Giải toán tích phân bằng nhiều cách - Nguyễn Thành Long - Có lời giải chi tiết
https://app.box.com/s/iuea5nw04disk8bukytxhs13sp0064pj
https://app.box.com/s/iuea5nw04disk8bukytxhs13sp0064pj
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH<br />
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)<br />
I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ<br />
Bài tập <strong>giải</strong> mẫu:<br />
Bài 1: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I =<br />
<br />
3 2<br />
x<br />
2<br />
x 1<br />
0<br />
dx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đối số<br />
Đặt<br />
2<br />
x tan t dx (1 tan t)<br />
dt<br />
<br />
x 3<br />
Đổi cận <br />
x 0<br />
Khi đó<br />
<br />
t<br />
<br />
3<br />
<br />
t 0<br />
I =<br />
<br />
3 3 3 3<br />
3 2 2<br />
<br />
tan tdt tan t(tan t 11) dt tan t(tan t 1 dt) tan tdt<br />
0 0 0 0<br />
<br />
<br />
3 3<br />
2<br />
<br />
d(cos t) tan t 3<br />
tan td(tan t) ln cost<br />
3 ln 2<br />
cost<br />
2 2<br />
0 0 <br />
0<br />
Nhận xét: Đối với <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> dạng I<br />
<br />
2 2<br />
R( u, u a ) du, u u( x)<br />
thì ta có thể đặt tan<br />
<br />
<br />
u a t<br />
Cách 2: Phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> toàn phần<br />
Đặt<br />
2<br />
u x<br />
<br />
xdx <br />
dv<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
<br />
<br />
<br />
v<br />
<br />
<br />
du 2xdx<br />
2<br />
ln( x 1)<br />
2<br />
Khi đó I<br />
Tính J =<br />
3<br />
2 2 2<br />
1 3<br />
x ln( x 1) x ln( x 1) dx<br />
2<br />
<br />
0<br />
3<br />
2 2<br />
ln( x 1) d( x 1)<br />
<br />
0<br />
0<br />
3<br />
1 2 2<br />
3ln 2 ln( x 1) d( x 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
0<br />
J<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1
Đặt<br />
2<br />
2<br />
d( x 1)<br />
u ln( x 1)<br />
du<br />
<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
<br />
dv d( x 1)<br />
2<br />
v x 1<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 2
3<br />
1<br />
2 2 3<br />
<br />
2 3<br />
3ln 2 x 1 ln x 1 d( x 1) ln 2<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
2<br />
0 <br />
Khi đó I = <br />
Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì<br />
Khi tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> hàm <strong>phân</strong> thức mà ta <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> được về dạng I =<br />
P( x) f ( x) Q '( x)<br />
dx <br />
dx<br />
n<br />
n<br />
Q ( x) Q ( x)<br />
thì<br />
u<br />
f ( x)<br />
<br />
du<br />
Đặt Q'( x)<br />
<br />
<br />
dv dx<br />
n<br />
v<br />
Q ( x)<br />
<br />
<br />
Cách 3: Kĩ thuật tách thành <strong>tích</strong> kết hợp phương pháp đổi biến số<br />
Nhận xét: Ta có<br />
Phân <strong>tích</strong> I =<br />
x<br />
x x và<br />
3 2 .<br />
3 3 3 2<br />
2 2<br />
0 0<br />
2<br />
( x 1) 2<br />
x x x<br />
dx dx<br />
x 1 x 1<br />
<br />
x từ đó ta định hướng <strong>giải</strong> như sau<br />
Đặt<br />
x<br />
<br />
2<br />
t x 1 dt<br />
2<br />
t1<br />
xdx<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
x 3 t<br />
4<br />
Đổi cận <br />
<br />
x 0 t<br />
1<br />
4 4<br />
1 ( t 1) 1 1<br />
1 4 3<br />
1 ln ln 2<br />
2 t 2 t<br />
2 1 2<br />
Khi đó I = dt dt t t <br />
1 1<br />
Cách 4: Phân <strong>tích</strong> và đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
3 2<br />
3 2<br />
3<br />
1 x 2 1 x<br />
1<br />
1<br />
2 1 2<br />
I = d<br />
2 x 1<br />
d<br />
2 x 1 1 d<br />
2 x<br />
1<br />
<br />
2 x 1 2 x 1 x 1<br />
0 0 0<br />
3 3 2 2<br />
1 2 d( x 1) x 3 2 3 3<br />
1 ln<br />
2<br />
1<br />
2ln 2<br />
2<br />
d x x <br />
x 1 2 0 0 2<br />
0 0<br />
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> đơn giản hơn<br />
I =<br />
2<br />
x x x 3 1 d x 1<br />
3 1 3 3<br />
dx x dx x <br />
x 1 x 1 2 0 2 x 1 2 2 0 2<br />
3 3 3 2<br />
3<br />
<br />
2 2 2<br />
0 0 <br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
ln 1 ln 2<br />
Nhận xét: Đây là <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> hàm <strong>phân</strong> thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta <strong>chi</strong>a đa thức<br />
để tách thành tổng các <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> là phương pháp tối ưu nhất<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 3
Cách 6: Phân <strong>tích</strong> tử thức chứa mẫu thức (thực chất là <strong>chi</strong>a đa thức)<br />
3 2<br />
Ta có 1<br />
Khi đó I =<br />
x x x x<br />
2<br />
x x x 3 1 d x 1<br />
3 1 3 3<br />
dx x dx x <br />
x 1 x 1 2 0 2 x 1 2 2 0 2<br />
3 3 3 2<br />
3<br />
<br />
2 2 2<br />
0 0 <br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
ln 1 ln 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 4
Bài 2: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> bất định: I =<br />
3 3<br />
3x<br />
3x<br />
dx <br />
dx<br />
3 2 ( 1)( 2)<br />
<br />
2<br />
x x x x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phân <strong>tích</strong> tử thức chứa nghiệm của mẫu thức<br />
Phân <strong>tích</strong> x 3 xx 2 x x 2 x x<br />
<br />
Khi đó<br />
I =<br />
3 2 3 3 2 7 1 1<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
3x<br />
x x 3x 2 3 x 3x 2 7 x 1 1<br />
dx <br />
dx<br />
3 2 3 2<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
7 1 x<br />
1<br />
<br />
x 3 dx 3x 7ln x 2 <br />
dx<br />
x 2 x 1 x 2 2 <br />
<br />
<br />
x 1 x 2<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
3x 7ln x 2 ln x 2 ln x 1 C 3x 8ln x 2 ln x 1<br />
C<br />
2 2<br />
Cách 2: Kết hợp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”<br />
Phân <strong>tích</strong> x 3 xx 2 3x 2 3x 1 x 1 2x<br />
3<br />
2 2<br />
3 2 3 1 2 3<br />
2 3 3 2 3 1 2 9 1 2 3<br />
x x x x x x x x x x x x x Khi đó<br />
I =<br />
2<br />
3 2 1 2 3 2 3<br />
3<br />
3x<br />
x x x x x x<br />
dx <br />
3 2 3 2<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
9 2x3<br />
x<br />
2<br />
x 3 dx dx 3x 9ln x 2 ln x 3x 2 C<br />
2<br />
x 2 <br />
x 3x<br />
2 2<br />
Cách 3: Kết hợp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức<br />
3 2 2<br />
Phân <strong>tích</strong> <br />
Khi đó I =<br />
x x x 3x 2 3 x 3x 2 7x<br />
6<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
3x<br />
x x 3x 2 3 x 3x 2 7x<br />
6<br />
dx <br />
dx<br />
3 2 3 2<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
7x<br />
6 x<br />
<br />
x 3dx dx 3 x I<br />
2<br />
1.<br />
x 3x2 2<br />
Tính I 1 <strong>bằng</strong> phương pháp đồng nhất thức….<br />
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> đơn giản hơn<br />
dx<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 5
3<br />
3x 9x 8 <br />
9x<br />
8<br />
<br />
2 <br />
2 <br />
2<br />
x x x x x x <br />
<br />
I = 3 3<br />
dx x dx x dx dx<br />
3 2 3 2 <br />
3 2<br />
Tính I 1<br />
<strong>bằng</strong> phương pháp đồng nhất thức….<br />
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I =<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp đổi biến số<br />
3 3<br />
x<br />
x<br />
dx <br />
2 1 1<br />
<br />
2<br />
x x x<br />
<br />
<br />
2<br />
dx<br />
I1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 6
du<br />
dx<br />
Đặt u x1 <br />
x<br />
u 1<br />
Khi đó I =<br />
với ux<br />
1<br />
3 3 2 2<br />
u u u u u<br />
1 3 3 1 3 1 <br />
1<br />
du du u 3 du 3u 3ln u C<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
u u u u 2<br />
u<br />
Cách 2: Phân <strong>tích</strong> tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức<br />
Phân <strong>tích</strong> x 3 xx 2 x x 2 x x<br />
<br />
Khi đó I =<br />
2 1 2 2 1 3 1 1<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
x x x 2x 1 2 x 2x 1 3 x 1 1<br />
dx <br />
dx<br />
2 1 2 1<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
<br />
2<br />
3 1 x<br />
1<br />
x 2 dx 2x 3ln x 1 C<br />
2<br />
<br />
<br />
x1 x<br />
1<br />
<br />
2 x1<br />
Cách 3: Kết hợp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tần lầu<br />
Phân <strong>tích</strong> x x x 2x 1 2x 2x 1 1 2x<br />
2<br />
Khi đó I =<br />
3 2 2 3<br />
3<br />
3 x x x x x x<br />
x<br />
dx <br />
2<br />
2 1 2 1<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
2 1 2 2 1 1 2 2<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
1 3 2x<br />
2 x<br />
3 2<br />
2 ln 1 ln 2 1<br />
2<br />
<br />
x dx dx x x x C<br />
x 1 2 <br />
x 2x<br />
1 2 2<br />
Cách 4: Kết hợp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức<br />
3 2 2<br />
Phân <strong>tích</strong> <br />
Khi đó I =<br />
x x x 2x 1 2 x 2x 1 3x<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
x x x 2x 1 2 x 2x 1 3x<br />
2<br />
dx <br />
dx<br />
2 1 2 1<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
2<br />
3x<br />
2 x<br />
<br />
x 2dx dx 2 x I<br />
2<br />
1.<br />
x 2x1 2<br />
Tính I 1<br />
<strong>bằng</strong> phương pháp đồng nhất thức<br />
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> đơn giản<br />
dx<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 7
I =<br />
x<br />
x 3 1 <br />
dx dx x 2 dx<br />
x1 <br />
x1<br />
<br />
3 3<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
x 2x 1 x 1<br />
2<br />
x<br />
1<br />
2x 3ln x 1<br />
C<br />
2 x 1<br />
Cách 6: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
<br />
dx <br />
dv<br />
1<br />
<br />
<br />
2 v<br />
x 1<br />
<br />
x 1<br />
3<br />
u x 2<br />
du 3x dx<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 8
3 2 3 2<br />
1 1<br />
I =<br />
x 3 x x 3<br />
x <br />
dx dx<br />
x 1 <br />
x 1 x 1 <br />
x 1<br />
3 3 2<br />
x 1 x x <br />
3 x 1 dx 3<br />
x ln x 1<br />
C<br />
x 1 <br />
x 1 x 1 2 <br />
2<br />
x dx<br />
Bài 4: Tìm nguyên hàm: I =<br />
1 x <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
2<br />
2 2<br />
Phân <strong>tích</strong> x x x x<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
1 2 1 1<br />
39<br />
2<br />
1 x 21 x<br />
1 1 2 1<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
1 x 1 x 1 x 1 x 1<br />
x<br />
39 39 37 38 39<br />
1 dx 1 dx 1 dx 1 1 2 1 1 1<br />
C<br />
<br />
I = 2<br />
1 x 1 x 1 x 36 1 x 37 1 x 38 1<br />
x <br />
Cách 2:<br />
37 38 39 36 37 38<br />
Đặt t 1 x x 1t dx dt<br />
2<br />
1<br />
t dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1<br />
I = dt 2 dt dt C<br />
39 39 38 37 38 37 36<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t 38 t 37 t 36 t<br />
Nhận xét:<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
2<br />
u<br />
x du<br />
2xdx<br />
<br />
<br />
Đặt dx 1<br />
dv <br />
v<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Khi đó I =<br />
39<br />
1<br />
x 38 x 1<br />
x<br />
2<br />
38<br />
1 1 x<br />
dx....<br />
38 38<br />
38 1 1<br />
đến đây các bạn có thể tự làm rồi<br />
x<br />
19 x<br />
<br />
3<br />
x dx<br />
Bài 5: Tìm nguyên thức: I =<br />
x 1<br />
<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
<br />
10<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 9
3<br />
3 3 2<br />
Sử dụng đồng nhất thức: x x x x x <br />
3<br />
x 1 3 3 1<br />
<br />
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1<br />
Khi đó<br />
1 1<br />
1 3 1 3 1 1<br />
10 7 8 9 10<br />
dx dx dx dx<br />
<br />
<br />
I = 3 3<br />
x 1 x 1 x 1 x 1<br />
<br />
7 8 9 10<br />
1 1 3 1 3 1 1 1<br />
C<br />
6 7 8 9<br />
6 7 8 9<br />
x 1 x 1 x 1 x<br />
1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 10
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
Đặt tx 1 ta có: xt 1 nên dx dt<br />
A =<br />
t<br />
1 3 dt t 3 3t 2 3t 1<br />
dt<br />
3 <br />
10 10 <br />
t<br />
t<br />
7 9 10<br />
t dt t dt t dt<br />
1 1 3 1 3 1 1 1<br />
= C<br />
6 7 8 9<br />
6 x 1 7 x 1 8 x 1 9 x 1<br />
<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
Khi đó<br />
I = x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dv <br />
<br />
3 2<br />
u x du 3x dx<br />
3<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
v <br />
<br />
x1 9 x1<br />
1<br />
10 9<br />
2<br />
1 1 x<br />
<br />
9 1 1<br />
x<br />
3 x<br />
<br />
9 9<br />
I1<br />
dx...<br />
đến đây rùi ta có thể tính I 1<br />
<strong>bằng</strong> phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần hoặc <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
1 1 1 1 1<br />
Nhận xét :<br />
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì <strong>giải</strong> hệ quả thật là nan <strong>giải</strong> phải<br />
không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất<br />
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý<br />
- Đối với <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> hàm <strong>phân</strong> thức có dạng I =<br />
nhất<br />
- Khi tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> hàm <strong>phân</strong> thức mà ta <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> được về dạng I =<br />
<br />
Px ( )<br />
dx<br />
n<br />
x<br />
a<br />
thì đặt t x a là một phương pháp hiệu quả<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
Px ( ) f ( x) Q'<br />
dx <br />
dx<br />
n<br />
n<br />
Q ( x)<br />
Q x<br />
dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần nhưng nên làm khi bậc của ( x a)<br />
là n 1,2<br />
u<br />
f ( x)<br />
<br />
du<br />
Đặt Q'( x)<br />
<br />
<br />
dv dx<br />
n<br />
v<br />
Q ( x)<br />
<br />
<br />
thì ta sử<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 11
Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I =<br />
HD:<br />
Cách 1: Biến đổi số<br />
Nhân cả tử và mẫu cho<br />
2<br />
x<br />
3 3<br />
dx dx<br />
<br />
x<br />
x x x<br />
<br />
3 2<br />
0 0<br />
1<br />
<br />
<br />
I =<br />
3 3 3<br />
dx dx xdx<br />
3 2 2 2<br />
x x <br />
<br />
<br />
<br />
0 0<br />
x1x <br />
0<br />
x 1x<br />
<br />
Đặt<br />
x<br />
<br />
2<br />
t 1<br />
x dt<br />
2<br />
t1<br />
xdx<br />
<br />
<br />
2<br />
Cách 3: Biến đổi số<br />
Đặt x tan u … Bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Cách 4: Đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
Phân <strong>tích</strong> tử <br />
Khi đó I =<br />
1 1 x x<br />
2 2<br />
3 3 3 3<br />
2 2<br />
0 0 0 0<br />
<br />
2<br />
dx x dx 1 d 1<br />
x 3 1 2 3 6<br />
dx ln x ln x 1 ln<br />
x 1x x 2 1x<br />
0 2 0 2<br />
<br />
Bài 12: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I =<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
2<br />
<br />
1<br />
dx<br />
5 3<br />
x x<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
Cách 1.1: Phân <strong>tích</strong>: 1 x 1<br />
x<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
1 x 1<br />
x 1 1 1 x 1<br />
x 1 1 x<br />
<br />
3 2 3 2 3 2 3 2<br />
3 2<br />
x x x x x x x x x x x x x 1<br />
Khi đó<br />
I =<br />
1 1 1 1<br />
1 1 x 1 1 1 2 2 3 1 5<br />
dx dx dx ln x ln x 1 ln 2 ln<br />
x x x 1 2 x 2 1<br />
8 2 2<br />
2 2 2<br />
<br />
3 3 2 2<br />
1 1 1<br />
Cách 1.2: Phân <strong>tích</strong> 1 x 4 1 x 4 x 4 1 x 2 1<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 12
1 1<br />
<br />
<br />
1 1 x x x 1 1<br />
x x 1 x x 1 x x 1<br />
x 1 x x 1<br />
x<br />
4 4 4 2 2<br />
2<br />
x x x x x 3<br />
x <br />
3 2 3 2 3 2<br />
2 3 2<br />
… tự làm nhé<br />
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành <strong>tích</strong> và phương pháp biến đổi số<br />
Phân <strong>tích</strong> I =<br />
2 2<br />
1 1 1<br />
dx <br />
3 2 2 2<br />
