TEMA 6. Modelos para Datos de Panel - RUA - Universidad de ...

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
TEMA 6. Modelos para Datos de Panel
Profesor: Pedro Albarrán Pérez
Universidad de Alicante. Curso 2010/2011.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Contenido
1 Introducción
2 Modelos estáticos
Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Extensiones del Modelo Básico
3 Estimación de Modelos estáticos. Predicción
Estimadores Agrupados (“Pooled”)
Estimador “Between”
Estimador de Efectos Aleatorios
Estimadores de Efectos Fijos
Test de Hausman
Predicción.
4 Paneles largos
5 Variables instrumentales
6 Modelos Dinámicos para datos de panel
Introducción
Estimador de Arellano y Bond

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Consideraciones básicas
Datos de Panel
Los datos de panel (o datos longitudinales) consiste en observaciones
de un corte transversal de unidades individuales (hogares, empresas,
países, etc.)
repetidas sobre el tiempo
Algunos ejemplos:
{Yit, X ′
it } i = 1, . . . , N; t = 1, . . . , T
PSID (Panel Study of Income Dynamics)
ECHP (European Community Household Panel)
SHIW (Survey on Household Income and Wealth)
EPA (Encuesta de Población Activa)
ESEE (Encuesta sobre Estrategías Empresariales)
FES (Family Expenditure Survey)
CEX (Consumers Expenditure Survey)
ECPF (Encuesta Continua de Presupuestos Familiares)
paneles de estados americanos, de países, etc.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Consideraciones básicas
Consideraciones básicas
En general, los datos se observan a intervalos regulares de tiempo
Los datos de panel pueden ser balanceados (Ti = T para todo i) o
no balanceados (Ti = T para algún i)
la selección muestral debe ser aleatoria (no correlacionada con los
regresores) para que los estimadores sean consistentes
Se pueden tener paneles:
de muchos individuos y pocos periodos temporales (“short panels)
de pocos individuos y muchos periodos temporales (“long panels”)
de muchos individuos y muchos periodos temporales
Se puede hacer inferencia asintótica
NT → ∞
N → ∞, T → ∞
N → ∞, T fijo
T → ∞, N fijo

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Consideraciones básicas
Consideraciones básicas (cont.)
Los errores estarán probablemente correlacionados (en el tiempo
para un individuo y/o entre individuos)
Se pueden tener regresores invariantes en el tiempo (xit = xi), que
no varían con los individuos (xit = xt) o que varían tanto con el
tiempo como con los individuos (xit)
Algunos coeficientes del modelo pueden variar entre individuos o en
el tiempo
Los datos de panel permiten la estimación de modelos dinámicos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estadística descriptiva para datos de panel
Descripción de los datos
Para cada observación debe conocerse el individuo i y el periodo
temporal t al que se refiere .
p.e., un panel balanceado p.e., un panel NO balanceado
individuo año renta edad individuo año renta edad sexo
1 2000 1800 29 1 2000 800 19 2
1 2001 1950 30 1 2001 950 20 2
2 2000 800 20 2 2000 1900 29 1
2 2001 850 21 2 2001 1950 30 1
.
.
.
.
2 2002 2100 31 1
500 2000 2200 54 1000 2000 2100 49 1
500 2001 2400 55 1000 2001 2200 50 1
Obviamente preferiremos una descripción resumida de la estructura
del panel en nuestros datos
.
.
.
.
.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estadística descriptiva para datos de panel
Descripción de los datos (cont.)
Para paneles balanceados, describir el número de observaciones
implica:
número de individuos distintos N
total de periodos cubiertos por el panel T
el número total de observaciones es simplemente NT
Para paneles NO balanceados, además debemos considerar:
periodos concretos en que se observa cada individuo Ti (o su media)
número total de observaciones N
i=1 Ti
También se puede presentar el patrón de observaciones; p.e.,
t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
| | | | n1, T i = 4
. | | | n2, T i = 3
. . | | n3, T i = 2
| | | . n4, T i = 3
Notad que no tiene porque haber individuos observados todos los
periodos y que individuos con el mismo Ti pueden ser observados en
periodos diferentes.

