primer bloque del libro - Secundaria SM
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ATEMÁTICAS : 3<br />
Tatiana María Mendoza Von Der Borch • José Cruz García Zagal •<br />
Ernesto Manuel Espinosa Asuar<br />
ASESOR PEDAGÓGICO: María de los Dolores Lozano Suárez<br />
Cuaderno de trabajo<br />
BASADO EN EL PROGRAMA OFICIAL<br />
SECUNDARIA
Dirección de contenidos y servicios educativos<br />
Elisa Bonilla Rius<br />
Gerencia editorial<br />
Hilda Victoria Infante Cosío<br />
Edición<br />
Uriel Jiménez Herrera<br />
Asesor pedagógico<br />
María de los Dolores Lozano Suárez<br />
Autores<br />
Tatiana María Mendoza Von Der Borch, José<br />
Cruz García Zagal, Ernesto Manuel Espinosa<br />
Asuar<br />
Corrección<br />
Ab<strong>del</strong> López Cruz, Esther <strong>del</strong> Valle Padilla,<br />
Ezequiel Ortiz Hernández<br />
Dirección de Arte<br />
Quetzatl León Calixto<br />
Diseño Gráfi co<br />
Factor 02<br />
Diseño de Portada<br />
Claudia Adriana García, Quetzatl León<br />
Ilustración<br />
Eliud Reyes Reyes<br />
Diagramación<br />
Brenda López Romero, César Leyva Acosta<br />
Fotografía<br />
Archivo <strong>SM</strong>, © 2010 Thinkstock, Yina Garza,<br />
Elia Pérez, Ricardo Tapia, Salatiel Barragán<br />
Producción<br />
Carlos Olvera, Teresa Amaya<br />
Cuaderno de trabajo. Matemáticas 3<br />
SERIE APRENDIZAJES Y REFUERZO<br />
Primera edición, 2010<br />
D. R. © <strong>SM</strong> de Ediciones, S.A. de C.V., 2010<br />
Magdalena 211, Colonia <strong>del</strong> Valle,<br />
03100, México, D.F.<br />
Tel.: (55) 1087 8400<br />
www.ediciones-sm.com.mx<br />
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria<br />
Editorial Mexicana<br />
Registro número 2830<br />
No está permitida la reproducción total<br />
o parcial de este <strong>libro</strong>, ni su tratamiento<br />
informático, ni la transmisión de ninguna forma<br />
o por cualquier medio, ya sea electrónico,<br />
mecánico, por fotocopia, por registro u otros<br />
métodos, sin el permiso previo y por escrito de<br />
los titulares <strong>del</strong> copyright.<br />
Impreso en México/Printed in Mexico
PRESENTACIÓN :<br />
Este cuaderno de trabajo se diseñó como un complemento de tus clases y de<br />
tu <strong>libro</strong> de matemáticas para brindarte la oportunidad de repasar y practicar las<br />
técnicas que vas aprendiendo; resolver nuevos problemas, enfrentarte a más<br />
desafíos y conocer datos interesantes acerca de las matemáticas. En suma, para<br />
que puedas aprender más.<br />
Algunos ejercicios y actividades tal vez te parezcan fáciles mientras que en<br />
otros deberás pensar un poco más para llegar a la respuesta correcta. Si no<br />
logras resolver una actividad, te recomendamos que sigas con las demás y en<br />
otro momento vuelvas a intentarlo.<br />
Igual que tu <strong>libro</strong>, este cuaderno de trabajo se ha dividido en cinco <strong>bloque</strong>s.<br />
En cada <strong>bloque</strong> hay varias lecciones, conformadas por grupos de ejercicios y<br />
actividades sobre algún contenido <strong>del</strong> programa. A su vez, dichas lecciones están<br />
divididas en diferentes partes:<br />
• “Repasemos”. Aquí encontrarás ejercicios sencillos con los que podrás practicar<br />
las técnicas estudiadas en la lección o repasar las nociones aprendidas. Esta<br />
sección sólo se incluye en los contenidos que así lo requieren.<br />
• “Problemas y ejercicios”. Aquí podrás resolver situaciones diferentes a las de<br />
tu <strong>libro</strong>, que te permitirán seguir aplicando los conocimientos aprendidos.<br />
Estos ejercicios y problemas están ordenados <strong>del</strong> más sencillo al más difícil;<br />
sin embargo hay que tener en cuenta que este orden es relativo, pues a veces<br />
lo que para alguien es sencillo para otro no lo es. Los problemas marcados<br />
con un icono son aquellos que consideramos más difíciles. Esta sección es<br />
la única que está en todas las lecciones <strong>del</strong> cuaderno.<br />
• “Y algo más...” Esta parte es como un cajón de sastre: hay de todo. En ella<br />
hallarás acertijos, nuevos retos y desafíos, propiedades interesantes o datos<br />
históricos relacionados con las matemáticas.<br />
