Giải toán tích phân bằng nhiều cách - Nguyễn Thành Long - Có lời giải chi tiết

GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH 

(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy) 

I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 

Bài tập giải mẫu: 

Bài 1: Tính tích phân sau: I = 

 

3 2 

x 

2 

x 1 

0 

dx 

Giải: 

Cách 1: Phương pháp biến đối số 

Đặt 

2 

x tan t dx (1 tan t) 

dt 

 

x 3 

Đổi cận 

x 0 

Khi đó 

 

t 

 

3 

 

t 0 

I = 

 

3 3 3 3 

3 2 2 

 

tan tdt tan t(tan t 11) dt tan t(tan t 1 dt) tan tdt 

0 0 0 0 

 

 

3 3 

2 

 

d(cos t) tan t 3 

tan td(tan t) ln cost 

3 ln 2 

cost 

2 2 

0 0 

0 

Nhận xét: Đối với tích phân dạng I 

 

2 2 

R( u, u a ) du, u u( x) 

thì ta có thể đặt tan 

 

 

u a t 

Cách 2: Phương pháp tích phân toàn phần 

Đặt 

2 

u x 

 

xdx 

dv 

 

2 

x 1 

 

 

 

v 

 

 

du 2xdx 

2 

ln( x 1) 

2 

Khi đó I 

Tính J = 

3 

2 2 2 

1 3 

x ln( x 1) x ln( x 1) dx 

2 

 

0 

3 

2 2 

ln( x 1) d( x 1) 

 

0 

0 

3 

1 2 2 

3ln 2 ln( x 1) d( x 1) 

 

 

2 

0 

J 

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1

Đặt 

2 

2 

d( x 1) 

u ln( x 1) 

du 

 

2 

 

x 1 

2 

 

dv d( x 1) 

2 

v x 1 

 

 


3 

1 

2 2 3 

 

2 3 

3ln 2 x 1 ln x 1 d( x 1) ln 2 

2 

 

 

0 

2 

0 

Khi đó I = 

Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì 

Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I = 

P( x) f ( x) Q '( x) 

dx 

dx 

n 

n 

Q ( x) Q ( x) 

thì 

u 

f ( x) 

 

du 

Đặt Q'( x) 

 

 

dv dx 

n 

v 

Q ( x) 

 

 

Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số 

Nhận xét: Ta có 

Phân tích I = 

x 

x x và 

3 2 . 

3 3 3 2 

2 2 

0 0 

2 

( x 1) 2 

x x x 

dx dx 

x 1 x 1 

 

x từ đó ta định hướng giải như sau 

Đặt 

x 

 

2 

t x 1 dt 

2 

t1 

xdx 

 

 

2 

 

x 3 t 

4 

Đổi cận 

 

x 0 t 

1 

4 4 

1 ( t 1) 1 1 

1 4 3 

1 ln ln 2 

2 t 2 t 

2 1 2 

Khi đó I = dt dt t t 

1 1 

Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân 

3 2 

3 2 

3 

1 x 2 1 x 

1 

1 

2 1 2 

I = d 

2 x 1 

d 

2 x 1 1 d 

2 x 

1 

 

2 x 1 2 x 1 x 1 

0 0 0 

3 3 2 2 

1 2 d( x 1) x 3 2 3 3 

1 ln 

2 

1 

2ln 2 

2 

d x x 

x 1 2 0 0 2 

0 0 

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn 

I = 

2 

x x x 3 1 d x 1 

3 1 3 3 

dx x dx x 

x 1 x 1 2 0 2 x 1 2 2 0 2 

3 3 3 2 

3 

 

2 2 2 

0 0 

0 

 

 

2 

ln 1 ln 2 

Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức 

để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất 


Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức) 

3 2 

Ta có 1 

Khi đó I = 

x x x x 

2 

x x x 3 1 d x 1 

3 1 3 3 

dx x dx x 

x 1 x 1 2 0 2 x 1 2 2 0 2 

3 3 3 2 

3 

 

2 2 2 

0 0 

0 

 

 

2 

ln 1 ln 2 


Bài 2: Tính tích phân bất định: I = 

3 3 

3x 

3x 

dx 

dx 

3 2 ( 1)( 2) 

 

2 

x x x x 


Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức 

Phân tích x 3 xx 2 x x 2 x x 

 

Khi đó 

I = 

3 2 3 3 2 7 1 1 

2 2 

 

3 

3x 

x x 3x 2 3 x 3x 2 7 x 1 1 

dx 

dx 

3 2 3 2 

 

2 2 

x x x x 

2 

7 1 x 

1 

 

x 3 dx 3x 7ln x 2 

dx 

x 2 x 1 x 2 2 

 

 

x 1 x 2 

2 2 

x 

x 

3x 7ln x 2 ln x 2 ln x 1 C 3x 8ln x 2 ln x 1 

C 

2 2 

Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 

Phân tích x 3 xx 2 3x 2 3x 1 x 1 2x 

3 

2 2 

3 2 3 1 2 3 

2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3 

x x x x x x x x x x x x x Khi đó 

I = 

2 

3 2 1 2 3 2 3 

3 

3x 

x x x x x x 

dx 

3 2 3 2 

 

2 2 

x x x x 

2 

9 2x3 

x 

2 

x 3 dx dx 3x 9ln x 2 ln x 3x 2 C 

2 

x 2 

x 3x 

2 2 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức 

3 2 2 

Phân tích 

Khi đó I = 

x x x 3x 2 3 x 3x 2 7x 

6 

2 2 

 

3 

3x 

x x 3x 2 3 x 3x 2 7x 

6 

dx 

dx 

3 2 3 2 

 

2 2 

x x x x 

2 

7x 

6 x 

 

x 3dx dx 3 x I 

2 

1. 

x 3x2 2 

Tính I 1 bằng phương pháp đồng nhất thức…. 

Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn 

dx 


3 

3x 9x 8 

9x 

8 

 

2 

2 

2 

x x x x x x 

 

I = 3 3 

dx x dx x dx dx 

3 2 3 2 

3 2 

Tính I 1 

bằng phương pháp đồng nhất thức…. 

Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I = 


Cách 1: Phương pháp đổi biến số 

3 3 

x 

x 

dx 

2 1 1 

 

2 

x x x 

 

 

2 

dx 

I1 


du 

dx 

Đặt u x1 

x 

u 1 

Khi đó I = 

với ux 

1 

3 3 2 2 

u u u u u 

1 3 3 1 3 1 

1 

du du u 3 du 3u 3ln u C 

 

 

 

2 2 2 

u u u u 2 

u 

Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức 

Phân tích x 3 xx 2 x x 2 x x 

 

Khi đó I = 

2 1 2 2 1 3 1 1 

2 2 

 

3 

x x x 2x 1 2 x 2x 1 3 x 1 1 

dx 

dx 

2 1 2 1 

 

2 2 

x x x x 

 

2 

3 1 x 

1 

x 2 dx 2x 3ln x 1 C 

2 

 

 

x1 x 

1 

 

2 x1 

Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tần lầu 

Phân tích x x x 2x 1 2x 2x 1 1 2x 

2 

Khi đó I = 

3 2 2 3 

3 

3 x x x x x x 

x 

dx 

2 

2 1 2 1 

 

2 

2 2 

2 1 2 2 1 1 2 2 

2 2 

x x x x 

2 

1 3 2x 

2 x 

3 2 

2 ln 1 ln 2 1 

2 

 

x dx dx x x x C 

x 1 2 

x 2x 

1 2 2 

Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức 

3 2 2 


Khi đó I = 

x x x 2x 1 2 x 2x 1 3x 

2 

2 2 

 

3 

x x x 2x 1 2 x 2x 1 3x 

2 

dx 

dx 

2 1 2 1 

 

2 2 

x x x x 

2 

3x 

2 x 

 

x 2dx dx 2 x I 

2 

1. 

x 2x1 2 

Tính I 1 

bằng phương pháp đồng nhất thức 

Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản 

dx 


I = 

x 

x 3 1 

dx dx x 2 dx 

x1 

x1 

 

3 3 

 

2 

2 2 

x 2x 1 x 1 

2 

x 

1 

2x 3ln x 1 

C 

2 x 1 

Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 

Đặt 

Khi đó 

 

 

 

dx 

dv 

1 

 

 

2 v 

x 1 

 

x 1 

3 

u x 2 

du 3x dx 


3 2 3 2 

1 1 

I = 

x 3 x x 3 

x 

dx dx 

x 1 

x 1 x 1 

x 1 

3 3 2 

x 1 x x 

3 x 1 dx 3 

x ln x 1 

C 

x 1 

x 1 x 1 2 

2 

x dx 

Bài 4: Tìm nguyên hàm: I = 

1 x 


Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 

2 

2 2 

Phân tích x x x x 

 

 

 

1 1 

1 2 1 1 

39 

2 

1 x 21 x 

1 1 2 1 

 

2 

x 

 

1 x 1 x 1 x 1 x 1 

x 

39 39 37 38 39 

1 dx 1 dx 1 dx 1 1 2 1 1 1 

C 

 

I = 2 

1 x 1 x 1 x 36 1 x 37 1 x 38 1 

x 

Cách 2: 

37 38 39 36 37 38 

Đặt t 1 x x 1t dx dt 

2 

1 

t dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 

I = dt 2 dt dt C 

39 39 38 37 38 37 36 

t 

 

t 

 

t 

 

t 38 t 37 t 36 t 

Nhận xét: 


2 

u 

x du 

2xdx 

 

 

Đặt dx 1 

dv 

v 

 

 

 

 

Khi đó I = 

39 

1 

x 38 x 1 

x 

2 

38 

1 1 x 

dx.... 

38 38 

38 1 1 

đến đây các bạn có thể tự làm rồi 

x 

19 x 

 

3 

x dx 

Bài 5: Tìm nguyên thức: I = 

x 1 

 



 

10 


3 

3 3 2 

Sử dụng đồng nhất thức: x x x x x 

3 

x 1 3 3 1 

 

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 

Khi đó 

1 1 

1 3 1 3 1 1 

10 7 8 9 10 

dx dx dx dx 

 

 

I = 3 3 

x 1 x 1 x 1 x 1 

 

7 8 9 10 

1 1 3 1 3 1 1 1 

C 

6 7 8 9 

6 7 8 9 

x 1 x 1 x 1 x 

1 


Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số 

Đặt tx 1 ta có: xt 1 nên dx dt 

A = 

t 

1 3 dt t 3 3t 2 3t 1 

dt 

3 

10 10 

t 

t 

7 9 10 

t dt t dt t dt 

1 1 3 1 3 1 1 1 

= C 

6 7 8 9 

6 x 1 7 x 1 8 x 1 9 x 1 

 


Đặt 

Khi đó 

I = x 

 

 

 

 

dv 

 

3 2 

u x du 3x dx 

3 

dx 

 

 

 

 

v 

 

x1 9 x1 

1 

10 9 

2 

1 1 x 

 

9 1 1 

x 

3 x 

 

9 9 

I1 

dx... 

đến đây rùi ta có thể tính I 1 

bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích 

 

2 2 

x x x x 

1 1 1 1 1 

Nhận xét : 

- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải 

không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất 

Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý 

- Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I = 

nhất 

- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I = 

 

Px ( ) 

dx 

n 

x 

a 

thì đặt t x a là một phương pháp hiệu quả 

 

 

x 

 

Px ( ) f ( x) Q' 

dx 

dx 

n 

n 

Q ( x) 

Q x 

dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của ( x a) 

là n 1,2 

u 

f ( x) 

 

du 

Đặt Q'( x) 

 

 

dv dx 

n 

v 

Q ( x) 

 

 

thì ta sử 


Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I = 

HD: 

Cách 1: Biến đổi số 

Nhân cả tử và mẫu cho 

2 

x 

3 3 

dx dx 

 

x 

x x x 

 

3 2 

0 0 

1 

 

 

I = 

3 3 3 

dx dx xdx 

3 2 2 2 

x x 

 

 

 

0 0 

x1x 

0 

x 1x 

 

Đặt 

x 

 

2 

t 1 

x dt 

2 

t1 

xdx 

 

 

2 


Đặt x tan u … Bạn đọc tự giải 

Cách 4: Đưa vào vi phân 

Phân tích tử 

Khi đó I = 

1 1 x x 

2 2 

3 3 3 3 

2 2 

0 0 0 0 

 

2 

dx x dx 1 d 1 

x 3 1 2 3 6 

dx ln x ln x 1 ln 

x 1x x 2 1x 

0 2 0 2 

 



2 

 

1 

dx 

5 3 

x x 

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích 

Cách 1.1: Phân tích: 1 x 1 

x 

2 2 

2 2 2 2 

1 x 1 

x 1 1 1 x 1 

x 1 1 x 

 

3 2 3 2 3 2 3 2 

3 2 

x x x x x x x x x x x x x 1 

Khi đó 

I = 

1 1 1 1 

1 1 x 1 1 1 2 2 3 1 5 

dx dx dx ln x ln x 1 ln 2 ln 

x x x 1 2 x 2 1 

8 2 2 

2 2 2 

 

3 3 2 2 

1 1 1 

Cách 1.2: Phân tích 1 x 4 1 x 4 x 4 1 x 2 1 

x 

2 

 

 


1 1 

 

 

1 1 x x x 1 1 

x x 1 x x 1 x x 1 

x 1 x x 1 

x 

4 4 4 2 2 

2 

x x x x x 3 

x 

3 2 3 2 3 2 

2 3 2 

… tự làm nhé 

Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số 

Phân tích I = 

2 2 

1 1 1 

dx 

3 2 2 2 

1 

x x 1 

x 

1 

x x 1 

dx 

Đặt 

1 

t 

x 

1 

x 

t 

 

1 

dx dt 

2 

t 

1 

x 

2 t 

 

Đổi cận 2 

x 

1 

 

t 

1 

Khi đó I = 

1 

2 2 

1 

1 

t 

1 3 

t 

t 

dt dx... 

