primer bloque del libro - Secundaria SM

ATEMÁTICAS : 3
Tatiana María Mendoza Von Der Borch • José Cruz García Zagal •
Ernesto Manuel Espinosa Asuar
ASESOR PEDAGÓGICO: María de los Dolores Lozano Suárez
Cuaderno de trabajo
BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL
SECUNDARIA

Dirección de contenidos y servicios educativos
Elisa Bonilla Rius
Gerencia editorial
Hilda Victoria Infante Cosío
Edición
Uriel Jiménez Herrera
Asesor pedagógico
María de los Dolores Lozano Suárez
Autores
Tatiana María Mendoza Von Der Borch, José
Cruz García Zagal, Ernesto Manuel Espinosa
Asuar
Corrección
Abdel López Cruz, Esther del Valle Padilla,
Ezequiel Ortiz Hernández
Dirección de Arte
Quetzatl León Calixto
Diseño Gráfi co
Factor 02
Diseño de Portada
Claudia Adriana García, Quetzatl León
Ilustración
Eliud Reyes Reyes
Diagramación
Brenda López Romero, César Leyva Acosta
Fotografía
Archivo SM, © 2010 Thinkstock, Yina Garza,
Elia Pérez, Ricardo Tapia, Salatiel Barragán
Producción
Carlos Olvera, Teresa Amaya
Cuaderno de trabajo. Matemáticas 3
SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZO
Primera edición, 2010
D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2010
Magdalena 211, Colonia del Valle,
03100, México, D.F.
Tel.: (55) 1087 8400
www.ediciones-sm.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria
Editorial Mexicana
Registro número 2830
No está permitida la reproducción total
o parcial de este libro, ni su tratamiento
informático, ni la transmisión de ninguna forma
o por cualquier medio, ya sea electrónico,
mecánico, por fotocopia, por registro u otros
métodos, sin el permiso previo y por escrito de
los titulares del copyright.
Impreso en México/Printed in Mexico

PRESENTACIÓN :
Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de
tu libro de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las
técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más
desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para
que puedas aprender más.
Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en
otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no
logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en
otro momento vuelvas a intentarlo.
Igual que tu libro, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco bloques.
En cada bloque hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y
actividades sobre algún contenido del programa. A su vez, dichas lecciones están
divididas en diferentes partes:
• “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar
las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta
sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren.
• “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de
tu libro, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos.
Estos ejercicios y problemas están ordenados del más sencillo al más difícil;
sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces
lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados
con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es
la única que está en todas las lecciones del cuaderno.
• “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella
hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos
históricos relacionados con las matemáticas.
Por cada contenido de tu libro de texto hay un grupo de actividades en
el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues
los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de
“Aplicación de fórmulas”.
Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad
más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos
matemáticos.
LOS AUTORES
3

4
GUÍA DE USO:
Entrada de bloque
En esta página se indican los aprendizajes
que esperamos que adquieras a lo largo
del bloque.
CRITERIOS DE SEMEJANZA
REPASEMOS
1. El triángulo 1 es semejante al triángulo 2.
Triángulo 1
A
B
¿Cuál es la razón de semejanza?
Señala la igualdad que sea correcta.
a) D
LECCIÓN 2.4
__
__
A
= E
B
5 cm 5 cm
Triángulo A
C
8 cm
__ __
b) F
=
A E
C
Triángulo 2
2.5 cm 2.5 cm
Triángulo B
4 cm
D
__
c) E
=
A F
B
2. Para los siguientes triángulos, responde lo que se pide.
__
2.85 cm
E
F
__
d) D
Triángulo C
4.8 cm
B = E
2.85 cm
a) ¿Qué triángulos son semejantes? y
b) ¿Qué criterio de semejanza puedes aplicar para argumentar que los triángulos
son semejantes?
c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos que son semejantes?
__
A
Determinar los criterios
de semejanza de
triángulos. Aplicar los
criterios de semejanza de
triángulos en el análisis
de diferentes propiedades
de los polígonos.
Aplicar la semejanza de
triángulos en el cálculo
de distancias o alturas
inaccesibles.
Repasemos
En esta sección practicarás las técnicas
aprendidas, que utilizarás en las
actividades de la siguiente sección.
2.4
51
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades
de figuras geométricas.
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una
circunferencia.
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla
algebraicamente y representarla gráficamente.
BLOQUE 1
Recuadro de conocimientos y habilidades
Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que
ejercitarás.
3.2
Utilizar ecuaciones
cuadráticas para modelar
situaciones y resolverlas
usando la fórmula
general.
72
LECCIÓN 3.2
FÓRMULA GENERAL
REPASEMOS
BLOQUE
1
1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas. Usa la fórmula
general.
a) x2 9x 14 0 Soluciones:
b) 3x2 6x 3 0 Soluciones:
c) 2x2 5x 4 0 Soluciones:
d) x2 6x 10 0 Soluciones:
e) x2 x 2 0 Soluciones:
f) x2 2x 1 0 Soluciones:
g) x2 5x 0 Soluciones:
h) x2 64 0 Soluciones:
i) x2 10x 9 0 Soluciones:
j) 4x2 16x 0 Soluciones:
2. Simplifica las ecuaciones e iguálalas a cero, encuentra el valor
del discriminante y el número de soluciones.
Ecuación en la
Ecuación
Valor del discriminante Número de soluciones
forma general
x(x 3) 5x 3
9x 1 3x2 15 x2 x 6
2(x 12) (x 4) (4 x)
4x2 x 10 5x 9
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
3. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal
manera que la suma de sus cuadrados sea 394.
7
a) Si x representa al primero de los dos números impares. Subraya la expresión
que representa al otro número impar.
2x 2 2x 3 x 1
b) La segunda condición del problema pide que la suma de los cuadrados
de los números sea 394. Subraya la ecuación asociada a esta condición.
( 2x 1) 2 (2x 2) 2 394
(2x 1) 2 (2x 3) 2 394
(2x 1) 2 (x 1) 2 394