1<br />
x x 1 <br />
x<br />
1<br />
x x 1<br />
dx<br />
Đặt<br />
1<br />
t <br />
x<br />
1<br />
x <br />
t<br />
<br />
1<br />
dx dt<br />
2<br />
t<br />
1<br />
x<br />
2 t<br />
<br />
Đổi cận 2<br />
x<br />
1<br />
<br />
t<br />
1<br />
Khi đó I = <br />
1<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
t<br />
1 3<br />
t<br />
t<br />
dt dx...<br />
đến đây lại trở thành Bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé<br />
2<br />
1 1 1 t 1<br />
1<br />
2 <br />
2 2<br />
t<br />
t<br />
<br />
Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biến số<br />
I =<br />
Đặt<br />
2 2<br />
1 1<br />
dx <br />
3 2 4 2<br />
1<br />
x x 1 <br />
1<br />
x x 1<br />
dt<br />
2<br />
2<br />
t x 1 xdx<br />
x2 t<br />
5<br />
Đổi cận <br />
x1 t<br />
2<br />
5 5<br />
dx<br />
dt 1 1 1 1 1 1 t 5<br />
3 1 5<br />
ln ln 2 ln<br />
2<br />
<br />
2<br />
dt<br />
<br />
2 t 1 t 2<br />
<br />
t 1 t 1<br />
<br />
<br />
2 8 2 2<br />
<br />
Khi đó I =<br />
2 t t 1 2<br />
t 1 <br />
Hoặc các bạn có thể đặt u t 1<br />
hoặc <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> 1 t t<br />
1<br />
hoặc đồng nhất thức<br />
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
I =<br />
2 2 2<br />
1 dx 1 1 1<br />
2<br />
dx d x 1<br />
<br />
3 2 4 2 4 2<br />
1<br />
x x 1 <br />
1<br />
x x 1 2<br />
<br />
1<br />
x x 1<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 13
2 2 2<br />
2 2<br />
1<br />
<br />
4 <br />
1 <br />
x<br />
<br />
1 1<br />
1 x x<br />
2 1 1 2 1 1<br />
2<br />
<br />
4 2 d x 1 d x 1 <br />
2 2 d x 1<br />
<br />
2 x x 1 2 2 x x 1<br />
<br />
2 2<br />
1 1<br />
dx dx...<br />
3 2<br />
x<br />
ôi đến đây lại thành Cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…<br />
1 1<br />
x<br />
x 1<br />
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức<br />
x<br />
<br />
x<br />
1<br />
3 2<br />
<br />
1<br />
A B C Dx E<br />
<br />
3 2 2<br />
x x x x 1<br />
<br />
<br />
đến đây thì đồng nhất thức hai vế để <strong>giải</strong> hệ tìm I = A,B,C,D,E tuy nhiên<br />
việc <strong>giải</strong> hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo <strong>cách</strong> 1, <strong>cách</strong> 2 và <strong>cách</strong> 3 là hiệu<br />
quả nhất<br />
Cách 6: Đặt<br />
2<br />
x tan u dx tan 1 dt...<br />
bạn đọc tự làm<br />
Bài 14: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I =<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
1<br />
<br />
dx<br />
3<br />
x 1<br />
0<br />
Nhận xét: x 3 1 x 1 x 2 x 1<br />
Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:<br />
<br />
2 2 2<br />
1 x x 1 x x 1 x 1<br />
Khi đó I =<br />
1 2 1<br />
x x1<br />
dx dx I I<br />
x 1 x x 1<br />
<br />
3 2<br />
0 0<br />
Tính I 1<br />
<strong>bằng</strong> <strong>cách</strong> đặt<br />
Tính<br />
2<br />
Ta có I<br />
2<br />
t<br />
3<br />
x 1 hoặc 1<br />
I <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> x 1 2x<br />
1<br />
I<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
d x<br />
3<br />
3<br />
3 x 1<br />
0<br />
<br />
1<br />
1 1<br />
(kĩ thuật nhảy tầng lầu)<br />
2 2<br />
1 1 1<br />
x 1 1 2x 1 1 dx<br />
dx dx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
4<br />
2 2<br />
2<br />
x x 1 2 x x 1 2<br />
0 0 0 1 3<br />
Cách 2: Đồng nhất thức<br />
1 A Bx C<br />
1 1 1<br />
2<br />
Xét 1 A x x 1 Bx C x 1<br />
3 2<br />
x x x x<br />
Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số <strong>giải</strong> hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 14
1 2 1<br />
x 1 A ; x 0 C ; x 1 B ... Bạn tự <strong>giải</strong> tiếp nhé<br />
3 3 3<br />
Kết quả ta được I = 1 <br />
ln 2 <br />
3 3 3<br />
Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”<br />
I =<br />
1 1 1<br />
<br />
2<br />
0 0 <br />
0<br />
d<br />
x1<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
1 1 1 1 1 3 1 3<br />
<br />
<br />
3 2<br />
x x x x x x x<br />
Đặt x1 t dx dt<br />
Đổi cận<br />
x0 t<br />
1<br />
<br />
x1 t<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
t 3t 3 t 3t<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
t t 3t 3<br />
<br />
1<br />
t t 3t<br />
3<br />
<br />
1 1<br />
dt 1 1 dt t 3<br />
<br />
dt<br />
2 <br />
3 3 t t 3t<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 dt 1 d t<br />
3t<br />
3<br />
<br />
3 dt<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
3 2 2<br />
<br />
t 3t3 2<br />
<br />
1 1 1 3<br />
3<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
2<br />
4<br />
2<br />
1 1 t<br />
2t<br />
3 2 1 <br />
ln 3 arctan ln 2<br />
2<br />
<br />
3 2 t 3t3 3 1<br />
3 3 3<br />
Bài 15: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> bất định: I =<br />
4 3<br />
3x 5x 7x<br />
8<br />
dx .<br />
50<br />
<br />
x 2<br />
<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Biến đổi số<br />
xt2<br />
Đặt x<br />
2 t <br />
dx<br />
dt<br />
4 3<br />
3x 5x 7x<br />
8<br />
Khi đó I = dx <br />
x 2<br />
<br />
<br />
4 3<br />
t t t<br />
<br />
3 2 5 2 7 2 8<br />
dt<br />
t<br />
50 50<br />
Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức<br />
4 3<br />
4 3 2<br />
Phân <strong>tích</strong> <br />
3x 5x 7x 8 a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 e...<br />
đồng nhất để tìm a, b, c, d, e<br />
…<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 15
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)<br />
Đặt<br />
P x x x x<br />
( ) 3 4 5 3<br />
7 8<br />
4<br />
Áp dụng khai triển Taylor ta có<br />
P ( 2) P ( 2) P ( 2) P ( 2)<br />
P4( x) P4( 2) ( x 2) x 2 ( x 2) ( x 2)<br />
1! 2! 3! 4!<br />
4<br />
' " (3) (4)<br />
4 4 2 4 3 4<br />
4<br />
<br />
2 3 4<br />
P ( x ) 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2<br />
I<br />
<br />
<br />
<br />
x x x x<br />
<br />
50<br />
x<br />
2<br />
2 3 4<br />
66 149 2 48 2 29 2 3 2<br />
<br />
50 49 48 47 46<br />
66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx<br />
<br />
<br />
66 149 48 29 3<br />
C<br />
49 48 47 46 45<br />
49 2 48 2 47 2 46 2 45 2<br />
x x x x x<br />
<br />
Bài 16: (ĐHTN – 2001) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Ta có<br />
1<br />
5<br />
2<br />
1 5 1 5 1 5<br />
2 2<br />
2 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x 1<br />
dx<br />
4 2<br />
x x<br />
1<br />
1<br />
1 <br />
<br />
x 1<br />
<br />
x<br />
dx x dx<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
4 2<br />
2<br />
x x<br />
1 <br />
1 1<br />
2 1 <br />
x 1 1 1 <br />
2<br />
x x<br />
1<br />
x <br />
1 1 <br />
Đặt t x dt 1 dx.<br />
2 <br />
x x <br />
Đổi cận<br />
x<br />
1<br />
<br />
1<br />
5<br />
x<br />
<br />
2<br />
t<br />
0<br />
<br />
t<br />
1<br />
Khi đó<br />
I<br />
<br />
1<br />
dt<br />
2<br />
. Đặt tan <br />
2<br />
1<br />
tan <br />
1<br />
t<br />
0<br />
t u dt u du<br />
u<br />
0<br />
t<br />
0 <br />
Đổi cận <br />
t<br />
1<br />
u<br />
4<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 16
Khi đó<br />
<br />
<br />
1 4 2<br />
4<br />
<br />
dt 1<br />
tan u<br />
<br />
I du du u<br />
2 2<br />
4 <br />
1t<br />
<br />
1tan u<br />
<br />
4<br />
0 0 0<br />
0<br />
Cách khác:<br />
1 1<br />
x tan u 1 dx 1 tan u du...<br />
2 <br />
x x <br />
<br />
2<br />
Ta có thể gộp hai lần đặt là <br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Bài 17: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
I <br />
2 2<br />
<br />
1<br />
x<br />
x<br />
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho<br />
Biến đổi<br />
4<br />
1<br />
dx<br />
1<br />
2<br />
x 0 ta được<br />
1 1<br />
2 1<br />
2 1<br />
2 2<br />
I x<br />
x<br />
dx dx<br />
2<br />
1<br />
2 1 <br />
x 1 1 <br />
2<br />
x x<br />
2<br />
x <br />
1 1 <br />
Đặt u x du 1<br />
dx<br />
2 <br />
x x <br />
Khi đó<br />
5<br />
2<br />
2<br />
5 2 22 2 <br />
du 1 u 2 5 / 2 1<br />
I ln<br />
ln<br />
2<br />
u 2 2 2 u 2 2 2 2 6 2<br />
2<br />
Cách 2: Phân <strong>tích</strong> x <br />
4 1 x 2 1 2x 2 x 2 2x 1 x 2 2x<br />
1<br />
2<br />
x 1 Ax B Cx D<br />
<br />
<br />
<br />
4 2 2<br />
x x x x x<br />
và sử dụng đồng nhất thức<br />
... đồng nhất hệ số tìm A, B, C và D nhưng <strong>cách</strong> này dài và rất phức tạp<br />
1 2 1 2 1<br />
nên không đưa ra<br />
Nhận xét:<br />
- Qua các ví dụ ta thấy kĩ thuật <strong>chi</strong>a thực sự rất hiệu quả trong việc chuyển <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> ban đầu thành <strong>tích</strong> <strong>phân</strong><br />
đơn giản hơn<br />
- Thông thường để sử dụng kĩ thuật <strong>chi</strong>a thì trên tử là một đa thức bậc hai<br />
P x<br />
2<br />
( ) x 1<br />
còn mẫu là một đa<br />
thức bậc 4:<br />
4 3 2<br />
Q( x)<br />
ax bx cx dx e<br />
sao cho hệ số ae<br />
1<br />
1 1<br />
- Tích <strong>phân</strong> trên đưa về dạng I f x 1<br />
<br />
1 1 <br />
dx<br />
2 đặt t x dt 1 dx<br />
2 <br />
x x <br />
x x <br />
Tương tự ta có thể <strong>giải</strong> bài <strong>toán</strong> này<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 17
1. Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau<br />
I <br />
2 2<br />
<br />
1<br />
x<br />
x<br />
4<br />
1<br />
dx<br />
1<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
I dx dx<br />
<br />
x x<br />
2<br />
x <br />
2 2<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
1 1<br />
2<br />
1<br />
2 1 . Đặt 1<br />
2<br />
x<br />
1 1<br />
x x<br />
2<br />
2. (ĐHQGHN – A 2001) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> bất định sau:<br />
2 2<br />
x 1 1 x 5x<br />
1<br />
ln<br />
2<br />
8 x 3x1<br />
2 2<br />
x 5x 1 x 3x<br />
1<br />
<br />
u x du dx<br />
<br />
I dx C<br />
3 4<br />
Bài 18: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: <br />
1<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
1<br />
I x x dx<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
4 3 3<br />
t x 1 dt 4x dx x dx<br />
<br />
x1 t<br />
2<br />
<br />
x0 t<br />
1<br />
4<br />
Khi đó 1<br />
<br />
0 1<br />
0<br />
dt<br />
4<br />
1 2<br />
3 4 1 4 1 5 2 31<br />
I x x dx t dt t <br />
4 20 1<br />
20<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
dt<br />
4<br />
4 3<br />
t x x dx<br />
x1 t<br />
1<br />
<br />
x0 t<br />
0<br />
Khi đó <br />
4<br />
1 1 5<br />
1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 t 1 31<br />
I 1 t dt 1 4t 6t 4t t dt <br />
<br />
t 2t 2t t <br />
4 4 4 5 0 20<br />
0 0<br />
<br />
<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi vi <strong>phân</strong><br />
0 0<br />
4<br />
x 5<br />
1 1<br />
3 4<br />
4 1 4<br />
4<br />
4 1 1 1 31<br />
I x x 1 dx x 1 d x<br />
1 .<br />
4<br />
<br />
4 5 0 20<br />
Cách 4: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 18
4<br />
Phân <strong>tích</strong> x 3 x 4 1 x 3 x 16 4x 12 6x 8 4x 4 1 x 19 4x 15 6x 11 4x 7 x<br />
3<br />
<br />
1 1 20 16 12 8 4<br />
x x x x x 1 31<br />
I x x dx x x x x x dx <br />
20 4 2 2 2 0 20<br />
0 0<br />
<br />
<br />
3 4<br />
4<br />
19 15 11 7 3<br />
Khi đó 1 4 6 4 <br />
Nhận xét: Mỗi <strong>cách</strong> <strong>giải</strong> có một đặc thù riêng nên lựa chọn <strong>cách</strong> nào là phù hợp hơn, tùy vào mỗi người, theo<br />
tôi <strong>cách</strong> 1 và <strong>cách</strong> 3 là hiệu quả nhất.<br />
5 3<br />
Bài 19: (ĐH KTQD – 1997) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: 1<br />
<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
1 1<br />
5 3<br />
6<br />
3 3<br />
6<br />
2<br />
Ta có 1 <br />
1<br />
<br />
I x x dx x x x dx<br />
0 0<br />
Cách 1: Đổi biến số<br />
dt 2<br />
3 x dx<br />
Đặt t 1 x 3<br />
3<br />
x<br />
1t<br />
1<br />
6 1<br />
I x x dx <br />
168<br />
0<br />
Đổi cận<br />
x1 t<br />
0<br />
<br />
x0 t<br />
1<br />
0 1 1 7 8<br />
1 6 1 6 1 6 7 1 t<br />
t 1<br />
I 1 1<br />
<br />
3t t dt <br />
3t t dt t t dt<br />
3<br />
<br />
3 7 8 168<br />
1 0 0<br />
<br />
Cách 2: Đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
1 1 1 1<br />
6 6 6 7<br />
5 3 2 3 3 2 3 2 3<br />
1 <br />
1 1 1 1 1<br />
<br />
I x x dx x<br />
<br />
x<br />
<br />
x dx x x dx x x dx<br />
0 0 0 0<br />
0 0<br />
3 3<br />
1x<br />
1x<br />
<br />
7 8<br />
1 1<br />
1 3<br />
6<br />
3 3<br />
7<br />
3 1 1 1 1 1<br />
1 1 1 1 . .<br />
3 x d x x d x <br />
3 7 0 3 8 0 168<br />
3<br />
Cách 3: Khai triển 1 x 6<br />
5 3<br />
thành tổng các đa thức x x 6<br />
phức tạp… chỉ tham khảo thôi<br />
1 .. <strong>cách</strong> này không khó nhưng khai triển<br />
Chú ý: Nếu ta đặt<br />
t<br />
3<br />
x cũng ra nhưng sẽ dài và phức tạp, bạn đọc có thể tham khảo<br />
Bài 20: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau 1<br />
2<br />
<br />
I x x dx<br />
0<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 19
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong><br />
2 2 3 3<br />
Ta có <br />
x x 1 x x 2x 1 x 2x x<br />
2 4 3 2<br />
x 2x x 2 34<br />
I x x x dx <br />
4 3 2 0 3<br />
0<br />
<br />
<br />
3 3<br />
Khi đó 2 <br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
2 2 3 2<br />
Ta có x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x<br />
1<br />
<br />
3 2 3<br />
Khi đó I x 1 dx x 1 dx x 1 d x<br />
1<br />
0 0 0<br />
x<br />
x<br />
<br />
4 3<br />
2 2 2<br />
1 1 34<br />
<br />
4 3 3<br />
Cách 3: Đổi biến số<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
xt1<br />
t x1 <br />
dx<br />
dt<br />
x2 t<br />
3<br />
<br />
x0 t<br />
1<br />
3 3 4 3<br />
t<br />
t 3 34<br />
I t t dt t t dt <br />
4 3 1 3<br />
1 1<br />
<br />
2 3 2<br />
Khi đó 1 <br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
2 du 2 x 1<br />
dx<br />
u<br />
<br />
x1<br />
<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
dv xdx v<br />
<br />
2<br />
2 2 3 2<br />
Khi đó <br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
4 3<br />
x 2 x x 2 34<br />
I x 1 x x 1 dx 6 x x dx 6 <br />
2 0 4 3 0 3<br />
0 0<br />
<br />
2<br />
Bài 21: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: 1<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Biến đổi số<br />
Đặt t x1dt dx<br />
Đổi cận<br />
x 1 t<br />
0<br />
<br />
x0 t<br />
1<br />
0<br />
<br />
I x x dx<br />
1<br />
9<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 20
Khi đó<br />
0 0 1 1<br />
2 9 2 9 2 9 11 10 9<br />
1 1 2 1 2 <br />
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt<br />
1 1 0 0<br />
12 11 10<br />
t t t 1 1 2 1 1<br />
2 <br />
12 11 10 0 12 11 10 660<br />
Cách 2: Phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
2<br />
2<br />
Phân <strong>tích</strong> x x x<br />
<br />
Khi đó<br />
1 2 1 1<br />
0 0 0<br />
2 9 2 9 11 10 9<br />
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1<br />
<br />
I x x dx x x x dx x x x dx<br />
<br />
1 1 1<br />
x x x<br />
<br />
12 11 10<br />
1 1 1 0 1<br />
2 <br />
<br />
12 11 10 <br />
1 660<br />
Hoặc <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
2<br />
x theo <br />
x 1<br />
như sau<br />
1 1 1 1 1 1<br />
21 1 2 1 1<br />
2 9 2<br />
9 11 10 9<br />
x x<br />
<br />
x<br />
<br />
x x x x x x<br />
Nhận xét:<br />
- Với bài <strong>toán</strong> này ta sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> tức là khai triển x 1 9<br />
hay phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng<br />
phần như bài 20 thì cũng ra nhưng rất dài và phức tạp vì bậc của x 1<br />
là lớn<br />
1 10<br />