đến đây lại trở thành Bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé 

2 

1 1 1 t 1 

1 

2 

2 2 

t 

t 

 

Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biến số 

I = 

Đặt 

2 2 

1 1 

dx 

3 2 4 2 

1 

x x 1 

1 

x x 1 

dt 

2 

2 

t x 1 xdx 

x2 t 

5 

Đổi cận 

x1 t 

2 

5 5 

dx 

dt 1 1 1 1 1 1 t 5 

3 1 5 

ln ln 2 ln 

2 

 

2 

dt 

 

2 t 1 t 2 

 

t 1 t 1 

 

 

2 8 2 2 

 

Khi đó I = 

2 t t 1 2 

t 1 

Hoặc các bạn có thể đặt u t 1 

hoặc phân tích 1 t t 

1 

hoặc đồng nhất thức 

Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân 

I = 

2 2 2 

1 dx 1 1 1 

2 

dx d x 1 

 

3 2 4 2 4 2 

1 

x x 1 

1 

x x 1 2 

 

1 

x x 1 

 

 


2 2 2 

2 2 

1 

 

4 

1 

x 

 

1 1 

1 x x 

2 1 1 2 1 1 

2 

 

4 2 d x 1 d x 1 

2 2 d x 1 

 

2 x x 1 2 2 x x 1 

 

2 2 

1 1 

dx dx... 

3 2 

x 

ôi đến đây lại thành Cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui… 

1 1 

x 

x 1 

Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức 

x 

 

x 

1 

3 2 

 

1 

A B C Dx E 

 

3 2 2 

x x x x 1 

 

 

đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I = A,B,C,D,E tuy nhiên 

việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu 

quả nhất 

Cách 6: Đặt 

2 

x tan u dx tan 1 dt... 

bạn đọc tự làm 



1 

 

dx 

3 

x 1 

0 

Nhận xét: x 3 1 x 1 x 2 x 1 

Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức: 

 

2 2 2 

1 x x 1 x x 1 x 1 

Khi đó I = 

1 2 1 

x x1 

dx dx I I 

x 1 x x 1 

 

3 2 

0 0 

Tính I 1 

bằng cách đặt 

Tính 

2 

Ta có I 

2 

t 

3 

x 1 hoặc 1 

I phân tích x 1 2x 

1 

I 

1 2 

1 

 

1 

 

 

d x 

3 

3 

3 x 1 

0 

 

1 

1 1 

(kĩ thuật nhảy tầng lầu) 

2 2 

1 1 1 

x 1 1 2x 1 1 dx 

dx dx 

 

 

 

 

 

x 

 

2 

4 

2 2 

2 

x x 1 2 x x 1 2 

0 0 0 1 3 

Cách 2: Đồng nhất thức 

1 A Bx C 

1 1 1 

2 

Xét 1 A x x 1 Bx C x 1 

3 2 

x x x x 

Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là 


1 2 1 

x 1 A ; x 0 C ; x 1 B ... Bạn tự giải tiếp nhé 

3 3 3 

Kết quả ta được I = 1 

ln 2 

3 3 3 

Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu” 

I = 

1 1 1 

 

2 

0 0 

0 

d 

x1 

 

dx 

dx 

1 1 1 1 1 3 1 3 

 

 

3 2 

x x x x x x x 

Đặt x1 t dx dt 

Đổi cận 

x0 t 

1 

 

x1 t 

2 

2 2 2 2 

2 2 

t 3t 3 t 3t 

 

2 2 

1 

t t 3t 3 

 

1 

t t 3t 

3 

 

1 1 

dt 1 1 dt t 3 

 

dt 

2 

3 3 t t 3t 

3 

 

 

 

2 2 2 

2 

1 dt 1 d t 

3t 

3 

 

3 dt 

 

 

2 

2 

3 2 2 

 

t 3t3 2 

 

1 1 1 3 

3 

 

t 

 

 

2 

4 

2 

1 1 t 

2t 

3 2 1 

ln 3 arctan ln 2 

2 

 

3 2 t 3t3 3 1 

3 3 3 

Bài 15: Tính tích phân bất định: I = 

4 3 

3x 5x 7x 

8 

dx . 

50 

 

x 2 

 



xt2 

Đặt x 

2 t 

dx 

dt 

4 3 

3x 5x 7x 

8 

Khi đó I = dx 

x 2 

 

 

4 3 

t t t 

 

3 2 5 2 7 2 8 

dt 

t 

50 50 

Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức 

4 3 

4 3 2 


3x 5x 7x 8 a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 e... 

đồng nhất để tìm a, b, c, d, e 

… 


Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo) 

Đặt 

P x x x x 

( ) 3 4 5 3 

7 8 

4 

Áp dụng khai triển Taylor ta có 

P ( 2) P ( 2) P ( 2) P ( 2) 

P4( x) P4( 2) ( x 2) x 2 ( x 2) ( x 2) 

1! 2! 3! 4! 

4 

' " (3) (4) 

4 4 2 4 3 4 

4 

 

2 3 4 

P ( x ) 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 

I 

 

 

 

x x x x 

 

50 

x 

2 

2 3 4 

66 149 2 48 2 29 2 3 2 

 

50 49 48 47 46 

66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx 

 

 

66 149 48 29 3 

C 

49 48 47 46 45 

49 2 48 2 47 2 46 2 45 2 

x x x x x 

 

Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I 


Ta có 

1 

5 

2 

1 5 1 5 1 5 

2 2 

2 1 

2 

2 

1 

2 

 

1 

dx 

2 

x 1 

dx 

4 2 

x x 

1 

1 

1 

 

x 1 

 

x 

dx x dx 

 

 

 

dx 

4 2 

2 

x x 

1 

1 1 

2 1 

x 1 1 1 

2 

x x 

1 

x 

1 1 

Đặt t x dt 1 dx. 

2 

x x 

Đổi cận 

x 

1 

 

1 

5 

x 

 

2 

t 

0 

 

t 

1 

Khi đó 

I 

 

1 

dt 

2 

. Đặt tan 

2 

1 

tan 

1 

t 

0 

t u dt u du 

u 

0 

t 

0 

Đổi cận 

t 

1 

u 

4 


Khi đó 

 

 

1 4 2 

4 

 

dt 1 

tan u 

 

I du du u 

2 2 

4 

1t 

 

1tan u 

 

4 

0 0 0 

0 

Cách khác: 

1 1 

x tan u 1 dx 1 tan u du... 

2 

x x 

 

2 

Ta có thể gộp hai lần đặt là 

bạn đọc tự giải 

Bài 17: Tính tích phân: 


I 

2 2 

 

1 

x 

x 

Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho 

Biến đổi 

4 

1 

dx 

1 

2 

x 0 ta được 

1 1 

2 1 

2 1 

2 2 

I x 

x 

dx dx 

2 

1 

2 1 

x 1 1 

2 

x x 

2 

x 

1 1 

Đặt u x du 1 

dx 

2 

x x 

Khi đó 

5 

2 

2 

5 2 22 2 

du 1 u 2 5 / 2 1 

I ln 

ln 

2 

u 2 2 2 u 2 2 2 2 6 2 

2 

Cách 2: Phân tích x 

4 1 x 2 1 2x 2 x 2 2x 1 x 2 2x 

1 

2 

x 1 Ax B Cx D 

 

 

 

4 2 2 

x x x x x 

và sử dụng đồng nhất thức 

... đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng cách này dài và rất phức tạp 

1 2 1 2 1 

nên không đưa ra 

Nhận xét: 

- Qua các ví dụ ta thấy kĩ thuật chia thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển tích phân ban đầu thành tích phân 

đơn giản hơn 

- Thông thường để sử dụng kĩ thuật chia thì trên tử là một đa thức bậc hai 

P x 

2 

( ) x 1 

còn mẫu là một đa 

thức bậc 4: 

4 3 2 

Q( x) 

ax bx cx dx e 

sao cho hệ số ae 

1 

1 1 

- Tích phân trên đưa về dạng I f x 1 

 

1 1 

dx 

2 đặt t x dt 1 dx 

2 

x x 

x x 

Tương tự ta có thể giải bài toán này 


1. Tính tích phân sau 

I 

2 2 

 

1 

x 

x 

4 

1 

dx 

1 

1 1 

1 

1 

I dx dx 

 

x x 

2 

x 

2 2 

2 2 

x 

x 

1 1 

2 

1 

2 1 . Đặt 1 

2 

x 

1 1 

x x 

2 

2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính tích phân bất định sau: 

2 2 

x 1 1 x 5x 

1 

ln 

2 

8 x 3x1 

2 2 

x 5x 1 x 3x 

1 

 

u x du dx 

 

I dx C 

3 4 

Bài 18: Tính tích phân sau: 

1 


1 

I x x dx 


Đặt 

Đổi cận 

4 3 3 

t x 1 dt 4x dx x dx 

 

x1 t 

2 

 

x0 t 

1 

4 

Khi đó 1 

 

0 1 

0 

dt 

4 

1 2 

3 4 1 4 1 5 2 31 

I x x dx t dt t 

4 20 1 

20 


Đặt 

Đổi cận 

dt 

4 

4 3 

t x x dx 

x1 t 

1 

 

x0 t 

0 

Khi đó 

4 

1 1 5 

1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 t 1 31 

I 1 t dt 1 4t 6t 4t t dt 

 

t 2t 2t t 

4 4 4 5 0 20 

0 0 

 

 

Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi phân 

0 0 

4 

x 5 

1 1 

3 4 

4 1 4 

4 

4 1 1 1 31 

I x x 1 dx x 1 d x 

1 . 

4 

 

4 5 0 20 



4 

Phân tích x 3 x 4 1 x 3 x 16 4x 12 6x 8 4x 4 1 x 19 4x 15 6x 11 4x 7 x 

3 

 

1 1 20 16 12 8 4 

x x x x x 1 31 

I x x dx x x x x x dx 

20 4 2 2 2 0 20 

0 0 

 

 

3 4 

4 

19 15 11 7 3 

Khi đó 1 4 6 4 

Nhận xét: Mỗi cách giải có một đặc thù riêng nên lựa chọn cách nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo 

tôi cách 1 và cách 3 là hiệu quả nhất. 

5 3 

Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: 1 

 


1 1 

5 3 

6 

3 3 

6 

2 

Ta có 1 

1 

 

I x x dx x x x dx 

0 0 

Cách 1: Đổi biến số 

dt 2 

3 x dx 

Đặt t 1 x 3 

3 

x 

1t 

1 

6 1 

I x x dx 

168 

0 

Đổi cận 

x1 t 

0 

 

x0 t 

1 

0 1 1 7 8 

1 6 1 6 1 6 7 1 t 

t 1 

I 1 1 

 

3t t dt 

3t t dt t t dt 

3 

 

3 7 8 168 

1 0 0 

 

Cách 2: Đưa vào biểu thức vi phân 

1 1 1 1 

6 6 6 7 

5 3 2 3 3 2 3 2 3 

1 

1 1 1 1 1 

 

I x x dx x 

 

x 

 

x dx x x dx x x dx 

0 0 0 0 

0 0 

3 3 

1x 

1x 

 

7 8 

1 1 

1 3 

6 

3 3 

7 

3 1 1 1 1 1 

1 1 1 1 . . 

3 x d x x d x 

3 7 0 3 8 0 168 

3 

Cách 3: Khai triển 1 x 6 

5 3 

thành tổng các đa thức x x 6 

phức tạp… chỉ tham khảo thôi 

1 .. cách này không khó nhưng khai triển 

Chú ý: Nếu ta đặt 

t 

3 

x cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo 

Bài 20: Tính tích phân sau 1 

2 

 

I x x dx 

0 

2 



Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân 

2 2 3 3 

Ta có 

x x 1 x x 2x 1 x 2x x 

2 4 3 2 

x 2x x 2 34 

I x x x dx 

4 3 2 0 3 

0 

 

 

3 3 

Khi đó 2 


2 2 3 2 

Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 

1 

 

3 2 3 

Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x 

1 

0 0 0 

x 

x 

 

4 3 

2 2 2 

1 1 34 

 

4 3 3 


Đặt 

Đổi cận 

xt1 

t x1 

dx 

dt 

x2 t 

3 

 

x0 t 

1 

3 3 4 3 

t 

t 3 34 

I t t dt t t dt 

4 3 1 3 

1 1 

 

2 3 2 

Khi đó 1 


Đặt 

2 du 2 x 1 

dx 

u 

 

x1 

 

 

2 

x 

 

dv xdx v 

 

2 

2 2 3 2 

Khi đó 

 

 

2 2 2 

4 3 

x 2 x x 2 34 

I x 1 x x 1 dx 6 x x dx 6 

2 0 4 3 0 3 

0 0 

 

2 

Bài 21: Tính tích phân sau: 1 



Đặt t x1dt dx 

Đổi cận 

x 1 t 

0 

 

x0 t 

1 

0 

 

I x x dx 

1 

9 


Khi đó 

0 0 1 1 

2 9 2 9 2 9 11 10 9 

1 1 2 1 2 

I x x dx t t dt t t t dt t t t dt 

1 1 0 0 

12 11 10 

t t t 1 1 2 1 1 

2 

12 11 10 0 12 11 10 660 

Cách 2: Phương pháp phân tích 

2 

2 

Phân tích x x x 

 

Khi đó 

1 2 1 1 

0 0 0 

2 9 2 9 11 10 9 

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 

 

I x x dx x x x dx x x x dx 

 

1 1 1 

x x x 

 

12 11 10 

1 1 1 0 1 

2 

 

12 11 10 

1 660 

Hoặc phân tích 

2 

x theo 

x 1 

như sau 

1 1 1 1 1 1 

21 1 2 1 1 

2 9 2 

9 11 10 9 

x x 

 

x 

 

x x x x x x 

Nhận xét: 

- Với bài toán này ta sử dụng phương pháp phân tích tức là khai triển x 1 9 

hay phương pháp tích phân từng 

phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của x 1 

là lớn 

1 10 

Bài 22: Tính tích phân: 2 

 



I 1 3x 1 2x 3x 

dx 

0 

dt 

t x x dt x dx dt x dx x dx 

2 

2 

Đặt 1 2 3 2 6 21 3 1 

3 

Đổi cận: 

x0 t 

1 

 

x1 t 

6 

10 11 11 11 11 

6 6 

10 dt t t 6 6 1 6 

I t 1 

1 

2 

dt 

1 

2 22 1 22 22 22 



1 2 

10 1 

1 

2 

10 

2 

' 

I 1 3x 1 2x 3x dx 1 2x 3x 1 2x 3x dx 

0 

2 

0 

0 

2 

x 

x 11 

1 11 

1 10 

1 2 3 

2 2 

1 6 

1 2 3 1 2 3 

1 

2 

x x d x x 

22 0 22 

Bài tập tự giải có hướng dẫn: 

Bài 1: (ĐHV – D 2010) Tính tích phân sau: 

I 

2 3 

 

0 

x 

2 

3x 

dx 

2x1 

Đs: I 9ln3 

8 

Bài 2: Tính tích phân sau: 