Problemas y ejercicios
Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu libro de
texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos.
Estos problemas y ejercicios están ordenados del más
sencillo al más difícil.
Los problemas marcados con el icono tienen
mayor grado de dificultad.
78
8. Otra manera de presentar el Teorema de Tales es con tres rectas paralelas que
cortan a dos transversales, como en la figura.
a) El teorema de Tales dice que las medi-
das de los segmentos que se forman
en una transversal son proporcionales
a las medidas de los segmentos
correspondientes que se forman en
la otra transversal.
Completa las igualdades que expresan
lo que dice el teorema.
AB
A'B'
____
___
AC
____
. .
B'C'
B
A
A'
a
e d
E
b B'
g f c
C G F C'
C
A A'
b) Una manera de comprobar estas igualdades es trazar dos rectas paralelas a
una de las rectas transversales como en la figura.
Explica por qué los triángulos A’EB’, A’GC’ y B’FC’ son semejantes.
Explica Explica por por qué qué AB AB A'E, A'E, AC AC A'G A'G y BC BC EG EG B'F. B'F.
B
B'
C'
8. Usa el triángulo equilátero con 2 cm de lado para determinar el valor de las
razones trigonométricas en los ángulos de 30° y 60°.
2 cm
60°
1 cm
Razones trigonométricas
del ángulo de 30°
Razones trigonométricas
del ángulo de 60°
30°
?
Seno Coseno Tangente
1
= 0.5
2
9. En un acantilado que se encuentra situado a 32 m sobre el nivel del mar se
observan dos barcos, uno con un ángulo de inclinación de 30° y otro con un
ángulo de inclinación de 60°.
¿Cuál es la distancia de cada barco al acantilado? y
Y ALGO MÁS...
30º
60º
32m
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las relaciones
entre los lados y los ángulos de los triángulos. Se sabe que los babilonios y
los egipcios (ya desde el siglo X a. C.) usaban los ángulos y las razones trigonométricas
para llevar a cabo cálculos en la agricultura y la construcción de pirámides.
Los griegos utilizaron la trigonometría principalmente para resolver problemas
en la navegación. En la actualidad se usa la trigonometría para encontrar la latitud
y longitud de cualquier lugar en el mundo, la hora del día o la posición de
una estrella.
_
113
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera
una inversión de $50000.00 durante los primeros seis meses del año en
dos bancos diferentes.
Cantidad de dinero
en el banco (en pesos)
Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2
53076
53500
53000
52550
52500
52030
52000
51500
51515
51000
51005
50500 (1,50500) 50500 (1,50500)
50000
50000
(6,53000)
(5,52500)
(4,52000)
(3,51500)
(2,51000)
Cantidad de dinero
en el banco (en pesos)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (en meses)
Tiempo (en meses)
Y algo más...
Este apartado es como un cajón de sastre: hay
de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos,
propiedades interesantes o datos históricos
relacionados con las matemáticas.
(2,51005)
Con la información de la gráfica del banco 1, contesta lo siguiente.
(3,51515)
(5,52550)
(4,52030)
(6,53076)
a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica?
b) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?
c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el
primer mes del año.
50 500 - 50 000
3-0
____________
1 - 0
50 500 - 50 000
____________
5 000 1
d) En los primeros tres meses del año, ¿cuál es la ganancia?
e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los
primeros tres meses del año.
51 500 - 50 000
3 - 0
____________
3 - 0
51 500 - 50 000
____________
1 500 3
Con la información de la gráfica del banco 2, contesta lo siguiente.
a) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?
b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el primer mes
del año.
50 500 - 50 000
1 - 0
____________
1 - 0
50 000 - 50 000
____________
5 000 1
c) En los primeros tres meses del año, ¿cuál fue la ganancia?
d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los primeros
tres meses del año.
51 515 - 50 000
3 - 0
____________
3 - 0
51 515 - 50 000
____________
1 515 3
31
5

6
ÍNDICE:
Bloque 1 7
Lección 1.1 Productos notables y factorización ........................................................................ 8
Lección 1.2 Propiedades de los cuadriláteros ........................................................................... 11
Lección 1.3 Posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.......... 17
Lección 1.4 Ángulos inscritos y ángulos centrales ................................................................... 22
Lección 1.5 Arcos, sectores circulares y coronas ...................................................................... 25
Lección 1.6 Razón de cambio ................................................................................................. 29
Lección 1.7 Diseño de un estudio y elección de la forma más adecuada de presentación
de los datos ......................................................................................................... 34
Bloque 2 37
Lección 2.1 Plantear y resolver ecuaciones no lineales .............................................................. 38
Lección 2.2 Ecuaciones cuadráticas y factorización .................................................................. 42
Lección 2.3 Figuras semejantes ................................................................................................ 45
Lección 2.4 Criterios de semejanza ...........................................................................................51
Lección 2.5 Análisis de índices ................................................................................................. 55
Lección 2.6 Simulación .............................................................................................................61
Bloque 3 67
Lección 3.1 Cantidades que cambian y se relacionan en situaciones de economía ...................68
Lección 3.2 Fórmula general .................................................................................................... 72
Lección 3.3 Teorema de Tales .................................................................................................. 75
Lección 3.4 Homotecia ............................................................................................................80
Lección 3.5 Gráficas de funciones lineales y no lineales ........................................................... 84
Lección 3.6 Funciones no lineales ............................................................................................ 87
Lección 3.7 Gráficas que cambian por secciones ...................................................................... 97
Bloque 4 101
Lección 4.1 Sucesiones y expresiones cuadráticas .................................................................. 102
Lección 4.2 El teorema de Pitágoras ..................................................................................... 106
Lección 4.3 Seno, coseno, tangente........................................................................................110
Lección 4.4 Gráficas de crecimiento lineal y exponencial .........................................................114
Lección 4.5 Distintos tipos de datos sobre un mismo fenómeno ............................................ 120
Bloque 5 125
Lección 5.1 Problemas y ecuaciones ...................................................................................... 126
Lección 5.2 Conos, cilindros, cortes y sólidos de revolución ................................................... 129
Lección 5.4 Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas
del cálculo del volumen de cilindros y conos........................................................ 133
Lección 5.5 Gráfica de caja-brazos ......................................................................................... 139

LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ
Aprendizajes esperados
Se espera que los alumnos…
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justifi cación de propiedades
de fi guras geométricas.
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una
circunferencia.
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla
algebraicamente y representarla gráfi camente.
BLOQUE
BLOQUE 1
1
7

8
1.1
Efectuar o simplificar
cálculos con expresiones
algebraicas tales como:
(x + a) 2 ; (x + a) (x + b);
(x + a) (x – a). Factorizar
expresiones algebraicas
tales como: x 2 + 2ax +
a 2 ; ax 2 + bx; x 2 + bx + c;
x 2 – a 2 .
LECCIÓN 1.1
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
REPASEMOS
1. Analiza lo que se hizo en el inciso a). Haz lo mismo con los otros productos.
a) (a 3) (a 3) (a 3) 2 a 2 6a 9
b) (2a 1) (2a 1)
c) (2a 3) (2a 3)
d) (x y) (x y)
e) (a 3) (a 3)
f) (2a 1) (2a 1)
g) (2a 3) (2a 3)
h) (x y) (x y)
i) (x 2y) (x 2y)
j) (5x 3y) (5x 3y)
2. Calcula los siguientes binomios al cuadrado. Escribe sólo el resultado
ya simplificado.
a) (x 5) 2 x 2 10x 25
b) (x 3) 2
c) (4x 2) 2
d) (2x 4) 2
e) (2x 7) 2
f) (4x 1) 2
3. Calcula los siguientes productos.
a) (a 2) (a 4)
b) (2a 1) (2a 2)
c) (a 5) (a 1)
d) (2x y) (x y)
e) (x 2y) (x 2y)
f) (5x 3y) (5x 3y)
4. Expresa los siguientes productos como una diferencia de cuadrados.
a) (x y) (x y)
b) (5a 3b) (5a 3b)
c) (2u v) (2u v)
d) (w 2 z 2 ) (w 2 z 2 )

5. Determina a qué binomio al cuadrado corresponde cada uno de los trinomios
cuadrados perfectos.
a) u 2 2uv v 2 ( ) 2 b) 4n 2 8nm 4m 2 ( ) 2
c) a 2 4ab 4b 2 ( ) 2 d) x 2 2xy y 2 ( ) 2
e) 4p 2 8pq 4q 2 ( ) 2 f) a 2 4ab 4b 2 ( ) 2
g) c 2 6cd 9d 2 ( ) 2 h) w 2 6wz 9z 2 ( ) 2
6. Factoriza las siguientes expresiones.
a) u 2 v 2 ( ) ( )
b) u 2 5u 6 ( ) ( )
c) a 2 4b 2 ( ) ( )
d) a 2 6a 16 ( ) ( )
e) 4p 2 4q 2 ( ) ( )
f) a 2 6a 16 ( ) ( )
g) w 2 9z 2 ( ) ( )
h) m 2 8m 15 ( ) ( )
7. Factoriza las siguientes expresiones encontrando el factor común.
a) x 2 5x
b) m 2 8m
c) z 2 10z
d) x 2 1.5x
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
8. Usando los siguientes resultados; (x 1) 2 x 2 2x 1, y (x 1) 2
x 2 2x 1, resuelve las operaciones:
a) 19 2
b) 49 2
c) 131 2
d) 401 2
e) 199 2
f) 61 2
g) 99 2
h) 101 2
9

10
9. Considera el rectángulo A
formado por tres rectángulos
y un cuadrado.
a) Relaciona los incisos para establecer el área de cada una de las figuras.
( ) Área del cuadrado azul ( ) Área del rectángulo rojo
( ) Área del rectángulo verde ( ) Área del rectángulo morado
(a) 2x (b) 6 (c) x 2 (d) (x + 3) (x + 2) (e) 3x (f) (x +3) 2
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del rectángulo A.
=
10. Considera el cuadrado B que está formado por dos rectángulos de igual
área y dos cuadrados.
a) Usando los datos de la figura calcula el área de las figuras que se indican.
• Área del cuadrado verde:
• Área del cuadrado amarillo:
• Área de cada uno de los rectángulos rojos:
x
x 1
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área del cuadrado verde.
=
x 1
x
x 2
11. Relaciona las columnas para establecer las expresiones que son equivalentes.
Si hace falta, desarrolla los productos.
( ) (x y) 2 ( a ) x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
( ) x 2 3xy 2y 2 ( b ) x 2 2xy y 2
( ) x 3 y 3 ( c ) x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3
( ) (x y) 3 ( d ) (x y) (x y)
( ) x 2 y 2 ( e ) (x y) 2
1
x
x 3
( ) x 2 2xy y 2 ( f ) (x y) (x 2 xy y 2 )
( ) (x y) 3 ( g ) (x y) (x 2y)
1
2
x
3
Rectángulo A