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Estadística descriptiva para datos de panel
Descomposición “within”-“between”
Las variables pueden tener variación tanto en el tiempo como entre
individuos
Variabilidad “within”, s 2 W : variación en el tiempo para un individuo
dado
Variabilidad “between”, s 2 B: variación entre individuos
La variabilidad total (“overall”), s 2 O , se puede descomponer en
“within” y “between”
s 2 O ≈ s2 W + s2 B

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Estadística descriptiva para datos de panel
Descomposición “within”-“between” (cont.)
Variabilidad “overall” (en torno a la media total x = 1/NT
i t xit)
s 2 O =
1
NT − 1
(xit − x) 2
Variabilidad “within” (en torno a la media individual x i = 1/T
s2 1
W =
(xit − x i )
NT − 1
2 1
=
(xit − x i + x)
NT − 1
2
i
t
Variabilidad “between” (variación de x i en torno a x)
s 2 B = 1
N − 1
i
t
(x i − x) 2
Nota: NT debe entenderse como total de observaciones
es decir, para paneles no balanceados debe ser N
i=1 Ti
i
i
t
t xit)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estadística descriptiva para datos de panel
Estadísticas Descriptivas
Las estadísticas pueden describir los datos
totales (“overall”): xit
“within”: xit − x i + x
“between”: x i
Existe una distribución de cada uno de ellos que caracterizar: su
máximo, mínimo, percentiles, varianza, etc.
Para variables discretas, una tabulación de valores (histograma)
puede ofrecer
“overall”: observaciones que toman ese valor
“between”: individuos para los que alguna vez toma ese valor
porcentaje de individuos que nunca cambia de valor (“within”)
Para variables binarias, se puede calcular una matriz de transiciones
(ofrecen idea de persistencia, dinámica)
X it+1 = 0 X it+1 = 1
X it = 0 Pr (X it+1 = 0|X it = 0) Pr (X it+1 = 1|X it = 0)
X it = 1 Pr (X it+1 = 0|X it = 1) Pr (X it+1 = 1|X it = 1)

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Estadística descriptiva para datos de panel
Gráficos
Se puede representar la evolución de algunas o de todos los
individuos i
Se pueden representar gráficos de dispersión para dos variables
“overall”
o “within” (cada variable en desviaciones respecto a la media de cada
individuo)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Modelo con efectos individuales
donde
yit = β1x1it + · · · + βkxkit + uit
= β1x1it + · · · + βkxkit + αi + εit
x1it, . . . , xkit: variables explicativas (observables)
uit = αi + εit: término de error compuesto (inobservado)
αi : efectos individuales (heterogeneidad inobservada permanente en
el tiempo)
εit: error idiosincrásico
Existen dos modelos sustancialmente diferentes según el tratamiento de
αi
1 Modelo de efectos fijos
2 Modelo de efectos aleatorios

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Efectos Individuales “Fijos”
Permite que los regresores x1it, . . . , xkit estén correlacionados con αi
sin especificar la forma concreta
todo el análisis será condicional en αi
El supuesto fundamental es
E [εit|αi, x1it, . . . , xkit] = 0
los regresores deben seguir siendo incorrelados con εit
Esto implica E [yit|αi, x1it, . . . , xkit] = β1x1it + · · · + βkxkit + αi y
δE [yit|αi, x1it, . . . , xkit]
= βj
δxj,it
Se puede identificar el efecto marginal βj aunque el regresor es
endógeno, respecto al término de error compuesto uit
los regresores pueden estar correlacionados uit, pero sólo con su
parte constante en el tiempo
ej.: yit =renta, αi =habilidad inobservada permanente