HD: 

Chia cả tử và mẫu cho 

I 

2 

x ta được 

1 

2 1 

2 

I x 

 

dx 

1 1 

1 

x 3 x 1 

x x 

2 2 

x 

1 

2 2 

1 x 3x 1 x x 1 

1 1 

Cách 1: Biến đổi số đặt t x dt 1 

dx 

2 

x x 

Cách 2: Biến đổi vi phân 

1 

2 2 

2 d x 

x 1 

x 

1 1 1 

2 

I dx 

 

dx ln x 1 ln x 3 

2 

 

x 

x 

 

1 

2 2 2 2 

1 x 3x 1 x x 1 

1 x 3x 1 x x 1 

1 7 

ln 

2 10 


Bài 3: Tính tích phân sau: I 

HD: 

1 5 

 

x 

2 

x 1 

0 

dx 

5 3 2 2 

Đồng nhất thức: 1 1 

x x x x x x 

dx 


1 

3 x 1 4 1 2 1 2 1 1 1 

I x x ln 

2 dx x x x 

1 

ln 2 . 

x 1 

4 2 2 

0 2 4 

0 

Hoặc chia tử cho mẫu để tách thành tổng các tích phân đơn giản Hoặc đặt 

x 

tan t 

Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính tích phân sau: 

HD: 

I 

1 

x 

 

0 1 

2x 

 

 

3 

dx 

1 x 1 1 1 

 

2 2 

 

Phân tích x 1 2x 

1 

Hoặc đặt t1 2x 

hoặc tích phân từng phần 

1 2x 1 2x 1 

2x 

3 2 3 

 

 

 

ta được 

1 

I 

18 


HD: 

1 2 

Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt 

x 3 21 13 

I 

dx ln 2 ln 3 

4 2 

x x 3x 

2 

4 4 

1 

2 

 

 

t x 

Cách 2: Phân tích mẫu xx 4 3x 2 2 xx 2 1 x 

2 2 


HD: 

I 

1 

2 

và sử dụng đồng nhất thức 

2x 

5 1 5 

dx ln 

2 4 

2 2 

0 x 3x 2 x 7x 

12 

Phân tích x 2 3x 2x 2 7x 12 x 1 x 2x 3x 4 x 2 5x 4x 2 5x 

6 

Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn 

2 

Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t x 5x 


1 

2 2 

2x 5 2x 5 x 5x 6 x 5x 

4 

2 

 


HD: 

I 

1 2 

 

1 

2 

x 2 3 

dx 

2 5 4 4 44 

4 3 2 

x x x x 

Phân tích x 4 2x 3 5x 2 4x 4 x 2 x 2 2 



Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho 


HD: 


x 

tan t 

I 

0 

 

 

2 

x và đặt 

xdx 

 

2 

3 

1 x 1 


Đặt 

u 

x 

 

dv 

 

 

 

xdx 

2 

x 1 3 

2 

t x Hoặc đưa vào vi phân 

x 

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành hai tích phân đơn giản 

2 2 

Phân tích x x 

 

1 1 

Khi đó 

I 

0 2 

0 0 

x dx dx dx 

 

 

2 

 

2 

 

2 

1 x 1 1 x 1 1 

x 

1 

3 2 3 

II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 


Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính tích phân: 


Cách 1: Biến đối số 

I 

 

7 

3 

 

0 

3 

x 1 

dx 

3x 

1 

Đặt 

u 

2 

u 1 

x 

 

3 1 3 

3 

x 

dx 

 

2 

u du 

7 

x 

u 

2 

Đổi cận 3 

u 1 

x 0 

 


2 

u 1 

2 2 5 

2 1 3 1 4 1 u 

2 2 46 

I u du u udu u u du u 

u 3 3 3 5 1 15 

1 1 

 

Khi đó 3 

2 2 

Cách 2: Biến đối số 

u 1 

x 

3 

Đặt u 3x1 

du 

dx 

3 

7 

x 

u 

8 


u 1 

x 0 

 

u 1 5 

8 1 8 8 2 1 

3 2 

1 

3 3 3 

Khi đó 3 1 u 2 1 

1 3u 

8 46 

I du du u 2u du 

 

3u 

 

1 1 

3 

9 

 

9 

 

9 5 1 15 

1 3 1 3 

1 

u 

u 

 


1 2 

 

3 3 

Phân tích x 1 3x 

1 

Khi đó 

7 1 2 7 7 7 7 

3 3x 

1 

 

3 3 3 2 3 

1 

3 3 1 3x 

1 2 dx 1 2 

I dx 3 1 3 1 3 1 3 1 

3 1 3 

dx x d x x d x 

x 3x 1 3 

 

3x 

1 

9 

 

9 

 

 

3 3 

3 3 3 

0 0 0 0 0 

7 7 

5 2 

1 1 46 

3x1 3 

3 3x1 

3 

3 

15 3 15 

0 0 

Cách 4: Tính phân từng phần 

Đặt 

Khi đó 

u x1 

du dx 

 

 

1 1 

 

dv dx v 3 

3 x 

1 

3x 

1 

 

2 

2 3 

7 2 

7 

3 

7 

2 2 3 

2 

3x 

1 

3 

3 3 3 

3 

0 3x 

1 

0 

1 1 1 1 

I x 13x 1 

dx x 13x 1 3 3x 1 d 3x 

1 ... 

2 2 2 6 

0 




HD: 

C1: Đặt x 

tan t 

I 

1 3 

 

1 

3 2 

C2: Phân tích 1 

C3: Đặt 

u 

x 

 

 

 

dv 

 

C4: Đặt x 

t 

x x x x 

2 

x 

dx 

2 

x 1 

x 

dx 0 

2 

x 1 

C5: Phân tích x 3 dx x 2 xdx x 2 1 1d x 

2 1 

 

 

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân sau: 

I 

 

2 

 

dx 

2 

2 x x 1 


Cách 1: Phương pháp biến đổi số 

1 sin tdt 

Đặt x dx 

2 

cost 

cos t 

với 

t 0; 

 

2 hoặc 1 

x 

sin t 

Đổi cận 

 

x 2 

t 

 

3 

 

x 2 

t 

4 

Khi đó 

sin t 

 

3 

2 

3 3 

cos t sin t 3 

I dt dt dt t 

 

2 

1 

cos t sin t 12 

4 2 

4 4 

cos t 

4 

 

4 3 

(vì t 

; 

 

sin t 0 


Nhân cả tử và mẫu cho x ta được 

) 

I 

 

2 2 

dx xdx 

 

x x 1 x x 1 

 

2 2 2 

2 2 

Đặt 

x 

 

1 

t 

xdx 

tdt 

2 2 

2 x t 1 


Đổi cận 

x 

2 t 

3 

 

x 

2 t 

1 

Khi đó 

I 

 

3 3 

1 

t u dt du u du 

tdt dt 

2 

. 

2 

2 

1 

tt 

1 

Đặt tan 

2 tan 1 

t 1 

cos u 

1 

Đổi cận 

 

u 

t 

3 3 

 

t 1 

 

u 

4 

 

 

4 2 

4 

tan u 1 4 

Khi đó I du du u 

2 

tan u 1 

 

12 

3 3 

3 


Đặt 

x 

2 

2 

x 

t1 

 

1 t 1 ... tương tự như cách 2 

xdx 

dt 

2 


1 1 dx 

Đặt x t dt 

2 

t x x 

1 

t 

x 

2 2 

Đổi cận 

x 2 1 

t 

2 

Khi đó 

I 

 

1 1 

2 2 

dt dt 

 

1t 

1t 

. Đặt sin cos 

1 

2 

1 

2 

2 2 

t x dt xdx 

 

 

4 4 

cosu 

4 

Khi đó I dx du u 

2 

1 

sin u 

4 6 12 

6 6 

6 

Cách 5: Phân tích 1 x 1 

2 2 

x 

 


Khi đó 

2 2 2 

2 

dx x 1 

x 

I dx dx... 

x x 1 x x 1 


2 2 

2 2 2 

I1 I2 

Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính tích phân: I 


2 3 

 

dx 

2 

5 x x 4 


Đặt 

 

t x 4 

xdx 

tdt 

2 2 

2 x t 4 

Đổi cận 

 

x2 3 t 

4 

 

x 5 t 

3 

4 4 4 

dt 1 dt dt 1 t 2 4 1 5 

Khi đó I ln ln 

2 

t 4 4 

 

t 2 

 

t 2 4 t 2 3 4 3 

3 3 3 


Đặt x 1 dx 

1 dt 

2 

t t 

Khi đó 

1/2 3 1/2 3 

dt 1 d(2 t) 1 2 

1/ 2 3 1 5 

I ln 2 4 1 ln 

4 1 2 

t t 

t 

(2 t) 1 2 1/ 5 4 3 

2 2 

1/ 5 1/ 5 

Cách 3 : Phương pháp biến đổi số 

 

x t dx t dt với 0 t 

và 

2 

2 

Đặt 2tan 21 tan 

 

t 

x 

2 3 3 

Đổi cận: 

 

x 5 5 

tan 

 

2 

x 

4 cost 

. 

2 2 

Khi đó: 

 

3 

 

1 dt t 1 5 

I ln tan 3 ln 

2 

(trong đó 

sint 

2 4 3 

 

 

1 

cos 

1 

tan ) 

2 1 cos 5 


Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: 

1 

3 2 

I x 1x dx 

 

0 


Phân tích 

1 1 

3 2 2 2 

 

I x 1 x dx x 1 x . xdx 

0 0 


Đặt 

Đổi cận 

2 2 

2 

x 

1t 

t 1 x 

xdx 

tdt 

x1 t 

1 

 

x0 t 

0 

0 1 1 

2 2 2 2 2 4 1 3 1 5 1 

2 

I t t dt t t dt t t dt t t 

3 5 0 15 

Khi đó 1 1 

 

1 0 0 


Đặt 

Đổi cận 

x 

 

2 

t 1 

x dt 

2 

1t 

xdx 

 

 

x1 t 

0 

 

x0 t 

1 

Khi đó 1 1 

 


2 

0 1 1 1 1 1 3 3 1 

1 1 1 1 2 2 1 2 

2 2 2 2 2 2 

I 

2 

t t dt t t dt t t dt t t 

2 

 

2 

 

2 3 3 0 15 

1 0 0 

dt 

... tự giải 

2 

2 

t x xdx 

Cách 4: Lượng giác hóa 

Đặt x cos t dx sin tdt 

 

2 2 

Khi đó 2 3 

2 

2 

 

Cách 4.1. 

 

I sin t cos tdt sin t 1 sin t costdt 

0 0 

Đặt sin t u cos 

tdt du 

1 3 5 

u 

u 

I u u du u u du 

3 5 

0 

 

2 2 2 4 

Khi đó 1 

 


Cách 4.2. 

 

 

2 2 

3 5 

 

2 2 2 4 

sin t sin t 

2 

I sin t 1 sin td sint sin t sin td sin t 

2 . 

3 5 15 

0 0 

 

0 

Cách 4.3. 

 

2 2 2 2 

2 

t 

1 1 1 cos 4 1 1 

I sin 2 cos cos cos cos 4 cos .... 

4 

t tdt tdt tdt t tdt 

4 

 

2 8 

 

8 

 

0 0 0 0 

Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi phân 

1 1 

1 1 

I x x d x x x d x 

2 2 

2 2 2 2 2 2 

1 1 1 1 1 1 

 

0 0 

1 3 

1 

1 1 

 

2 2 

2 2 2 2 

1 x 

2 d 1 x 1 x d 1 x .... bạn đọc tự giải 

0 0 

Cách 6: Phương pháp tích phân từng phần 

Đặt 

2 du 2xdx 

u 

x 

 

 

 

1 

 

dv x x 1 

v 

x 

1 

3 

2 

2 2 3 

1 1 2 1 

3 0 3 3 

 

2 1 2 1 

2 

Khi đó I 2 2 2 2 2 

x . x 1 

3 x x 1 3 x x 1 3 d x 1 ... bạn đọc giải tiếp 

0 0 

Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính tích phân: 


Cách 1: 

I 

2 

x 

dx 

1 1 

x 1 

Đặt 

2 2 

t x 1 t x 1 x t 1 dx 2tdt 

Đổi cận 

Khi đó 

x2 t 

1 

 

x1 t 

0 

1 t 2 1 3 

1 

2 

2 2 t t 2 2 

1 2 

I tdt dt t t dt 

1 t 

 

t 1 

t 1 

0 0 0 

3 2 

t t 

1 1 1 11 

2 2t 2ln t1 2 2 2ln 2 4ln 2 

3 2 

 

0 

 

 

3 2 3 


Cách 2: 

Đổi cận 

dx 2 t 1 

dt 

t 1 x1 

x t 

1 2 

1 

x2 t 

2 

 

x1 t 

1 

 

 

Khi đó 

2 

2 t1 t1 1 

2 3 2 

2 

t 3t 4t 

1 2 1 

I 2 

 

. dt 2 . dt 2 t 3t 4 . dt 

t 

 

t 

 

t 

1 1 1 

3 2 

t 

t 2 5 

2 

3 4t ln t 2ln 2 

3 2 1 

3 

Tổng quát: 

b 

px ( ) 

ax b c 

với pxlà ( ) một đa thức chưa x, m, n ,c là các hằng số ta đặt t ax b c hoặc 

a 

t ax b 



Cách 1: Dựa vào đạo hàm 

Đặt 

8 

3x 

f( x) . 

2 4 

x 

I 

3 

 

2 

8 

3x 

dx 

2 4 

x 

Ta biến đổi f ( x ) về dạng 

8 3x 

1 

' 

f ( x) 4 x ( x) 4 x 4 x ' 

x 

2 4 x 

2 4 x 

Xét hàm số F( x) x 4 x 

F ( x) ( x) 4 x 4 x x f ( x) 

' 

' 

vì ' 

Vậy F ( x) x 4 x C là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho 

Khi đó 

3 

8 

3x 

3 3 

I dx F( x) x 4 x 3 

2 4 

x 2 2 

2 

Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số 

Đặt 

2 

x4 

t 

t 4 x 

dx 

2tdt 

Đổi cận 

x 

3 

t 1 

 

x 

2 

t 2 


Khi đó 

1 2 

2 

t 

 

2 3 

 

8 3 4 2 

I tdt 3t 4 dt t 4t 

3 

t 

1 

2 

1 

Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số 

Đặt t4 x... 