Bài 22: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>: 2<br />
<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Đổi biến số<br />
I 1 3x 1 2x 3x<br />
dx<br />
0<br />
dt<br />
t x x dt x dx dt x dx x dx<br />
2<br />
2<br />
Đặt 1 2 3 2 6 21 3 1<br />
3 <br />
Đổi cận:<br />
x0 t<br />
1<br />
<br />
x1 t<br />
6<br />
10 11 11 11 11<br />
6 6<br />
10 dt t t 6 6 1 6<br />
I t 1<br />
1<br />
2<br />
dt <br />
1<br />
2 22 1 22 22 22<br />
Cách 2: Đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 21
1 2<br />
10 1<br />
1<br />
2<br />
10<br />
2<br />
'<br />
I 1 3x 1 2x 3x dx 1 2x 3x 1 2x 3x dx<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
x<br />
x 11<br />
1 11<br />
1 10<br />
1 2 3<br />
2 2<br />
1 6<br />
1 2 3 1 2 3 <br />
1<br />
2<br />
x x d x x <br />
22 0 22<br />
Bài tập tự <strong>giải</strong> có hướng dẫn:<br />
Bài 1: (ĐHV – D 2010) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I <br />
2 3<br />
<br />
0<br />
x<br />
2<br />
3x<br />
dx<br />
2x1<br />
Đs: I 9ln3<br />
8<br />
Bài 2: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
HD:<br />
Chia cả tử và mẫu cho<br />
I <br />
2<br />
x ta được<br />
1<br />
2 1<br />
2<br />
I x<br />
<br />
dx<br />
1 1<br />
1 <br />
x 3 x 1<br />
x x <br />
2 2<br />
x<br />
1<br />
2 2<br />
1 x 3x 1 x x 1<br />
1 1 <br />
Cách 1: Biến đổi số đặt t x dt 1<br />
dx<br />
2 <br />
x x <br />
Cách 2: Biến đổi vi <strong>phân</strong><br />
1 <br />
2 2<br />
2 d x<br />
x 1 <br />
x<br />
1 1 1 <br />
2<br />
I dx <br />
<br />
dx ln x 1 ln x 3<br />
2<br />
<br />
x<br />
x<br />
<br />
1<br />
2 2 2 2<br />
1 x 3x 1 x x 1 <br />
1 x 3x 1 x x 1<br />
1 7<br />
ln<br />
2 10<br />
Cách 3: Đồng nhất thức<br />
Bài 3: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
HD:<br />
1 5<br />
<br />
x<br />
2<br />
x 1<br />
0<br />
dx<br />
5 3 2 2<br />
Đồng nhất thức: 1 1<br />
x x x x x x<br />
dx<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 22
1<br />
3 x 1 4 1 2 1 2 1 1 1<br />
I x x ln<br />
2 dx x x x<br />
1<br />
ln 2 .<br />
x 1 <br />
4 2 2 <br />
0 2 4<br />
0<br />
Hoặc <strong>chi</strong>a tử cho mẫu để tách thành tổng các <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> đơn giản Hoặc đặt<br />
x<br />
tan t<br />
Bài 4: (ĐHKT – 1994) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
HD:<br />
I<br />
1<br />
x<br />
<br />
0 1<br />
2x<br />
<br />
<br />
3<br />
dx<br />
1 x 1 1 1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
Phân <strong>tích</strong> x 1 2x<br />
1<br />
Hoặc đặt t1 2x<br />
hoặc <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
1 2x 1 2x 1<br />
2x<br />
3 2 3<br />
<br />
<br />
<br />
ta được<br />
1<br />
I <br />
18<br />
Bài 10: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
1 2<br />
Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho x rồi đặt<br />
x 3 21 13<br />
I <br />
dx ln 2 ln 3<br />
4 2<br />
x x 3x<br />
2<br />
4 4<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
t x<br />
Cách 2: Phân <strong>tích</strong> mẫu xx 4 3x 2 2 xx 2 1 x<br />
2 2<br />
Bài 5: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
I <br />
1<br />
2<br />
và sử dụng đồng nhất thức<br />
2x<br />
5 1 5<br />
dx ln<br />
2 4<br />
2 2<br />
0 x 3x 2 x 7x<br />
12<br />
Phân <strong>tích</strong> x 2 3x 2x 2 7x 12 x 1 x 2x 3x 4 x 2 5x 4x 2 5x<br />
6<br />
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức khi mẫu số là 4 nghiệm đơn<br />
2<br />
Cách 2: Sử dụng đổi biến số đặt t x 5x<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
1<br />
2 2<br />
2x 5 2x 5 x 5x 6 x 5x<br />
4<br />
2 <br />
<br />
Bài 6: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
I <br />
1 2<br />
<br />
1<br />
2<br />
x 2 3<br />
dx <br />
2 5 4 4 44<br />
4 3 2<br />
x x x x<br />
Phân <strong>tích</strong> x 4 2x 3 5x 2 4x 4 x 2 x 2 2<br />
Cách 1: Đồng nhất thức<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 23
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho<br />
Bài 7: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
HD:<br />
Cách 1: Đặt<br />
x<br />
tan t<br />
I <br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
x và đặt<br />
xdx<br />
<br />
2<br />
3<br />
1 x 1<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
u<br />
x<br />
<br />
dv<br />
<br />
<br />
<br />
xdx<br />
2<br />
x 1 3<br />
2<br />
t x Hoặc đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
x<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> thành hai <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> đơn giản<br />
2 2<br />
Phân <strong>tích</strong> x x<br />
<br />
1 1<br />
Khi đó<br />
I<br />
0 2<br />
0 0<br />
x dx dx dx<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
1 x 1 1 x 1 1<br />
x<br />
1<br />
3 2 3<br />
II. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ<br />
Bài tập <strong>giải</strong> mẫu:<br />
Bài 1: (ĐHGTVT – 1998) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Biến đối số<br />
I<br />
<br />
7<br />
3<br />
<br />
0<br />
3<br />
x 1<br />
dx<br />
3x<br />
1<br />
Đặt<br />
u<br />
2<br />
u 1<br />
x<br />
<br />
3 1 3<br />
3<br />
x <br />
dx <br />
<br />
2<br />
u du<br />
7<br />
x<br />
u<br />
2<br />
Đổi cận 3 <br />
u 1<br />
x 0 <br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 24
2<br />
u 1<br />
2 2 5<br />
2 1 3 1 4 1 u<br />
2 2 46<br />
I u du u udu u u du u <br />
u 3 3 3 5 1 15<br />
1 1<br />
<br />
Khi đó 3<br />
2 2 <br />
Cách 2: Biến đối số<br />
u 1<br />
x <br />
3<br />
Đặt u 3x1 <br />
du<br />
dx <br />
3<br />
7<br />
x<br />
u<br />
8<br />
Đổi cận 3 <br />
u 1<br />
x 0 <br />
<br />
u 1 5<br />
8 1 8 8 2 1 <br />
3 2 <br />
1<br />
3 3 3<br />
Khi đó 3 1 u 2 1 <br />
1 3u<br />
8 46<br />
I du du u 2u du<br />
<br />
3u<br />
<br />
1 1<br />
3 <br />
9<br />
<br />
9<br />
<br />
9 5 1 15<br />
1 3 1 3<br />
1<br />
u<br />
u <br />
<br />
Cách 3: Đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
1 2<br />
<br />
3 3<br />
Phân <strong>tích</strong> x 1 3x<br />
1<br />
Khi đó<br />
7 1 2 7 7 7 7<br />
3 3x<br />
1<br />
<br />
3 3 3 2 3<br />
1<br />
3 3 1 3x<br />
1 2 dx 1 2<br />
I dx 3 1 3 1 3 1 3 1<br />
3 1 3<br />
dx x d x x d x<br />
x 3x 1 3<br />
<br />
3x<br />
1<br />
9<br />
<br />
9<br />
<br />
<br />
3 3 <br />
3 3 3<br />
0 0 0 0 0<br />
7 7<br />
5 2<br />
1 1 46<br />
3x1 3<br />
3 3x1<br />
3<br />
3 <br />
15 3 15<br />
0 0<br />
Cách 4: Tính <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
Khi đó<br />
u x1<br />
du dx<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
dv dx v 3<br />
3 x<br />
1<br />
3x<br />
1<br />
<br />
2<br />
2 3<br />
7 2<br />
7<br />
3<br />
7<br />
2 2 3<br />
2<br />
3x<br />
1<br />
3<br />
3 3 3<br />
3<br />
0 3x<br />
1<br />
0<br />
1 1 1 1<br />
I x 13x 1<br />
dx x 13x 1 3 3x 1 d 3x<br />
1 ...<br />
2 2 2 6<br />
0<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 25
Bài 2: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
C1: Đặt x<br />
tan t<br />
I <br />
1 3<br />
<br />
1<br />
3 2<br />
C2: Phân <strong>tích</strong> 1<br />
C3: Đặt<br />
u<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
dv <br />
<br />
C4: Đặt x<br />
t<br />
x x x x<br />
2<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
dx 0<br />
2<br />
x 1<br />
C5: Phân <strong>tích</strong> x 3 dx x 2 xdx x 2 1 1d x<br />
2 1<br />
<br />
<br />
Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
2<br />
<br />
dx<br />
2<br />
2 x x 1<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
1 sin tdt<br />
Đặt x dx<br />
2<br />
cost<br />
cos t<br />
với <br />
t 0; <br />
<br />
2 hoặc 1<br />
x <br />
sin t<br />
Đổi cận<br />
<br />
x 2<br />
t <br />
<br />
3<br />
<br />
x 2 <br />
t <br />
4<br />
Khi đó<br />
sin t<br />
<br />
3<br />
2<br />
3 3<br />
cos t sin t 3 <br />
I dt dt dt t<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos t sin t 12<br />
4 2<br />
4 4<br />
cos t<br />
4<br />
<br />
4 3<br />
(vì t <br />
;<br />
<br />
sin t 0<br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
Nhân cả tử và mẫu cho x ta được<br />
)<br />
I<br />
<br />
2 2<br />
dx xdx<br />
<br />
x x 1 x x 1<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
Đặt<br />
x<br />
<br />
1<br />
t <br />
xdx<br />
tdt<br />
2 2<br />
2 x t 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 26
Đổi cận<br />
x<br />
2 t<br />
3<br />
<br />
x<br />
2 t<br />
1<br />
Khi đó<br />
I<br />
<br />
3 3<br />
1<br />
t u dt du u du<br />
tdt dt<br />
2<br />
.<br />
2<br />
2<br />
1<br />
tt<br />
1<br />
Đặt tan <br />
2 tan 1<br />
t 1<br />
cos u<br />
1<br />
Đổi cận<br />
<br />
u <br />
t<br />
3 3<br />
<br />
t 1<br />
<br />
u <br />
4<br />
<br />
<br />
4 2<br />
4<br />
tan u 1 4 <br />
Khi đó I du du u <br />
2<br />
tan u 1 <br />
<br />
12<br />
3 3<br />
3<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x<br />
t1<br />
<br />
1 t 1 ... tương tự như <strong>cách</strong> 2<br />
xdx<br />
dt<br />
2<br />
Cách 4: Phương pháp biến đổi số<br />
1 1 dx<br />
Đặt x t dt<br />
2<br />
t x x<br />
1<br />
t <br />
x<br />
2 2<br />
Đổi cận <br />
x 2 1<br />
t <br />
2<br />
Khi đó<br />
I<br />
<br />
1 1<br />
2 2<br />
dt dt<br />
<br />
1t<br />
1t<br />
. Đặt sin cos<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
t x dt xdx<br />
<br />
<br />
4 4<br />
cosu<br />
4 <br />
Khi đó I dx du u<br />
2 <br />
1<br />
sin u <br />
4 6 12<br />
6 6<br />
6<br />
Cách 5: Phân <strong>tích</strong> 1 x 1<br />
2 2<br />
x <br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 27
Khi đó<br />
2 2 2<br />
2<br />
dx x 1<br />
x<br />
I dx dx...<br />
x x 1 x x 1<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
2 2<br />
2 2 2<br />
I1 I2<br />
Bài 3: (ĐH – A 2003) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>: I <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
2 3<br />
<br />
dx<br />
2<br />
5 x x 4<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
<br />
t x 4 <br />
xdx<br />
tdt<br />
2 2<br />
2 x t 4<br />
Đổi cận<br />
<br />
x2 3 t<br />
4<br />
<br />
x 5 t<br />
3<br />
4 4 4<br />
dt 1 dt dt 1 t 2 4 1 5<br />
Khi đó I ln ln<br />
2 <br />
t 4 4<br />
<br />
t 2<br />
<br />
t 2 4 t 2 3 4 3<br />
3 3 3 <br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt x 1 dx <br />
1 dt<br />
2<br />
t t<br />
Khi đó<br />
1/2 3 1/2 3<br />
dt 1 d(2 t) 1 2<br />
1/ 2 3 1 5<br />
I ln 2 4 1 ln<br />
4 1 2<br />
t t <br />
t <br />
(2 t) 1 2 1/ 5 4 3<br />
2 2<br />
1/ 5 1/ 5<br />
Cách 3 : Phương pháp biến đổi số<br />
<br />
x t dx t dt với 0 t<br />
và<br />
2<br />
2<br />
Đặt 2tan 21 tan <br />
<br />
t <br />
x<br />
2 3 3<br />
Đổi cận: <br />
<br />
x 5 5<br />
tan<br />
<br />
2<br />
x<br />
4 cost<br />
.<br />
2 2<br />
Khi đó:<br />
<br />
3<br />
<br />
1 dt t 1 5<br />
I ln tan 3 ln<br />
2<br />
(trong đó<br />
sint<br />
2 4 3<br />
<br />
<br />
1<br />
cos<br />
1<br />
tan )<br />
2 1 cos 5<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 28
Bài 4: (ĐHDB – A 2003) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
1<br />
3 2<br />
I x 1x dx<br />
<br />
0<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Phân <strong>tích</strong><br />
1 1<br />
3 2 2 2<br />
<br />
I x 1 x dx x 1 x . xdx<br />
0 0<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
2 2<br />
2<br />
x<br />
1t<br />
t 1 x <br />
xdx<br />
tdt<br />
x1 t<br />
1<br />
<br />
x0 t<br />
0<br />
0 1 1<br />
2 2 2 2 2 4 1 3 1 5 1<br />
2<br />
I t t dt t t dt t t dt t t <br />
3 5 0 15<br />
Khi đó 1 1<br />
<br />
1 0 0<br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
x<br />
<br />
2<br />
t 1<br />
x dt<br />
2<br />
1t<br />
xdx<br />
<br />
<br />
x1 t<br />
0<br />
<br />
x0 t<br />
1<br />
Khi đó 1 1<br />
<br />
Cách 3: Đặt<br />
2<br />
0 1 1 1 1 1 3 3 1<br />
1 1 1 1 2 2 1 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
I <br />
2<br />
t t dt t t dt t t dt t t<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2 3 3 0 15<br />
1 0 0 <br />
dt<br />
... tự <strong>giải</strong><br />
2<br />
2<br />
t x xdx<br />
Cách 4: Lượng giác hóa<br />
Đặt x cos t dx sin tdt<br />
<br />
2 2<br />
Khi đó 2 3 <br />
2 <br />
2<br />
<br />
Cách 4.1.<br />
<br />
I sin t cos tdt sin t 1 sin t costdt<br />
0 0<br />
Đặt sin t u cos<br />
tdt du<br />
1 3 5<br />
u<br />
u <br />
I u u du u u du <br />
3 5<br />
0<br />
<br />
2 2 2 4<br />
Khi đó 1<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 29
Cách 4.2.<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 5<br />
<br />
2 2 2 4<br />
sin t sin t<br />
2<br />
I sin t 1 sin td sint sin t sin td sin t<br />
2 .<br />
3 5 15<br />
0 0<br />
<br />
0<br />
Cách 4.3.<br />
<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
t<br />
1 1 1 cos 4 1 1<br />
I sin 2 cos cos cos cos 4 cos ....<br />
4<br />
t tdt tdt tdt t tdt<br />
4<br />
<br />
2 8<br />
<br />
8<br />
<br />
0 0 0 0<br />
Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
1 1<br />
1 1<br />
I x x d x x x d x<br />
2 2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1 1 1 1 1 1<br />
<br />
0 0<br />
1 3<br />
1<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
1 x <br />
2 d 1 x 1 x d 1 x .... bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
0 0<br />
Cách 6: Phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
2 du 2xdx<br />
u<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
dv x x 1<br />
v<br />
x<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2 2 3<br />
1 1 2 1<br />
3 0 3 3<br />
<br />
2 1 2 1<br />
2<br />
Khi đó I 2 2 2 2 2<br />
x . x 1 <br />
3 x x 1 3 x x 1 3 d x 1 ... bạn đọc <strong>giải</strong> tiếp<br />
0 0<br />
Bài 5: (ĐH – A 2004) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
I<br />
2<br />
x<br />
dx<br />
1 1<br />
x 1<br />
Đặt<br />
2 2<br />
t x 1 t x 1 x t 1 dx 2tdt<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
x2 t<br />
1<br />
<br />
x1 t<br />
0<br />
1 t 2 1 3<br />
1<br />
2<br />
2 2 t t 2 2<br />
1 2 <br />
I tdt dt t t dt<br />
1 t<br />
<br />
t 1 <br />
t 1<br />
0 0 0<br />
3 2<br />
t t<br />
1 1 1 11<br />
2 2t 2ln t1 2 2 2ln 2 4ln 2<br />
3 2<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
3 2 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 30
Cách 2:<br />
Đổi cận<br />
dx 2 t 1<br />
dt<br />
t 1 x1 <br />
x t<br />
1 2<br />
1<br />
x2 t<br />
2<br />
<br />
x1 t<br />
1<br />
<br />
<br />
Khi đó<br />
2<br />
2 t1 t1 1<br />
2 3 2<br />
2<br />
t 3t 4t<br />
1 2 1<br />
I 2<br />
<br />
. dt 2 . dt 2 t 3t 4 . dt<br />
t<br />
<br />
t<br />
<br />
t <br />
1 1 1<br />
3 2<br />
t<br />
t 2 5<br />
2<br />
3 4t ln t 2ln 2<br />
3 2 1<br />
3<br />
Tổng quát:<br />
b<br />
px ( )<br />
ax b c<br />
với pxlà ( ) một đa thức chưa x, m, n ,c là các hằng số ta đặt t ax b c hoặc<br />
a<br />
t ax b<br />
Bài 6: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Dựa vào đạo hàm<br />
Đặt<br />
8<br />
3x<br />
f( x) .<br />
2 4<br />
x<br />
I <br />
3<br />
<br />
2<br />
8<br />
3x<br />
dx<br />
2 4<br />
x<br />
Ta biến đổi f ( x ) về dạng<br />
8 3x<br />
1<br />
'<br />
f ( x) 4 x ( x) 4 x 4 x '<br />
x<br />
2 4 x<br />
2 4 x<br />
Xét hàm số F( x) x 4 x<br />
F ( x) ( x) 4 x 4 x x f ( x)<br />
'<br />
'<br />
vì '<br />
Vậy F ( x) x 4 x C là một họ nguyên hàm của hàm số đã cho<br />
Khi đó<br />
3<br />
8<br />