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Efectos Individuales “Fijos”: problemas
En principio, se necesitan estimar α1, . . . , αN junto con los
parámetros βj
en paneles cortos, estimar los parámetros βj necesita N → ∞
Problema de parámetros incidentales: la estimación de los βj puede
estar sesgada por estimar “infinitos” parámetros auxiliares αi
Alternativamente, se puede estimar el modelo transformado para
eliminar αi
sólo se identifica βj para regresores que varían en el tiempo
Estimar consistentemente β puede NO ser suficiente:
Para predecir yit:
E [yit|x1it, . . . , xkit] = β1x1it + · · · + βkxkit + E [αi |x1it, . . . , xkit]
en paneles cortos, E [αi |x1it, . . . , xkit] no se estima consistentemente
En modelos no lineales, el efecto marginal no está estimado
consistentemente (depende de αi)
δE [yit|αi, x1it, . . . , xkit]
δxj,it

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Modelo con Efectos Individuales: Fijos y Aleatorios
Efectos Individuales “Aleatorios”
El efecto individual αi se trata como puramente aleatorio
debe especificarse su distribución, condicional en los regresores
Supuesto habitual: αi no está correlacionado con los regresores
αi |Xit ∼ N 0, σ 2
α
Se puede estimar el modelo por Mínimos Cuadrado Generalizados
Factibles:
todos los coeficientes y efectos marginales, incluyendo de las
variables que no varían en el tiempo
la predicción E [yit|x1it, . . . , xkit]
PERO la estimación es inconsistente si el supuesto sobre la
distribución de αi es incorrecto
p.e., αi sí está correlacionado con los regresores αi |Xit ∼ N π ′ Xit, σ2
α

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Extensiones del Modelo Básico
Extensiones
Modelo con dos efectos
yit = β1x1it + · · · + βkxkit + αi + γt + εit
la constante varía tanto entre individuos, αi , como en el tiempo, γt
en paneles cortos, γt se modeliza como “fijo” (con una dummy para
cada t)
Modelo agrupado (“pooled”) o de promedio poblacional
yit = α + β1x1it + · · · + βkxkit + uit
supone que los regresores están incorrelados con uit
pero no una estructura en uit (a diferencia de efectos aleatorios)
se puede estimar consistentemente por MCO
la inferencia debe usar errores estándar robustos
por la probable correlación entre individuos y en el tiempo para un
individuo

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Extensiones del Modelo Básico
Modelos Lineales mixtos
Se puede generalizar el modelo para permitir pendientes diferentes
para cada individuo
yit = β1ix1it + · · · + βkixkit + αi + εit
= αi + X ′
it βi + εit
En
paneles largos, se pueden estimar fácilmente los parámetros
αi, β ′
i
mediante regresiones separadas para cada individuo
En
paneles cortos, se necesita suponer una distribución para
αi, β ′
i , condicionales en los regresores
como en el modelo de efectos “aleatorios”, se suele suponer que son
independientes de los regresores
por ejemplo,
(αi , β ′ i ) |Xit ∼ N (β, Σ)
También se puede considerar que los parámetros varíen con el
tiempo o variables observables