Cách 4: Sử dụng hương pháp tích phân từng phần 

Đặt 

u 

83x 

 

 

du 3dx 

dx 

 

dv v 2 4 

x 

4 x 

 

 

3 

3 

I 2 8 3x 4 x 6 4 xdx ....3 

2 

 

Khi đó 

2 

Bài 7: Tính tích phân sau: I 


Cách 1: 

2 2 

x dx 

x dx 

 

 

 

 

4 2x x 2 2x 

 

x 3 x1 3 x1 

2 2 2 2 . 

Đặt 

Khi đó 

Cách 2: 

 

dx 3 sin tdt 

x1 3 cos t 

2 2 

x 3cos t 2 3 cos t 1 

 

2 

3 3cos 

 

t 3 sin t 

 

2 

3 sin t 3cos t 2 3 cos t 1 dt 2 3 cos t 2 

I (1 ) dt. 

2 2 

33cos t 33cos 

t 

2x 

4 

dx 

 

dx 

I 

2 

I I 

2 2 

22xx 3 x1 3 x1 

 

Tính 

 

 

1 2 

2x 4 dx 2tdt dt 

I 2 

J J 

3 x1 3 x1 3 t 3 t 3 t 3 t 

 

2 

2 2 2 2 2 2 

1 2 

Tính J 

1 

bằng cách đặt 

2 

3t u, tính 

2 

J bằng cách đặt 3t 

2 u 3 

t 


Bài 1: (ĐHĐN – 1997) Tính tích phân: 

I 

7 

1 

dx 2 4ln 2 2ln 3 

2x 

1 

2 


HD: Sử dụng phương pháp đổi biến số 

Đặt t 2 x 1 Hoặc t 2 x 

2 

x 1 1 3 

Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính tích phân: I 28 3 4 

 

0 

3 

3x 

2 

10 

Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính tích phân: 

I 

7 

 

3 

0 

x 2 231 

 

x 1 

10 


I 

 

3 

 

1 

 

2 

3 

x 

dx 

2x 

2 

12 

5 


I 

4 

2x 

1 

dx 2 ln 2 

1 

2x 

1 

0 

Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính tích phân: 

I 

 

3 

 

1 

x 3 

dx 

3 x1 x 

3 

III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT 


Bài 1: (PVBCTT – 1995) Tính tích phân sau: 



Đặt ln x 

u 


3 ln x 

2 ln x t t 2 ln x t dt dx 

2 x 

Đặt 3 2 3 2 2 

e 

ln x. 2 ln 

I 

x 

1 

3 2 

x 

dx 

Đổi cận 

x e 

t 

 

x 

 

3 

3 

1 3 

t 2 

3 3 3 3 4 3 

3 2 3 3 3 t 3 3 3 3 

Khi đó I t. t dt t dt . 3 3 2 2 

 

2 3 

3 2 3 2 4 8 

2 2 

2 



2 dt ln x 

Đặt 2 ln x t dx 

2 x 

x e t 

3 

Đổi cận 

x1 t 

2 

3 1 4 

1 1 3 2 3 

3 3 

3 3 

Khi đó I t dt . t 3 3 2 2 

 

2 2 4 1 8 

2 


e 

1 e 

1 

1 1 

I x x dx x d x 

2 2 

2 

' 

3 2 2 3 

2 

2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 

1 1 

1 3 

4 

2 

e 3 

x 

3 

3 3 

3 3 2 2 

. 2 ln 

2 4 1 

8 

Bài 2: (ĐH – B 2004) Tính tích phân sau: 



2 

t 1 

ln x 

 

Đặt t 1 3ln x 

3 

 

dx 2 

tdt 

x 3 

x e t 

2 

Đổi cận 

x1 t 

1 

e 

I 

1 

1 

3ln x.ln 

x 

dx 

x 

2 2 2 

5 3 

2 t 1 2 2 t t 2 116 

I t dt t t dt 

3 3 9 9 5 3 1 135 

1 1 

 

2 4 2 

Khi đó 


t 1 

ln x 

3 

Đặt t 1 3ln x 

dx dt 

 

x 3 

x e t 

4 Đổi cận ... tương tự cách 1 

x1 t 

1 



e e e 

13ln x.ln x 1 13ln x.ln x 

1 

I dx d x x x d x 

x 3 

x 

9 

 

 

1 1 1 

e 

3 e 

1 

1 1 

 

9 

9 

1 3ln x2 d 1 3ln x 1 3ln x2 

d 1 3ln x 

1 1 

5 3 

1 2 2 e 116 

1 3ln 2 1 3ln 2 

9 

x x 

5 3 

1 

135 

dx 

Cách 4: t ln x dt 

x 

1 3ln 1 3ln 1 3ln 1 

1 3ln 

Khi đó 

I 

1 

13 t. tdt... 

đến đây rùi ta có thể làm bằng nhiều cách như biến đổi số đặt u1 3t 

hoặc 

0 

u 1 3t 

hoặc đưa vào vi phân bằng cách phân tích t 1 t 3t 

 

1 

3 3 


e 

1 

1 

ln x 

dx 

x 



2 

dx 

Đặt t 1 ln x t 1 ln x 2tdt 

 

x 

x 

1 

 

t 1 

Đổi cận 

x 

e 

t 2 

Khi đó 

e 

2 2 3 

1 

ln x 

2 2 2 1 

2 t 2 

I dx t.2tdt 2 t dt 2 . 

x 

 

3 1 3 

1 1 1 


e 

e 

1 

ln x 

2 

2 2 2 1 

3 e 

1 ln 1 ln 1 ln . 

x 

 

3 1 3 

Biến đổi I dx xd x x 

1 1 


Đặt t1 ln x hoặc t 

ln x 

 

 

 

 



I 

 

e 

 

1 

x 

ln x 

2 ln x 2 

dx 



Đặt 

Đổi cận 

Khi đó 

dx 

t ln x dt 

x 

x e t 

1 

 

x1 t 

0 

2 2 

 

 

1 1 1 1 

udu 1 2 d u d u 

2 1 

3 1 

I 2 ln 2 ln 

2 2 2 

0 2 

du u 

u 

 

2 u 

0 2 u 

 

2 u 

 

 

2 0 2 3 

0 0 2 u u 


Đặt 

Khi đó 

ln xt2 

 

t 2 ln x dx 

dt 

x 

 

 

3 t 2 3 

1 2 2 3 3 1 

I dt dt ln t ln 

t 

 

t t t 2 2 3 

2 2 

2 2 


 

 

 

 

 

 

 

 

e e e e e 

ln x ln xd 2 ln x 2 ln x 2 d 2 ln x d 2 ln x 

I dx d 2 ln x 

2 

2 ln x 

 

2 2 2 2 

1 x 2 ln x 1 2 ln x 1 2 ln x 1 1 2 ln x 

 

2 e 3 1 

ln 2 ln x 

ln 

 

2 ln x 1 

2 3 


Đặt 

Khi đó 

1 

 

 

1 

x 

 

dx 

2 ln x 2 x 

u ln x du 

 

dv 

 

1 

x 

 

 

 

2 ln x 

 

 

 

 

e 

3 

1 e 1 1 d 2 ln x 1 e 1 3 

I ln x. dx ln 2 ln x 

ln 

2 ln x 1 

 

3 

 

2 ln x 3 1 3 2 



I 


dx 

Đặt t 1 ln x dt 

x 

2 

1 x 2 ln x 

1 

e 

 

1 

1 

x 1 

ln x 

 

 

dx 


x1 t 

1 

Đổi cận 

x e t 

2 

Khi đó 

e 

2 

1 dt 2 

I dx ln t ln 2. 

x 1 

ln x 

 

t 1 

 

1 1 

 


Biến đổi 

 

1 1 

 

 

e 

e 

1 d 1 

ln x 

e 

I dx ln 1 ln x ln 2 

x 1ln x 

 

1ln 

x 

1 


Đặt: t 

ln x 

e 

sin ln x 


x 


Cách 1: 

dx 

Đặt t ln x dt 

x 

x1 t 

0 

Đổi cận 

x e t 

1 

Khi đó 

0 

1 

1 

1 

I sin tdt cos t cos1 cos0 1 

cos1 

0 


Biến đổi 

 

1 1 

 

 

 

e 

e 

sin ln x 

e 

I dx sin ln xd ln x cosln x 

1 

cos1 

x 

 

1 

 

dx 


I 

2 

e 

 

e 

dx 

5 

xln 

x 



dx 

Đặt t ln x dt 

x 

x 

e t 

1 

Đổi cận 

2 

x 

e t 

2 


Khi đó 

I 

2 

e 

2 

dx dt 1 2 15 

. 

x ln x 

 

t 4t 

1 

64 

e 

5 5 4 

1 


2 2 

e 

e 

2 

dx 

1 e 15 

5 4 

x ln x 

 

4ln x 64 

e 

e 

e 

5 

Biến đổi I ln xd ln 

x 

 

ln x ln 2 1 

Bài 7: Tính tích phân sau: I dx 

2 

x 2 2 


Cách 1: Đổi biến và sử dụng tích phân từng phần 

Đặt 

dx 

 

x 

' 

t ln x e x dt 

x2 t 

ln 2 

Đổi cận 

x1 t 

0 

2 

1 

Khi đó 

ln 2 ln 2 

1 t 

 

t 

e 

 

0 0 

I dt e tdt 

u t du dt 

Đặt 

t t 

dt e dt v e 

Khi đó 

ln 2 

t ln 2 

t t 

ln 2 

ln 2 ln 2 1 

I te 

0 

e dt e 

2 0 2 2 

Cách 2: Tích phân từng phần 

1 1 

u 

du 

x 

x 

Đặt 2 

ln x ln x 

dv dx v 

 

 

x 

2 

Khi đó 

2 2 

1 ln x 1 ln x 

I . dx 

2 

x x 2 

 

x 


Đặt 

dx 

u ln x du 

 

x 

dx 

dv 

 

1 

2 

x 

v 

 

x 

0 


Khi đó 

2 

I x x dx 

 

1 2 1 dx 1 2 

2 ln 2 1 

ln . ln 2 

x 1 

 

1 

 

x x 2 1 

2 2 


I 

 

1 

 

0 

e 

x 

e 

 

x 

x 

e 

dx 


Cách 1: Sử dụng tích phân liên kết 

Liên kết của I là 

Ta có 

J 

 

1 

 

0 

x 

e 

x 

e e 

x 

dx 

1 x 

1 x 

1 

e e 

I J dx dx dx 1 

e e 

e e 

 

x x x x 

0 0 0 

 

 

d e e 

1 1 

I J dx e e e e 

e e e e 0 2e 

1 x x 

1 x x 

2 

e e x x 

1 

e 

ln ln ln 2 ln 

x x x x 

 

 

 

0 0 

2 2 2 

1 1 1 1 1 

Cộng lại ta được 2 1 ln e 

1 ln e 

ln 

e 

I I 

2e 

2 

 

2e 

 

2 2 


Đặt 

x 

x 

t e dt e 

x 1 

t e 

Đổi cận 

x0 t 

1 

Khi đó 

 

e e e 2 2 

dt t 1 d t 1 

1 2 

e 1 e 1 

I ln 

2 2 1 

ln 

1 dt t 

t 1 2 t 1 2 1 2 2 

1 t 

 

 

 

 

1 1 

t 


e 

x x x 

e e . e 

I dx dx 

 

2x 

1 1 

1 

x 

e 

e 

1 

x 

e 

e 

Đặt tan tan 2 1 

e t e dx dt 

2 

cos t 

x x dt 

e 

 

2 

Khi đó I 2 tan 1 

dt tan xdx ln cos x ln 2 ln cos 

(với arctan e 

1 

tan x 

 

 

1 

tan 1 4 

2 

 

4 

) 


Bài 9: (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau: I 


ln5 2x 

 

e 

x 

ln 2 e 1 

Cách 1: Tách thành tích để sử dụng phương pháp biến đổi số 

dx 

Đặt 

e 

x 

x 2 

e 

t 

 

1 

1 

t 

x 

e dx 2tdt 

xln 5 t 

2 

Đổi cận 

xln 2 t 

1 

Khi đó 

2 2 

2 

t 

tdt 

 

1 2 2 2 20 

 

t 

3 1 1 3 

2 3 

I 2 2 t 1 dt t 2t 

1 1 

Cách 2: Tách thành tích để sử dụng phương pháp biến đổi số 

Đặt 

e 

x 

x 

 

e t1 

1 

t 

x 

e dx tdt 

xln 5 t 

4 

Đổi cận 

xln 2 t 

1 

Khi đó 

 

 

4 4 1 4 3 1 5 3 

t 1 tdt 

2 4 2 4 20 

2 2 2 2 2 

I 

1 t 1t dt t t dt t t 

5 1 3 1 3 

1 2 1 1 

t 

 



ln5 

2x ln5 x x 

e 

e . e 

I dx dx 

x 

e 1 e 1 

x 

ln 2 ln 2 

Đặt 

x 

u 

e 

x 

 

x 

 

du e dx 

e 

dv dx 

x 

v 2 e 1 

x 

 

 

e 1 

ln5 

ln5 

x x 

ln 5 

x x x x x x 

ln 5 

4 20 

I e .2 e 1 2 e 1. e dx 16 2 e 1d e 1 16 e 1 e 1 

 

ln 2 3 ln 2 3 

Khi đó 

Hoặc có thể tính nhanh như sau 

 

 

ln 2 ln 2 

ln5 

ln5 

x x x x 

ln 5 

x x 

I 2 e d e 1 2e e 1 2 e e 1dx 

ln 2 

 

ln 2 ln 2 

ln5 

x x 4 x x 

ln 5 20 

16 2 e 1d e 1 16 e 1 

e 1 

3 ln 2 3 

ln 2 



2x 

x 

x 

e 

e 

e 

 

 

ln5 ln5 ln5 ln5 

1 1 x 

 

x 1 

x 

I dx d e 1 dx e 1 d e 

1 

x x x x 

ln 2 e 1 ln 2 e 1 ln 2 e 1 ln 2 

e 1 

 

3 1 

2 x 2 x 

ln 5 20 

 

2 

e 

1 2e 

1 

 

3 ln 2 3 

Bài 10: (ĐH – D 2009) Tính tích phân sau: I 


3 

 

dx 

x 

e 1 

1 

Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức 1 e 

x 1 

Khi đó 

 

e 

3 3 x 

3 3 x 

dx e 

d e 1 3 

x 

3 

I 1 ln 1 

x 

x dx dx x e 

x 

e 1 e 1 e 1 

1 1 

1 1 1 1 

e 1 

 

e 1 

3 

2 

2 ln 2 ln e e 1 


Đặt 1 1 

t e dt e dx t dx dx 

t 1 

x x dt 

 

 

 

 

x 

 

Đổi cận 

Khi đó 

I 

x t e 

 

 

x 1 t e1 

 

e 

3 1 

e1 

3 

3 1 

dt 

... Bạn đọc tự giải tiếp 

t1 

t 

 

 

Chú ý: Có thể đặt t e 

Cách 3: Dựa vào đạo hàm 

Đặt 

1 

f( x) 

 

x 

e 1 

 

 

ta có 

x 

 

x x x 

1 e 1 e 

x 

e 

' 

e 1 

' 

' 

' 

x 

x 

1 x 

x ln e 1 x ln e 

1 

x x x x 

 

e 1 e 1 e 1 e 1 

 

x 

F( x) x ln e 1 

3 

 

 

x 

2 

Khi đó I F x x ln e 1 

2 ln e e 1 

x 

 

1 

dx 

e 1 

3 3 

1 

1 

' 

 


Bài 11: (ĐH – A 2010) Tính tích phân sau: 

I 

1 2 x 2 

 

0 

x e 2 x . e 

x 

1 

2. e 

x 

dx 


 

x e x e x 12e e 

e 

1 2. e 1 2. e 1 

2. e 

2 x 2 x 2 x x 

x 

2 . 