3x<br />
3 3<br />
I dx F( x) x 4 x 3<br />
2 4<br />
x 2 2<br />
2<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số<br />
Đặt<br />
2<br />
x4<br />
t<br />
t 4 x <br />
dx<br />
2tdt<br />
Đổi cận<br />
x<br />
3 <br />
t 1<br />
<br />
x<br />
2 <br />
t 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 31
Khi đó<br />
1 2<br />
2<br />
t<br />
<br />
2 3<br />
<br />
8 3 4 2<br />
I tdt 3t 4 dt t 4t<br />
3<br />
t<br />
1<br />
2<br />
1<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số<br />
Đặt t4 x...<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Cách 4: Sử dụng hương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
u<br />
83x<br />
<br />
<br />
du 3dx<br />
dx <br />
<br />
dv v 2 4<br />
x<br />
4 x<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
I 2 8 3x 4 x 6 4 xdx ....3<br />
2<br />
<br />
Khi đó <br />
2<br />
Bài 7: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
2 2<br />
x dx<br />
x dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 2x x 2 2x <br />
<br />
x 3 x1 3 x1<br />
2 2 2 2 .<br />
Đặt<br />
Khi đó<br />
Cách 2:<br />
<br />
dx 3 sin tdt<br />
x1 3 cos t <br />
2 2<br />
x 3cos t 2 3 cos t 1<br />
<br />
2<br />
3 3cos <br />
<br />
t 3 sin t<br />
<br />
2<br />
3 sin t 3cos t 2 3 cos t 1 dt 2 3 cos t 2<br />
I (1 ) dt.<br />
2 2<br />
33cos t 33cos<br />
t<br />
2x<br />
4<br />
dx<br />
<br />
dx<br />
I <br />
2 <br />
I I<br />
2 2<br />
22xx 3 x1 3 x1<br />
<br />
Tính<br />
<br />
<br />
1 2<br />
2x 4 dx 2tdt dt<br />
I 2<br />
J J<br />
3 x1 3 x1 3 t 3 t 3 t 3 t<br />
<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
1 2<br />
Tính J<br />
1<br />
<strong>bằng</strong> <strong>cách</strong> đặt<br />
2<br />
3t u, tính<br />
2<br />
J <strong>bằng</strong> <strong>cách</strong> đặt 3t <br />
2 u 3<br />
t<br />
Bài tập tự <strong>giải</strong> có hướng dẫn:<br />
Bài 1: (ĐHĐN – 1997) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
I<br />
7<br />
1<br />
dx 2 4ln 2 2ln 3<br />
2x<br />
1<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 32
HD: Sử dụng phương pháp đổi biến số<br />
Đặt t 2 x 1 Hoặc t 2 x<br />
2<br />
x 1 1 3<br />
Bài 2: (ĐHSP QN – 1999) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>: I 28 3 4 <br />
<br />
0<br />
3<br />
3x<br />
2<br />
10<br />
Bài 13: (DBĐH 2 – A 2005) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
I <br />
7<br />
<br />
3<br />
0<br />
x 2 231<br />
<br />
x 1<br />
10<br />
Bài 14: (DBĐH 1 – A 2008) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
I<br />
<br />
3<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
3<br />
x<br />
dx <br />
2x<br />
2<br />
12<br />
5<br />
Bài 15: (DBĐH 1 – A 2007) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
I<br />
4<br />
2x<br />
1<br />
dx 2 ln 2<br />
1<br />
2x<br />
1<br />
0<br />
Bài 16: (CĐXD – 2005) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
I<br />
<br />
3<br />
<br />
1<br />
x 3<br />
dx<br />
3 x1 x<br />
3<br />
III. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT<br />
Bài tập <strong>giải</strong> mẫu:<br />
Bài 1: (PVBCTT – 1995) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt ln x<br />
u<br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
3 ln x<br />
2 ln x t t 2 ln x t dt dx<br />
2 x<br />
Đặt 3 2 3 2 2<br />
e<br />
ln x. 2 ln<br />
I <br />
x<br />
1<br />
3 2<br />
x<br />
dx<br />
Đổi cận<br />
x e <br />
t <br />
<br />
x<br />
<br />
3<br />
3<br />
1 3<br />
t 2<br />
3 3 3 3 4 3<br />
3 2 3 3 3 t 3 3 3 3<br />
Khi đó I t. t dt t dt . 3 3 2 2<br />
<br />
2 3<br />
3 2 3 2 4 8<br />
2 2<br />
2<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 33
2 dt ln x<br />
Đặt 2 ln x t dx<br />
2 x<br />
x e t<br />
3<br />
Đổi cận <br />
x1 t<br />
2<br />
3 1 4<br />
1 1 3 2 3<br />
3 3<br />
3 3<br />
Khi đó I t dt . t 3 3 2 2 <br />
<br />
2 2 4 1 8<br />
2<br />
Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
e<br />
1 e<br />
1<br />
1 1<br />
I x x dx x d x<br />
2 2<br />
2<br />
'<br />
3 2 2 3<br />
2<br />
2 ln 2 ln 2 ln 2 ln <br />
1 1<br />
1 3<br />
4<br />
2<br />
e 3<br />
x<br />
3<br />
3 3<br />
3 3 2 2 <br />
. 2 ln<br />
2 4 1<br />
8<br />
Bài 2: (ĐH – B 2004) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
2<br />
t 1<br />
ln x <br />
<br />
Đặt t 1 3ln x <br />
3<br />
<br />
dx 2<br />
tdt<br />
x 3<br />
x e t<br />
2<br />
Đổi cận <br />
x1 t<br />
1<br />
e<br />
I <br />
1<br />
1<br />
3ln x.ln<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
2 2 2<br />
5 3<br />
2 t 1 2 2 t t 2 116<br />
I t dt t t dt <br />
3 3 9 9 5 3 1 135<br />
1 1<br />
<br />
2 4 2<br />
Khi đó <br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
t 1<br />
ln x <br />
3<br />
Đặt t 1 3ln x <br />
dx dt<br />
<br />
x 3<br />
x e t<br />
4 Đổi cận ... tương tự <strong>cách</strong> 1<br />
x1 t<br />
1<br />
Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 34
e e e<br />
13ln x.ln x 1 13ln x.ln x<br />
1<br />
I dx d x x x d x<br />
x 3 <br />
x<br />
9<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
e<br />
3 e<br />
1<br />
1 1<br />
<br />
9 <br />
9<br />
1 3ln x2 d 1 3ln x 1 3ln x2<br />
d 1 3ln x<br />
1 1<br />
5 3<br />
1 2 2 e 116<br />
1 3ln 2 1 3ln 2<br />
9 <br />
x x <br />
5 3 <br />
1<br />
135<br />
dx<br />
Cách 4: t ln x dt<br />
x<br />
1 3ln 1 3ln 1 3ln 1<br />
1 3ln <br />
Khi đó<br />
I<br />
1<br />
13 t. tdt...<br />
đến đây rùi ta có thể làm <strong>bằng</strong> <strong>nhiều</strong> <strong>cách</strong> như biến đổi số đặt u1 3t<br />
hoặc<br />
0<br />
u 1 3t<br />
hoặc đưa vào vi <strong>phân</strong> <strong>bằng</strong> <strong>cách</strong> <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> t 1 t 3t<br />
<br />
1<br />
3 3<br />
Bài 3: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
e<br />
1<br />
1<br />
ln x<br />
dx<br />
x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
2<br />
dx<br />
Đặt t 1 ln x t 1 ln x 2tdt<br />
<br />
x<br />
x<br />
1<br />
<br />
t 1<br />
Đổi cận <br />
x<br />
e <br />
t 2<br />
Khi đó<br />
e<br />
2 2 3<br />
1<br />
ln x<br />
2 2 2 1<br />
2 t 2 <br />
I dx t.2tdt 2 t dt 2 .<br />
x<br />
<br />
3 1 3<br />
1 1 1<br />
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
e<br />
e<br />
1<br />
ln x<br />
2<br />
2 2 2 1<br />
3 e <br />
1 ln 1 ln 1 ln .<br />
x<br />
<br />
3 1 3<br />
Biến đổi I dx xd x x<br />
1 1<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt t1 ln x hoặc t<br />
ln x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Bài 4: (ĐH – B 2010) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
I<br />
<br />
e<br />
<br />
1<br />
x<br />
ln x<br />
2 ln x 2<br />
dx<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 35
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
dx<br />
t ln x dt<br />
x<br />
x e t<br />
1<br />
<br />
x1 t<br />
0<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1 1 1 1<br />
udu 1 2 d u d u<br />
2 1<br />
3 1<br />
I 2 ln 2 ln<br />
2 2 2<br />
0 2 <br />
du u <br />
u <br />
<br />
2 u<br />
0 2 u<br />
<br />
2 u<br />
<br />
<br />
2 0 2 3<br />
0 0 2 u u <br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
Khi đó<br />
ln xt2<br />
<br />
t 2 ln x dx<br />
dt<br />
x<br />
<br />
<br />
3 t 2 3<br />
1 2 2 3 3 1<br />
I dt dt ln t ln<br />
t<br />
<br />
t t t 2 2 3<br />
2 2<br />
2 2<br />
Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e e e e e<br />
ln x ln xd 2 ln x 2 ln x 2 d 2 ln x d 2 ln x<br />
I dx d 2 ln x<br />
2<br />
2 ln x<br />
<br />
2 2 2 2<br />
1 x 2 ln x 1 2 ln x 1 2 ln x 1 1 2 ln x<br />
<br />
2 e 3 1<br />
ln 2 ln x<br />
ln <br />
<br />
2 ln x 1<br />
2 3<br />
Cách 4: Phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
Khi đó<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
dx <br />
2 ln x 2 x<br />
u ln x du<br />
<br />
dv<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
2 ln x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
3<br />
1 e 1 1 d 2 ln x 1 e 1 3<br />
I ln x. dx ln 2 ln x<br />
ln<br />
2 ln x 1<br />
<br />
3<br />
<br />
2 ln x 3 1 3 2<br />
Bài 4: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
I <br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
dx<br />
Đặt t 1 ln x dt <br />
x<br />
2<br />
1 x 2 ln x<br />
1<br />
e<br />
<br />
1<br />
1<br />
x 1<br />
ln x<br />
<br />
<br />
dx<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 36
x1 t<br />
1<br />
Đổi cận <br />
x e t<br />
2<br />
Khi đó<br />
e<br />
2<br />
1 dt 2<br />
I dx ln t ln 2.<br />
x 1<br />
ln x<br />
<br />
t 1<br />
<br />
1 1<br />
<br />
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
Biến đổi<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
e<br />
e<br />
1 d 1<br />
ln x<br />
e<br />
I dx ln 1 ln x ln 2<br />
x 1ln x<br />
<br />
1ln<br />
x<br />
1<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt: t<br />
ln x<br />
e<br />
sin ln x<br />
Bài 5: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
dx<br />
Đặt t ln x dt <br />
x<br />
x1 t<br />
0<br />
Đổi cận <br />
x e t<br />
1<br />
Khi đó<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
I sin tdt cos t cos1 cos0 1<br />
cos1<br />
0<br />
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
Biến đổi<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
e<br />
sin ln x<br />
e<br />
I dx sin ln xd ln x cosln x<br />
1<br />
cos1<br />
x<br />
<br />
1<br />
<br />
dx<br />
Bài 6: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
2<br />
e<br />
<br />
e<br />
dx<br />
5<br />
xln<br />
x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
dx<br />
Đặt t ln x dt <br />
x<br />
x<br />
e t<br />
1<br />
Đổi cận <br />
2 <br />
x<br />
e t<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 37
Khi đó<br />
I<br />
2<br />
e<br />
2<br />
dx dt 1 2 15<br />
.<br />
x ln x<br />
<br />
t 4t<br />
1<br />
64<br />
e<br />
5 5 4<br />
1 <br />
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
2 2<br />
e<br />
e<br />
2<br />
dx<br />
1 e 15<br />
5 4<br />
x ln x<br />
<br />
4ln x 64<br />
e<br />
e<br />
e<br />
5<br />
Biến đổi I ln xd ln<br />
x<br />
<br />
ln x ln 2 1<br />
Bài 7: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I dx <br />
2<br />
x 2 2<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Đổi biến và sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
dx<br />
<br />
x<br />
'<br />
t ln x e x dt<br />
x2 t<br />
ln 2<br />
Đổi cận <br />
x1 t<br />
0<br />
2<br />
1<br />
Khi đó<br />
ln 2 ln 2<br />
1 t<br />
<br />
t<br />
e<br />
<br />
0 0<br />
I dt e tdt<br />
u t du dt<br />
Đặt <br />
t t<br />
dt e dt v e<br />
Khi đó<br />
ln 2<br />
t ln 2<br />
t t<br />
ln 2<br />
ln 2 ln 2 1<br />
I te <br />
0<br />
e dt e <br />
2 0 2 2<br />
Cách 2: Tích <strong>phân</strong> từng phần<br />
1 1<br />
u <br />
du <br />
x <br />
x<br />
Đặt 2<br />
ln x ln x<br />
dv dx v<br />
<br />
<br />
x <br />
2<br />
Khi đó<br />
2 2<br />
1 ln x 1 ln x<br />
I . dx<br />
2<br />
x x 2<br />
<br />
x<br />
Cách 3: Tích <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
dx<br />
u ln x du <br />
<br />
x<br />
dx <br />
dv<br />
<br />
1<br />
2<br />
x<br />
v<br />
<br />
x<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 38
Khi đó<br />
2<br />
I x x dx <br />
<br />
1 2 1 dx 1 2<br />
2 ln 2 1<br />
ln . ln 2<br />
x 1 <br />
<br />
1<br />
<br />
x x 2 1<br />
2 2<br />
Bài 8: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
e<br />
x<br />
e<br />
<br />
x<br />
x<br />
e <br />
dx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết<br />
Liên kết của I là<br />
Ta có<br />
J<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e e<br />
x<br />
dx<br />
1 x<br />
1 x<br />
1<br />
e e<br />
I J dx dx dx 1<br />
e e <br />
e e<br />
<br />
x x x x<br />
0 0 0<br />
<br />
<br />
d e e<br />
1 1<br />
I J dx e e e e <br />
e e e e 0 2e<br />
1 x x<br />
1 x x<br />
2<br />
e e x x<br />
1<br />
e<br />
ln ln ln 2 ln<br />
x x x x<br />
<br />
<br />
<br />
0 0<br />
2 2 2<br />
1 1 1 1 1<br />
Cộng lại ta được 2 1 ln e <br />
1 ln e <br />
ln<br />
e <br />
I I <br />
2e<br />
2<br />
<br />
2e<br />
<br />
2 2<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
x<br />
x<br />
t e dt e<br />
x 1<br />
t e<br />
Đổi cận <br />
x0 t<br />
1<br />
Khi đó<br />
<br />
e e e 2 2<br />
dt t 1 d t 1<br />
1 2<br />
e 1 e 1<br />
I ln<br />
2 2 1<br />
ln<br />
1 dt t <br />
t 1 2 t 1 2 1 2 2<br />
1 t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
t<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
e<br />
x x x<br />
e e . e<br />
I dx dx<br />
<br />
2x<br />
1 1<br />
1<br />
x<br />
e <br />
e <br />
1<br />
x<br />
e<br />
e<br />
Đặt tan tan 2 1<br />
e t e dx dt<br />
2<br />
cos t<br />
x x dt<br />
e<br />
<br />
2<br />
Khi đó I 2 tan 1<br />
dt tan xdx ln cos x ln 2 ln cos<br />
(với arctan e<br />
1<br />
tan x<br />
<br />
<br />
1<br />
tan 1 4<br />
2<br />
<br />
4<br />
)<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 39
Bài 9: (ĐH DB – B 2003) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
ln5 2x<br />
<br />
e<br />
x<br />
ln 2 e 1<br />
Cách 1: Tách thành <strong>tích</strong> để sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
dx<br />
Đặt<br />
e<br />
x<br />
x 2<br />
e<br />
t<br />
<br />
1<br />
1<br />
t <br />
x<br />
e dx 2tdt<br />
xln 5 t<br />
2<br />
Đổi cận <br />
xln 2 t<br />
1<br />
Khi đó<br />
2 2<br />
2<br />
t<br />
tdt<br />
<br />
1 2 2 2 20<br />
<br />
t<br />
3 1 1 3<br />
2 3<br />
I 2 2 t 1 dt t 2t<br />
1 1<br />
Cách 2: Tách thành <strong>tích</strong> để sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
e<br />
x<br />
x<br />
<br />
e t1<br />
1<br />
t <br />
x<br />
e dx tdt<br />
xln 5 t<br />
4<br />
Đổi cận <br />
xln 2 t<br />
1<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
4 4 1 4 3 1 5 3<br />
t 1 tdt<br />
2 4 2 4 20<br />
2 2 2 2 2<br />
I <br />
1 t 1t dt t t dt t t <br />
5 1 3 1 3<br />
1 2 1 1<br />
t<br />
<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
Phân <strong>tích</strong><br />
ln5<br />
2x ln5 x x<br />
e<br />
e . e<br />
I dx dx<br />
x<br />
e 1 e 1<br />
x<br />
ln 2 ln 2<br />
Đặt<br />
x<br />
u<br />
e<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
du e dx<br />
e <br />
dv dx<br />
x<br />
v 2 e 1<br />
x<br />
<br />
<br />
e 1<br />
ln5<br />
ln5<br />
x x<br />
ln 5<br />
x x x x x x<br />
ln 5<br />
4 20<br />
I e .2 e 1 2 e 1. e dx 16 2 e 1d e 1 16 e 1 e 1<br />
<br />
ln 2 3 ln 2 3<br />
Khi đó <br />
Hoặc có thể tính nhanh như sau<br />
<br />
<br />
ln 2 ln 2<br />
ln5<br />
ln5<br />
x x x x<br />
ln 5<br />
x x<br />
I 2 e d e 1 2e e 1 2 e e 1dx<br />
ln 2<br />
<br />
ln 2 ln 2<br />
ln5<br />
x x 4 x x<br />
ln 5 20<br />
16 2 e 1d e 1 16 e 1<br />
e 1 <br />
3 ln 2 3<br />
ln 2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 40
Cách 4: Đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
2x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
e<br />
e<br />
<br />
<br />
ln5 ln5 ln5 ln5<br />
1 1 x<br />
<br />
x 1 <br />
x<br />
I dx d e 1 dx e 1 d e<br />
1<br />
x x x x<br />
ln 2 e 1 ln 2 e 1 ln 2 e 1 ln 2<br />
e 1<br />
<br />
3 1<br />
2 x 2 x<br />
ln 5 20<br />
<br />
2<br />
e<br />
1 2e<br />
1<br />
<br />
3 ln 2 3<br />
Bài 10: (ĐH – D 2009) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
3<br />