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores Agrupados (“Pooled”)
Estimador “Pooled” por MCO
Un modelo lineal estático para datos de panel
yit = α + β1x1it + · · · + βkxkit + uit
Se puede estimar consistentemente por MCO si se supone que los
regresores son exógenos:
Pero los errores uit no serán i.i.d.:
E [uit|x1it, . . . , xkit] = 0
las observaciones están agrupadas de forma natural por individuos i
(“clusters”)
probablemente existirá heterocedasticidad entre “clusters”
Deben usarse errores estándar robustos, al menos por la presencia
de “clusters”
Este estimador es simple y aprovecha tanto la variabilidad temporal
como entre individuos de los datos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores Agrupados (“Pooled”)
Estimador “Pooled” por MCGF
Bajo el mismo supuesto de exogeneidad E [uit|x1it, . . . , xkit] = 0
(garantiza que el estimador es consistente)
Se puede obtener un estimador de MCGF, asintóticamente más
eficiente que el de MCO
supone una estructura concreta para la matriz de correlaciones de uit
es más eficiente solo si el supuesto es correcto
Se puede suponer:
independencia ρts = 0
equicorrelación ρts = ρ
proceso estacionario AR(p) o MA(q)
sin estructura (salvo porque deben ser iguales entre individuos)
En general, se siguen utilizando errores estándar robustos
(no se considera que el supuesto sea realmente correcto)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador “Between”
Estimador “Between”
El estimador “between” explota sólo la variación de corte transversal
es decir, utiliza los datos “between” y i , x 1i , . . . , x ki
Resulta de estimar por MCO el modelo
y i = α + β1x 1i + · · · + βkx ki + ui
(deberían usarse errores estándar robustos)
Será consistente bajo el mismo supuesto anterior de exogeneidad de
los regresores respecto al término de error compuesto
En la práctica apenas se utiliza porque el estimador “pooled” y el de
efectos aleatorios son superiores
son consistentes bajo las mismas condiciones
son más eficientes (asintóticamente)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Efectos Aleatorios
Estimador de Efectos Aleatorios
Sea un modelo de efectos individuales
donde
yit = β1x1it + · · · + βkxkit + αi + εit
E [αi |Xit] = 0; Var [αi |Xit] = σ 2 α
E [εit|Xit] = 0; Var [εit|Xit] = σ 2 ε
Esto implica que los regresores son exógenos respecto al término de
error compuesto uit = αi + εit
E [uit|Xit] = 0
Además, se tiene una estructura de correlación particular
σ
Corr (uit, uis) =
2 α
σ2 α + σ2 ε
, t = s
Por tanto, se puede estimar eficientemente mediante MCGF

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Efectos Aleatorios
El estimador de efectos aleatorios (MCGF) se obtiene estimando por
MCO el modelo transformado
yit −
θiy i = α 1 −
θi + Xit − ′
θiX i β+αi 1 −
θi + εit −
θi εi
θi es un estimador consistente de
θi = 1 − σ2 ε/(Ti σ2 α+σ2 ε)
El estimador de Efectos Aleatorios usa tanto variación “within” como
“between”
Otros estimadores se pueden obtener como casos especiales del
estimador de efectos aleatorios
cuando θi → 0, se tiene el estimador agrupado por MCO
cuando θi → 1 (porque Ti o σ2 α/σ 2 ε son grandes), se tiene el
estimador “within”

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Estimadores de Efectos Fijos
Sea un modelo de efectos individuales
Suponemos
yit = β1x1it + · · · + βkxkit + αi + εit
E [εit|αi, x1it, . . . , xkit] = 0
La estimación de los parámetros β requiere la eliminación de αi
Estos estimadores sólo utilizan variación “within” de los datos
la estimación de los datos con poca variación “within” será bastante
imprecisa
no se puede estimar el coeficiente de variables que no varíen en el
tiempo
Son consistentes tanto si los regresores están correlacionados con la
heterogeneidad permanente como si no
si no existe correlación, otros estimadores son más eficiente
en cualquier caso, los errores estándar serán mayores que los de otros
estimadores

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Estimadores “within”: Desviaciones respecto a la media
Se puede transformar el modelo restando a cada variable su media
individual
′
(yit − y i ) = Xit − X i β + (εit − εi )
donde X i = 1/T i
t Xit
Este modelo se puede estimar consistentemente por MCO
porque los regresores Xit eran endógenos por su correlación con αi
pero están incorrelados con εit (en cualquier periodo temporal)
Cuando se disponga de estimaciones de β, se pueden obtener
estimaciones de los efectos individuales
αi = y i − X ′
i β
sólo serán consistentes si Ti → ∞
Se deben utilizar errores estándar robustos si se piensa que εit no
son i.i.d.