2 

x 

x x x 

 

Khi đó 

1 2 x 2 x 1 x 1 1 x 

x e 2 x . e 2 e 

2 e 

I dx 

x x 

x dx x dx dx 

x 

1 2e 1 2e 1 

2e 

0 0 0 0 

I1 

Tính I 1 

bằng các cách như sau đặt t 1 2e 

x hoặc 

I 

1 

0 

 

 

1 

x 

1 d 1 

2e 1 x 

1 1 1 

2e 

 

ln 1 2 ln 

x 

2 

e 

1 2e 

2 0 

 

2 3 

t 

x 

e hoặc 

Vậy 

I 

1 1 1 

2e 

 

ln 

3 2 3 

2 

Bài 12: (ĐHK D –2004) Tính tích phân sau: 

ln 


2x 

1 

u x x du dx 

2 

 

x x 

 

dv dx 

v 

x 

2 

ln 

Đặt: 

3 

I x x dx 

3 

3 3 

2 

2 

2 2x 

1 

I x ln x x dx 3ln 6 2ln 2 2x ln x 1 

ln 216 ln 4 2 ln 2 ln 27 2. 

2 

 

x 1 

2 

3 3 3 3 

2 

Hoặc ln ln 1 ln ln 1 

I x x dx x x dx xdx x dx I I 

2 2 2 2 

Áp dụng TPTP là xong 

1 2 

Bài 10: (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau: 

I 

 

ln3 

 

 

x 

e dx 

 

3 

0 

x 

e 1 




Ta có 

x 

de 

 

x 

 

x x 

 

3 

0 

x 

0 

e 

1 

ln3 ln3 

1 

3 1 

ln 3 

I e 1 2d e 1 2 e 1 2 

2 1 

0 


Đặt 

t e t e tdt e dx dx 

tdt 

e 

2 2 

x 1 x 1 2 

x 

x 

 

2 tdt 1 2 

I 2 

2. 2 1 

2 3 

t 

t 2 

 

x 

Hoặc đặt t e 

1 


Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau: 

I 

 

e 

 

1 

x 

2 

ln x 76 

dx 

ln x1 

15 

HD: 

Đặt t ln x 1 hoặc t ln x 

Hoặc tích phân từng phần 

e 

2 e 2 

hoặc biến đổi vi phân I 

dx d ln 

x 

ln 

x 

 

1 1 

ln 

x ln x 1 ln x 1 

x 

Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau: 

I 

 

ln 2 2x 

 

e 

x 

0 e 1 

dx 

Đs: 

I 

2 2 

3 

Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân sau: 

HD: Đặt t 1 

ln x 

I 

 

e 

 

1 

ln x 

dx 

x. 1 

ln x 

Đs: 

I 

4 2 2 

. 

3 

Bài 4: 

HD: 

Đặt 

3 

2 

x 1 x 

2 

I e dx e e 

 

2 

0 x 1 

dt x 

2 x 1 

2 

t x 1 

dx 

2 


Tổng quát: 

 

f x 

' 

mà f x kg x 

I e g x dx 

 

; 

k 

* 

R đặt t f x 

IV. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT 



 

4 

2 

I cos x.cos 

xdx 

 

0 



2 du 2cos xsin xdx sin 2xdx 

u 

cos x 

Đặt 

1 

dv 

cos 2 xdx v 

sin 2 x 

2 

Khi đó 

 

 

4 4 

4 4 

2 2 

1 

cos 4x 

1 1 1 1 1 

I cos x.sin 2x 4 sin 2 cos 4 

2 2 

xdx 

2 dx dx xdx 

2 4 

 

4 

 

0 

0 0 0 0 

 

1 1 1 

x sin 4x 

4 4 

 

 

4 16 16 

0 


Liên kết với I là 

 

4 

2 

J sin x.cos 2xdx 

 

0 

 

4 4 

2 2 

Ta có I J cos x sin x.cos 2xdx cos 2xdx 

4 (1) 

0 0 

 

 

 

sin 2x 

1 

2 2 

0 

 

1 cos 4x x sin 4x 

 

I J x x xdx xdx dx 

2 2 8 8 

0 0 0 

 

0 

 

4 4 4 

2 2 2 

cos sin .cos 2 cos 2 4 (2) 

1 4 

16 

Cộng (1) và (2) theo từng vế ta được I 



 

4 4 4 4 

1 

cos 2x 

1 2 1 1 

I .cos 2xdx cos 2x cos 2xdx cos 2xdx 1 cos 4xdx 

2 2 

 

2 4 

 

0 0 0 0 

 

1 1 1 1 

sin 2x x sin 4x 

4 

4 

4 4 16 16 

0 

 

Bài 2: (ĐHTM – 2000) Tính tích phân sau: 

I 

 

 

2 

 

0 

 

4sin x 

sin x 

cos x 

 

3 

dx 


Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức 

 

 

 

 

4sin x 2 sin x cos x cos x sin x 2 2 cos x 

sin x 

 

 

 

sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 

3 3 2 3 

 

2 2 2 

4sin x 

2 

2 cos xsin 

I dx dx 

dx 

 

 

3 2 3 

0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x 

I1 

 

 

x 

 

 

 

 

 

Tính 

1 

 

sin x cos x 2cos x 

 

4 

I bằng cách biến đổi 2 2 


hoặc bằng cách đặt t tan x 

Xét 

J 

 

 

2 

 

0 

 

4cos x 

sin x 

cos x 

 

3 

dx. 

Khi đó IJ 

4 và JI 

0nên I 2 

Cách 3: Đổi biến số theo cận 


Đặt 

I 

 

1 

2 

4sin 

 

 

 

2 2 0 cos 

3 

x 

 

4 

 

x t dx dt 

4 

x 

dx 

 

 

 


Đổi cận 

Khi đó 

 

t 

x 

 

4 

2 

 

 

x 

0 t 

 

4 

 

 

4sin 

1 4 x 

 

4 4 4sin t cost 4 dcost 

4 dt 1 4 

I 

 

dt dt tan t 2 

3 3 3 2 2 

2 2 cos t 

 

cos t 

 

cos t 

 

cos t 2cos 

t 

 

4 4 4 4 

 

4 

Cách 4: Đổi biến số theo cận 

Đặt 

Đổi cận 

Khi đó 

 

x t dx dt 

2 

x 

0 

t 

 

2 

x 

 

2 

 

t 

0 

 

 

 

 

0 4sin t 

2 2 

2 

4cost 

4cos x 

I 

 

dt dt 

dx 

 

0 

 

 

cost sin t 0cos x sin 

x 

2 

sin 

t cos t 

2 2 

 

 

3 3 3 

 

2 2 2 2 

4sin x 

4cos x 

4 4 

I I 2I dx 

3 3 2 

0 sin cos 

dx 

0 sin cos 

dx 

dx 

x x x x 0 sin x cos x 

 

 

0 2 

2cos x 

 

4 

 

 

2 tan x 2 4 I 2 

4 0 

Cách 5: 

sin x 

sin x 

1 

Ta có 

 

 

3 

 

2 

sin x cos x sin x 1 cot x sin x 1 

cot x 

Khi đó 

3 3 3 

 

 

2 2 

4sin x 

1 

I 

dx 4 

dx 

 

2 

sin x cos x sin x1cot 

x 

3 3 

0 0 

Đặt t cot x... 


Cách 6: 


Ta có 

sin x sin x tan x 

 

 

3 2 

sin x cos x cos xtan x 1 cos xtan x 1 

Khi đó I 

3 3 3 

 

 

2 2 

4sin x 

dx 

tan x 

2 

sin x cos x cos xtan x 1 

3 3 

0 0 

Đặt t tan x…bạn đọc tự giải 

Cách 7: 

t tan x …bạn đọc tự giải 


I 

 

3 

tan 

 

4 

3 

xdx 


Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân 


Khi đó 

x x x x 1 1 

 

cos 

x 

x cos x 

x 

3 2 

tan tan .tan tan 1 tan tan 

2 2 

 

 

3 3 3 3 

3 

 

 

 

2 

cos x 

 

 

 

4 4 4 4 

I 1 1 

tan xdx tan x . tan x dx tan xd tan x cos 

cos x 

d x 

 

 

2 

tan x 3 1 

ln cos x 1 

ln 2 

2 2 

4 

Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích kết hợp với phương pháp đưa vào vi phân 

1 

tan x tan x tan x tan x tan x. tan x... 

trở lại cách 1 

2 

cos x 

3 3 



2 2 

dt 

t tan x dt 1 tan xdx 1 t dt dx 

2 

t 1 


Đổi cận 

Khi đó 

 

x 

3 t 

3 

 

t 1 

x 

 

4 

 

3 

3 3 3 3 3 2 

3 2 

3 t t 1 2t t 3 1 d t 

I tan xdx dt t dt tdt dt 

2 2 2 2 

t 

 

t 

t 

1 1 1 1 1 t 

1 

4 

1 1 3 1 1 1 

nt 

2 2 1 2 2 2 

1 1 2 1 2 2 1 

2 

1 ln 2 1 ln 2 


Ta có 

 

 

3 3 

3 

 

tan 

 

2 

1 

cos x sin x 

I xdx dx 

3 

cos x 

 

 

4 4 

Đặt t cos x dt sin xdx 

Đổi cận 

Khi đó 

1 

x t 

3 

2 

 

2 

x t 

 

 

4 

2 

1 2 

1 

2 2 2 

1 t 1 1 1 2 1 

I dt dt ln t 1 ln 2 

3 3 2 

t 

 

2 

1 t t 2t 

2 2 

2 

2 

2 


 

 

 

1 

I 

 

3 3 

1cos 2 x 3 

sin xdx cos 2 x 1 d cos 3 x 3 3 

3 

dcos 

x 

 

tan xdx cos 

3 3 xd cos 

x 

 

cos x cos x cos x 

 

4 4 4 4 4 

 

3 1 3 1 

ln cos x 

2 

1 ln 2 

 

2cos x 

2 

 

4 4 

 



I 

 

2 

sin 

0 

3 

xdx 



Cách 1.1: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích 

3 2 1 

cos 2x sin x cos 2 x.sin 

x 

Ta có sin x sin x.sin x .sin x ... bạn đọc tự giải tiếp 

2 2 2 

Cách 1.2: Sử dụng công thức nhân 3 

3 3 3sin x 

sin 3x 

sin 3x 3sin x 4sin x sin x 

4 

Khi đó 

 

2 2 2 2 

3 

 

1 3 1 3 1 2 

I sin xdx 3sin sin3 sin sin 3 cos cos3 2 

4 

x x dx xdx xd x x x 

4 

12 

 

4 12 3 

0 0 0 0 

 

 

0 


u 

sin 2 x du 2sin x cos xdx 

Đặt 

dv 

sin dx v 

cos x 

Khi đó 

 

 

2 2 

2 2 3 

 

 

2 2 

I sin xcos x 2 2sin xcos xdx 2 

cos xd cos x 

cos x 2 

3 3 

0 

0 0 

0 

Chú ý: Có thể đặt t 

sin x 

Cách 3: Dùng phương pháp đưa vào vi phân 

 

2 2 2 

3 

 

2 2 

cos x 2 

I 1 cos xsin xdx sin xdx cos xd cos x 

cos x 2 

3 3 

0 0 0 

 

0 


sin x 

Cách 4: 

dt 

dx 2 

2 

x 1 2 x 1 

t 

Đặt t tan dt tan 1 dx 

 

... Bạn đọc tự giải 

2 2 2 2t 

sin x 

2 

 

1 

t 



I 

 

2 

dx 

3 

sin x 

 

3 


Cách 1: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử 

 

2 2 2 

dx sin xdx sin x 

I 

3 4 

 

sin x sin x 2 

1 

cos x 

3 3 3 

Cách 1.1: Đổi biến số đưa về tích phân hàm phân thức 


Đổi cận 

 

x 

2 t 

0 

 

t 1 

x 

3 

 

2 

dx 

1 1 1 1 

2 

2 2 2 2 

2 

t t 

dt 

dt 1 1 1 1 1 

I dx 

2 

2 dt dt 

0 1 t 

0 1 t1 

t 

0 1 t1 t 

4 

1 t 1 

t 

 

0 

1 1 

2 2 

1 1 1 2 1 1 1 1 1 

 

2 2 2 2 

4 dt dt 

1 2 4 

0 1 t 1 t t 

0 1 t 1 

t 

1 t 1 

t 

1 

1 1 1 1 t 1 1 

ln 2 ln 3 

4 

 

1 t 1 t 1 t 

 

3 4 

0 

Cách 1.2: Đưa trực tiếp vào biểu thức vi phân 

I 

 

2 2 2 2 

3 3 3 3 

dcos 

x 

 

dx sin xdx sin x 

dx 

3 4 

sin x 

 

sin x 

 

2 

 

1 cos x 

1 cos x 1 cos x 

2 2 

 

 

2 

2 2 

2 

x x 

 

1 cos 1 cos 

1 1 1 

d x d x 

1 cos x 1 cos x 4 

 

 

1 

cos x cos x 

 

 

3 3 

cos 

cos 

 


2 

1 1 1 2 

cos x 2 1 1 

2 2 2 

 

2 

4 

 

d 

x 

1cos x 1cos 

x 

1 

cos x 

 

2sin x 3 4 

3 

cos ln 3 


Đặt 

dt 

dx 2 

t tan dt tan 1dx 

 

2 2 2 2t 

sin x 

 

1 

t 

2 

x 1 2 x 1 

t 

2 

 

3 

Đổi cận 

Khi đó 

 

x t 

1 

2 

1 

t 

x 

3 

3 

 

1 1 

1 

2 

2dt 

1 1 2 1 1 t 1 1 

I t dt 2ln t 

ln 3 

3 2 

1 

8t 

1. 