LECCIÓN 1.2
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS
PROBLEMAS Y EJERCICIOS.
1. A continuación aparecen tres cuadriláteros: un rombo, un trapecio isósceles
y un rectángulo.
Toma una hoja blanca de papel. En ella, debes dibujar tres figuras iguales a las
anteriores, con una condición: no se vale calcarlas. Para ello, primero anota qué
datos necesitas saber respecto a cada uno de los cuadriláteros.
Rectángulo Rombo Trapecio isósceles
Ahora, con los instrumentos que necesites (regla, transportador, compás, etc.)
intenta trazar las tres figuras teniendo en cuenta sólo los datos que escribiste
anteriormente. Una vez hechas, recórtalas y superponlas para verificar si son
iguales a las que están dibujadas aquí. ¿Cuáles de tus figuras resultaron idénticas
a las originales?
2. Efectúa la misma actividad anterior, pero ahora con los siguientes
cuadriláteros. Esta vez, sólo puedes tomar un máximo de tres datos para
cada figura.
1.2
Aplicar los criterios de
congruencia de triángulos
en la justificación de
propiedades de los
cuadriláteros.
11

12
Romboide Papalote
3. Sebastián, Julia e Inés han previsto tomar las siguientes medidas
para reproducir el trapecio isósceles del problema 1.
Sebastián Julia Inés
Lado C Base mayor (B) Diagonal D1
Los dos ángulos Lado C Diagonal D2
adyacentes al lado C Diagonal D1 Angulo formado por
ambas diagonales (a)
a) ¿A quiénes les saldrá un trapecio idéntico al original?
¿A quiénes no?
B a b
D 1
C
b) En los casos en que pienses que la figura no quedará igual, cambia sólo uno
de los tres datos por otro, de tal manera que sí se pueda dibujar un trapecio
idéntico.
Sebastián Inés
c) Para cada uno de los tres alumnos, toma las medidas correspondientes de la
figura (considerando las correcciones que hiciste en el inciso b) y, con ellas,
dibuja otro trapecio en una hoja blanca. Recórtalo y verifica si es igual al que
está dibujado en esta lección.
D 2

d) Si la base mayor y la menor no miden lo mismo, entonces las diagonales de
un trapecio isósceles no se cortan en los puntos medios. Explica por qué esta
propiedad implica que si se toman únicamente las medidas que ha previsto
Inés, se puede construir varios trapecios distintos.
e) Prueba que, en cualquier trapecio isósceles cuyas bases mayor y menor son
distintas, las diagonales no se cortan en los puntos medios. Para ello, utiliza
un criterio de congruencia de triángulos para probar que, si esa característica
no se cumpliera, entonces la base mayor y la base menor serían iguales.
4. Para reproducir el romboide del problema 2, Sebastián, Inés y Julia han
decidido tomar las siguientes medidas.
c
V
Sebastián Julia Inés
d
a
Lado a La diagonal D1 Las dos diagonales
Altura (h) Distancia d (del vértice Un ángulo formado
Distancia c (de un V al punto en que por las diagonales (A)
vértice a la altura las dos diagonales
marcada en la figura) se cruzan)
Un ángulo formado por
las diagonales (A)
A
D 1
h
C
x
y
b
a
a'
B
x'
y'
13

14
a) Resuelve las preguntas análogas a las que se plantean en los incisos a) y c) del
problema anterior (el inciso c) sólo en los casos en los que piensas que los datos sí
son suficientes para reproducir el romboide).
b) Las medidas que ha previsto Julia no permiten reproducir el romboide, pero
sí serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior. Verifica
esto de la siguiente manera.
• Toma las medidas y construye con ellas un romboide distinto al que
aparece en la página anterior.
• Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Julia para el romboide;
construye con ellas un trapecio, recórtalo y empálmalo con el que está
dibujado aquí para verificar que son iguales.
c) Las medidas que ha previsto Inés sí son suficientes para reproducir el romboide
pero no serían suficientes para reproducir el trapecio del problema anterior.
Verifica esto de la siguiente manera.
• Toma las medidas, construye con ellas un romboide; recórtalo y empálmalo
con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales.
• Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Inés para el romboide
y construye con ellas un trapecio distinto al que aparece en el problema 3.
d) Identifica si los romboides y los trapecios isósceles satisfacen lo siguiente.
• ¿Las diagonales se cortan en los puntos medios?
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )
• ¿Las diagonales son iguales o no?
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )
e) La diferencia entre las dos características distinguen al romboide del trapecio
isósceles y permiten explicar por qué sucede lo descrito en los incisos b) y c).
Explica por qué.
f) Emplea los criterios de congruencia de triángulos para probar que las características
que has identificado en el inciso d) se cumplen en cualquier romboide
y cualquier trapecio isósceles (siempre y cuando no sean rectángulos).