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Estimadores “within” con “dummies” de individuo
También se pueden estimar conjuntamente α1, . . . , αN y el vector β
Mediante MCO en el modelo original con N “dummies” para los
efectos individuales
⎛ ⎞
N
β + ⎝ αidj,it⎠
+ εit
yit = X ′
it
j=1
donde dj,it = 1 para el individuo i y dj,it = 0 en caso contrario
Este estimador de β es numéricamente igual al obtenido en
desviaciones respecto a la media
Asimismo, también los efectos individuales estimados son
αi = y i − X ′
i β

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Estimador en primeras diferencias
Existen muchas formas de eliminar los efectos individuales αi
Se puede estimar por MCO el modelo en primeras diferencias
(yit − yit−1) = (Xit − Xit−1) ′ β + (εit − εit−1)
Este estimador en primeras diferencias (por MCO) es consistente
El estimador en desviaciones respecto a la media y el estimador en
primeras diferencias son, en general, similares pero diferentes
ambos utilizan el mismo número de observaciones
para T = 2, son numéricamente iguales
En modelos estáticos, se suele preferir el estimador en desviaciones
respecto a la media porque es más eficiente cuando εit es i.i.d.
el error en primeras diferencias está autocorrelacionado
por tanto, MCO no es eficiente (y deben usarse errores estándar
robustos)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimadores de Efectos Fijos
Exogeneidad estricta y Exogeneidad débil
El estimador en desviaciones respecto a la
media requiere que
(εit − εi ) esté incorrelado con Xit − X i
Esto sucederá cuando se cumpla el supuesto de exogeneidad estricta
(o fuerte)
E [εit|αi, Xi1, . . . , XiT ] = 0
El estimador en desviaciones respecto a la media requiere que
(εit − εit−1) esté incorrelado con (Xit − Xit−1)
Esto sucederá cuando se cumpla el supuesto de exogeneidad débil
E [εit|αi, Xi1, . . . , Xit] = 0
a diferencia del anterior, permite que valores futuros de los regresores
estén correlacionados con el error
ej., un regresores es la variable dependiente retardada
Esta distinción no suele ser relevante en modelos estáticos

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Test de Hausman
¿Efectos Fijos o Efectos Aleatorios?
El estimador de Efectos Fijos permite estimar el modelo bajo
supuestos menos restrictivos
permite correlación entre los regresores y los efectos individuales
permite estimar el modelo incluso si los regresores son “endógenos”
PERO es menos deseable en otras dimensiones
es menos eficiente (al explotar solo variación “within”)
no identifica los coeficientes de regresores que no varíen en el tiempo
El estimador de Efectos Aleatorios es más eficiente
si se cumplen supuestos adicionales a los de Efectos Fijos
PERO puede ser inconsistente

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Test de Hausman
y it
α 1
α 2
α 3
α 4
MCO/MCGF
+ + +
+ + + + +
+ + +
+ +
+ +
+
+
+
+
+ +
+ + + +
+ + + + +
+
+ +
+ +
+ + +
+
+ + + +
+ + +
+
+ +
Estim. “within”
+ +
+
+ +
+
+ +
+ + + +
+ +
+
x 1 x 2 x3 x 4
x it

