Diffusion Processes with Hidden States from ... - FU Berlin, FB MI

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Jede einzelne dieser Zustände besitzt ein eigenes Diffusionsverhalten, wobei zwischen den ZuständenÜbergänge möglich sind. Wenn aktiviertes Rhodopsin vorhanden ist, kann der dritte Zustandzu einem fest gebundenen Komplex von aktiviertem Rhodopsin und Transducin transformieren.Jedoch existieren alle drei Zustände auch während der sogenannten ”Dunkel-Phase”, wenn Rhodopsinnicht aktiviert ist. Die Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Ulrike Alexiev an der Freien UniversitätBerlin hat Einzelmolekül-Fluoreszenz-Experimente an gemarkerten Transducin-Molekülen durchgeführt.Im Rahmen dieser Experimente wurden einzelne Transducine zeitlich verfolgt und somitwurden einzelne zweidimensionale Trajektorien aufgenommen. Dabei ist zu erwähnen, dass dieentsprechenden Stäbchenzellenmembrane und die gelabelten Transducine aus Augen von Kühengewonnen und für die Untersuchungen im Rahmen der Einzelmolekül-Verfolgungs-Experimentepräpariert wurden.Die Herausforderung in dieser Arbeit besteht darin, eine rechnergestützte Methode zu entwickeln,die in der Lage ist, die versteckten Zustände 1−3 aus den Beobachtungsdaten zu schätzen und darüberhinausdie lokalen Diffusionsgesetze innerhalb der einzelnen Zustände. Um diese Abfolgenversteckter Zustände zu modellieren, wird das sogenannte mathematische Konzept der verstecktenMarkov-Ketten herangezogen. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Markov-Kette mit dreiZuständen angenommen. Die Annahme von drei Zuständen folgt aus den oben aufgeführten dreizu erwartenden Bewegungsphasen der Transducin-Moleküle, welche als metastabil angenommenwerden.Die in dieser Arbeit aufgeführte Methode zeigte sich als erfolgreich bei Anwendung auf künstlicheModelldaten. Auf Grund der nicht so großen Menge an experimentellen Daten (ca. 5700 Datenpunkten)war die Parameterschätzung basierend auf ein Modell mit drei versteckten Zuständen nurteilweise erfolgreich. Es war nicht möglich den dritten Zustand auszumachen. Dagegen waren diegeschätzten Diffusionskoeffizienten für den ersten und zweiten Zustand in guter Übereinstimmungmit schon früher durch andere berechneten Transducin-Diffusionskoeffizienten.VIII
Contents1 Motivation 12 Visual Transduction 53 Theory 113.1 Inverse Problems and Bayes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Markov Chains, Markov Processes and Markov Property . . . . . . . . . . . . . 133.3 Hidden Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Maximum Likelihood Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 The Expectation-Maximization Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7 Baum-Welch-Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.8 Two Approaches on Stochastic Systems with Equivalent Results . . . . . . . . . 273.9 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.9.1 Langevin Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.9.2 Langevin Equation in an External Potential . . . . . . . . . . . . . . . . 353.9.3 Stochastic Differential Equation (SDE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.9.4 From Stochastic Differential Equations (SDEs) to the Fokker-Planck Equation(FP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.10 Hidden Markov Models with Stochastic Differential Equation Output (HMM-SDE) 373.10.1 Propagation of the Probability Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.10.2 The Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.10.3 Parameter Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.10.4 Case of pure Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.11 Hidden Markov Model - Vector Auto Regression (HMM-VAR) as Generalizationof HMM-SDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.11.1 Estimator Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.12 Artificial Test Examples for Hidden Markov Model - Vector Auto Regression(HMM-VAR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.12.1 Three-Dimensional Diffusion Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.12.2 Two-Dimensional Free Diffusion with a Hidden Markov Model Sequenceof three hidden States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.12.3 Contemplations on Hidden Markov Models - Vector Auto Regression (HMM-VAR) Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.13 Global Optimization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.13.1 Genetic Algorithm (GA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.13.2 Simulated Annealing (SA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Fluorescence Tracking Experiments 61IX
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5 Modeling of the Experiment”The
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5.2 Model Ansatz and Estimation of
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A.8 Kramers-Moyal Forward Expansion
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DanksagungenIch möchte folgenden M
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AffirmationHereby I, Arash Azhand,
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