Jochen Howind - Deutsche Geodätische Kommission

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mäßig bester Test. Aufgrund von Gütevergleichen empfehlen jedoch Teusch (2004) bzw. Hartley (1950) den Bartlett-
Test (Bartlett, 1937) für k voneinander unabhängige Stichproben Yj = Yj1,
K , Yjn
mit j = 1,
K,
k und n j ≥ 5.
Aus der
j
n j
2 1
Varianz der j-ten Stichprobe: s j = ( Yji
− Yj
)
n −1
j
∑
i=
1
k
2 1
Gesamtvarianz aller Stichproben: s = ( n −1)
ergibt sich dann die Testgröße des Bartlett-Tests zu
wobei die Nullhypothese
(1-α)-Quantil der
n − k
∑
j=
1
j
s
2
j
2
n j 1
mit Yj
= ∑ Y
n = 1
mit = ∑
=
k
n n
j 1
j
i
j
ji
und der
k
M B 2
2
2
T : = ~ χ k−1
mit M = ( − ) − ( − )
B n k ln s n j 1 ln s j
(2.28)
C
und
C
∑
j=
1
( ) ⎟ ⎛ k 1
⎞
⎜
1 1
1 +
− ,
3 k −1
⎜
⎝ j 1 n j −1
n − k ⎠
= ∑ =
2 2
2
0 1 2 : H σ = σ = K = σ k verworfen wird, wenn
2
χ -Verteilung mit k Freiheitsgraden.
2.4.2 Test auf Unabhängigkeit bzw. Unkorreliertheit einer Zeitreihe
2
T > χ k−1;
1−α
. Dabei entspricht
2
χ ; 1−α
k dem
Zur Untersuchung der Korrelationen von Zeitreihen existieren eine Reihe von Testverfahren. Oft wird dabei getestet, ob
die Zeitreihe unabhängig und identisch verteilt ist (IID - independent and identically distributed). Die Zufallsvariablen
Y1,..., Yn sind dabei (stochastisch) unabhängig, wenn die gemeinsame Verteilungsfunktion F für alle Zeitparameter
t1,...,tn durch unabhängige Kopplung der Verteilungen Fi der einzelnen Zufallsvariablen gewonnen werden kann:
F(t1, t2, ..., tn) = F1(t1) ⋅ ... ⋅ Fn(tn) . (2.29)
Aus dem Vorliegen der Unabhängigkeit ergibt sich die Unkorreliertheit der Zeitreihe; der Umkehrschluss ist jedoch,
abgesehen von normalverteilten Zufallsvariablen, nicht zulässig. Besitzen alle Zufallsvariablen dieselbe Verteilung, so
sind sie identisch verteilt. Eine unabhängig und identisch verteilte Zeitreihe Yt mit E(Yt)=μ und Var(Yt)=σ 2 bezeichnet
man dann als: Yt ~ IID (0,σ 2 ).
Ob eine Zeitreihe unabhängig und identisch verteilt und damit unkorreliert ist, kann u.a. mit Hilfe eines Kolmogorov-
Smirnov-Tests geprüft werden. Für die Stichprobe Y1,...,Yn und die Verschiebung τ = 0, 1,..., n-1 ist dessen Testgröße
definiert als
T : = max
u∈
[ 0,
1]
2n
⋅
π
n 1
∑
1
−
τ =
R
xx
( τ )
sin
( π ⋅u
⋅τ
)
~ K
τ
. (2.30)
Dabei entspricht Rxx(τ) der empirischen Autokorrelationsfunktion (2.23). Die Nullhypothese H0: Yt ~ IID (0,σ 2 ) wird
dann verworfen, wenn T > K 1-α , wobei K 1-α das (1-α)-Quantil der in Tabelle 2.1 auszugsweise dargestellten Kolmogorov-Verteilung
bezeichnet (vgl. auch Bronstein et al., 2001). Eine detaillierte Beschreibung dieses Tests inklusive Herleitung
kann Teusch (2004, Kapitel 6) entnommen werden. Ebenso sind dort Untersuchungen zur Güte im Vergleich
mit anderen Tests zur Prüfung der Unkorreliertheit zu finden.
� 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
K 1-� 1.3581 1.4802 1.6276 1.7308 1.9495
Tab. 2.1: (1-α)-Quantile der Kolmogorov-Verteilung (vgl. Teusch, 2004)