Jochen Howind - Deutsche Geodätische Kommission

s
( i)
vi
= =
σ ˆ σ
ˆ i 0
v
q
i
vv
( i,
i)
,
- 39 -
i = 1,
..., n . (4.4)
Werden sie vom verwendeten Ausgleichungs- bzw. GPS-Auswerteprogramm standardmäßig aus dem gesamten vorliegenden
Datenmaterial berechnet, so sind sie analog zu den LS-Residuen mit geringem Aufwand zu verarbeiten. Falls
der Modellansatz mit unabhängig und identisch verteilten Fehlern (4.1) zutreffend ist, so besitzen die studentisierten
Residuen die konstante Varianz σ 2 (rs(i)) = 1 und sind damit homoskedastisch. Die Nebendiagonalelemente von Qvv, die
die Korrelationsstruktur der Residuen repräsentieren, bleiben davon unberührt, wodurch auch die studentisierten Residuen
untereinander korreliert sind. Somit erschweren auch diese Residuen die Durchführung statistischer Tests. Heteroskedastizität
in den studentisierten Residuen, wie sie in Abbildung 4.3a deutlich wird, kann als ein Indiz für vorhandene
Modellfehler betrachtet werden.
Abb. 4.3: Studentisierte Residuen (L 3) einer Doppeldifferenz: 14km-Basislinie, PRN 08-10, Datenrate: 30s
a) Kovarianzmatrix: Modell I aus (3.20) b) Kovarianzmatrix: Modell II aus (3.20)
(mit geeigneter Varianzfunktion der Beobachtungen)
Eine geeignete Gewichtung der Beobachtungen und somit eine zutreffende stochastische Modellierung kann zu einer
weitgehenden Homogenisierung der Varianz studentisierter Residuen führen (Abbildung 4.3b). Verbleibende Schwankungen
der Varianz deuten auf eine unvollkommene Gewichtsfunktion bzw. nicht berücksichtigte Korrelationen hin.
Unkorrelierte Residuen
Analog zur Bereinigung der Varianzstruktur der Residuen durch Normierung existieren Verfahren zur Änderung bzw.
Bereinigung der Korrelationsstruktur der Residuen. Cook und Weisberg (1982) schlagen dazu u.a. die Berechnung
rekursiver Residuen vor. Unter Voraussetzung von (4.1) sind rekursive Residuen rr unkorreliert und homoskedastisch:
rr ~ N(0,σ 2 I) (4.5)
und werden aus i. d. R. nach der Zeit geordneten Beobachtungen berechnet:
r
r
r
r
( j)
( j)
= 0
= −
,
l
nj
j = 1,
K , p
− a
j
T
1+
a
T −1
( A A ) A
j−1
j−1
j
T T −1
( A A )
j
j−1
j−1
T
−1
a
j
l
j−1
,
j = p + 1,
K , n
Dabei bezeichnet p die Anzahl der unbekannten Parameter der Ausgleichung
lj-1 die ersten j-1 Elemente und
lnj das j-te Element des Beobachtungsvektors l der Dimension (n x 1) sowie
aj T die j-te Zeile und
Aj-1 die ersten j-1 Zeilen der Designmatrix A.
.
(4.6)