Las diagonales de un romboide se cruzan en los puntos medios
Los lados a y b son iguales. Los ángulos C y C’ están formados por una recta
que cruza a dos paralelas, por eso son iguales. Lo mismo sucede con los
ángulos D y D’. Entonces, por el criterio ALA, el triángulo amarillo y el verde
son congruentes. Entonces x es igual a x’, y y es igual a y’. Es decir, las diagonales
se cortan en los puntos medios.
a
D
C
y'
x y
Las diagonales de un romboide no son iguales
Si las diagonales fueran iguales, por el criterio LLL, los triángulos ABC y DCB
serían congruentes. Entonces los ángulos adyacentes a BC serían iguales, es
decir, rectos, y el romboide sería un rectángulo.
A
D
B
Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales
Como el trapecio es isósceles, los lados AB y DC son iguales, y también lo
son los ángulos adyacentes a los vértices A y D. Entonces los triángulos DAB
y ADC son congruentes, por el criterio LAL. De ahí que los lados DB y AC es
decir, las dos diagonales, sean iguales.
A
D
B
5. Haz nuevamente lo que se pide en los problemas 1 y 2, pero sólo para el
rombo del problema 1 y el papalote del problema 2. Esta vez, sólo puedes
tomar información sobre las diagonales en cada figura.
Rombo Papalote
Las dos diagonales Las dos diagonales
La distancia a la que la diagonal menor corta
a la diagonal mayor.
x'
C
C'
C
b
D'
15

16
6. Tania, Leonel y Javier tomaron algunas medidas para construir un cuadrilátero.
Los tres se equivocaron al usar la regla graduada o el transportador y tomaron
mal por lo menos una de las medidas. Encuentra cuál o cuáles fueron las me-
didas que cada uno tomó mal:
• Tania: un romboide cuyas parejas de lados miden 10 y 13 centímetros,
dos ángulos interiores miden 50 grados y los otros dos 100 grados.
• Leonel: un rectángulo cuyas diagonales miden 5 centímetros y uno de los
ángulos que forman las diagonales mide 90 grados.
• Javier: un rombo cuyos lados miden 3 centímetros y una diagonal
mide 7 centímetros.
En cada caso, explica qué propiedad del cuadrilátero correspondiente hace que
no se pueda construir con las medidas que tienen Tania, Leonel y Javier.
• Tania:
Leonel:
• Javier:
Y ALGO MÁS...
Encuentra todas las figuras congruentes en el siguiente dibujo. Cada vez que encuentres
dos o más figuras congruentes, marca sus contornos del mismo color:

LECCIÓN 1.3
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS
Y UNA CIRCUNFERENCIA Y ENTRE CIRCUNFERENCIAS
REPASEMOS
1. ¿Cuál es la distancia del punto P a la recta m?
Explica el procedimiento que empleaste
para calcular la distancia.
a) Señala el punto en la recta m que está justamente a esa distancia de P.
b) Señala otros dos puntos sobre la recta m. ¿Cuál es la distancia de estos
puntos a P?
c) ¿Qué ocurre con la distancia entre P y los demás puntos en la recta, en
comparación con la distancia que calculaste entre el punto y la recta?
2. Observa el dibujo y completa las frases:
Respecto a la circunferencia Q:
• la recta m es porque
(secante / tangente / exterior)
• la recta n es porque
(secante / tangente / exterior)
• la recta o es porque
P
m
Q
(secante / tangente / exterior)
m
n
o
1.3
Determinar mediante
construcciones las
posiciones relativas
entre rectas y una
circunferencia y
entre circunferencias.
Caracterizar la recta
secante y la tangente a
una circunferencia.
17

18
3. Responde las preguntas. O es el centro de una circunferencia de 2 cm de
radio.
a) Una recta p se encuentra a una distancia de 3.5 cm de O. ¿En cuántos pun-
tos interseca a la circunferencia?
b) Una recta q se encuentra a una distancia de 2 cm de O. ¿En cuántos puntos
interseca a la circunferencia?
b) Una recta r se encuentra a una distancia de 1.7 cm de O. ¿En cuántos pun-
tos interseca a la circunferencia?
4. Las circunferencias C y D son tangentes. Encuentra el centro de cada una.
C
Une los centros y verifica que ese segmento pasa por el punto de tangencia.
5. Traza dos circunferencias tangentes como las del ejercicio anterior. Para cada
uno de los siguientes incisos traza otra circunferencia que cumpla con lo que
se pide.
C
a) Una circunferencia que sea secante a C y a D.
b) Una circunferencia que sea tangente interior a D y exterior a C.
c) Una circunferencia concéntrica a C y secante a D.
D
D

PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Responde las preguntas respecto a una circunferencia y un punto P fuera de ella.
a) ¿Cuántas rectas exteriores a la circunferencia pasan por P?
b) ¿Cuántas rectas tangentes a la circunferencia pasan por P?
c) ¿Cuántas rectas secantes a la circunferencia pasan por P?
7. Por el punto T se trazaron las dos tangentes a la circunferencia. Completa
la demostración de que TA y TB miden lo mismo.
T
• OA y OB miden lo mismo porque
• El ángulo OAT mide porque
• El ángulo OBT mide porque
• Los ángulos OAB y OBA miden los mismo porque
• Los ángulos TAB y TBA miden los mismo porque
• El triángulo TBA es isósceles porque
• Entonces TA y TB miden los mismo porque
A
B
O
19

20
8. Cuando una circunferencia está dentro de un polígono y es tangente a
todos sus lados, se le llama circunferencia inscrita. En el dibujo se muestra la
circunferencia inscrita al cuadrilátero ABCD.
Explica por qué AB CD BC DA
A
D
B
9. En el siguiente diagrama las dos circunferencias, O 1 y O 2 , tienen su centro
sobre la línea r. Las circunferencias se intersecan en los puntos A y B.
r
T 1
T 4
O 1
T 3
A
B
T 2
O 2
C

Explica por qué la recta que pasa por A y B es perpendicular a la recta r.
Y ALGO MÁS...
¿Alguna vez has visto un eclipse? ¿Sabías que hay tanto eclipses solares como
eclipses lunares?
Un eclipse solar ocurre cuando la luna se interpone entre la Tierra y el Sol; el más
espectacular es el eclipse solar total: la luna tapa completamente al Sol, lo que
provoca que, por unos minutos, todo se oscurezca; e incluso puede bajar la temperatura.
En México se vio un eclipse solar total el 11 de julio de 1991; habrá otro
el 8 de abril de 2024.
También hay eclipses lunares cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol.
En un eclipse lunar la luna se oscurece y adquiere un color rojizo.
Eclipse solar
Eclipse lunar
21

