Jochen Howind - Deutsche Geodätische Kommission

C
ll
T
⎡a
⋅C
⋅a
1
1
⎢
= ⎢
0
⎢ M
⎢
⎣ 0
ΦΦ
0
ΦΦ a ⋅C
T
⋅ a
2
O
0
2
K
O
O
0
- 29 -
0 ⎤ ⎡M
1
⎥ ⎢
0
⎥ = ⎢
0
0 ⎥ ⎢ M
T ⎥ ⎢
a ⋅C
⋅ a
n
n ⎦ ⎣ 0 ΦΦ
0
M
O
0
2
K
O
O
0
0 ⎤
0
⎥
⎥ . (3.16)
0 ⎥
⎥
M n ⎦
Die verbleibenden Hauptdiagonalenblöcke enthalten dann nur noch die durch die Bildung von Differenzen sowie Linearkombinationen
entstehenden neuen, sogenannten mathematischen (algebraischen) Korrelationen (Santos et al., 1997).
Die Nebendiagonalenblöcke entfallen durch die Vernachlässigung der physikalischen Korrelationen in (3.14). Betrach-
tet man die Struktur eines Epochenblocks Mi sowie die daraus folgende Korrelationsmatrix Ri genauer, so wird der
tridiagonale Aufbau deutlich, der sich für den Fall der im Rahmen dieser Arbeit verwendeten zweifach differenzierten
L3-Linearkombinationen zu
ΦΦ M = a ⋅C
i i
⎡ 35.
48
⎢
⎢
−17.
74
T 2
⋅a
= σ ⋅
i 0
⎢ 0
⎢
⎣ 0
−17.
74
35.
48
−17.
74
0
0
−17.
74
35.
48
O
0 ⎤ ⎡ 1
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
− 0.
5
→ R = i
O⎥
⎢ 0
⎥ ⎢
O⎦
⎣ 0
− 0.
5
1
− 0.
5
0
0
− 0.
5
1
O
0 ⎤
0
⎥
⎥
O⎥
⎥
O⎦
(3.17)
ergibt. Die Zahlenwerte in (3.17) entstammen der Bildung der Doppeldifferenzen und Linearkombinationen L3. Unter
Berücksichtigung von (3.14), der Struktur der Matrix ai sowie der Werte für κi1 und κi2 aus Tabelle 3.1 ergeben sich die
Werte auf der Hauptdiagonalen von (3.17) zu
⎛ 2 2 ⎞
M ( j,
j)
= σ
2
⋅⎜
4 ⋅⎜
⎛κ
⎟
⎞ + 4 ⋅⎜
⎛κ
⎟
⎞ ⎟
(3.18)
i 0 ⎜ ⎝ 31⎠
⎝ 32 ⎠ ⎟
⎝
⎠
und die Werte der jeweils ersten Nebendiagonale, aufgrund von nur einem gemeinsamen Satelliten, bei aufeinanderfolgenden
Doppeldifferenzen zu
⎛ 2 2 ⎞
M ( j,
j −1)
= M ( j −1,
j)
= σ
2
⋅⎜
2 ⋅⎜
⎛κ
⎟
⎞ + 2⋅
⎜
⎛κ
⎟
⎞ ⎟
(3.19)
i
i
0 ⎜ ⎝ 31⎠
⎝ 32 ⎠ ⎟
⎝
⎠
mit j=1, ..., dim(Mi), wobei dim(Mi) der Anzahl der Doppeldifferenzen zur Epoche i entspricht. Diese Varianzen und
Kovarianzen hängen ausschließlich von der Art der Rechenoperation ab (L5-, L3-, Doppeldifferenzbildung, ...), sind
somit genau bekannt und können im Auswerteprozess korrekt berücksichtigt werden.
Folglich kann festgestellt werden, dass neben der bereits diskutierten Kovarianzmatrix der originären Beobachtungen
auch die Kovarianzmatrix der abgeleiteten Beobachtungen theoretisch vollbesetzt sein sollte (Abbildung 3.5, linke
Spalte). Aufgrund fehlender Modellbildung und rechentechnischer Probleme bei der Verarbeitung von Matrizen mit der
Dimension der Anzahl der Beobachtungen werden ebenso wie bei den originären Beobachtungen meist nur stark vereinfachte
Kovarianzmatrizen in die GPS-Auswertung eingeführt (Abbildung 3.5, rechte Spalte). Für die Kovarianzmatrix
der originären Trägerphasenbeobachtungen wird i.d.R. eine skalierte Einheitsmatrix verwendet (Abbildung 3.5,
rechts oben), was bei Berücksichtigung mathematischer Korrelationen zu der in Abbildung 3.5 (rechts unten) dargestellten
Kovarianzmatrix der abgeleiteten GPS-Beobachtungen führt.