Elementarteilchenphysik - Desy

34 Relativistische Kinematik
Dieser Ausdruck ist lorentzinvariant.
Bei n-Teilchen-Zuständen ergibt sich die Zahl der verfügbaren Zustände als Produkt der Ein-
Teilchen-Ausdrücke. Durch Multiplizieren mit der Deltafunktion
(2π) 4 δ (4) (P1 + P2 + . . . + Pn − Pa − Pb)
wird die Energie- und Impulserhaltung sichergestellt. Damit erhält man den folgenden Phasenraumfaktor
dΦ (Pa + Pb, P1, P2, . . .) = (2π) 4 δ (4) n� d
(P1 + P2 + . . . + Pn − Pa − Pb)
3 pi
(2π) 3 . (2.30)
· 2Ei
2.3.2 Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt
Die quantenmechanische Rechnung von Wirkungsquerschnitten beruht auf der Anwendung der
Goldenen Regel. Dabei ist noch der Flußfaktor zu berücksichtigen, der die experimentellen
Bedingungen berücksichtigt.
Flußfaktor. Der Flußfaktor ist definiert als Produkt aus dem Fluß der einlaufenden Teilchen
ja und der Dichte der Targetteilchen. Relativistische Wellenfunktionen werden i.a. so normiert,
daß die Dichte 2E/V , wobei V ein Normierungsvolumen ist, das sich bei der Berechnung von
physikalichen Größen wie Wirkungsquerschnitten weghebt. Mit dieser Normierung ist der Fluß
der einlaufenden Teilchen und die Dichte der Targetteilchen ρb gegeben durch (|�v| = relativgeschwindigkeit
der Teilchen a b)
ja =
|�v|
V/(2Ea)
ρb = 2Eb
V
Man kann den Flußfaktor in einem Lorentzinvarianten Ausdruck schreiben:
F = |�v| 4EaEb
V 2
4
=
V 2
�
(Pa · Pb) 2 − m2 am2 b
Da die rechte Seite Lorentzinvariant ist, genügt es, die Gültigkeit in einem Inertialsystem zu
zeigen. Im Laborsystem mit Pa = (Ea, �p a) und Pb = (mb, 0) ist das Produkt der Vierervektoren
Pa · Pb = Eamb. Daher ist
�
(Pa · Pb) 2 − m 2 a m2 b = � E 2 a − m2 a mb = |�v| EaEb
Damit ergibt sich folgender Ausdruck für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:
1
dσ =
4 � (P1P2) − m2 1m2 |M|
2
2 × dΦ (Pa + Pb, P1, P2, . . . ) Fermi’s Goldene Regel
Der Wirkungsquerschnitt ist proportional dem Quadrat des Übergangsmatrixelements M
M = 〈ψf|Hint|ψi〉
das nach den Feynman-Regeln berechnet wird und das die Dynamik (Kräfte, Wechselwirkungen)
der Reaktion beschreibt; dabei sind Ψi und Ψf die Wellenfunktionen des Anfangszustandes (i,
initial state) und des Endzustandes (f, final state) und Hint ist der Wechselwirkungsoperator.
i=1