4 t t 4 2t 

2 3 4 

3 

 

1 2 

t 

 

1 

3 

3 

 

2 

 

3 

1 

t 

Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích và phương pháp tích phân từng phần 

 

2 2 2 2 2 2 2 

dx sin x cos x dx cos x 

I dx dx 

sin x sin x sin x sin x 

(1) 

3 3 3 

 

3 3 3 3 

J 

Tính 

J 

 

2 

cos 

 

sin 

 

3 

2 

3 

x 

dx 

x 

Đặt 

u cos x du sin 

xdx 

 

 

cos x 1 

dv dx v 

3 2 

sin x 

 

2sin x 

Khi đó 

 

2 

cos x 2 1 dx 

J 

2 

2sin x 2 

 

sin x 

3 

3 


Thay vào (1) ta được 

Chú ý: 

I 

 

2 

1 1 dx 

 

3 2 

 

sin x 

 

3 

K 

- Để tính 

J 

 

2 

2 

cos x 

dx ta có thể làm như sau 

3 

sin x 

 

3 

 

2 2 2 2 2 

cos x 1 1 1 1 

J dx 1 dx dx dx 

x 

x x x x 

3 2 3 

sin sin sin sin sin 

3 3 3 3 

I 

K 

- Để tính 

 

2 

1 

K dx ta có thể làm như sau 

sin x 

 

3 

Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được 


Đổi cận 

Khi đó 

 

x t 

0 

2 

1 

t 

x 

 

2 

3 

1 1 1 1 

0 2 2 2 2 

1 

dt dt 1 1 1 1 dt 1 dt 1 1 

K dt ln t 1 ln t 1 2 ln 3 

1 t 1 t 2 1 t 1 t 2 t 1 2 t 1 2 2 

0 

2 2 

1 0 0 

0 0 

2 

Hoặc 

 

 

2 2 2 2 

dx dx dx dtan x 

x 2 1 

K ln tan ln 3 

sin x 

 

x x 

x 2 x 

x 

 

2sin cos 

 

2 tan cos 

 

tan 

2 2 

3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 

 

dx 

dt 

2 

x 21 t 

Hoặc đặt 

tan t 

2 2t 

 

sin x 

1 

t 

2 

Cách 4: Tách thành tích ở dưới mẫu và Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 


1 

u cos x 

sin x du 

dx 

2 

Đặt 

sin x 

1 

dv dx v 

cot x 

2 

sin x 

Khi đó 

 

 

2 2 

2 2 

cot x 2 cos x 

cos x 

I dx. 

sin x Đến đây ta tích phân J = 

3 

sin x 

dx áp dụng (cách 3) 

sin x 

3 

3 

3 

 

3 

J 

Hoặc có thể tính nhanh như sau 

 

2 2 2 

dx 1 cot x 1 

I d cot 

x 

cot xd 

x 

 

x x 

 

x 

3 

sin sin sin sin 

3 3 3 

 

 

2 2 2 

cot x cos x cot x 2 cos x 

cot x dx dx 

2 3 

sin x 

 

sin x sin x 

sin x 

3 3 

3 


J 

I 

2 x 

2 2 2 2 

1 tan 

dx dx dx 1 

 

2 x 

 

 

d tan 

3 

3 3 6 3 

sin x x x x x 4 x 2 

3 3 2sin cos 3 

8 tan cos 3 tan 

2 2 2 2 2 

(*) 

2 

 

x 

x 

 

4 

2 

1 2 tan tan 

2 

1 

 

 

2 2 x 1 1 x 1 x 2 1 1 

d 

 

3 2 

4 

 

 

x 2 4 x 

2 2 2 3 4 

3 

tan 

2 tan 

 

tan 2ln tan tan ln 3 

 

2 2 

 

 

 

3 


I 

 

 

2 

 

0 

sin 

sin x 

x 

cos 

dx 

x 


Cách 1: 

sin x tan x tan x 11 1 

1 

sin x cos x tan x 1 tan x 1 tan x 1 


Khi đó 

 

2 2 2 2 

sin x 1 

1 

I dx 1 dx dx dx 

sin x cos x tan x 1 

 

tan x 1 

Từ đó đặt t tan x 

Cách 2: 

Đặt 

0 0 0 0 

2dt 

dx 

 

2 

1 

t 

x 2t 

t tan sin x 

... 

2 

2 1 

t 

2 

1 

t 

cos 

x 

2 

1 

t 

Cách 3: 

Đặt 

Đổi cận 

 

x t dx dt 

2 

t 

0 

x 

 

2 

t 

x 

0 

2 


J 

Khi đó 

 

2 2 2 

sin x cost cos x 

I dx dt 

dx 

sin x cos x 

 

sin t cost 

sin x cos x 

0 0 0 

 

2 2 2 

sin x 

cos x 

 

2I dx dx dx I 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

2 4 

0 0 0 

b 

Chú ý: 

a 

f x dx f t dt 

b 

 


a 

Chọn 

J 

 

2 

cos x 

dx là tích phân liên kết của 

sin x 

cos x 

0 

I 

 

 

2 

 

0 

sin 

sin x 

x 

cos 

dx 

x 

Khi đó ta có hệ 


2 2 2 2 

 

cos x sin x sin x cos x 

 

 

I J dx dx dx dx x 2 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

2 

0 0 0 0 

 

0 

 

 

 

2 2 2 2 

 

 

cos x sin x cos x sin x d sin 

x cos x 

I J dx dx dx ln sin x cos x 2 0 

 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

0 0 0 0 

 

0 

 

cộng theo từng vế ta được 2I 

I 

2 4 

Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức 

1 

2 

Phân tích sin x sin x cos x sin x cos x 

Khi đó 

 

 

2 2 

sin x 1 1 cos sin 

. 

x x 

I dx 

dx 

sin x cos x 

 

2 2 sin x cos 

x 

0 0 

Chú ý: Có thể dựa vào đồng nhất thức sau 

sin x sin x cos x cos x sin 

A 

B 

x 

sin x cos x sin x cos x sin x cos x 

1 

A 

2 

sin x A Bsin x A Bsin 

x 

1 

B 

2 

… quay trở lại cách 5 

Cách 6: Sử dụng kĩ thuật nhân 

Ta có 

1 1 

cos 2x 

 

sin 2x 

 

sin xcos x sin x 

 

2 2 1 1 

 

 

tan 2x 

1 

2 2 

 

cos x sin x cos 2x 2 cos 2x 

 


 

sin x 

sin x 

 

4 4 1 

 

 

1 cot x 

sin x cos x 

 

 

2 

 

4 

 

2 sin x 

 

4 

Cách 8: Biến đổi số theo cận 


2 2 

sin x 

sin x 

I dx 

dx 

sin x cos x 

 

0 0 

 

2 cosx 

 

4 

 

Đặt t x dx dt... 


4 

Bài 7: Tìm nguyên hàm: 

1 sin x 

I 

dx 2 ln 

C 

 

 

sin x.sin 

x cos x 

4 4 


Cách 1: Ta có 

 

 

cos cos x 

x 

4 

4 

 

 

 

1 

 

2 cos x x 2 cos x cos x sin x sin x 

 

 

cos 

4 

 

4 4 

 

 

4 22 

 

sin 

1 

 

x 

cos x 

 

4 

 

2 

 

sin x 

sin x cos x 

cos x 

 

4 

 

4 

 

 

 

d cos x 

dsin x 

 

4 

 

 

 

sin x 

I 2 2 

 

2 ln sin x 2 ln cos x 2 ln 

C 

sin x 

 

 

 

 

4 

 

cos x 

 

 

cos x 

 

4 4 

Cách 2: Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có : 

dx 

dx 

d cot x1 

I 2 2 2 2 ln cot x 1 

C 

sin x cos x sin x 

 

sin x cot x 1 

cot x 1 

2 

 

 

 

Tương tự : (ĐHMĐC – 2000) Tính tích phân: 

HD: 

I 

 

3 

dx 

 

 

sin x .sin 

x 

6 

6 


2sin x x dx 

 

cos x 

dx 

6 

 

cos x 

 

 

 

6 

 

 

 

2 

 

dx 

sin x 

sin x.sin x sin x.sin x 

 

sin x 

 

 

6 6 

6 

 

 

Bài 8: Tìm nguyên hàm: I 

tan x tan x dx 

4 


Cách 1: 

Ta có: 

 

sin xsin x cos x cos x sin xsin x cos x 

 

 

4 4 4 4 

tan xtan x 

 

1 

 

1 

4 

cos x cos x cos x cos x cos x cos x 

4 4 4 

2 1 

 

1 

2 

cos x cos x 

 

4 

Khi đó xét: J 

 

dx 

 

cos xcosx 

 

4 

 

sin 

Sử dụng đồng nhất thức: 1 4 

2 sin x x 2 sin x cos x cos x sin x 

 

sin 

4 

 

4 4 

 

 

4 

1 

 

2 tan x 2 tan x 

 

 

4 

cos xcos 

x 

 

 

4 

 

J 2 tan x 

dx 2 tan xdx 2 ln cos x 2 ln cos x C 

4 

 

4 

cos x 

I 2 ln 

x C 

 

cosx 

 

4 

Cách 2: 


dx dx dx 

J 2 2 

 

 

cos x cos sin x cos x 1 tan x 

cos xcosx 

 

4 

 

 

2 

 

d 1 

tan x 

2 

2 ln 1 tan x C I 2 ln 1 tan x x C 

1 

tan x 




I 

 

 

4 

 

0 

2 

1 

2sin x 

dx 

1 

sin 2x 

Ta có 

 

 

4 2 

4 

1 

2sin x cos 2x 

I dx dx 

1sin 2x 

 

1sin 2x 

0 0 

dt 

Đặt 1 sin 2x t cos 2xdx 

hoặc sin2x 

t 

2 

Đổi cận 

Khi đó 

 

x 

t 

2 

4 

t 1 

x 0 

 

2 

1 dt 1 2 1 

I ln ln 2 

2 

t 

t 2 1 2 

1 


 

4 4 4 

' 

 

cos 2x 

1 1sin 2x 

1 d 1sin 2x 

1 1 

I dx dx ln 1 sin 2x 

4 ln 2 

1 sin 2x 2 

 

0 0 1 sin 2x 

2 

 

1 

sin 2x 

2 2 

0 

0 


2 

Biến đổi 1 2sin x cos x sin xcos x sin x 

và 1sin 2x cos x sin x 2 

 

 

4 2 

4 

 

12sin x cos x sin x 

1 

I dx dx ln cos x sin x 4 ln 2 

1sin 2x 

cos x sin x 

2 

0 0 

0 

Hoặc đặt t sin x cos x 


I 

 

 

2 

 

0 

sin 2x 

sin x 

dx 

1 

3cos x 




Ta có: x x x x 

sin 2 sin sin 2cos 1 . 

Đặt t 1 3cos x ta được 

3sin x sin x 2dt 

dt dx dx ; 

2 13cos x 13cos 

x 3 

2 2 

t 1 2t 

1 

cos x 2cos x1 

 

3 3 

x 

0 

t 

2 

Đổi cận 

x 

t 

1 

2 

Khi đó 

4 2 4 2 2 34 

 

9 9 27 9 1 27 

1 

2 2 

t 

3 

I dt t t 


Đặt t1 3cos x... 



u 2cos x1 du 2sin 

x 

 

 

1 3cos 2 

dv 

 

dx 

v 

1 3cos x 

1 3cos x 3 1 3cos x 3 

Đặt sin x d x 

Khi đó 

 

 

2 2 

 

I 2 4 2 4 

 

3 x x 

3 

x xdx 

3 9 

xd x 

0 

0 0 

2cos 1 1 3cos 2 sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos 

2 8 

1 3cos x 3 

2 

34 

3 27 27 

0 



2 1 

13cos 

x 

 

sin 2x sin x 1 2cos x 1 1 

dx . d 1 3cos x 

. 3 3d 1 3cos x 

 

1 3cos x 3 1 3cos x 3 1 

3cos x 

2 1 3cos xd 1 3cos x 1 d 1 

3cos x 

9 9 1 

3cos x 

 


Tổng quát: 

 

a.sin 2x bsin 

x 

dx hoặc 

c d cos x 

 

 

a.sin 2x bcos 

x 

dx ta đặt c d cos x t. 

c d sin x 

 

2 

Bài 11: (ĐH – A 2009) Tính tích phân sau: cos 

 

HD: 

 

8 

 

15 4 

3 2 

I x 1 cos xdx 

0 

Cách 1: 

 

 

2 2 

5 2 

 

I cos xdx cos xdx 

0 0 

I1 I2 

Đặt t sin x dt cos xdx 

Đổi cận 

Khi đó 

 

x 

t 

1 

0 

t 0 

x 0 

 

 

 

1 1 

5 2 2 2 4 3 5 

2 2 

2 2 

2 4 1 

8 

I1 

cos xdx 1 sin x cos xdx 1 t dt 

1 2t t dt t t t 

3 5 0 15 

0 0 0 0 

 

2 2 2 2 

2 

x 

 

1 cos 2 1 1 1 1 

I2 

cos xdx dx dx cos 2xdx x sin 2x 

2 

2 2 

2 

 

2 2 4 

0 0 0 0 

 

0 

8 

Vậy I I1 I2 

 

15 4 

Chú ý: 

Có thể tính I 

1 

như sau 

1 

 

2 2 2 

5 2 

2 

2 

2 

cos 1 sin cos 1 sin sin 

 

I xdx x xdx x d x 

0 0 0 

1 

 

2 4 2 3 4 5 8 

1 2sin x sin xd sin x 

sin x sin x sin x 

2 

3 5 15 

0 

 

 

0 

Cách 2: 

I 

 

 

2 

 

0 

cos3x 3cos x 1cos 2x 

 

1 dx... 