<br />
dx<br />
x<br />
e 1<br />
1<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức 1 e<br />
x 1<br />
Khi đó<br />
<br />
e<br />
3 3 x<br />
3 3 x<br />
dx e <br />
d e 1 3<br />
x<br />
3<br />
I 1 ln 1<br />
x <br />
x dx dx x e <br />
x<br />
e 1 e 1 e 1<br />
1 1<br />
1 1 1 1<br />
e 1<br />
<br />
e 1<br />
3<br />
2<br />
2 ln 2 ln e e 1<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số<br />
Đặt 1 1<br />
t e dt e dx t dx dx<br />
t 1<br />
x x dt<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
I<br />
x t e<br />
<br />
<br />
x 1 t e1<br />
<br />
e<br />
3 1<br />
e1<br />
3<br />
3 1<br />
dt<br />
... Bạn đọc tự <strong>giải</strong> tiếp<br />
t1<br />
t<br />
<br />
<br />
Chú ý: <strong>Có</strong> thể đặt t e<br />
Cách 3: Dựa vào đạo hàm<br />
Đặt<br />
1<br />
f( x)<br />
<br />
x<br />
e 1<br />
<br />
<br />
ta có<br />
x<br />
<br />
x x x<br />
1 e 1 e<br />
x<br />
e<br />
'<br />
e 1<br />
'<br />
'<br />
'<br />
x<br />
x<br />
1 x<br />
x ln e 1 x ln e<br />
1<br />
x x x x<br />
<br />
e 1 e 1 e 1 e 1<br />
<br />
x<br />
F( x) x ln e 1<br />
3<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
Khi đó I F x x ln e 1<br />
2 ln e e 1<br />
x<br />
<br />
1<br />
dx<br />
e 1<br />
3 3<br />
1 <br />
1<br />
'<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 41
Bài 11: (ĐH – A 2010) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I <br />
1 2 x 2<br />
<br />
0<br />
x e 2 x . e<br />
x<br />
1<br />
2. e<br />
x<br />
dx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
<br />
x e x e x 12e e<br />
e<br />
1 2. e 1 2. e 1<br />
2. e<br />
2 x 2 x 2 x x<br />
x<br />
2 .<br />
2<br />
x <br />
x x x<br />
<br />
Khi đó<br />
1 2 x 2 x 1 x 1 1 x<br />
x e 2 x . e 2 e <br />
2 e<br />
I dx <br />
x x <br />
x dx x dx dx<br />
x<br />
1 2e 1 2e 1<br />
2e<br />
0 0 0 0<br />
I1<br />
Tính I 1<br />
<strong>bằng</strong> các <strong>cách</strong> như sau đặt t 1 2e<br />
x hoặc<br />
I<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
x<br />
1 d 1<br />
2e 1 x<br />
1 1 1<br />
2e<br />
<br />
ln 1 2 ln<br />
x<br />
2<br />
e <br />
1 2e<br />
2 0<br />
<br />
2 3 <br />
t<br />
x<br />
e hoặc<br />
Vậy<br />
I<br />
1 1 1<br />
2e<br />
<br />
ln <br />
3 2 3 <br />
2<br />
Bài 12: (ĐHK D –2004) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: <br />
ln <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
2x<br />
1<br />
u x x du dx<br />
2<br />
<br />
x x<br />
<br />
dv dx <br />
v<br />
x<br />
2<br />
ln <br />
Đặt:<br />
3<br />
I x x dx<br />
3<br />
3 3<br />
2<br />
2<br />
2 2x<br />
1<br />
I x ln x x dx 3ln 6 2ln 2 2x ln x 1<br />
ln 216 ln 4 2 ln 2 ln 27 2.<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
3 3 3 3<br />
2<br />
Hoặc ln ln 1 ln ln 1<br />
I x x dx x x dx xdx x dx I I<br />
2 2 2 2<br />
Áp dụng TPTP là xong<br />
1 2<br />
Bài 10: (ĐHDB – 2002) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
ln3<br />
<br />
<br />
x<br />
e dx<br />
<br />
3<br />
0<br />
x<br />
e 1<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 42
Ta có<br />
x<br />
de<br />
<br />
x<br />
<br />
x x<br />
<br />
3 <br />
0<br />
x<br />
0<br />
e<br />
1<br />
ln3 ln3<br />
1<br />
3 1<br />
ln 3<br />
I e 1 2d e 1 2 e 1 2<br />
2 1<br />
0<br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt<br />
t e t e tdt e dx dx <br />
tdt<br />
e<br />
2 2<br />
x 1 x 1 2<br />
x<br />
x<br />
<br />
2 tdt 1 2<br />
I 2<br />
2. 2 1<br />
2 3<br />
t<br />
t 2<br />
<br />
x<br />
Hoặc đặt t e<br />
1<br />
Bài tập tự <strong>giải</strong> có hướng dẫn:<br />
Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
e<br />
<br />
1<br />
x<br />
2<br />
ln x 76<br />
dx <br />
ln x1<br />
15<br />
HD:<br />
Đặt t ln x 1 hoặc t ln x<br />
Hoặc <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
e<br />
2 e 2<br />
hoặc biến đổi vi <strong>phân</strong> I <br />
dx d ln<br />
x<br />
ln<br />
x<br />
<br />
1 1<br />
ln<br />
x ln x 1 ln x 1<br />
x<br />
Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
ln 2 2x<br />
<br />
e<br />
x<br />
0 e 1<br />
dx<br />
Đs:<br />
I <br />
2 2<br />
3<br />
Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
HD: Đặt t 1<br />
ln x<br />
I<br />
<br />
e<br />
<br />
1<br />
ln x<br />
dx<br />
x. 1<br />
ln x<br />
Đs:<br />
I<br />
4 2 2<br />
.<br />
3<br />
Bài 4:<br />
HD:<br />
Đặt<br />
3<br />
2<br />
x 1 x<br />
2<br />
I e dx e e<br />
<br />
2<br />
0 x 1<br />
dt x<br />
2 x 1<br />
2<br />
t x 1<br />
dx<br />
2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 43
Tổng quát:<br />
<br />
f x<br />
'<br />
mà f x kg x<br />
I e g x dx<br />
<br />
;<br />
k<br />
*<br />
R đặt t f x<br />
IV. TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT<br />
Bài tập <strong>giải</strong> mẫu:<br />
Bài 1: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<br />
4<br />
2<br />
I cos x.cos<br />
xdx<br />
<br />
0<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Tích <strong>phân</strong> từng phần<br />
2 du 2cos xsin xdx sin 2xdx<br />
u<br />
cos x <br />
Đặt <br />
1<br />
dv<br />
cos 2 xdx v<br />
sin 2 x<br />
2<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
4 4 <br />
4 4<br />
2 2<br />
1<br />
cos 4x<br />
1 1 1 1 1<br />
I cos x.sin 2x 4 sin 2 cos 4<br />
2 2<br />
xdx <br />
2 dx dx xdx<br />
2 4<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
0 0 0 0<br />
<br />
1 1 1<br />
x sin 4x<br />
4 4<br />
<br />
<br />
4 16 16<br />
0<br />
Cách 2: Sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết<br />
Liên kết với I là<br />
<br />
4<br />
2<br />
J sin x.cos 2xdx<br />
<br />
0<br />
<br />
4 4<br />
2 2<br />
Ta có I J cos x sin x.cos 2xdx cos 2xdx<br />
4 (1)<br />
0 0<br />
<br />
<br />
<br />
sin 2x<br />
1<br />
2 2<br />
0<br />
<br />
1 cos 4x x sin 4x<br />
<br />
I J x x xdx xdx dx <br />
2 2 8 8<br />
0 0 0<br />
<br />
0<br />
<br />
4 4 4<br />
2 2 2<br />
cos sin .cos 2 cos 2 4 (2)<br />
1 4<br />
16<br />
Cộng (1) và (2) theo từng vế ta được I <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 44
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
<br />
4 4 4 4<br />
1<br />
cos 2x<br />
1 2 1 1<br />
I .cos 2xdx cos 2x cos 2xdx cos 2xdx 1 cos 4xdx<br />
2 2<br />
<br />
2 4<br />
<br />
0 0 0 0<br />
<br />
1 1 1 1<br />
sin 2x x sin 4x<br />
4 <br />
4<br />
4 4 16 16<br />
0<br />
<br />
Bài 2: (ĐHTM – 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
4sin x<br />
sin x<br />
cos x<br />
<br />
3<br />
dx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4sin x 2 sin x cos x cos x sin x 2 2 cos x<br />
sin x<br />
<br />
<br />
<br />
sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x<br />
3 3 2 3<br />
<br />
2 2 2<br />
4sin x<br />
2<br />
2 cos xsin<br />
I dx dx <br />
dx<br />
<br />
<br />
3 2 3<br />
0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x<br />
I1<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tính<br />
1<br />
<br />
sin x cos x 2cos x<br />
<br />
4 <br />
I <strong>bằng</strong> <strong>cách</strong> biến đổi 2 2<br />
Cách 2: Sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết<br />
hoặc <strong>bằng</strong> <strong>cách</strong> đặt t tan x<br />
Xét<br />
J<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
4cos x<br />
sin x<br />
cos x<br />
<br />
3<br />
dx.<br />
Khi đó IJ<br />
4 và JI<br />
0nên I 2<br />
Cách 3: Đổi biến số theo cận<br />
Phân <strong>tích</strong><br />
Đặt<br />
I <br />
<br />
1<br />
2<br />
4sin<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 0 cos<br />
3<br />
x<br />
<br />
4<br />
<br />
x t dx dt<br />
4<br />
x<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 45
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
t <br />
x<br />
<br />
4<br />
2 <br />
<br />
<br />
x<br />
0 t<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
4sin<br />
1 4 x<br />
<br />
4 4 4sin t cost 4 dcost<br />
4 dt 1 4<br />
I <br />
<br />
dt dt tan t 2<br />
3 3 3 2 2<br />
2 2 cos t<br />
<br />
cos t<br />
<br />
cos t<br />
<br />
cos t 2cos<br />
t <br />
<br />
4 4 4 4<br />
<br />
4<br />
Cách 4: Đổi biến số theo cận<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x t dx dt<br />
2<br />
x<br />
0 <br />
t<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
t<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 4sin t <br />
2 2<br />
2<br />
4cost<br />
4cos x<br />
I <br />
<br />
dt dt <br />
dx<br />
<br />
0 <br />
<br />
<br />
cost sin t 0cos x sin<br />
x<br />
2<br />
sin<br />
t cos t<br />
2 2<br />
<br />
<br />
3 3 3<br />
<br />
2 2 2 2<br />
4sin x<br />
4cos x<br />
4 4<br />
I I 2I dx <br />
3 3 2<br />
0 sin cos <br />
dx <br />
0 sin cos <br />
dx <br />
dx<br />
x x x x 0 sin x cos x<br />
<br />
<br />
0 2 <br />
2cos x<br />
<br />
4 <br />
<br />
<br />
2 tan x 2 4 I 2<br />
4 0<br />
Cách 5:<br />
sin x<br />
sin x<br />
1<br />
Ta có <br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
sin x cos x sin x 1 cot x sin x 1<br />
cot x <br />
Khi đó<br />
3 3 3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
4sin x<br />
1<br />
I <br />
dx 4<br />
dx<br />
<br />
2<br />
sin x cos x sin x1cot<br />
x<br />
3 3<br />
0 0<br />
Đặt t cot x...<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Cách 6:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 46
Ta có<br />
sin x sin x tan x<br />
<br />
<br />
3 2<br />
sin x cos x cos xtan x 1 cos xtan x 1<br />
Khi đó I <br />
3 3 3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
4sin x<br />
dx <br />
tan x<br />
2<br />
sin x cos x cos xtan x 1<br />
3 3<br />
0 0<br />
Đặt t tan x…bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Cách 7:<br />
t tan x …bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Bài 3: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
3<br />
tan<br />
<br />
4<br />
3<br />
xdx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> kết hợp với phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
Phân <strong>tích</strong><br />
Khi đó<br />
x x x x 1 1<br />
<br />
cos<br />
x <br />
x cos x<br />
x<br />
3 2<br />
tan tan .tan tan 1 tan tan<br />
2 2<br />
<br />
<br />
3 3 3 3<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos x<br />
<br />
<br />
<br />
4 4 4 4<br />
I 1 1<br />
tan xdx tan x . tan x dx tan xd tan x cos<br />
cos x<br />
d x<br />
<br />
<br />
2<br />
tan x 3 1<br />
ln cos x 1<br />
ln 2<br />
2 2<br />
4<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> kết hợp với phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
1<br />
tan x tan x tan x tan x tan x. tan x...<br />
trở lại <strong>cách</strong> 1<br />
2<br />
cos x<br />
3 3<br />
Phân <strong>tích</strong> <br />
Cách 3: Phương pháp đổi biến số<br />
2 2<br />
dt<br />
t tan x dt 1 tan xdx 1 t dt dx <br />
2<br />
t 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 47
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x <br />
3 t<br />
3<br />
<br />
t 1<br />
x <br />
<br />
4<br />
<br />
3<br />
3 3 3 3 3 2<br />
3 2<br />
3 t t 1 2t t 3 1 d t<br />
I tan xdx dt t dt tdt dt<br />
2 2 2 2<br />
t <br />
<br />
t <br />
t <br />
1 1 1 1 1 t<br />
1<br />
4<br />
1 1 3 1 1 1<br />
nt <br />
2 2 1 2 2 2<br />
1 1 2 1 2 2 1<br />
2<br />
1 ln 2 1 ln 2<br />
Cách 4: Phương pháp đổi biến số<br />
Ta có<br />
<br />
<br />
3 3<br />
3<br />
<br />
tan<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos x sin x<br />
I xdx dx<br />
3<br />
cos x<br />
<br />
<br />
4 4<br />
Đặt t cos x dt sin xdx<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
1<br />
x t <br />
3<br />
2<br />
<br />
2<br />
x t<br />
<br />
<br />
4 <br />
2<br />
1 2<br />
1<br />
2 2 2<br />
1 t 1 1 1 2 1<br />
I dt dt ln t 1 ln 2<br />
3 3 2<br />
t<br />
<br />
2<br />
1 t t 2t<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Cách 5: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
I<br />
<br />
3 3<br />
1cos 2 x 3<br />
sin xdx cos 2 x 1 d cos 3 x 3 3<br />
3<br />
dcos<br />
x<br />
<br />
tan xdx cos<br />
3 3 xd cos<br />
x <br />
<br />
cos x cos x cos x<br />
<br />
4 4 4 4 4<br />
<br />
3 1 3 1<br />
ln cos x<br />
2<br />
1 ln 2<br />
<br />
2cos x <br />
2<br />
<br />
4 4<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 48
Bài 4: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
2<br />
sin<br />
0<br />
3<br />
xdx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
Cách 1.1: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành <strong>tích</strong><br />
3 2 1<br />
cos 2x sin x cos 2 x.sin<br />
x<br />
Ta có sin x sin x.sin x .sin x ... bạn đọc tự <strong>giải</strong> tiếp<br />
2 2 2<br />
Cách 1.2: Sử dụng công thức nhân 3<br />
3 3 3sin x<br />
sin 3x<br />
sin 3x 3sin x 4sin x sin x <br />
4<br />
Khi đó<br />
<br />
2 2 2 2<br />
3<br />
<br />
1 3 1 3 1 2<br />
I sin xdx 3sin sin3 sin sin 3 cos cos3 2<br />
4<br />
x x dx xdx xd x x x<br />
4 <br />
12<br />
<br />
4 12 3<br />
0 0 0 0<br />
<br />
<br />
0<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
u<br />
sin 2 x du 2sin x cos xdx<br />
Đặt <br />
dv<br />
sin dx v<br />
cos x<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2 3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
I sin xcos x 2 2sin xcos xdx 2<br />
cos xd cos x<br />
cos x 2 <br />
3 3<br />
0<br />
0 0<br />
0<br />
Chú ý: <strong>Có</strong> thể đặt t<br />
sin x<br />
Cách 3: Dùng phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
<br />
2 2 2<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
cos x 2<br />
I 1 cos xsin xdx sin xdx cos xd cos x<br />
cos x 2 <br />
3 3<br />
0 0 0<br />
<br />
0<br />
Chú ý: <strong>Có</strong> thể đặt t<br />
sin x<br />
Cách 4:<br />
dt<br />
dx 2<br />
2<br />
x 1 2 x 1<br />
t<br />
Đặt t tan dt tan 1 dx<br />
<br />
... Bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
2 2 2 2t<br />
sin x <br />
2<br />
<br />
1<br />
t<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 49
Bài 5: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
2<br />
dx<br />
3<br />
sin x<br />
<br />
3<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử<br />
<br />
2 2 2<br />
dx sin xdx sin x<br />
I <br />
3 4 <br />
<br />
sin x sin x 2<br />
1<br />
cos x<br />
3 3 3<br />
Cách 1.1: Đổi biến số đưa về <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> hàm <strong>phân</strong> thức<br />
Đặt t cos x dt sin xdx<br />
Đổi cận<br />
<br />
x <br />
2 t<br />
0<br />
<br />
t 1<br />
x <br />
3<br />
<br />
2<br />
dx<br />
1 1 1 1<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
t t<br />
dt<br />
dt 1 1 1 1 1 <br />
I dx <br />
2<br />
2 dt dt<br />
0 1 t <br />
0 1 t1<br />
t<br />
0 1 t1 t<br />
4<br />
1 t 1<br />
t<br />
<br />
0 <br />
1 1<br />
2 2<br />
1 1 1 2 1 1 1 1 1 <br />
<br />
2 2 2 2<br />
4 dt dt<br />
1 2 4<br />
0 1 t 1 t t <br />
0 1 t 1<br />
t<br />
1 t 1<br />
t <br />
1<br />
1 1 1 1 t 1 1<br />
ln 2 ln 3<br />
4<br />
<br />
1 t 1 t 1 t<br />
<br />
3 4<br />
0<br />
Cách 1.2: Đưa trực tiếp vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
I<br />
<br />
2 2 2 2<br />
3 3 3 3<br />
dcos<br />
x<br />
<br />
dx sin xdx sin x<br />
dx<br />
3 4<br />
sin x<br />
<br />
sin x<br />
<br />
2<br />
<br />
1 cos x<br />
1 cos x 1 cos x <br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
x x<br />
<br />
1 cos 1 cos <br />
1 1 1 <br />
d x d x<br />
