2 2
z = γ c � 1 − v 2 /c 2� = c 2
Relativistischer Impuls. Die klassische Definition von Impuls ist Masse × Geschwindigkeit.
Bei der relativistischen Verallgemeinerung dieses Begriffs stellt sich die Frage, welche der beiden
Geschwindigkeiten benutzt werden sollte (bei Geschwindigkeiten v ≪ c ist γ � 1 und