22
1.4
Determinar la relación
entre un ángulo inscrito y
un ángulo central de una
circunferencia, si ambos
abarcan el mismo arco.
LECCIÓN 1.4
ÁNGULOS INSCRITOS Y ÁNGULOS CENTRALES
REPASEMOS
1. Ilumina con algún color el arco que subtiende cada ángulo. Escribe debajo
de cada circunferencia si el ángulo es inscrito o central.
2. En cada circunferencia, traza dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo
arco que el ángulo central señalado.
3. Sin usar transportador, indica cuánto miden los ángulos marcados en rojo.
37º
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
61º
4. En los espacios coloca alguna de las siguientes medidas: 45°, 90°, 135°,
180°, 270°, 360°.
El ángulo central El ángulo central El ángulo inscrito mide
en rojo mide más en rojo mide más más de …pero
101º
de … pero de …pero menos de
menos de menos de

5. Sin usar transportador, traza en cada circunferencia el ángulo que se indica.
140º
Ángulo inscrito de 45° Ángulo inscrito de 110° Ángulo central de 270°
6. Hay tres posiciones básicas en las que pueden estar un ángulo inscrito y un
ángulo central.
a) En cada posición mide los dos ángulos con tu transportador y verifica que la
medida del ángulo central sea el doble que la medida del ángulo inscrito.
Posición I Posición II Posición III
Ángulo central Ángulo central Ángulo central
Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito
b) Dibuja otro ejemplo de cada posición. Mide el ángulo central y el ángulo inscrito
en cada caso.
Posición I Posición II Posición III
Ángulo central Ángulo central Ángulo central
Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito
7. ¿A cuál de las tres posiciones corresponde la siguiente figura. Explica tu
respuesta.
23

24
8. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. Usa el ángulo central
para explicar por qué los dos ángulos inscritos miden lo mismo.
9. Para trazar las tangentes a una circunferencia con centro O por un punto P
fuera de ella, se hace la siguiente construcción: con centro en el punto medio
(M) del segmento OP se dibuja una circunferencia con radio MP. A y B son
los puntos de intersección de las circunferencias. Se trazan las rectas PA y
PB, estas rectas son las tangentes buscadas. Explica por qué estas rectas son
perpendiculares a los radios OA y OB.
O
B
A
10. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. El área que abarca cada
ángulo dentro de la circunferencia está sombreada. ¿Estas áreas son iguales
o diferentes? Explica tu respuesta.
M
P

LECCIÓN 1.5
ARCOS, SECTORES CIRCULARES Y CORONAS
REPASEMOS
1. Coloca en los espacios el número que corresponde a cada elemento.
1. Arco 2. Corona circular 3. Cuerda
4. Diámetro 5. Sector circular 6. Semicircunferencia
2. En cada circunferencia dibuja un sector circular que tenga el ángulo indicado.
70° 150°
3. Calcula lo que se pide.
2 cm
45°
1.5 cm
300°
60° 2 cm
Área sombreada Longitud del arco Perímetro del área
sombreada
1.5
Calcular la medida
de ángulos inscritos y
centrales, así como de
arcos, el área de sectores
circulares y de la corona.
25

26
4. El señalamiento está hecho con una
circunferencia de 45 cm de radio y otra
de 36 cm, ¿cuánto mide el área en color
rojo?
5. La rebanada que me comí es 15% de
un pastel circular. ¿Qué ángulo abarca la a
rebanada?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Un campo de beisbol está construido sobre parte de un sector circular con
un ángulo de 90° y radio de 80 m. La barda azul tiene una altura de 2 m.
¿Cuánto mide la superficie de la barda azul?

7. En el espacio dibuja una circunferencia de radio de 3 cm. En ella traza
un ángulo inscrito de 40°.
¿Cuál es la longitud del arco que subtiende el ángulo inscrito?
8. La circunferencia tiene un radio de 2.5 cm. Su centro coincide con un vértice
del pentágono regular ¿Cuánto mide el área de la sección de la circunferencia
que está fuera del pentágono?
9. El triángulo ABC fue rotado alrededor del vértice A para obtener el triángulo
AB’C’. ¿Cuál es el área del sector circular en color verde?
C
72°
B'
B A C'
27

28
10. Un carpintero hizo el molde para una pieza que necesita. Trazó una
circunferencia de 4 cm de radio y otra de 1.5 cm de radio para hacer
una corona, luego trazó un sector circular.
¿Cuánto mide el área de la pieza? =
¿Cuánto mide su perímetro?
A
D
100°
11. El área del cuadrado ABCD es 1. ¿Cuánto mide el área sombreada?
a) 1 1 __ π b) 1 c) 1
4 1 __
2
B
C
d) 1 1 __ π
4
12. Para dibujar la flor se trazaron seis arcos con centro en cada vértice de un
hexágono regular y radio igual a 3 cm. ¿Cuánto mide el perímetro de la flor?
a) 2 π cm b) 3 π cm c) 6 π cm d) 12 π cm