1 cos x 1 cos x 4 <br />
<br />
<br />
1<br />
cos x cos x <br />
<br />
<br />
3 3<br />
cos<br />
cos<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 50
2<br />
1 1 1 2 <br />
cos x 2 1 1<br />
2 2 2<br />
<br />
2<br />
4<br />
<br />
d<br />
x<br />
1cos x 1cos<br />
x<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
2sin x 3 4<br />
3<br />
cos ln 3<br />
Cách 2: Đổi biến số<br />
Đặt<br />
dt<br />
dx 2<br />
t tan dt tan 1dx<br />
<br />
2 2 2 2t<br />
sin x <br />
<br />
1<br />
t<br />
2<br />
x 1 2 x 1<br />
t<br />
2<br />
<br />
3<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x t<br />
1<br />
2 <br />
1<br />
t <br />
x <br />
3<br />
3<br />
<br />
1 1<br />
1<br />
2<br />
2dt<br />
1 1 2 1 1 t 1 1<br />
I t dt 2ln t<br />
ln 3<br />
3 2<br />
1<br />
8t <br />
1.<br />
4 t t 4 2t<br />
2 3 4<br />
3<br />
<br />
1 2<br />
t<br />
<br />
1<br />
3<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
1<br />
t<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> và phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
<br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
dx sin x cos x dx cos x<br />
I dx dx<br />
sin x sin x sin x sin x<br />
(1)<br />
3 3 3<br />
<br />
3 3 3 3<br />
J<br />
Tính<br />
J<br />
<br />
2<br />
cos<br />
<br />
sin<br />
<br />
3<br />
2<br />
3<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
Đặt<br />
u cos x du sin<br />
xdx<br />
<br />
<br />
cos x 1<br />
dv dx v <br />
3 2<br />
sin x<br />
<br />
2sin x<br />
Khi đó<br />
<br />
2<br />
cos x 2 1 dx<br />
J <br />
2<br />
2sin x 2<br />
<br />
sin x<br />
3<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 51
Thay vào (1) ta được<br />
Chú ý:<br />
I<br />
<br />
2<br />
1 1 dx<br />
<br />
3 2<br />
<br />
sin x<br />
<br />
3<br />
K<br />
- Để tính<br />
J<br />
<br />
2<br />
2<br />
cos x<br />
dx ta có thể làm như sau<br />
3<br />
sin x<br />
<br />
3<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
cos x 1 1 1 1<br />
J dx 1 dx dx dx<br />
x <br />
x x x x<br />
3 2 3<br />
sin sin sin sin sin<br />
3 3 3 3<br />
I<br />
K<br />
- Để tính<br />
<br />
2<br />
1<br />
K dx ta có thể làm như sau<br />
sin x<br />
<br />
3<br />
Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được<br />
Đặt t cos x dt sin xdx<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x t<br />
0<br />
2 <br />
1<br />
t <br />
x <br />
<br />
2<br />
3<br />
1 1 1 1<br />
0 2 2 2 2<br />
1<br />
dt dt 1 1 1 1 dt 1 dt 1 1<br />
K dt ln t 1 ln t 1 2 ln 3<br />
1 t 1 t 2 1 t 1 t 2 t 1 2 t 1 2 2<br />
0<br />
2 2<br />
1 0 0 <br />
0 0<br />
2<br />
Hoặc<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
dx dx dx dtan x<br />
x 2 1<br />
K ln tan ln 3<br />
sin x<br />
<br />
x x <br />
x 2 x <br />
x<br />
<br />
2sin cos<br />
<br />
2 tan cos<br />
<br />
tan<br />
2 2<br />
3 3 2 2 3 2 2 3 2 3<br />
<br />
dx <br />
dt<br />
2<br />
x 21 t <br />
Hoặc đặt<br />
tan t<br />
2 2t<br />
<br />
sin x <br />
1<br />
t<br />
2<br />
Cách 4: Tách thành <strong>tích</strong> ở dưới mẫu và Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 52
1<br />
u cos x<br />
sin x du<br />
dx<br />
2<br />
Đặt <br />
sin x<br />
1<br />
dv dx v<br />
cot x<br />
2 <br />
sin x<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
cot x 2 cos x<br />
cos x<br />
I dx.<br />
sin x Đến đây ta <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> J =<br />
3<br />
sin x<br />
dx áp dụng (<strong>cách</strong> 3)<br />
sin x<br />
3<br />
3<br />
3<br />
<br />
3<br />
J<br />
Hoặc có thể tính nhanh như sau<br />
<br />
2 2 2<br />
dx 1 cot x 1 <br />
I d cot<br />
x<br />
cot xd<br />
x<br />
<br />
x x<br />
<br />
x <br />
3<br />
sin sin sin sin<br />
3 3 3<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
cot x cos x cot x 2 cos x<br />
cot x dx dx<br />
2 3<br />
sin x<br />
<br />
sin x sin x <br />
sin x<br />
3 3<br />
3<br />
Cách 5: Đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
J<br />
I<br />
2 x <br />
2 2 2 2<br />
1 tan<br />
dx dx dx 1<br />
<br />
2 x <br />
<br />
<br />
d tan<br />
3<br />
3 3 6 3 <br />
sin x x x x x 4 x 2 <br />
3 3 2sin cos 3<br />
8 tan cos 3 tan <br />
2 2 2 2 2 <br />
(*)<br />
2<br />
<br />
x<br />
x<br />
<br />
4<br />
2<br />
1 2 tan tan<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
2 2 x 1 1 x 1 x 2 1 1<br />
d<br />
<br />
3 2<br />
4<br />
<br />
<br />
x 2 4 x<br />
2 2 2 3 4<br />
3<br />
tan<br />
2 tan<br />
<br />
tan 2ln tan tan ln 3<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
Bài 6: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin<br />
sin x<br />
x<br />
cos<br />
dx<br />
x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
sin x tan x tan x 11 1<br />
1<br />
sin x cos x tan x 1 tan x 1 tan x 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 53
Khi đó<br />
<br />
2 2 2 2<br />
sin x 1 <br />
1<br />
I dx 1 dx dx dx<br />
sin x cos x tan x 1 <br />
<br />
tan x 1<br />
Từ đó đặt t tan x<br />
Cách 2:<br />
Đặt<br />
0 0 0 0<br />
2dt<br />
dx<br />
<br />
2<br />
1<br />
t<br />
x 2t<br />
t tan sin x<br />
...<br />
2<br />
2 1<br />
t<br />
2<br />
1<br />
t<br />
cos<br />
x <br />
2<br />
1<br />
t<br />
Cách 3:<br />
Đặt<br />
Đổi cận<br />
<br />
x t dx dt<br />
2<br />
t<br />
0<br />
x<br />
<br />
2 <br />
t <br />
x<br />
0 <br />
2<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
J<br />
Khi đó<br />
<br />
2 2 2<br />
sin x cost cos x<br />
I dx dt <br />
dx<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin t cost <br />
sin x cos x<br />
0 0 0<br />
<br />
2 2 2<br />
sin x<br />
cos x<br />
<br />
2I dx dx dx I <br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
2 4<br />
0 0 0<br />
b<br />
Chú ý: <br />
a<br />
f x dx f t dt<br />
b<br />
<br />
Cách 4: Sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết<br />
a<br />
Chọn<br />
J<br />
<br />
2<br />
cos x<br />
dx là <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết của<br />
sin x<br />
cos x<br />
0<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin<br />
sin x<br />
x<br />
cos<br />
dx<br />
x<br />
Khi đó ta có hệ<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 54
2 2 2 2<br />
<br />
cos x sin x sin x cos x<br />
<br />
<br />
I J dx dx dx dx x 2 <br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
2<br />
0 0 0 0<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
cos x sin x cos x sin x d sin<br />
x cos x<br />
I J dx dx dx ln sin x cos x 2 0<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
0 0 0 0<br />
<br />
0<br />
<br />
cộng theo từng vế ta được 2I<br />
I <br />
2 4<br />
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức<br />
1<br />
2<br />
Phân <strong>tích</strong> sin x sin x cos x sin x cos x<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
2 2<br />
sin x 1 1 cos sin<br />
.<br />
x x <br />
I dx <br />
dx<br />
sin x cos x<br />
<br />
2 2 sin x cos<br />
x <br />
0 0<br />
Chú ý: <strong>Có</strong> thể dựa vào đồng nhất thức sau<br />
sin x sin x cos x cos x sin<br />
A<br />
B<br />
x<br />
sin x cos x sin x cos x sin x cos x<br />
1<br />
A <br />
2<br />
sin x A Bsin x A Bsin<br />
x <br />
1<br />
B <br />
2<br />
… quay trở lại <strong>cách</strong> 5<br />
Cách 6: Sử dụng kĩ thuật nhân<br />
Ta có<br />
1 1<br />
cos 2x<br />
<br />
sin 2x<br />
<br />
sin xcos x sin x<br />
<br />
2 2 1 1 <br />
<br />
<br />
tan 2x<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
cos x sin x cos 2x 2 cos 2x<br />
<br />
Cách 7: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong><br />
<br />
sin x<br />
sin x<br />
<br />
4 4 1 <br />
<br />
<br />
1 cot x<br />
sin x cos x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
2 sin x <br />
<br />
4 <br />
Cách 8: Biến đổi số theo cận<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 55
2 2<br />
sin x<br />
sin x<br />
I dx <br />
dx<br />
sin x cos x<br />
<br />
0 0<br />
<br />
2 cosx<br />
<br />
4 <br />
<br />
Đặt t x dx dt...<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
4<br />
Bài 7: Tìm nguyên hàm:<br />
1 sin x<br />
I <br />
dx 2 ln<br />
C<br />
<br />
<br />
sin x.sin<br />
x cos x <br />
4 4<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Ta có<br />
<br />
<br />
cos cos x<br />
x<br />
4<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
2 cos x x 2 cos x cos x sin x sin x<br />
<br />
<br />
cos<br />
4<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
4 22<br />
<br />
sin<br />
1<br />
<br />
x<br />
cos x<br />
<br />
4<br />
<br />
2 <br />
<br />
sin x <br />
sin x cos x <br />
cos x<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
d cos x<br />
dsin x<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
sin x<br />
I 2 2<br />
<br />
2 ln sin x 2 ln cos x 2 ln<br />
C<br />
sin x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
cos x<br />
<br />
<br />
cos x<br />
<br />
4 4<br />
Cách 2: Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có :<br />
dx<br />
dx<br />
d cot x1<br />
I 2 2 2 2 ln cot x 1<br />
C<br />
sin x cos x sin x<br />
<br />
sin x cot x 1 <br />
cot x 1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
Tương tự : (ĐHMĐC – 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
I<br />
<br />
3<br />
dx<br />
<br />
<br />
sin x .sin <br />
x<br />
6 <br />
6 <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 56
2sin x x dx<br />
<br />
cos x<br />
dx<br />
6<br />
<br />
cos x<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
dx<br />
sin x <br />
sin x.sin x sin x.sin x<br />
<br />
sin x<br />
<br />
<br />
6 6 <br />
6 <br />
<br />
<br />
Bài 8: Tìm nguyên hàm: I <br />
tan x tan x dx<br />
4 <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
Ta có:<br />
<br />
sin xsin x cos x cos x sin xsin x cos x<br />
<br />
<br />
4 4 4 4<br />
tan xtan x<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
4 <br />
cos x cos x cos x cos x cos x cos x <br />
4 4 4 <br />
2 1<br />
<br />
1<br />
2 <br />
cos x cos x<br />
<br />
4 <br />
Khi đó xét: J <br />
<br />
dx<br />
<br />
cos xcosx<br />
<br />
4 <br />
<br />
sin<br />
Sử dụng đồng nhất thức: 1 4 <br />
2 sin x x 2 sin x cos x cos x sin x<br />
<br />
sin<br />
4<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
4<br />
1<br />
<br />
2 tan x 2 tan x<br />
<br />
<br />
4<br />
cos xcos<br />
x<br />
<br />
<br />
4 <br />
<br />
J 2 tan x <br />
dx 2 tan xdx 2 ln cos x 2 ln cos x C<br />
4<br />
<br />
4<br />
cos x<br />
I 2 ln<br />
x C<br />
<br />
cosx<br />
<br />
4 <br />
Cách 2:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 57
dx dx dx<br />
J 2 2<br />
<br />
<br />
cos x cos sin x cos x 1 tan x<br />
cos xcosx<br />
<br />
4 <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
d 1<br />
tan x<br />
2<br />
2 ln 1 tan x C I 2 ln 1 tan x x C<br />
1<br />
tan x<br />
Bài 9: (ĐH – B 2003) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
I<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2sin x<br />
dx<br />
1<br />
sin 2x<br />
Ta có<br />
<br />
<br />
4 2<br />
4<br />
1<br />
2sin x cos 2x<br />
I dx dx<br />
1sin 2x<br />
<br />
1sin 2x<br />
0 0<br />
dt<br />
Đặt 1 sin 2x t cos 2xdx<br />
hoặc sin2x<br />
t<br />
2<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x<br />
t<br />
2<br />
4 <br />
t 1<br />
x 0 <br />
<br />
2<br />
1 dt 1 2 1<br />
I ln ln 2<br />
2<br />
t <br />
t 2 1 2<br />
1<br />
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
<br />
4 4 4<br />
'<br />
<br />
cos 2x<br />
1 1sin 2x<br />
1 d 1sin 2x<br />
1 1<br />
I dx dx ln 1 sin 2x<br />
4 ln 2<br />
1 sin 2x 2<br />
<br />
0 0 1 sin 2x<br />
2<br />
<br />
1<br />
sin 2x<br />
2 2<br />
0<br />
0<br />
Cách 3: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
2<br />
Biến đổi 1 2sin x cos x sin xcos x sin x<br />
và 1sin 2x cos x sin x 2<br />
<br />
<br />
4 2<br />
4<br />
<br />
12sin x cos x sin x<br />
1<br />
I dx dx ln cos x sin x 4 ln 2<br />
1sin 2x <br />
cos x sin x<br />
2<br />
0 0<br />
0<br />
Hoặc đặt t sin x cos x<br />
Bài 10: (ĐH – A 2005) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin 2x<br />
sin x<br />
dx<br />
1<br />
3cos x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 58
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp biến đổi số<br />
Ta có: x x x x <br />
sin 2 sin sin 2cos 1 .<br />
Đặt t 1 3cos x ta được<br />
3sin x sin x 2dt<br />
dt dx dx ;<br />
2 13cos x 13cos<br />
x 3<br />
2 2<br />
t 1 2t<br />
1<br />
cos x 2cos x1<br />
<br />
3 3<br />
x<br />
0<br />
t<br />
2<br />
Đổi cận <br />
x<br />
t<br />
1<br />
2<br />
Khi đó<br />
4 2 4 2 2 34<br />
<br />
9 9 27 9 1 27<br />
1 <br />
2 2<br />
t<br />
3<br />
I dt t t<br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
Đặt t1 3cos x...<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Cách 3: Phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
u 2cos x1 du 2sin<br />
x<br />
<br />
<br />
1 3cos 2<br />
dv<br />
<br />
dx <br />
v<br />
1 3cos x<br />
1 3cos x 3 1 3cos x 3<br />
Đặt sin x d x<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
I 2 4 2 4<br />
<br />
3 x x <br />
3<br />
x xdx <br />
3 9<br />
xd x<br />
0<br />
0 0<br />
2cos 1 1 3cos 2 sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos <br />
2 8 <br />
1 3cos x 3<br />
2 <br />
34<br />
3 27 27<br />
0<br />
Cách 4: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
Phân <strong>tích</strong><br />
2 1<br />
13cos<br />
x<br />
<br />
sin 2x sin x 1 2cos x 1 1<br />
dx . d 1 3cos x<br />
. 3 3d 1 3cos x<br />
<br />
1 3cos x 3 1 3cos x 3 1<br />
3cos x<br />
2 1 3cos xd 1 3cos x 1 d 1<br />
3cos x<br />
9 9 1<br />
3cos x<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 59
Tổng quát:<br />
<br />
a.sin 2x bsin<br />
x<br />
dx hoặc<br />
c d cos x<br />
<br />
<br />
a.sin 2x bcos<br />
x<br />
dx ta đặt c d cos x t.<br />
c d sin x<br />
<br />
2<br />
Bài 11: (ĐH – A 2009) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: cos<br />
<br />
HD:<br />
<br />
8 <br />
<br />
15 4<br />
3 2<br />
I x 1 cos xdx<br />
0<br />
Cách 1:<br />
<br />
<br />
2 2<br />
5 2<br />
<br />
I cos xdx cos xdx<br />
0 0<br />
I1 I2<br />
Đặt t sin x dt cos xdx<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x<br />
t<br />
1<br />
0 <br />
t 0<br />
x 0 <br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
5 2 2 2 4 3 5<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 4 1<br />
8<br />
I1<br />
cos xdx 1 sin x cos xdx 1 t dt <br />
1 2t t dt t t t <br />
3 5 0 15<br />
0 0 0 0<br />
<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
x<br />
<br />
1 cos 2 1 1 1 1 <br />
I2<br />
cos xdx dx dx cos 2xdx x sin 2x<br />
2<br />
2 2 <br />
2<br />
<br />
2 2 4<br />
0 0 0 0<br />
<br />
0<br />
8 <br />
Vậy I I1 I2<br />
<br />
15 4<br />
Chú ý:<br />
<strong>Có</strong> thể tính I<br />
1<br />
như sau<br />
1<br />
<br />
2 2 2<br />
5 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
cos 1 sin cos 1 sin sin<br />
<br />
I xdx x xdx x d x <br />
0 0 0<br />
1<br />
<br />
2 4 2 3 4 5 8<br />
1 2sin x sin xd sin x<br />
sin x sin x sin x<br />
2 <br />
3 5 15<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
Cách 2:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos3x 3cos x 1cos 2x<br />
<br />
1 dx...<br />
4 2 <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 60