4 2 



I 

 

 

2 

 

0 

sin 2x 

2 

dx 

2 2 

cos x 

4sin x 3 

HD: 

Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số 

 

 

2 2 

sin 2x 

sin 2x 

I dx 

dx 

1 sin x 4sin x 1 

3sin x 

Đặt 

2 2 2 

0 0 

dt 

3 

2 

t 1 3sin x sin 2xdx 

 

x 

t 

4 


t 1 

x 0 

 

Khi đó 

4 4 1 

1 dt 1 2 4 2 

2 

I 

3 

t dt t 

t 3 

 

3 1 3 

1 1 

Hoặc đặt t 1 

3sin 

2 

x 


 

1 

sin 2x 

sin 2x 

1 

I dx dx x d x 

1 sin x 4sin x 1 

3sin x 3 

2 2 2 

2 

 

2 

1 3sin 

2 1 3sin 

2 2 2 

0 0 0 

 

2 2 2 

1 3sin x 

2 

3 3 

0 

Cách 3: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số 

 

 

2 2 

sin 2x 

sin 2x 

I dx 

dx 

0 1 cos 2x 1 cos 2x 0 5 3cos 2x 

4 

2 2 2 

Và đặt 

5 3cos 2x 

t hoặc 

2 

5 3cos 2x 

t hoặc đưa vào vi phân 

2 

Tổng quát: Để tính 

I 

 

2 

sin x cos xdx 

với a, b 0 

0 

2 2 2 2 

a cos x b sin x 

Ta đặt: 

2 2 2 2 

u a cos x b sin x 


Bài 13: (Đề 68 Iva) Tính tích phân sau: 

I 

 

 

2 

 

0 

3 

4sin x 

dx 

1 

cos x 


Cách 1: Phân tích 

 

 

 

3 

3 3 

4sin x 4sin x 1 cos x 4sin x 1cos 

x 

4sin x 4sin xcos x 4sin x 2sin 2x 

2 

1 cos x 1 cos x 1 

cos x sin x 

Khi đó 

3 

 

4sin x 

2 2 

 

 

I dx 4sin x 2sin 2x dx cos 2x 4cos x 2 2 

0 

1 

cos x 

0 

0 

Cách 2: 

 

 

3 

2 2 

4sin x 

2 2 

 

4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 

 

 

I dx x x x dx xdx xd x 

0 

1 

cos x 

0 

 

2 2 

0 0 

2 

4cos x 2cos x 2 

Cách 3: 

 

 

2 3 

2 

2 

4 1 

cos x sin 

4sin x 

x 

I dx 

dx 

1cos x 

 

1cos 

x 

0 0 

dt 

sin 

xdx 

Đặt t 1 

cos x 

cos xt1 

 

x 

t 

1 


t 2 

x 0 

 

Khi đó 

 

 

2 1 

 

 

0 0 

2 

1 4 1 t 1 2 

2 

2 

I 

 

dt 4t 8dt 2t 8t 

2 

t 

 

1 


cos x 

Cách 4: 


x 

 

3 3 

2 3 32sin cos 

4sin x 2 2 3 x x 

dx 

16sin cos ... 

1 

cos x 

0 

2 x 

2 2 

x 

Quá hay phải không, bạn tự giải tiếp nhé 

2cos 2 

Cách 5: 

2dt 

dx 

 

2 

1 

t 

x 2t 

Đặt t tan sin x 

... Chắc chắn sẽ ra cứ yên tâm làm tiếp đi 

2 

2 1 

t 

2 

1 

t 

cos 

x 

2 

1 

t 

Chú ý: 

 

4sin 3 x 4sin x 1 cos x 1 cos x 

dx 4sin x 2sin 2 x ... Phân tích đến đây rùi thì có những cách nào, bạn 

1cos x 

1cos 

x 

đọc tự khám phá nhé! 

Tương tự 

I 

 

 

2 

 

0 

3 

4sin x 

dx 2 

1 

cos x 

Bài 14: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau: 

I 

 

2 

 

 

3 

3 

sin x 

sin x 

3 cot 

sin 

x 

xdx 



 

 

2 3 3 2 3 3 

sin x sin x sin sin cot 

cot 

x 

I xdx 

x x dx 

sin x 

 

sin x sin x 

3 2 

 

 

3 3 

 

 

2 2 2 5 8 

1 3 2 3 

3 

3 3 2 1 

1 cot xd 

2 

cot x cot x cot xd cot x cot xd cot x 

cot 

3 

sin x 

 

 

 

8 8 3 

3 3 3 

3 


 

 

2 3 3 

2 

sin x sin 1 cot 

I x cot xdx 1 . 

x dx 

x 

 

x x 

3 

3 2 2 

sin sin sin 

3 3 


1 

Đặt t cot x dt dx 

2 

sin x 

Đổi cận 

Khi đó 

 

x t 

0 

2 

1 

t 

x 

3 

3 

 

0 

I t tdt t dt t 

0 0 5 8 

3 2 3 1 

3 3 

 

1 

3 

1 1 8 8 3 

3 3 


Ta có 

 

 

2 3 3 2 3 3 

3 4 

 

 

3 3 

3 

sin x sin x cos sin sin 

cot 

x x 

I xdx 

x dx 

sin x 

 

sin x 

Nhận xét: Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cos 

Đặt t sin x dt cos xdx 

Đổi cận 

 

x t 

1 

2 

 

 

3 

x 

t 

 

3 

2 

Khi đó 

1 

1 1 

3 

3 3 1 

t t 

2 

I dt 

t 

dt 

t 

 

t 

4 3 

3 3 

2 2 

Đặt 

1 1 3 dt 

t t 2 t 

3 

3 2 

u 1 u 1 u du 

2 2 3 

Đổi cận 

Khi đó 

I 

t 

1 u 

0 

 

3 

t 

 

u 

2 

0 

 

0 4 

3 3 3 u 

1 

1 

3 

2 

u du 

1 2 4 8 3 

 

3 

3 3 

3 

3 

1 

3 


Bài 15: ( Đề 104. Iva) Tính tích phân sau: 


I 

3 

8 

 

sin 

 

8 

dx 

xcos 

2 2 

x 

2 2 

Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích nhờ đồng nhất thức sin xcos x 

1 

Khi đó 

3 3 3 

3 

8 8 2 2 

8 

dx sin x cos x 1 1 

8 

I dx dx 

2 2 2 2 2 2 

tan x cot x 

4 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

 

cos x sin x 

 

 

8 8 8 

8 

Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi 

3 3 3 

8 8 8 

dx 

dx d2x 

2 8 

x 

2 2 2 2 

sin x cos x 

 

sin 2x 

sin 2x 

 

8 8 8 

3 

I 4 2 2cot 2 4 


dx 

Đặt t tan x dt và 

2 

cos x 

1 1 tan x 1t 

 

2 2 2 

sin x tan x t 

2 2 

.... 

8 


I 

 

 

3 

 

0 

cos 

sin x 

2 

xdx 

3 cos x 



Ta phân tích: cos 2 x ( Asin x Bcos x) sin x cos x C sin 2 x cos 

2 x 

 

2 2 

3B C cos x B 3A sin x cos x A C sin x B 3A 0 B 

2 

cos xdx 1 3 1 

sin x cos x 

sin x 

3 cos x 4 4 4 sin x 

3 cos x 

 

1 

4 

 

 

A 

3BC 

1 

 

 

3 

 

 

 

4 

AC 

0 

 

 

1 

C 

 

4 

 


Khi đó 

 

1 3 1 dx 

I 

cos x sin x 

3 

4 4 

 

4 

 

 

0 sin x 

3 cos x 

0 

 

3 

I1 

Tính: 

J 

 

3 

dx 

 

0 sin x 

3 cos x 

I 

1 

 

3 

1 dx 1 x ln tan 

3 

 

 

2 

 

 

 

2 2 6 

0 

 

sin x 

 

 

0 

3 

 

1 3 1 x 3ln 3 

2 

I 

cos x sin x ln tan 

3 

4 4 8 2 6 

 

8 

0 

Cách 2: Tích phân liên kết 

Sử dụng tích phân liên kết 

J 

 

 

3 

 

0 

cos 

sin x 

2 

xdx 

3 cos x 

Giải hệ 

I 

3J 

1 

 

ln 3 I 

I 

J 

2 

3ln 3 

2 

 

8 

Tổng quát: 

I 

 

2 

cos xdx 

tích phân liên kết thường là 

Asin 

x B cos x 

 

J 

 

 

 

 

2 

sin xdx 

Asin 

x B cos x 




I 

 

2 

cos 

 

sin 

 

4 

6 

4 

x 

dx 

x 


Khi đó 

6 2 4 

cos x cos x.cos x 1 4 4 2 

dx dx 1 tan x tan x tan x 

4 4 2 

 

sin x sin x tan x 


6 

cos x 

4 2 4 2 

2 2 2 2 

4 

 

I dx tan x tan x dx tan xdx tan xdx 

sin x 

Tính 

 

4 4 4 4 

I1 I2 

 

2 2 2 2 2 

4 4 2 2 2 2 2 

tan 

tan tan tan 1 1 

tan tan 1 tan 1 

 

I1 

xdx 

 

x x x 

 

dx dx x dx 

 

4 4 4 4 4 

 

2 

2 

tan xd tan x 2 2 

tan x x 

 

4 

 

 

 

 

 

4 4 

 

2 2 2 

2 2 

Tính I2 

 

tan x 1 1dx tan x 1 dx dx tan x x 

... tự giải nhé 

 

 

 

4 4 4 

Cách 2: 

2 

2 

6 2 2 2 2 4 

cos x 

cos 

x 1 sin x 

cos x 2cos xsin x cos xsin x 2 1 

2 2 


 

 

cot x. 2cot x cos x 

4 4 4 2 

sin x sin x sin x sin x 

Khi đó 

 

2 2 2 

2 1 

2 2 

cot . 2 cot cos 

2 

sin x 

 

 

4 4 4 

I x dx xdx xdx 

 

 

2 2 2 

2 

1 1 

2 

sin x 2 

 

 

4 4 4 

 

cot xd cot x 2 1 dx 1 

cos 2x dx 

 

2 

 

4 

 

 

 

2 

2 cot x1 

x 

3 2 2 

 

 

 

8 12 

4 

3 

cot x 

1 sin 2x 

5 23 

Cách 3: 

Nhận xét: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sin và cos nên ta có thể đặt 

khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé! 

t tan x nhưng cách đó 



 

2 

6 3 5 

 

I 1cos x.sin x.cos 

xdx 

0 


 

2 

6 3 3 2 

 

I 1cos x.cos x.sin x.cos 

xdx 

0 

Đặt 

3 6 

 

cos x1t 

1 cos x t 1 cos x t 

sin .cos 2 

6 3 3 6 

2 5 

x xdx t dt 

Đổi cận 

 

x 

t 

1 

2 

t 0 

x 0 

 

1 1 7 13 

t 

t 1 12 

I 2 t 1 t t dt t t dt 2 

 

7 13 0 91 

0 0 

 

6 5 6 12 

Khi đó 

3 

Hoặc : Đặt 1cos x 

t 


 

 

2 2 

6 3 3 2 6 3 3 3 

 

I 1 cos x.cos x.sin x.cos xdx I 1 cos x.cos xd 1 cos x 

0 0 

 

2 

6 3 3 3 

 

0 

 

1 cos x 

 

1 cos x 1 

d 1 

cos x 

 

 

2 2 

6 3 3 3 6 3 3 

1 cos x 1 cos xd 1 cos x 1 cos xd 1 cos x 

 

0 0 

 

 

Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau 




 

 

2 2 

2 

sin 2 x .cos x sin x .cos x 

 

I 

dx 2 

dx 

1cos x 1cos 

x 

0 0 

I 

 

 

2 

 

0 

sin 2 x.cos 

x 

dx 

1 

cos x 


dt 

sin 

xdx 

Đặt t 1 

cos x 

cos xt1 

 

x 

t 

1 


t 2 

x 0 

 

Khi đó 

t 

2 

1 1 2 1 

t 

2 2 

I 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2ln 2 1 

t 

 

t 2 1 

2 1 

Cách 2: 

 

2 

2 2 2 

2 

sin 2 x.cos 

x sin x.cos 

x 1cos x 1 

 

I dx 2 dx 2 

 

 

 

d cos 

x 

1 cos x 

 

1 cos x 

 

1 

cos x 

 

2 

0 0 0 

2 

 

 

1 cos x 

 

2 

1 cos x d cos x 

sin x ln 1 cos x 2 2ln 2 1 

1 

cos x 

2 

0 0 

Chú ý: d cos x d 1 cos x 

và ta có thể đặt t 

cos x 

 

 

 

Tổng quát: 

I 

 

asin 2 x.cos 

x 

dx ta đặt t b c.cos 

x hoặc t 

cos x 

b c.cos 

x 

 


6 4 

x 

Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính tích phân sau: I dx ln 2 3 

HD: 

Cách 1: Biến đổi 

cos2 cos sin 1 tan cos 

2 2 2 2 

x x x x x 

 

tan 1 10 

 

cos 2x 

2 9 3 

0 

Đặt 

t tan x 

Hoặc sử dụng công thức 

Tổng quát: 

1 

tan 

cos 2x 

 

1 tan 

2 

2 

x 

x 

1. 

 

4 

atan 

x 

I với 

bcos 2x 

 

ab , 

Biến đổi 

* 

đặt t tan x 

2 2 2 2 

bcos2x b cos x sin x b 1 tan x cos x 


2. Mở rộng hơn 

 

4 

atan 

x 

I dx với 

2 2 

bsin x csin x cos x d cos x 

 

a, b, c, 

d 

đặt t tan x 

Biến đổi 

2 2 2 2 

bsin x csin xcos x d cos x b tan x c tan x d cos x 

* 

Bài 2: (ĐH AN – 1998): Tính tích phân sau: 

Cách 1: 

I 

 

4 

dx 

 

cos 4 

x 

0 

 

4 4 4 

 

dx 1 dx 

2 3 4 

I . 