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Test de Hausman
Contraste de Hausman
Resulta muy importante conocer si el modelo adecuado para analizar
nuestros datos es el de efectos fijos o el de efectos aleatorios
Bajo la hipótesis nula de que se cumplen los supuestos del modelo
de Efectos Aleatorios, ambos estimadores, el de efectos fijos y el de
efectos aleatorios, deben ser similares
ambos son consistentes
El contraste compara los coeficientes estimables de los regresores
que varían con el tiempo
El estadístico de contraste mide la “distancia” entre ambas
estimaciones: si es “grande” se rechaza H0
βEF − ′
βEA Var
βEF
− Var
βEA
−1 βEF − βEA
a∼Ho
χ 2
(k)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Predicción.
Predicción
Se puede predecir el valor de la variable dependiente, incondicional
en los efectos fijos E (yit|Xit), como
yit = X ′
it β + α
donde α = 1
N i αi
Se puede predecir el valor de la variable dependiente dado su efecto
individual E (yit|Xit, αi ), como
yit = X ′
it β + αi
Asimismo, se pueden obtener:
los efectos individuales estimados αi = y i − X ′
i β
el residuo idiosincrásico εit = yit − X ′
it β − αi
el residuo compuesto uit = εit + αi = yit − X ′
it β
Notad que αi (y, por tanto, la predicción de yit que la utiliza)
requieren que T → ∞ para ser predicciones consistentes
(α solo necesita NT → ∞)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Predicción.
R 2 total, “within” y “between”
Se pueden obtener obtener un R 2
del modelo para los datos totales,
“within” y “between”
dependiendo del modelo, el R 2
habitual será uno de estos tres
Estos R 2
se obtienen como correlaciones entre los datos observados
y los datos predichos por el modelo observado
R 2
o = Corr yit, X ′
it 2
β
R 2
2
′
w = Corr (yit − y i ) , Xit − Xi
β
2
′
Corr y i , Xi
β
R 2
b =

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Predicción.
No existe una descomposición para los R 2
como en la varianza: cada
uno se interpreta independientemente
También puede resultar interesante obtener estimaciones separadas
de la varianza de los efectos individuales σ 2 α
de la varianza del error idiosincrásico σ 2 ε
por tanto, automáticamente de la varianza del término de error
compuesto
de la autocorrelación del término de error compuesto uit
ρ = Corr (uituit−1)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Introducción
En los paneles largos, se tienen muchos periodos temporales para
pocos individuos: N pequeño, T → ∞
por ejemplo, unas pocas industrias, empresas o regiones observadas
durante muchos periodos de tiempo.
Se puede estimar estimar un modelo de efectos fijos mediante
“dummies” de individuo como regresores
En la práctica, se suelen preferir modelos agrupados para estimar por
MCGF
para incorporar estructuras de covarianza más generales del término
de error
También se pueden estimar modelos más flexibles con pendientes
específicas para cada individuo mediante regresiones separadas
yit = X ′
it βi + αi + εit

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Introducción (cont.)
La longitud temporal de los datos supone la principal característica a
considerar cuando se estima un modelo con un panel largo
En todos los casos, debe tenerse en cuenta la probable
autocorrelación en εit o directamente en uit
mediante errores estándar robustos a autocorrelación
o estimando por MCGF si se considera apropiado un determinado
proceso (estacionario)
Aunque tampoco puede olvidarse la posibilidad de
heterocedasticidad en uit o εit
Se pueden estimar modelos con efectos temporales
yit = X ′
it βi + αi + γt + εit
estimar γt con “dummies” puede suponer un problema de parámetros
incidentales (T → ∞)
PERO se pueden reemplazar por una tendencia (aprovechando que el
tiempo está ordenado de forma natural)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Análisis de Series Temporales con datos de panel
Cuando se tiene un panel largo con pocos individuos, se podría
tratar como un sistema de N series temporales
PERO ya hemos visto que debemos considerar aspectos ignorados
por la econometría de series temporales puras
controlar por heterogeneidad inobservado
comportamiento asintótico cuando tanto N como T van a infinito
la posibilidad de dependencia de corte transversal
En cualquier caso, también hemos visto que los paneles largos
permiten analizar la evolución temporal de una variable
Los datos de series temporales se pueden modelizar
como procesos estacionarios: bien la variable dependiente o bien el
término de error siguen procesos ARMA(p,q)
o como procesos no estacionarios, aunque éstos sólo se pueden
analizar convincentemente cuando la serie temporal es muy larga