Bài 12: (ĐH – A 2006) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin 2x<br />
2<br />
dx <br />
2 2<br />
cos x<br />
4sin x 3<br />
HD:<br />
Cách 1: Phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> kết hợp biến đổi số<br />
<br />
<br />
2 2<br />
sin 2x<br />
sin 2x<br />
I dx <br />
dx<br />
1 sin x 4sin x 1<br />
3sin x<br />
Đặt<br />
2 2 2<br />
0 0<br />
dt<br />
3<br />
2<br />
t 1 3sin x sin 2xdx<br />
<br />
x<br />
t<br />
4<br />
Đổi cận 2 <br />
t 1<br />
x 0 <br />
<br />
Khi đó<br />
4 4 1<br />
1 dt 1 2 4 2<br />
2<br />
I <br />
3<br />
t dt t<br />
t 3<br />
<br />
3 1 3<br />
1 1<br />
Hoặc đặt t 1<br />
3sin<br />
2<br />
x<br />
Cách 2: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
<br />
1<br />
sin 2x<br />
sin 2x<br />
1<br />
I dx dx x d x<br />
1 sin x 4sin x 1<br />
3sin x 3<br />
2 2 2<br />
2<br />
<br />
2<br />
1 3sin <br />
2 1 3sin<br />
2 2 2 <br />
0 0 0<br />
<br />
2 2 2<br />
1 3sin x<br />
2 <br />
3 3<br />
0<br />
Cách 3: Phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> kết hợp biến đổi số<br />
<br />
<br />
2 2<br />
sin 2x<br />
sin 2x<br />
I dx <br />
dx<br />
0 1 cos 2x 1 cos 2x 0 5 3cos 2x<br />
4<br />
2 2 2<br />
Và đặt<br />
5 3cos 2x<br />
t hoặc<br />
2<br />
5 3cos 2x<br />
t hoặc đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
2<br />
Tổng quát: Để tính<br />
I<br />
<br />
2<br />
sin x cos xdx<br />
với a, b 0<br />
0<br />
2 2 2 2<br />
a cos x b sin x<br />
Ta đặt:<br />
2 2 2 2<br />
u a cos x b sin x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 61
Bài 13: (Đề 68 Iva) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
3<br />
4sin x<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phân <strong>tích</strong><br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
3 3<br />
4sin x 4sin x 1 cos x 4sin x 1cos<br />
x<br />
4sin x 4sin xcos x 4sin x 2sin 2x<br />
2<br />
1 cos x 1 cos x 1<br />
cos x sin x<br />
Khi đó<br />
3<br />
<br />
4sin x<br />
2 2<br />
<br />
<br />
I dx 4sin x 2sin 2x dx cos 2x 4cos x 2 2<br />
0<br />
1<br />
cos x<br />
0<br />
0<br />
Cách 2:<br />
<br />
<br />
3 <br />
2 2<br />
4sin x<br />
2 2<br />
<br />
4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos<br />
<br />
<br />
I dx x x x dx xdx xd x<br />
0<br />
1<br />
cos x<br />
0<br />
<br />
2 2 <br />
0 0<br />
2<br />
4cos x 2cos x 2<br />
Cách 3:<br />
<br />
<br />
2 3<br />
2<br />
2<br />
4 1<br />
cos x sin<br />
4sin x<br />
x<br />
I dx <br />
dx<br />
1cos x<br />
<br />
1cos<br />
x<br />
0 0<br />
dt<br />
sin<br />
xdx<br />
Đặt t 1<br />
cos x <br />
cos xt1<br />
<br />
x<br />
t<br />
1<br />
Đổi cận 2 <br />
t 2<br />
x 0 <br />
<br />
Khi đó<br />
<br />
<br />
2 1<br />
<br />
<br />
0 0<br />
2<br />
1 4 1 t 1 2<br />
2<br />
2<br />
I <br />
<br />
dt 4t 8dt 2t 8t<br />
2<br />
t<br />
<br />
1<br />
Chú ý: <strong>Có</strong> thể đặt t<br />
cos x<br />
Cách 4:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 62
x<br />
<br />
3 3<br />
2 3 32sin cos<br />
4sin x 2 2 3 x x<br />
dx <br />
16sin cos ...<br />
1<br />
cos x<br />
0<br />
2 x<br />
2 2<br />
x<br />
Quá hay phải không, bạn tự <strong>giải</strong> tiếp nhé<br />
2cos 2<br />
Cách 5:<br />
2dt<br />
dx<br />
<br />
2<br />
1<br />
t<br />
x 2t<br />
Đặt t tan sin x<br />
... Chắc chắn sẽ ra cứ yên tâm làm tiếp đi<br />
2<br />
2 1<br />
t<br />
2<br />
1<br />
t<br />
cos<br />
x <br />
2<br />
1<br />
t<br />
Chú ý:<br />
<br />
4sin 3 x 4sin x 1 cos x 1 cos x<br />
dx 4sin x 2sin 2 x ... Phân <strong>tích</strong> đến đây rùi thì có những <strong>cách</strong> nào, bạn<br />
1cos x<br />
1cos<br />
x<br />
đọc tự khám phá nhé!<br />
Tương tự<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
3<br />
4sin x<br />
dx 2<br />
1<br />
cos x<br />
Bài 14: (KTQS – 1997) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
sin x<br />
sin x<br />
3 cot<br />
sin<br />
x<br />
xdx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Phương pháp đưa vào biểu thức vi <strong>phân</strong><br />
<br />
<br />
2 3 3 2 3 3<br />
sin x sin x sin sin cot<br />
cot<br />
x <br />
I xdx <br />
x x dx<br />
sin x<br />
<br />
sin x sin x<br />
3 2<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 2 2 5 8<br />
1 3 2 3<br />
3<br />
3 3 2 1<br />
1 cot xd<br />
2<br />
cot x cot x cot xd cot x cot xd cot x<br />
cot<br />
3<br />
sin x<br />
<br />
<br />
<br />
8 8 3<br />
3 3 3<br />
3<br />
Cách 2: Phương pháp biến đổi số<br />
<br />
<br />
2 3 3<br />
2<br />
sin x sin 1 cot<br />
I x cot xdx 1 .<br />
x dx<br />
x<br />
<br />
x x<br />
3<br />
3 2 2<br />
sin sin sin<br />
3 3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 63
1<br />
Đặt t cot x dt dx<br />
2<br />
sin x<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x t<br />
0<br />
2 <br />
1<br />
t <br />
x <br />
3<br />
3<br />
<br />
0<br />
I t tdt t dt t <br />
0 0 5 8<br />
3 2 3 1<br />
3 3<br />
<br />
1<br />
3<br />
1 1 8 8 3<br />
3 3<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
Ta có<br />
<br />
<br />
2 3 3 2 3 3<br />
3 4<br />
<br />
<br />
3 3<br />
3<br />
sin x sin x cos sin sin<br />
cot<br />
x x <br />
I xdx <br />
x dx<br />
sin x<br />
<br />
sin x<br />
Nhận xét: Hàm dưới dấu <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> là hàm lẻ đối với cos<br />
Đặt t sin x dt cos xdx<br />
Đổi cận<br />
<br />
x t<br />
1<br />
2 <br />
<br />
<br />
3<br />
x<br />
t<br />
<br />
3<br />
2<br />
Khi đó<br />
1<br />
1 1<br />
3<br />
3 3 1<br />
t t<br />
2<br />
I dt<br />
t<br />
dt<br />
t<br />
<br />
t<br />
4 3<br />
3 3<br />
2 2<br />
Đặt<br />
1 1 3 dt<br />
t t 2 t<br />
3<br />
3 2<br />
u 1 u 1 u du <br />
2 2 3<br />
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
I<br />
t<br />
1 u<br />
0<br />
<br />
3 <br />
t<br />
<br />
u <br />
2 <br />
0<br />
<br />
0 4<br />
3 3 3 u<br />
1<br />
1<br />
3<br />
2<br />
u du<br />
1 2 4 8 3<br />
<br />
3<br />
3 3<br />
3<br />
3<br />
1<br />
3<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 64
Bài 15: ( Đề 104. Iva) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
I<br />
3<br />
8<br />
<br />
sin<br />
<br />
8<br />
dx<br />
xcos<br />
2 2<br />
x<br />
2 2<br />
Cách 1: Sử dụng phương pháp <strong>phân</strong> <strong>tích</strong> nhờ đồng nhất thức sin xcos x<br />
1<br />
Khi đó<br />
3 3 3<br />
3<br />
8 8 2 2<br />
8<br />
dx sin x cos x 1 1 <br />
8<br />
I dx dx<br />
2 2 2 2 2 2<br />
tan x cot x<br />
4<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin x cos x<br />
<br />
<br />
cos x sin x <br />
<br />
<br />
8 8 8<br />
8<br />
Cách 2: Sử dụng công thức nhân đôi<br />
3 3 3<br />
8 8 8<br />
dx<br />
dx d2x<br />
2 8<br />
x<br />
2 2 2 2<br />
sin x cos x<br />
<br />
sin 2x <br />
sin 2x<br />
<br />
8 8 8<br />
3<br />
I 4 2 2cot 2 4<br />
Cách 3: Phương pháp biến đổi số<br />
dx<br />
Đặt t tan x dt và<br />
2<br />
cos x<br />
1 1 tan x 1t<br />
<br />
2 2 2<br />
sin x tan x t<br />
2 2<br />
....<br />
8<br />
Bài 16: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
0<br />
cos<br />
sin x<br />
2<br />
xdx<br />
3 cos x<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Đồng nhất thức<br />
Ta <strong>phân</strong> <strong>tích</strong>: cos 2 x ( Asin x Bcos x) sin x cos x C sin 2 x cos<br />
2 x<br />
<br />
2 2<br />
3B C cos x B 3A sin x cos x A C sin x B 3A 0 B <br />
2<br />
cos xdx 1 3 1<br />
sin x cos x<br />
sin x<br />
3 cos x 4 4 4 sin x<br />
3 cos x<br />
<br />
1<br />
4<br />
<br />
<br />
A <br />
3BC<br />
1<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
AC<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
C<br />
<br />
4<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 65
Khi đó<br />
<br />
1 3 1 dx<br />
I <br />
cos x sin x<br />
3<br />
4 4 <br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
0 sin x<br />
3 cos x<br />
0<br />
<br />
3<br />
I1<br />
Tính:<br />
J<br />
<br />
3<br />
dx<br />
<br />
0 sin x<br />
3 cos x<br />
I<br />
1<br />
<br />
3<br />
1 dx 1 x ln tan<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 6<br />
0<br />
<br />
sin x<br />
<br />
<br />
0<br />
3 <br />
<br />
1 3 1 x 3ln 3<br />
2<br />
I <br />
cos x sin x ln tan <br />
3 <br />
4 4 8 2 6 <br />
<br />
8<br />
0<br />
Cách 2: Tích <strong>phân</strong> liên kết<br />
Sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết<br />
J<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
0<br />
cos<br />
sin x<br />
2<br />
xdx<br />
3 cos x<br />
<strong>Giải</strong> hệ<br />
I<br />
3J<br />
1<br />
<br />
ln 3 I<br />
I<br />
J <br />
2<br />
3ln 3<br />
2<br />
<br />
8<br />
Tổng quát:<br />
I<br />
<br />
2<br />
cos xdx<br />
<strong>tích</strong> <strong>phân</strong> liên kết thường là<br />
Asin<br />
x B cos x<br />
<br />
J<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
sin xdx<br />
Asin<br />
x B cos x<br />
Bài 17: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
I<br />
<br />
2<br />
cos<br />
<br />
sin<br />
<br />
4<br />
6<br />
4<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
Phân <strong>tích</strong><br />
Khi đó<br />
6 2 4<br />
cos x cos x.cos x 1 4 4 2<br />
dx dx 1 tan x tan x tan x<br />
4 4 2<br />
<br />
sin x sin x tan x <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 66
6<br />
cos x<br />
4 2 4 2<br />
2 2 2 2<br />
4 <br />
<br />
I dx tan x tan x dx tan xdx tan xdx<br />
sin x<br />
Tính<br />
<br />
4 4 4 4<br />
I1 I2<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
4 4 2 2 2 2 2<br />
tan <br />
tan tan tan 1 1<br />
tan tan 1 tan 1<br />
<br />
I1<br />
xdx <br />
<br />
x x x <br />
<br />
dx dx x dx<br />
<br />
4 4 4 4 4<br />
<br />
2<br />
2<br />
tan xd tan x 2 2<br />
tan x x <br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 4<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
Tính I2<br />
<br />
tan x 1 1dx tan x 1 dx dx tan x x<br />
... tự <strong>giải</strong> nhé<br />
<br />
<br />
<br />
4 4 4<br />
Cách 2:<br />
2<br />
2<br />
6 2 2 2 2 4<br />
cos x<br />
cos<br />
x 1 sin x <br />
cos x 2cos xsin x cos xsin x 2 1<br />
2 2<br />
Phân <strong>tích</strong> <br />
<br />
<br />
cot x. 2cot x cos x<br />
4 4 4 2<br />
sin x sin x sin x sin x<br />
Khi đó<br />
<br />
2 2 2<br />
2 1<br />
2 2<br />
cot . 2 cot cos<br />
2<br />
sin x<br />
<br />
<br />
4 4 4<br />
I x dx xdx xdx<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 1<br />
2 <br />
sin x 2<br />
<br />
<br />
4 4 4<br />
<br />
cot xd cot x 2 1 dx 1<br />
cos 2x dx<br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
2 cot x1<br />
x <br />
3 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
8 12<br />
4<br />
3<br />
cot x<br />
1 sin 2x<br />
5 23<br />
Cách 3:<br />
Nhận xét: Vì hàm dưới dấu <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> là hàm chẵn đối với sin và cos nên ta có thể đặt<br />
khá dài và phức tạp nên không nêu ra, bạn đọc tự khám phá nhé!<br />
t tan x nhưng <strong>cách</strong> đó<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 67
Bài 18: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<br />
2<br />
6 3 5<br />
<br />
I 1cos x.sin x.cos<br />
xdx<br />
0<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
<br />
2<br />
6 3 3 2<br />
<br />
I 1cos x.cos x.sin x.cos<br />
xdx<br />
0<br />
Đặt<br />
3 6<br />
<br />
cos x1t<br />
1 cos x t 1 cos x t <br />
sin .cos 2<br />
6 3 3 6<br />
2 5<br />
x xdx t dt<br />
Đổi cận<br />
<br />
x<br />
t<br />
1<br />
2 <br />
t 0<br />
x 0 <br />
<br />
1 1 7 13<br />
t<br />
t 1 12<br />
I 2 t 1 t t dt t t dt 2<br />
<br />
7 13 0 91<br />
0 0<br />
<br />
6 5 6 12<br />
Khi đó <br />
3<br />
Hoặc : Đặt 1cos x<br />
t<br />
Cách 2: Sử dụng phương pháp đưa vào vi <strong>phân</strong><br />
<br />
<br />
2 2<br />
6 3 3 2 6 3 3 3<br />
<br />
I 1 cos x.cos x.sin x.cos xdx I 1 cos x.cos xd 1 cos x <br />
0 0<br />
<br />
2<br />
6 3 3 3<br />
<br />
0<br />
<br />
1 cos x <br />
<br />
1 cos x 1 <br />
d 1<br />
cos x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
6 3 3 3 6 3 3<br />
1 cos x 1 cos xd 1 cos x 1 cos xd 1 cos x<br />
<br />
0 0<br />
<br />
<br />
Bài 19: (ĐH – B 2005) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Đổi biến số<br />
Phân <strong>tích</strong><br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
sin 2 x .cos x sin x .cos x<br />
<br />
I <br />
dx 2<br />
dx<br />
1cos x 1cos<br />
x<br />
0 0<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin 2 x.cos<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 68
dt<br />
sin<br />
xdx<br />
Đặt t 1<br />
cos x <br />
cos xt1<br />
<br />
x<br />
t<br />
1<br />
Đổi cận 2 <br />
t 2<br />
x 0 <br />
<br />
Khi đó<br />
t<br />
2<br />
1 1 2 1<br />
t<br />
2 2<br />
I 2 dt 2 t 2 dt 2 2t ln t 2ln 2 1<br />
t<br />
<br />
t 2 1<br />
2 1 <br />
Cách 2:<br />
<br />
2<br />
2 2 2<br />
2<br />
sin 2 x.cos<br />
x sin x.cos<br />
x 1cos x 1<br />
<br />
I dx 2 dx 2<br />
<br />
<br />
<br />
d cos<br />
x<br />
1 cos x<br />
<br />
1 cos x<br />
<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
2<br />
0 0 0<br />
2<br />
<br />
<br />
1 cos x<br />
<br />
2<br />
1 cos x d cos x<br />
sin x ln 1 cos x 2 2ln 2 1<br />
1<br />
cos x<br />
2<br />
0 0<br />
Chú ý: d cos x d 1 cos x<br />
và ta có thể đặt t<br />
cos x<br />
<br />
<br />
<br />
Tổng quát:<br />
I<br />
<br />
asin 2 x.cos<br />
x<br />
dx ta đặt t b c.cos<br />
x hoặc t<br />
cos x<br />
b c.cos<br />
x<br />
<br />
Bài tập tự <strong>giải</strong> có hướng dẫn:<br />
6 4<br />
x<br />
Bài 1: (ĐH – A 2008) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I dx ln 2 3<br />
HD:<br />
Cách 1: Biến đổi <br />
cos2 cos sin 1 tan cos<br />
2 2 2 2<br />
x x x x x<br />
<br />
tan 1 10<br />
<br />
cos 2x<br />
2 9 3<br />
0<br />
Đặt<br />
t tan x<br />
Hoặc sử dụng công thức<br />
Tổng quát:<br />
1<br />
tan<br />
cos 2x<br />
<br />
1 tan<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
1.<br />
<br />
4<br />
atan<br />
x<br />
I với<br />
bcos 2x<br />
<br />
ab ,<br />
Biến đổi <br />
*<br />
đặt t tan x<br />
2 2 2 2<br />
bcos2x b cos x sin x b 1 tan x cos x<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 69
2. Mở rộng hơn<br />
<br />
4<br />
atan<br />
x<br />
I dx với<br />
2 2<br />
bsin x csin x cos x d cos x<br />
<br />
a, b, c,<br />
d <br />
đặt t tan x<br />
Biến đổi <br />
2 2 2 2<br />
bsin x csin xcos x d cos x b tan x c tan x d cos x<br />
*<br />
Bài 2: (ĐH AN – 1998): Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
Cách 1:<br />
I<br />
<br />
4<br />
dx<br />
<br />
cos 4<br />
x<br />
0<br />
<br />
4 4 4<br />
<br />
dx 1 dx<br />
2 3 4<br />
I .<br />
4 2 2 1 tan xd tan x tan x tan x<br />
4<br />
cos x<br />
<br />
cos x cos x<br />
<br />
3<br />
0 0 0<br />
0<br />
Cách 2: Biến đổi số<br />
<br />
4 4 4<br />
1<br />
I dx dx . 1 tan x<br />
dx<br />
x<br />
<br />
x x<br />
<br />
x<br />
2<br />
4 2 2 2<br />
cos cos cos cos<br />
0 0 0<br />
Đặt t tan x<br />
Cách 3: Sử dụng phương pháp <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
1<br />
u <br />
2<br />
cos x<br />
<br />
dx<br />
dv <br />
2<br />
cos x<br />
Bài 3: (Đề 84.Iva) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
2<br />
dx<br />
4<br />
sin x<br />
<br />
4<br />
<br />
2 2 2<br />
3<br />
dx dcot x<br />
2<br />
cot x 2 4<br />
1 cot<br />
4 2<br />
cot cot<br />
sin x<br />
