Jochen Howind - Deutsche Geodätische Kommission

2
2
1 ~
2
- 47 -
1 2 ,
s
2 1 T −1
T : = Fn
n mit s j = ( Y j Q j Y j ) und j = 1,
2 . (4.11)
s
n
j
die Testgröße des angepassten F-Tests. Bei einseitiger Fragestellung wird dann die Nullhypothese
2 2
( H σ σ > ) verworfen, wenn T F α .
a :
1
2
> n1
, n2
; 1−
Demgegenüber führt die Testgröße des angepassten β-Tests
s
T : ~ β n
2
1
2 2
s1
+ s2
2 1 T −1
= mit s ( Y Q Y )
n1
, 2
2 2
j
j
H σ ≤ σ
= j j j und j = 1,
2
(4.12)
n
2 2
bei zweiseitiger Fragestellung zum Verwerfen der Nullhypothese H σ = σ ( H σ ≠ σ ), wenn T < β n
oder T > β n n .
1, 2 ; 1−α
/ 2
2 2
0 :
2
1
2
2
a :
1
2
0 :
2
1
2
2
n1
,
2
; α / 2
2 2
Es sei darauf hingewiesen, dass durch die Reduktion des Mittelwerts bei beiden Tests jeweils ein Freiheitsgrad verloren
geht. Im Gegensatz dazu bleibt beim Bartlett-Test auch bei jeweils verschwindenden Mittelwerten Y j , j=1, ..., k der k
Teilstichproben Y = Y , K , Y , j = 1,
K,
k die Anzahl der Freiheitsgrade gleich. Unter Berücksichtigung der in
j
j1
jn j
(4.10) dargestellten Kofaktormatrix der Teilstichproben Qj definiert dann
M
k
B 2
2
T : = ~ χ k−1
mit M B = n s −∑
C
j=
1
und
die Testgröße des angepassten Bartlett-Tests, wobei
T 1 ( Y Q )
2 1 −
j
n j
j j
j
ln n ln s
(4.13)
C
j
2
j
( ) ⎟ ⎛ k 1
⎞
⎜
1 1
1+
−
3 k −1
⎜
⎝ j 1 n j n ⎠
= ∑ =
s = Y
die Varianz der j-ten Teilstichprobe und
s
2
1
=
n
k
∑
j=
1
j s n
2
j
mit = ∑
=
k
n n
j 1
j
die Gesamtvarianz aller Teilstichproben bezeichnet.
2
2
Die Nullhypothese 0 1 : H 2
σ = K = σ k des angepassten Bartlett-Tests wird verworfen, wenn T > χ k−1;
1−α
.
Charakterisiert man die drei verschiedenen Tests bzgl. der mit ihnen nachweisbaren Alternativen, so fällt auf, dass mit
dem F-Test ausschließlich fallende Alternativen, die aufgrund der Elevationsabhängigkeit der Varianzfunktion erwartet
werden, erkannt werden können. Steigende Alternativen werden dagegen nicht aufgedeckt. Sie können mit Hilfe des
zweiseitigen β-Tests erkannt werden, stehen jedoch im Gegensatz zum erwarteten physikalischen Modell der fallenden
Varianz in höheren Elevationen. Weitere Sonderfälle können mit Hilfe des Bartlett-Tests aufgedeckt werden. In Abhängigkeit
von der Anzahl der Teilstichproben können dabei symmetrische Alternativen oder Alternativen höherer Ordnung
erkannt werden. Die Art des Tests (ein- bzw. zweiseitig) sowie die Anzahl der Teilstichproben hat somit erheblichen
Einfluss auf die Fragestellung und die möglichen Testergebnisse. Bei einer geringen Anzahl an Unterteilungen
kann nur eine beschränkte Zahl an Alternativen erkannt werden, während zu viele Unterteilungen aufgrund der stark
verrauschten, mit Störungen überlagerten Daten im Fall des Bartlett-Tests zu einer zu großen Sensitivität gegenüber
Schwankungen der Varianz führen. Somit stellt sich zusätzlich zur Auswahl bzw. geeigneten Interpretation des Tests
die Frage nach der Anzahl und Lokalisierung der Unterteilungen der Gesamtstichprobe beim Bartlett-Test.
Betrachtet man die Lokalisierung der Unterteilungen, so kann generell zwischen einer globalen und einer lokalen Unterteilung
unterschieden werden. Bei der globalen Unterteilung wird der gesamte Wertebereich von ele4d (hier:
ele4d∈[0,1]), unabhängig von der Länge und Lage des tatsächlichen Elevationsbereiches der untersuchten Zeitreihe, in
gleich lange ele4d-Intervalle unterteilt. Dieser eher theoretisch orientierte Ansatz basiert auf der Vorstellung eines für
alle Zeitreihen vergleichbaren Varianzverlaufs, sodass die Intervallgrenzen mit allgemein gültigen Änderungen der