LECCIÓN 1.6
RAZÓN DE CAMBIO
REPASEMOS
1. En cada tabla están anotadas las coordenadas de dos puntos de una recta.
Anota en la línea la razón de cambio de la recta.
x y x y x y x y
2 2 1 5 1 1 4 5
4 4 2 8 3 3 6 8
2. Anota la razón de cambio de las rectas.
Ecuación de la recta y 5x 1 y 2x 9 y x 6 y 7x
4. Considera las siguientes gráficas.
y
6 Gráfica 1
y
6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
y
6
5
4
3
2
1
Razón de cambio
3. Anota la ecuación de una recta que tenga la razón de cambio indicada.
Razón de cambio 3 4 1 1
Ecuación de una recta
x x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
Gráfica 3
6
5
4
3
2
1
Gráfica 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
10 1
Gráfica 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) ¿En qué gráficas la razón de cambio permanece siempre constante?
y Justifica tu respuesta.
b) Anota una característica común entre las gráficas que tienen razón de cam-
bio siempre constante.
x
1.6
Analizar la razón de
cambio de un proceso
que se modela con
una función lineal y
relacionarla con la
inclinación o pendiente
de la recta que lo
representa.
29

30
c) Anota una diferencia entre las gráficas cuya razón de cambio permanece
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
constante respecto a las que no lo hacen.
5. Considera las siguientes gráficas de rectas y sus ecuaciones.
y y
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Gráfica 1
y 2x 1
x x
1 2 3 4 5
y y
Gráfica 3
y x 2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Gráfica 2
y 2x
Gráfica 4
y x __ 1
2
x x
6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a uno?
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?
b) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a un medio?
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?
c) ¿Qué gráficas tienen razón de cambio constante igual a dos?
y
• ¿Qué pendiente tienen sus respectivas expresiones? y
• ¿Cómo es la pendiente de estas expresiones, igual o diferente?
• ¿Qué ordenada al origen tienen estás expresiones? y
• ¿Cómo es la ordenada al origen de estas expresiones, igual o diferente?
d) ¿Qué gráfica tiene la menor razón de cambio?

PROBLEMAS Y EJERCICIOS
6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera
una inversión de $50000.00 durante los primeros seis meses del año en
dos bancos diferentes.
Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2
Cantidad de dinero
en el banco (en pesos)
53076
(6,53076)
53500
53000
(6,53000)
52550
(5,52550)
52500
(5,52500)
52030
(4,52030)
52000
(4,52000)
51500
(3,51500)
51515
(3,51515)
51000 (2,51000)
51005 (2,51005)
50500 (1,50500) 50500 (1,50500)
50000
50000
Cantidad de dinero
en el banco (en pesos)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (en meses)
Tiempo (en meses)
Con la información de la gráfica del banco 1, contesta lo siguiente.
a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica?
b) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?
c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el
primer mes del año.
50 ____________
500 - 50 000
3-0
1 - 0
____________
50 500 - 50 000
d) En los primeros tres meses del año, ¿cuál es la ganancia?
5 000 1
e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los
primeros tres meses del año.
____________
51 500 - 50 000
3 - 0
3 - 0
____________
51 500 - 50 000
1 500 3
Con la información de la gráfica del banco 2, contesta lo siguiente.
a) En el primer mes del año, ¿cuál fue la ganancia?
b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el primer mes
del año.
50 ____________
500 - 50 000
1 - 0
1 - 0
____________
50 000 - 50 000
c) En los primeros tres meses del año, ¿cuál fue la ganancia?
5 000 1
d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los primeros
tres meses del año.
____________
51 515 - 50 000
3 - 0
3 - 0
____________
51 515 - 50 000
1 515 3
31

32
Usando la información de las gráficas, en las siguientes afirmaciones marca con
la letra V las que sean verdaderas y con la letra F las que sean falsas.
• El banco 1 tiene un rendimiento constante porque cada mes
se incrementa $500.00 la cantidad de dinero en el banco. ( )
• La razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco a través
del tiempo en el banco 2 es constante. ( )
• El banco 2 no tiene un rendimiento constante. ( )
7. El uso del carbón es una alternativa para producir gas. Éste se obtiene
cuando el carbón es quemado mediante un proceso en presencia de aire,
oxígeno o vapor de agua. El gas producido mediante este proceso
se utiliza en la generación de electricidad, en la producción de hidrógeno
y de combustibles como la gasolina y el diesel.
La siguiente gráfica muestra la relación entre la temperatura a la que se encuentra
el vapor de agua y el tiempo transcurrido durante la producción de un gas.
Temperatura
(en grados centígrados)
70
60
50
40
30
20
10
(20,30)
(40,40)
(60,50)
(80,60)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tiempo (en segundos)
Con la información de la gráfica, contesta lo siguiente.
(100,70)
a) Una vez transcurridos los primeros 20 segundos, ¿cuántos grados centígra-
dos aumenta la temperatura del vapor de agua?
b) Del segundo 20 al segundo 40, ¿cuántos grados aumenta la temperatura del
vapor de agua? Del segundo 40 al segundo 60, ¿cuántos grados
aumenta? grados.
c) En periodos de 20 segundos, ¿cuántos grados centígrados aumenta la tem-
peratura del vapor de agua?
d) Di si la siguiente afirmación es correcta: "en periodos de 20 segundos la tem-
peratura del vapor de agua aumenta de manera constante”.
Argumenta tu respuesta.