<br />
sin x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
4 4 4<br />
I x d x x <br />
<br />
4<br />
Bài 4: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
I cos x.cos 2xdx<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
4<br />
HD:<br />
C1: Hạ bậc biến đổi <strong>tích</strong> thành tổng<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 70
C2: Tích <strong>phân</strong> liên kết<br />
Bài 5: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
2sin<br />
2<br />
x<br />
sin x<br />
cos x<br />
<br />
4<br />
dx<br />
4 2 4 <br />
sin x cos x 1 sin 2x 4cos x<br />
<br />
4 <br />
2<br />
HD: 1 2sin x cos2x cos x sin xcos x sin x<br />
và <br />
Từ đây ta có các <strong>cách</strong> sau<br />
Cách 1:<br />
Biến đổi<br />
<br />
<br />
4 2<br />
4<br />
1<br />
2sin x cos 2x<br />
I <br />
dx <br />
dx<br />
<br />
sin x cos x 1sin 2x<br />
4 2<br />
0 0<br />
đặt t1 sin2x<br />
hoặc t sin2x<br />
hoặc biến đổi vi <strong>phân</strong> trực tiếp<br />
<br />
4 2<br />
4 4<br />
<br />
d<br />
<br />
4 2 2<br />
0 sin x cos x 0 1 sin 2x 0 1<br />
sin 2x<br />
x<br />
<br />
1<br />
2sin x cos 2x<br />
1<br />
sin 2<br />
I dx dx <br />
dx<br />
hoặc đặt t tan<br />
<strong>cách</strong> 2:<br />
Biến đổi<br />
<br />
4 2<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x<br />
I dx dx <br />
dx<br />
<br />
4 4 4<br />
0 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x cos x<br />
Đặt t sin x cos x hoặc hoặc biến đổi vi <strong>phân</strong> trực tiếp<br />
Cách 3:<br />
Biến đổi<br />
Đặt<br />
<br />
t x<br />
4<br />
<br />
<br />
4 2<br />
4<br />
1<br />
2sin x<br />
cos 2x<br />
I dx <br />
dx<br />
4<br />
0 sin<br />
x cos x<br />
<br />
<br />
0 4 <br />
4cos x<br />
<br />
4 <br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
Bài 6: (ĐHGT TPHCM – 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
I<br />
<br />
3<br />
sin<br />
<br />
cos<br />
<br />
6<br />
2<br />
6<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
2<br />
sin x 1 1<br />
dx x dx x x d x<br />
6 2 2<br />
cos x cos x cos x<br />
2 2 2<br />
Ta có tan . . tan 1<br />
tan tan<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 71
Đs: 42 3 8<br />
15<br />
Bài 7: (ĐHĐN – 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>:<br />
HD:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
sin x<br />
cos x<br />
dx<br />
sin x<br />
cos x<br />
<br />
<br />
cos<br />
2<br />
2 sin x<br />
d<br />
2 x<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
2 1<br />
I <br />
<br />
dx<br />
<br />
dx ln cos x<br />
ln 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
2<br />
2 cos x<br />
cos x<br />
<br />
4 <br />
4<br />
4 <br />
4<br />
4<br />
Bài 8: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
4<br />
tan<br />
0<br />
6<br />
xdx<br />
HD:<br />
2<br />
Đặt tan tan 1<br />
t x dt x dx<br />
Đổi cận:<br />
x 0 t 0<br />
<br />
<br />
x<br />
t 1<br />
4<br />
Vậy<br />
<br />
<br />
4 1 6 1<br />
5 3<br />
4<br />
6 t dt 4 2 t t 1<br />
tan 1<br />
2 <br />
2 <br />
t <br />
<br />
t <br />
0<br />
<br />
0 0 0 0<br />
1 13 <br />
I xdx t t dt t du <br />
1 1 5 3 15 4<br />
Bài 9: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos<br />
5<br />
8<br />
xdx <br />
15<br />
Bài 10: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
HD:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
3<br />
sin xcos<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
2<br />
2<br />
1 cos x<br />
1 t1 1 2 1ln 2<br />
2<br />
2<br />
1 cos<br />
2<br />
ln <br />
I d x dt t t <br />
2 1<br />
cos x<br />
2 t 2 1 2<br />
0 1<br />
Bài 11: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I tan<br />
4<br />
xdx<br />
HD:<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 72
1 <br />
I xdx x xd x x x d x x d x<br />
1<br />
tg x <br />
4 2 2 2 2 2<br />
tan tan sin tan tan 1 cos tan tan 1 2 tan<br />
<br />
2<br />
2 tan x 11 1 3<br />
tan xd tan x <br />
d<br />
2<br />
tan x<br />
tan x tan x x C<br />
1<br />
tan x<br />
3<br />
Bài 12: (ĐHTL – 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
3sin x<br />
4cos x<br />
dx<br />
2 2<br />
3sin x<br />
4cos x<br />
Đs:<br />
I<br />
3<br />
ln 3<br />
6<br />
V. BÀI TẬP HỖN HỢP CỦA NHIỀU HÀM SỐ<br />
Bài tập <strong>giải</strong> mẫu:<br />
Bài 1: (ĐH TL2001) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I ln 1tan<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
x dx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
dx<br />
dt<br />
<br />
Đặt x t <br />
1<br />
tan t 2<br />
4 1 tan x1 tan t1 <br />
<br />
4 1tan t 1tan<br />
t<br />
Đổi cận<br />
<br />
x 0 t <br />
4<br />
<br />
<br />
x t 0<br />
4<br />
<br />
<br />
I ln 1 tan x dx ln 2dt ln 1 tan t dt ln 2 . I I ln 2<br />
4 8<br />
4 4 4<br />
Khi đó <br />
Cách 2:<br />
Ta có<br />
0 0 0<br />
<br />
4 4 4 4<br />
sin<br />
x<br />
cos x<br />
I ln 1 tan xdx ln <br />
dx ln sin x cos xdx ln cos<br />
xdx<br />
<br />
cos x<br />
<br />
<br />
0 0 0 0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 73
4 4<br />
<br />
<br />
ln 2 cos<br />
xdx<br />
ln cos<br />
xdx<br />
4<br />
<br />
0 0<br />
J<br />
Tính<br />
<br />
4 4 4<br />
<br />
4<br />
1 1<br />
<br />
J ln 2 cos x dx ln 2 dx ln cos x dx ln 2x 4 ln cos x dx ln 2 K<br />
4 2<br />
<br />
4 2<br />
<br />
4 8<br />
0 0 0 <br />
0<br />
0 <br />
K<br />
Đặt<br />
<br />
t x dt dx<br />
4<br />
<br />
<br />
4 4<br />
<br />
Khi đó ln cos<br />
ln cos<br />
<br />
K t dt x dx<br />
0 0<br />
<br />
Khi đó I ln 2<br />
8<br />
Cách 3: Tích <strong>phân</strong> từng phần<br />
<br />
u ln 1tan<br />
x<br />
Đặt <br />
... Bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
dv dx<br />
Bài 2: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong>: I <br />
HD:<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
ln 1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
<br />
dx.<br />
Đặt<br />
<br />
4<br />
x tan t ta được I ln 1tan tdt;<br />
<br />
0<br />
<br />
đặt t x ta được<br />
4<br />
Bài 3: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
<br />
<br />
4 4<br />
2<br />
I ln du ln 2 du I<br />
1<br />
tan u<br />
<br />
0 0<br />
5<br />
<br />
2<br />
<br />
ln x 1 1<br />
dx<br />
x1<br />
x1<br />
1<br />
dt dx 2t 1<br />
dt dx<br />
Đặt t x11 2 x 1<br />
<br />
x<br />
t<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 74
Đổi cận<br />
Khi đó<br />
<br />
x5 t<br />
3<br />
<br />
x2 t<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
t1 ln t ln t<br />
3<br />
I dt dt td t t <br />
3 3 3<br />
2 2 2<br />
2 2 2 ln<br />
2<br />
ln ln ln 3 ln 2<br />
2<br />
2 t1 t1<br />
t<br />
<br />
2 2<br />
Cách 2: Đặt t x 1... bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
<br />
2<br />
xdx<br />
Bài 4: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
1 sin 2 x<br />
0<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
<br />
Cách 1: Đặt t x<br />
2<br />
2 <br />
Cách 2: Biến đổi 1 sin 2x 1 cos 2x 2cos x ,<br />
2 4 <br />
<strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
<br />
I 1 1<br />
x .sin x .cos 2 xdx xd cos 3 x x cos 3 x cos<br />
3 xdx<br />
<br />
3 3<br />
0 0 0<br />
2<br />
<br />
<br />
1 sin sin sin<br />
3 3<br />
x d x x <br />
3 3 3 0 3<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
1 1 sin x <br />
Bài 5: (ĐH DHN – A 2000) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
<br />
2 x 2 x 2 x<br />
<br />
<br />
1<br />
sin xe e e sin x<br />
I dx dx dx e<br />
1cos x<br />
<br />
0 0<br />
2 x <br />
2cos<br />
1cos<br />
x<br />
0<br />
2<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
Ta có:<br />
Tính:<br />
<br />
2 2 x 2 2 x 2<br />
1<br />
sin x x e dx sin x x 1 e dx sin x x<br />
<br />
I . e dx . e dx . e dx<br />
1 cos x 1 cos x 1 cos x 2<br />
0 0 0 0<br />
2 x<br />
cos<br />
1<br />
cos x<br />
0<br />
2<br />
<br />
2<br />
x<br />
e dx<br />
I1<br />
<br />
0<br />
2 x<br />
cos 2<br />
I1<br />
I2<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 75
x<br />
u<br />
e<br />
x<br />
du<br />
e dx<br />
<br />
Đặt: dx <br />
dv<br />
x<br />
<br />
2 x v tan<br />
cos 2<br />
2<br />
Áp dụng công thức tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
dx x x x x x<br />
2<br />
x<br />
1<br />
I1<br />
tan 2 tan . tan .<br />
2<br />
e e dx e e dx<br />
0<br />
2 x<br />
cos<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
0<br />
0 0<br />
2<br />
x x<br />
<br />
2 2 2sin cos<br />
2<br />
sin x x<br />
Tính:<br />
2 2 x x x<br />
I2<br />
. e dx . e dx tan . e dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
0 0<br />
2 x <br />
2cos<br />
2<br />
0<br />
2<br />
<br />
e<br />
2<br />
Vậy I <br />
Cách 2:<br />
Ta có:<br />
<br />
2 x<br />
2 x<br />
2 2<br />
sin<br />
x <br />
e e x x x x<br />
I . dx . dx e d tan e tan . dx<br />
0<br />
2 x <br />
2cos<br />
1 cos x<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
0 0 0<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
<br />
x x x x<br />
e tan 2 e tan . dx e tan . dx e tan 2 e<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
0 0<br />
0<br />
Sử dụng định nghĩa:<br />
x x x<br />
x x .2sin cos<br />
x<br />
'<br />
'<br />
1 sin x e<br />
e<br />
e 2 2 e x x x x x x x x <br />
tan e tan e tan e ' e tan<br />
1 cos x<br />
2 x 2 x 2 x<br />
<br />
<br />
2cos 2cos 2cos<br />
2 2 2 2 <br />
2 2 2<br />
Ta có <br />
Hoặc ta biến đổi<br />
<br />
sin x x<br />
cos<br />
x <br />
<br />
x x<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 tan tan<br />
1 cos x 2 x <br />
<br />
cos<br />
2 2 2 <br />
2<br />
1 sin 1 2 2 1<br />
2<br />
<br />
2<br />
Vậy<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 x<br />
1 1 x x<br />
I 1 tan tan<br />
2 dx e dx<br />
2 2 2<br />
0 0<br />
I1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 76
Tính<br />
I<br />
1<br />
<br />
2<br />
x x<br />
tan e dx 2<br />
0<br />
Bài 6: (ĐH GTVT – 1998) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
2<br />
e<br />
<br />
e<br />
1 1 <br />
dx<br />
2 <br />
ln<br />
x ln x<br />
Cách 1:<br />
f<br />
x<br />
Đặt <br />
2<br />
Ta có<br />
Khi đó<br />
2<br />
e<br />
1 1<br />
<br />
ln x ln x<br />
'<br />
'<br />
x ln x xln<br />
x<br />
1 1 1ln<br />
x<br />
x<br />
f x<br />
F<br />
2 2 2<br />
x<br />
<br />
ln x ln x ln x ln x ln x<br />
1 1 x<br />
e e<br />
I dx e <br />
x x x e<br />
e<br />
Cách 2:<br />
2 2<br />
2<br />
ln ln ln 2<br />
2 2 2 2 2<br />
e e e 2 e e<br />
1 1 1 dx x e dx dx<br />
I dx xd<br />
x x<br />
<br />
x<br />
<br />
x x<br />
<br />
x<br />
<br />
x<br />
2<br />
ln ln ln ln ln ln ln<br />
e e e<br />
e<br />
e e<br />
Bài 7: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau<br />
<br />
2<br />
I x.sin<br />
xcos<br />
xdx<br />
<br />
0<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
<br />
1 1<br />
I x.sin 2xcos xdx x. sin3x sin xdx<br />
2 <br />
4<br />
Đặt:<br />
Khi đó<br />
0 0<br />
<br />
du dx<br />
u x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
dv x x dx v x x<br />
3<br />
sin 3 sin cos3 cos <br />
<br />
I 1 1 1<br />
cos3 cos cos3 cos<br />
4 x <br />
3 x x <br />
0 3 x x <br />
dx <br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
x 1 1 1 1 5<br />
cos3x cos x 2 sin 3x sin x<br />
2 <br />
2 3 2 18 2 9.<br />
0<br />
<br />
0<br />
Cách 2: Đặt x<br />
t...<br />
bạn đọc tự <strong>giải</strong><br />
Chú ý: Qua mấy bài <strong>toán</strong> trên ta có nhận xét<br />
0<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 77
Dựa vào đạo hàm ta có thể tính Nguyên hàm của một các dạng đặc biệt<br />
Dạng 1: Nguyên hàm của các hàm số dạng <strong>tích</strong> thương<br />
Dạng Cấu trúc hàm số Nguyên hàm<br />
Tổng ' '<br />
f x u v u v '<br />
<br />
Hiệu ' '<br />
f x u v u v '<br />
<br />
F x u v<br />
F x u v<br />
Tích ' '<br />
f x u v vu uv '<br />
F x<br />
uv<br />
Thương<br />
f<br />
x<br />
' '<br />
'<br />
u v v u u<br />
<br />
<br />
2 <br />
v<br />
v<br />
<br />
F x<br />
u<br />
<br />
v<br />
Dạng 2: Các dạng nguyên hàm đơn giản chứa e x<br />
Đặc trưng Nguyên hàm Hàm số (đạo hàm)<br />
F x<br />
x<br />
e x<br />
F x<br />
x<br />
e x<br />
<br />
F x<br />
ax b<br />
e ax b<br />
u x e<br />
F ' x <br />
u ' x ux<br />
e x f x<br />
u x e <br />
' ' x<br />
F x <br />
u x ux<br />
e f x<br />
u x e <br />
' ' axb<br />
F x <br />
u x au x<br />
e f x<br />
vv <br />
vv <br />
e F x u xe<br />
<br />
<br />
<br />
' ' ' vx<br />
F x u x v x u x e f x<br />
<br />
<br />
<br />
Ví dụ: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
1 2<br />
<br />
<br />
xe<br />
x<br />
0 x 2<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<strong>Giải</strong>:<br />
Cách 1: Tích <strong>phân</strong> từng phần<br />
Đặt<br />
<br />
<br />
<br />
dx <br />
du<br />
1<br />
<br />
<br />
2 v<br />
x 2<br />
<br />
x 2<br />
2 x<br />
u x e<br />
x<br />
du xe x e dx<br />
2 x 1<br />
xe 1<br />
x<br />
Khi đó I xe dx<br />
x 2 0<br />
<br />
0<br />
I1<br />
<br />
<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 78
Tính<br />
I<br />
1<br />
1<br />
x<br />
u x du dx<br />
xe dx.<br />
Đặt <br />
x x<br />
0 dv e dx v e<br />
1<br />
1 1<br />
x x x x<br />
Khi đó I1<br />
xe <br />
e dx xe e <br />
0 0<br />
x x<br />
Vậy I xe e <br />
Cách 2:<br />
0<br />
2 x<br />
xe 1 1<br />
1<br />
x 2 0 0<br />
2 2<br />
2<br />
Phân <strong>tích</strong> x x x x x x<br />
<br />
Khi đó<br />
4 4 4 2 4 2 4 2 4<br />
<br />
<br />
2<br />
x<br />
x <br />
x<br />
<br />
2 4 2 4 1<br />
I e dx e dx e dx dx dx<br />
2 x2<br />
1 2<br />
1 1 1 1<br />
x<br />
x x x x<br />
4 e<br />
4<br />
2 2<br />
0 x2 0 2<br />
x<br />
<br />
0 0 0<br />
Tính J làm xuất hiện <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> mà làm triệt tiêu một <strong>tích</strong> <strong>phân</strong><br />
Bài tập tự <strong>giải</strong> có hướng dẫn:<br />
J<br />
Bài 1: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
I<br />
<br />
1 2 2x<br />
<br />
<br />
xe<br />
<br />
2<br />
0 x 1<br />
dx<br />
HD: Sử dụng <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> từng phần<br />
1 2 2x<br />
1<br />
xe<br />
2 2x<br />
<br />
I dx<br />
2 x e d<br />
0 x 1<br />
0 x<br />
1 <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
x e 1 1<br />
e e<br />
x1 0<br />
x1 2 2<br />
<br />
2 2x<br />
1 2 1 2 1<br />
2 2x 2x 2x<br />
d x e 2xe dx xd e<br />
<br />
0 0 0<br />
2 2x<br />
2 2<br />
e e 1 e e<br />
1<br />
1<br />
<br />
2 2 0 2 2 2 2<br />
Bài 2: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
Bài 3: (ĐHLN – 2001) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: I <br />
<br />
2<br />
2<br />
x 2<br />
2 x<br />
<br />
I 4x tan x 1 tan tan<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
8 8<br />
0<br />
1<br />
<br />
<br />
0<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
e<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
x<br />
dx 1<br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 79
sin x<br />
Bài 4: Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau: 1 cos <br />
<br />
2<br />
<br />
I e x x dx e<br />
2<br />
0<br />
Bài 5: (ĐHTN – 1996) Tính <strong>tích</strong> <strong>phân</strong> sau:<br />
2<br />
e<br />
1 <br />
2<br />
I 2ln x 2 2e 2e<br />
<br />
e<br />
<br />
<br />
<br />
ln x <br />
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 80