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Raíces unitarias y cointegración
Se pueden estudiar modelos dinámicos como
yit = ρiyit−1 + φi1∆yit−1 + · · · + φip i ∆yit−p i + Z ′
it γi + uit
donde los cambios retardados garantizan que uit sea i.i.d.
El proceso será estacionario para el individuo i si
ρi = 1
Cuando dos procesos son no estacionarios, pueden estar
correlacionados (espúreamente) sólo por serlo
Por tanto, cuando se estudian varias variables en una serie temporal
larga, debe analizarse si están cointegradas
es decir, si siguen relacionadas descontando el efecto de la no
estacionariedad

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Introducción
Variables instrumentales con datos de panel
Se pueden extender fácilmente los métodos de variables instrumentales al
caso de datos de panel
Si el modelo agrupado es apropiado yit = α + X ′
it β + uit, un
instrumento válido debe cumplir
E [uit|Zit] = 0
Se puede estimar por mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)
(con errores robustos a “clusters” de individuos)
Si el modelo de efectos fijos es apropiado yit = X ′
it β + αi + εit, un
instrumento válido debe cumplir (exogeneidad estricta)
E [εit|αi, Zi1, . . . , ZiT ] = 0
Se puede estimar también por MC2E en el modelo transformado
para eliminar los efectos individuales (en desviaciones respecto a la
media, etc.)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Hausman-Taylor
Estimador de Hausman-Taylor
Este estimador de V.I. permite estimar los coeficientes de los
regresores invariantes en el tiempo
El modelo de efectos individuales se puede escribir como
Supuestos:
yit = X ′
1it β1 + X ′
2it β2 + W ′
1i γ1 + W ′
2i γ2 + αi + εit
1 algunos regresores invariantes en el tiempo W1i NO están
correlacionados con αi
2 algunos regresores que sí varían con el tiempo X1it NO están
correlacionados con αi
3 otros regresores, W2i y X2it, sí pueden estar correlacionados con αi
4 todos los regresores están incorrelados con εit
Este estimador es más restrictivo porque se basa en supuestos
adicionales a los del estimador de efectos fijos
la existencia de regresores no correlacionados con los efectos
individuales

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Estimador de Hausman-Taylor
Usando la transformación de efectos aleatorios del modelo
yit = X ′
1it β1 + X ′
2it β2 + W ′
1i γ1 + W ′
2i γ2 + αi + εit
Cada variable ha sido transformada
X1it = X1it − θiX 1i
donde
θi es un estimador consistente deθi = 1 − σ2 ε/(Ti σ2 α+σ2 ε)
Esta transformación no elimina los regresores invariantes en el
tiempo
se puede estimar γ1 y γ2
Tampoco elimina los efectos individuales: por tanto, X2it y W2i
están correlacionados con αi
esta endogeneidad se remedia mediante el uso de variables
instrumentales

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Estimador de Hausman-Taylor
yit = X ′
1it β1 + X ′
2it β2 + W ′
1i γ1 + W ′
2i γ2 + αi + εit
Un instrumento para X2it es X 2it = X2it − X 2i
está correlacionado con X2it
se puede comprobar que NO está correlacionado con αi
Un instrumento para W2i es X 1i
Supone que el número de regresores exógenos que varían con el
tiempo es mayor que el número de regresores endógenos invariantes
en el tiempo
Se usan datos de otros periodos para formar los instrumentos:
X1i1, . . . , X1iT también servirían
Un instrumento para X1it es X 1it = X1it − X 1i
se usa X 1i dos veces
Un instrumento para W1i es W1i

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Introducción
Modelos dinámicos
Por simplicidad, consideremos un modelo AR(1)
yit = γ1yit−1 + X ′
it β + αi + εit
Se puede generalizar a más retardos fácilmente
La correlación en el tiempo de yit tiene distintas fuentes
1 directamente a través de valores pasado de yit (verdadera
dependencia temporal)
2 directamente a través de los regresores Xit (heterogeneidad
observada)
3 indirectamente a través de los efectos individuales αi
(heterogeneidad inobservada)
4 (correlación serial en εit)
Las implicaciones de cada fuente de correlación son muy diferentes