4 2 2 1 tan xd tan x tan x tan x 

4 

cos x 

 

cos x cos x 

 

3 

0 0 0 

0 


 

4 4 4 

1 

I dx dx . 1 tan x 

dx 

x 

 

x x 

 

x 

2 

4 2 2 2 

cos cos cos cos 

0 0 0 

Đặt t tan x 


1 

u 

2 

cos x 

 

dx 

dv 

2 

cos x 

Bài 3: (Đề 84.Iva) Tính tích phân sau: 

I 

 

2 

dx 

4 

sin x 

 

4 

 

2 2 2 

3 

dx dcot x 

2 

cot x 2 4 

1 cot 

4 2 

cot cot 

sin x 

 

sin x 

 

 

 

 

 

 

 

3 3 

4 4 4 

I x d x x 

 

4 


 

2 

2 2 

I cos x.cos 2xdx 

 

0 

 

 

4 

HD: 

C1: Hạ bậc biến đổi tích thành tổng 


C2: Tích phân liên kết 


I 

 

 

4 

 

0 

 

1 

2sin 

2 

x 

sin x 

cos x 

 

4 

dx 

4 2 4 

sin x cos x 1 sin 2x 4cos x 

 

4 

2 

HD: 1 2sin x cos2x cos x sin xcos x sin x 

và 

Từ đây ta có các cách sau 

Cách 1: 

Biến đổi 

 

 

4 2 

4 

1 

2sin x cos 2x 

I 

dx 

dx 

 

sin x cos x 1sin 2x 

4 2 

0 0 

đặt t1 sin2x 

hoặc t sin2x 

hoặc biến đổi vi phân trực tiếp 

 

4 2 

4 4 

 

d 

 

4 2 2 

0 sin x cos x 0 1 sin 2x 0 1 

sin 2x 

x 

 

1 

2sin x cos 2x 

1 

sin 2 

I dx dx 

dx 

hoặc đặt t tan 

cách 2: 

Biến đổi 

 

4 2 

4 4 

 

 

 

 

1 

2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 

I dx dx 

dx 

 

4 4 4 

0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x 

Đặt t sin x cos x hoặc hoặc biến đổi vi phân trực tiếp 

Cách 3: 

Biến đổi 

Đặt 

 

t x 

4 

 

 

4 2 

4 

1 

2sin x 

cos 2x 

I dx 

dx 

4 

0 sin 

x cos x 

 

 

0 4 

4cos x 

 

4 

 

 

x 

 

 

Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính tích phân: 

HD: 

I 

 

3 

sin 

 

cos 

 

6 

2 

6 

x 

dx 

x 

2 

sin x 1 1 

dx x dx x x d x 

6 2 2 

cos x cos x cos x 

2 2 2 

Ta có tan . . tan 1 

tan tan 

 


Đs: 42 3 8 

15 

Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính tích phân: 

HD: 

I 

 

 

2 

 

 

4 

sin x 

cos x 

dx 

sin x 

cos x 

 

 

cos 

2 

2 sin x 

d 

2 x 

 

4 4 

 

 

2 1 

I 

 

dx 

 

dx ln cos x 

ln 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 

 

2 

2 cos x 

cos x 

 

4 

4 

4 

4 

4 


I 

 

4 

tan 

0 

6 

xdx 

HD: 

2 

Đặt tan tan 1 

t x dt x dx 

Đổi cận: 

x 0 t 0 

 

 

x 

t 1 

4 

Vậy 

 

 

4 1 6 1 

5 3 

4 

6 t dt 4 2 t t 1 

tan 1 

2 

2 

t 

 

t 

0 

 

0 0 0 0 

1 13 

I xdx t t dt t du 

1 1 5 3 15 4 


I 

 

 

2 

 

0 

cos 

5 

8 

xdx 

15 


HD: 

I 

 

 

2 

 

0 

3 

sin xcos 

x 

dx 

2 

1 

cos x 

 

2 

2 

1 cos x 

1 t1 1 2 1ln 2 

2 

2 

1 cos 

2 

ln 

I d x dt t t 

2 1 

cos x 

2 t 2 1 2 

0 1 


I tan 

4 

xdx 

HD: 


1 

I xdx x xd x x x d x x d x 

1 

tg x 

4 2 2 2 2 2 

tan tan sin tan tan 1 cos tan tan 1 2 tan 

 

2 

2 tan x 11 1 3 

tan xd tan x 

d 

2 

tan x 

tan x tan x x C 

1 

tan x 

3 

Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân sau: 

I 

 

 

2 

 

0 

3sin x 

4cos x 

dx 

2 2 

3sin x 

4cos x 

Đs: 

I 

3 

ln 3 

6 

V. BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ 


Bài 1: (ĐH TL2001) Tính tích phân sau: I ln 1tan 

 

 

4 

 

0 

x dx 


Cách 1: 

dx 

dt 

 

Đặt x t 

1 

tan t 2 

4 1 tan x1 tan t1 

 

4 1tan t 1tan 

t 

Đổi cận 

 

x 0 t 

4 

 

 

x t 0 

4 

 

 

I ln 1 tan x dx ln 2dt ln 1 tan t dt ln 2 . I I ln 2 

4 8 

4 4 4 

Khi đó 

Cách 2: 

Ta có 

0 0 0 

 

4 4 4 4 

sin 

x 

cos x 

I ln 1 tan xdx ln 

dx ln sin x cos xdx ln cos 

xdx 

 

cos x 

 

 

0 0 0 0 


4 4 

 

 

ln 2 cos 

xdx 

ln cos 

xdx 

4 

 

0 0 

J 

Tính 

 

4 4 4 

 

4 

1 1 

 

J ln 2 cos x dx ln 2 dx ln cos x dx ln 2x 4 ln cos x dx ln 2 K 

4 2 

 

4 2 

 

4 8 

0 0 0 

0 

0 

K 

Đặt 

 

t x dt dx 

4 

 

 

4 4 

 

Khi đó ln cos 

ln cos 

 

K t dt x dx 

0 0 

 

Khi đó I ln 2 

8 


 

u ln 1tan 

x 

Đặt 

... Bạn đọc tự giải 

dv dx 

Bài 2: Tính tích phân: I 

HD: 

 

1 

 

0 

 

ln 1 

x 

1 

x 

2 

 

dx. 

Đặt 

 

4 

x tan t ta được I ln 1tan tdt; 

 

0 

 

đặt t x ta được 

4 



Cách 1: 

 

 

4 4 

2 

I ln du ln 2 du I 

1 

tan u 

 

0 0 

5 

 

2 

 

ln x 1 1 

dx 

x1 

x1 

1 

dt dx 2t 1 

dt dx 

Đặt t x11 2 x 1 

 

x 

t 

1 2 

1 

 


Đổi cận 

Khi đó 

 

x5 t 

3 

 

x2 t 

2 

 

 

 

t1 ln t ln t 

3 

I dt dt td t t 

3 3 3 

2 2 2 

2 2 2 ln 

2 

ln ln ln 3 ln 2 

2 

2 t1 t1 

t 

 

2 2 

Cách 2: Đặt t x 1... bạn đọc tự giải 

 

2 

xdx 


1 sin 2 x 

0 


 

Cách 1: Đặt t x 

2 

2 

Cách 2: Biến đổi 1 sin 2x 1 cos 2x 2cos x , 

2 4 

tích phân từng phần 

 

I 1 1 

x .sin x .cos 2 xdx xd cos 3 x x cos 3 x cos 

3 xdx 

 

3 3 

0 0 0 

2 

 

 

1 sin sin sin 

3 3 

x d x x 

3 3 3 0 3 

0 

 

 

 

3 

1 1 sin x 

Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau: 

 

2 x 2 x 2 x 

 

 

1 

sin xe e e sin x 

I dx dx dx e 

1cos x 

 

0 0 

2 x 

2cos 

1cos 

x 

0 

2 


Cách 1: 

 

 

 

2 

0 

 

 

 

Ta có: 

Tính: 

 

2 2 x 2 2 x 2 

1 

sin x x e dx sin x x 1 e dx sin x x 

 

I . e dx . e dx . e dx 

1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 

0 0 0 0 

2 x 

cos 

1 

cos x 

0 

2 

 

2 

x 

e dx 

I1 

 

0 

2 x 

cos 2 

I1 

I2 


x 

u 

e 

x 

du 

e dx 

 

Đặt: dx 

dv 

x 

 

2 x v tan 

cos 2 

2 

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 

 

2 

 

2 2 

dx x x x x x 

2 

x 

1 

I1 

tan 2 tan . tan . 

2 

e e dx e e dx 

0 

2 x 

cos 

2 

 

2 

 

2 

0 

0 0 

2 

x x 

 

2 2 2sin cos 

2 

sin x x 

Tính: 

2 2 x x x 

I2 

. e dx . e dx tan . e dx 

1 

cos x 

 

0 0 

2 x 

2cos 

2 

0 

2 

 

e 

2 

Vậy I 

Cách 2: 

Ta có: 

 

2 x 

2 x 

2 2 

sin 

x 

e e x x x x 

I . dx . dx e d tan e tan . dx 

0 

2 x 

2cos 

1 cos x 

 

2 

 

2 

0 0 0 

2 

 

 

 

2 2 

x x x x 

 

x x x x 

e tan 2 e tan . dx e tan . dx e tan 2 e 

2 

 

2 

 

2 2 

0 

0 0 

0 

Sử dụng định nghĩa: 

x x x 

x x .2sin cos 

x 

' 

' 

1 sin x e 

e 

e 2 2 e x x x x x x x x 

tan e tan e tan e ' e tan 

1 cos x 

2 x 2 x 2 x 

 

 

2cos 2cos 2cos 

2 2 2 2 

2 2 2 

Ta có 

Hoặc ta biến đổi 

 

sin x x 

cos 

x 

 

x x 

 

 

 

1 2 tan tan 

1 cos x 2 x 

 

cos 

2 2 2 

2 

1 sin 1 2 2 1 

2 

 

2 

Vậy 

 

 

2 2 

2 x 

1 1 x x 

I 1 tan tan 

2 dx e dx 

2 2 2 

0 0 

I1 


Tính 

I 

1 

 

2 

x x 

tan e dx 2 

0 

Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính tích phân sau: 

I 

 

2 

e 

 

e 

1 1 

dx 

2 

ln 

x ln x 

Cách 1: 

f 

x 

Đặt 

2 

Ta có 

Khi đó 

2 

e 

1 1 

 

ln x ln x 

' 

' 

x ln x xln 

x 

1 1 1ln 

x 

x 

f x 

F 

2 2 2 

x 

 

ln x ln x ln x ln x ln x 

1 1 x 

e e 

I dx e 

x x x e 

e 

Cách 2: 

2 2 

2 

ln ln ln 2 

2 2 2 2 2 

e e e 2 e e 

1 1 1 dx x e dx dx 

I dx xd 

x x 

 

x 

 

x x 

 

x 

 

x 

2 

ln ln ln ln ln ln ln 

e e e 

e 

e e 

Bài 7: Tính tích phân sau 

 

2 

I x.sin 

xcos 

xdx 

 

0 


 

1 1 

I x.sin 2xcos xdx x. sin3x sin xdx 

2 

4 

Đặt: 

Khi đó 

0 0 

 

du dx 

u x 

 

 

 

 

1 

dv x x dx v x x 

3 

sin 3 sin cos3 cos 

 

I 1 1 1 

cos3 cos cos3 cos 

4 x 

3 x x 

0 3 x x 

dx 

 

 

3 

 

 

x 1 1 1 1 5 

cos3x cos x 2 sin 3x sin x 

2 

2 3 2 18 2 9. 

0 

 

0 

Cách 2: Đặt x 

t... 


Chú ý: Qua mấy bài toán trên ta có nhận xét 

0 


Dựa vào đạo hàm ta có thể tính Nguyên hàm của một các dạng đặc biệt 

Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng tích thương 

Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm 

Tổng ' ' 

f x u v u v ' 

 

Hiệu ' ' 

f x u v u v ' 

 

F x u v 

F x u v 

Tích ' ' 

f x u v vu uv ' 

F x 

uv 

Thương 

f 

x 

' ' 

' 

u v v u u 

 

 

2 

v 

v 

 

F x 

u 

 

v 

Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa e x 

Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm) 

F x 

x 

e x 

F x 

x 

e x 

 

F x 

ax b 

e ax b 

u x e 

F ' x 

u ' x ux 

e x f x 

u x e 

' ' x 

F x 

u x ux 

e f x 

u x e 

' ' axb 

F x 

u x au x 

e f x 

vv 

vv 

e F x u xe 

 

 

 

' ' ' vx 

F x u x v x u x e f x 

 

 

 

Ví dụ: Tính tích phân sau: 

I 

 

1 2 

 

 

xe 

x 

0 x 2 

 

2 

dx 



Đặt 

 

 

 

dx 

du 

1 

 

 

2 v 

x 2 

 

x 2 

2 x 

u x e 

x 

du xe x e dx 

2 x 1 

xe 1 

x 

Khi đó I xe dx 

x 2 0 

 

0 

I1 

 

 


Tính 

I 

1 

1 

x 

u x du dx 

xe dx. 

Đặt 

x x 

0 dv e dx v e 

1 

1 1 

x x x x 

Khi đó I1 

xe 

e dx xe e 

0 0 

x x 

Vậy I xe e 

Cách 2: 

0 

2 x 

xe 1 1 

1 

x 2 0 0 

2 2 

2 

Phân tích x x x x x x 

 

Khi đó 

4 4 4 2 4 2 4 2 4 

 

 

2 

x 

x 

x 

 

2 4 2 4 1 

I e dx e dx e dx dx dx 

2 x2 

1 2 

1 1 1 1 

x 

x x x x 

4 e 

4 

2 2 

0 x2 0 2 

x 

 

0 0 0 

Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân 


J 


I 

 

1 2 2x 

 

 

xe 

 

2 

0 x 1 

dx 

HD: Sử dụng tích phân từng phần 

1 2 2x 

1 

xe 

2 2x 

 

I dx 

2 x e d 

0 x 1 

0 x 

1 

 

1 

 

 

x e 1 1 

e e 

x1 0 

x1 2 2 

 

2 2x 

1 2 1 2 1 

2 2x 2x 2x 

d x e 2xe dx xd e 

 

0 0 0 

2 2x 

2 2 

e e 1 e e 

1 

1 

 

2 2 0 2 2 2 2 


Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: I 

 

2 

2 

x 2 

2 x 

 

I 4x tan x 1 tan tan 

2 2 

 

 

 

8 8 

0 

1 

 

 

0 

x 

 

2 

 

1 

e 

 

x 1 

2 

x 

dx 1 


sin x 

Bài 4: Tính tích phân sau: 1 cos 

 

2 

 

I e x x dx e 

2 

0 

Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính tích phân sau: 

2 

e 

1 

2 

I 2ln x 2 2e 2e 

 

e 

 

 

 

ln x

Giải toán tích phân bằng nhiều cách - Nguyễn Thành Long - Có lời giải chi tiết

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?