e) Cuando transcurren los primeros 40 segundos, ¿cuántos grados centígrados
aumenta la temperatura del vapor de agua?
f) Di si la siguiente afirmación es correcta: “En periodos de 40 segundos
la temperatura del vapor de aguas aumenta de manera constante”.
Argumenta tu respuesta.
En los siguientes dos incisos subraya la frase adecuada para que la afirmación
sea correcta.
g) La gráfica establece la relación que hay entre...
• la temperatura y el tiempo.
• el gas producido y el tiempo.
• la temperatura del vapor de agua y el tiempo en el que alcanza
esa temperatura.
h) La gráfica representa...
• la velocidad de calentamiento del vapor de agua.
• la densidad del agua.
• la aceleración del vapor de agua.
i) La razón de cambio del aumento en la temperatura del vapor de agua respecto
al periodo de tiempo en que se mide este aumento es...
• el cociente del aumento del tiempo entre el aumento de la temperatura
en ese periodo de tiempo.
• el aumento en la temperatura del gas.
• el cociente del aumento en la temperatura entre el periodo de tiempo
en que aumenta su temperatura.
Y ALGO MÁS...
La razón de cambio es un concepto que se utiliza principalmente al modelar fenómenos,
estudiados en Física como el del movimiento.
Al hacer experimentos en los que un cuerpo mantenía una rapidez constante (es
decir, un movimiento uniforme), notaron que el cociente de cualquier distancia
recorrida por el cuerpo entre el tiempo que tardaba en recorrerla era siempre el
mismo (constante).
A esta razón de cambio la llamaron rapidez; es decir, la rapidez de un cuerpo es el
cociente de la distancia recorrida entre el tiempo del recorrido.
33

34
1.7
Diseñar un estudio o
experimento a partir
de datos obtenidos de
diversas fuentes y elegir
la forma de organización
y representación tabular
o gráfica más adecuada
para presentar la
información.
LECCIÓN 1.7
DISEÑO DE UN ESTUDIO Y ELECCIÓN DE LA FORMA
MÁS ADECUADA DE PRESENTACIÓN DE LOS DATOS
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
1. En equipos de dos o tres personas harán una encuesta para conocer lo que
podría ahorrar anualmente una persona si, en lugar de tener automóvil
propio, opta por utilizar el sistema de transporte público. Para preparar
la encuesta, primero hagan lo que se pide.
a) La primera de las siguientes tres preguntas es la más adecuada para estimar
el gasto anual de gasolina que hace una persona al viajar en automóvil.
• ¿Más o menos cuánto gastas en gasolina cada semana?
• ¿Más o menos cuánto gastas en gasolina al año?
• Exactamente, ¿cuánto gastas en gasolina al año?
Expliquen por qué las otras dos preguntas no son tan adecuadas.
Ahora expliquen cómo, al tener una idea del gasto por semana, se puede calcular
el gasto anual de una persona en gasolina.
b) Decidan cuál o cuáles de las siguientes tres preguntas, relativas al costo del
automóvil, les parecen adecuadas para plantearlas a diferentes personas.
• ¿Aproximadamente cuánto cuesta un carro?
• ¿Cuánto te costó el carro cuando lo compraste?
• ¿Cuánto cuesta ahora en la agencia un carro del modelo que tienes?
Para conocer el gasto promedio anual de una persona por la compra de un carro,
además del costo, necesitan saber el tiempo de vida del carro. Con ambos datos,
¿cómo se puede calcular el gasto anual?
c) Para aproximar el gasto anual por usar un automóvil, necesitan recabar los
datos que aparecen a continuación. Para cada uno, en la primera línea formulen
una pregunta que consideren pertinente para el dueño de un automóvil
en una entrevista. En la segunda línea expliquen cómo emplearán ese
dato para tener una aproximación del costo anual.
Gasolina:

Estacionamientos:
Mantenimiento del auto:
Llantas:
Seguro del automóvil:
Tenencia:
Compra del carro:
Comenten si hay algún otro dato que se pueda preguntar para calcular el gasto
anual por usar un automóvil
d) Formulen preguntas que permitan estimar, a partir de entrevistas a distintas
personas, el gasto anual por usar el sistema de transporte público. Consideren
que la mayoría de las personas hace viajes de rutina, es decir, los hace diariamente
o cada semana (por ejemplo, toman la misma ruta para ir al trabajo)
y hacen otros que no lo son (por ejemplo, paseos los fines de semana).
35

36
e) Ahora que han diseñado el cuestionario, aplíquenlo al menos a siete personas
que tengan un automóvil y a otras siete que usen transporte público.
Registren cuidadosamente todos los datos de cada entrevista.
f) Una vez que hayan efectuado las entrevistas, deben elegir una manera de
presentar cada uno de los siguientes datos.
• La variación en el gasto anual por uso de un carro de una persona a otra.
• La variación en el gasto anual por uso del sistema de transporte público de
una persona a otra.
• Comparación del promedio del gasto anual por uso de un carro con el
promedio del gasto anual por uso del sistema de transporte público.
g) En uno de los siguientes tipos de gráficas no es posible presentar ninguno de los
tres datos anteriores. ¿Cuál es?
Gráfica de barras Gráfica de línea Gráfica circular o de pastel
h) Elijan qué tipo de gráfica utilizarán para presentar cada uno de sus datos,
después háganlas en su cuaderno.
Y ALGO MÁS...
Es probable que el nombre estadística provenga
del término latino status: el estado. En efecto,
las primeras herramientas de la estadística desarrolladas
en épocas muy antiguas se originaron
por las necesidades del estado. Por ejemplo, para
poder construir pirámides, los faraones egipcios
del tercer milenio antes de Cristo ordenaban que
se hicieran registros de la riqueza y la población.
Además de finalidades tributarias, la estadística
ha tenido usos militares: el emperador Augusto
(63 a. C.-14 d. C.) mandó recopilar datos sobre la
cantidad de soldados, naves y recursos del imperio
romano. Además del uso para las decisiones
políticas del estado, ha tenido una importante
utilidad en diferentes ciencias.
Mendel es uno de los primeros científicos
que hizo una aportación importante
de la estadística a las ciencias naturales