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Introducción
Problemas de los Estimadores
yit = γ1yit−1 + X ′
it β + αi + εit, εit ∼ i.i.d.
NO se puede suponer que yit−1 está incorrelado con αi
Por tanto, los estimadores de “pooled” y de efectos aleatorios NO
son adecuados para modelos dinámicos
El estimador “within” es inconsistente
(yit − y i ) = γ1 yit−1 − y i,−1 +
′
Xit − X i β + (εit − εi )
porque
yit−1 − y i,−1 está correlado con (εit − εi )
εi incluye los errores de todos los periodos
Todos los estimadores de efectos fijos tienen el mismo problema
(yit − yit−1) = γ1 (yit−1 − yit−2) + (Xit − Xit−1) ′ β + (εit − εit−1)

Introducción Modelos estáticos Estimación. Predicción Paneles largos Variables instrumentales Modelos Dinámicos
Estimador de Arellano y Bond
Estimador de Arellano-Bond
Sea el modelo transformado en primeras diferencias
∆yit = γ1∆yit−1 + ∆X ′
itβ + ∆εit
Si εit es i.i.d., un instrumento válido para ∆yit−1 será yit−2
yit−2 está correlacionado con ∆yit−1 = yit−1 − yit−2
yit−2 NO está correlacionado con ∆εit = εit − εit−1
De hecho, son instrumentos válidos cualquier valor de yit retardados
dos periodos o más
⎡⎛
⎞
⎢⎜
⎢⎜
E ⎢⎜
⎣⎝
yit−2
yit−3
.
yi1
⎟
⎠ ∆εit
⎤
⎥
⎦ = 0 ⇔ E [yis∆εit] = 0, s t − 2
Se pueden obtener estimaciones consistentes de un modelo dinámico
de datos de panel utilizando
la transformación adecuada del modelo (este argumento NO
funciona en desviaciones respecto a la media)
y los instrumentos adecuados

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Estimador de Arellano y Bond
Arellano-Bond (cont.)
El estimador asintóticamente más eficiente utiliza todos los retardos
posibles para estimar el modelo dinámico
se denomina estimador de Arellano-Bond
se estima mediante el Método Generalizado de los Momentos (para
utilizar todos los instrumentos)
Este estimador permite estimar un modelo dinámico sin necesidad de
instrumentos externos
El modelo puede incluir regresores (estrictamente) exógenos
E
εit|αi, xj,i1, . . . , xj,iT = 0
son sus propios instrumentos E [xj,itεit] = 0
aunque también se pueden utilizar todos sus retardos y adelantos
E [xj,itεis] = 0, s = t
Además, el argumento utilizado para obtener instrumentos de yit−1
se puede generalizar al otros regresores que no sean estrictamente
exógenos
sin necesidad de buscar un instrumento nuevo

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Estimador de Arellano y Bond
Arellano-Bond (cont.)
Si se tienen regresores que, como yit−1, son predeterminados
(débilmente exógenos) E
εit|αi, xj,i1, . . . , xj,it = 0
están correlacionados con los errores pasados E [xj,itεis] = 0, s < t
pero no con errores futuros E [xj,itεis] = 0, s t
Algunos regresores pueden ser contemporáneamente endógenos
E [xj,itεis] = 0, s t
pero estar incorrelado con los errores futuros E [xj,itεis] = 0, s > t

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Estimador de Arellano y Bond
Arellano-Bond (cont.)
Este estimador necesita que εit sea i.i.d. para ser consistente
Este supuesto se puede contrastar, porque:
Cov (∆εit, ∆εit−1) = 0
Cov (∆εit, ∆εit−k) = 0 k 2
Si este supuesto no se cumple, se puede seguir estimando el modelo
si εit ∼ AR(p), se puede re-escribir el modelo original como un
proceso autorregresivo y se tendrá un nuevo error i.i.d.
si εit ∼ MA (q), se pueden utilizar valores más retardados como
instrumentos
También se dispone un test de Sargan para contrastar la
“coherencia” entre los instrumentos