Por cada contenido de tu <strong>libro</strong> de texto hay un grupo de actividades en<br />
el cuaderno de trabajo; excepto para los de “Justificación de fórmulas”, pues<br />
los ejercicios y problemas sobre este tema se concentraron en el apartado de<br />
“Aplicación de fórmulas”.<br />
Esperamos que disfrutes este material, que lo vivas como una oportunidad<br />
más para practicar, avanzar y profundizar en tus habilidades y conocimientos<br />
matemáticos.<br />
LOS AUTORES<br />
3
4<br />
GUÍA DE USO:<br />
Entrada de <strong>bloque</strong><br />
En esta página se indican los aprendizajes<br />
que esperamos que adquieras a lo largo<br />
<strong>del</strong> <strong>bloque</strong>.<br />
<br />
CRITERIOS DE SEMEJANZA<br />
REPASEMOS<br />
1. El triángulo 1 es semejante al triángulo 2.<br />
Triángulo 1<br />
A<br />
B<br />
¿Cuál es la razón de semejanza?<br />
Señala la igualdad que sea correcta.<br />
a) D<br />
LECCIÓN 2.4<br />
__<br />
__<br />
A<br />
= E<br />
B<br />
5 cm 5 cm<br />
Triángulo A<br />
C<br />
8 cm<br />
__ __<br />
b) F<br />
=<br />
A E<br />
C<br />
Triángulo 2<br />
2.5 cm 2.5 cm<br />
Triángulo B<br />
4 cm<br />
D<br />
__<br />
c) E<br />
=<br />
A F<br />
B<br />
2. Para los siguientes triángulos, responde lo que se pide.<br />
__<br />
2.85 cm<br />
E<br />
F<br />
__<br />
d) D<br />
Triángulo C<br />
4.8 cm<br />
B = E<br />
2.85 cm<br />
a) ¿Qué triángulos son semejantes? y<br />
b) ¿Qué criterio de semejanza puedes aplicar para argumentar que los triángulos<br />
son semejantes?<br />
c) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos que son semejantes?<br />
__<br />
A<br />
Determinar los criterios<br />
de semejanza de<br />
triángulos. Aplicar los<br />
criterios de semejanza de<br />
triángulos en el análisis<br />
de diferentes propiedades<br />
de los polígonos.<br />
Aplicar la semejanza de<br />
triángulos en el cálculo<br />
de distancias o alturas<br />
inaccesibles.<br />
Repasemos<br />
En esta sección practicarás las técnicas<br />
aprendidas, que utilizarás en las<br />
actividades de la siguiente sección.<br />
2.4<br />
51<br />
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ<br />
Aprendizajes esperados<br />
Se espera que los alumnos…<br />
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.<br />
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades<br />
de figuras geométricas.<br />
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una<br />
circunferencia.<br />
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla<br />
algebraicamente y representarla gráficamente.<br />
BLOQUE 1<br />
Recuadro de conocimientos y habilidades<br />
Aquí se enuncia el conocimiento y habilidad que<br />
ejercitarás.<br />
3.2<br />
Utilizar ecuaciones<br />
cuadráticas para mo<strong>del</strong>ar<br />
situaciones y resolverlas<br />
usando la fórmula<br />
general.<br />
72<br />
LECCIÓN 3.2<br />
FÓRMULA GENERAL<br />
REPASEMOS<br />
BLOQUE<br />
1<br />
1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones cuadráticas. Usa la fórmula<br />
general.<br />
a) x2 9x 14 0 Soluciones:<br />
b) 3x2 6x 3 0 Soluciones:<br />
c) 2x2 5x 4 0 Soluciones:<br />
d) x2 6x 10 0 Soluciones:<br />
e) x2 x 2 0 Soluciones:<br />
f) x2 2x 1 0 Soluciones:<br />
g) x2 5x 0 Soluciones:<br />
h) x2 64 0 Soluciones:<br />
i) x2 10x 9 0 Soluciones:<br />
j) 4x2 16x 0 Soluciones:<br />
2. Simplifica las ecuaciones e iguálalas a cero, encuentra el valor<br />
<strong>del</strong> discriminante y el número de soluciones.<br />
Ecuación en la<br />
Ecuación<br />
Valor <strong>del</strong> discriminante Número de soluciones<br />
forma general<br />
x(x 3) 5x 3<br />
9x 1 3x2 15 x2 x 6<br />
2(x 12) (x 4) (4 x)<br />
4x2 x 10 5x 9<br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
3. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal<br />
manera que la suma de sus cuadrados sea 394.<br />
7<br />
<br />
a) Si x representa al <strong>primer</strong>o de los dos números impares. Subraya la expresión<br />
que representa al otro número impar.<br />
2x 2 2x 3 x 1<br />
b) La segunda condición <strong>del</strong> problema pide que la suma de los cuadrados<br />
de los números sea 394. Subraya la ecuación asociada a esta condición.<br />
( 2x 1) 2 (2x 2) 2 394<br />
(2x 1) 2 (2x 3) 2 394<br />
(2x 1) 2 (x 1) 2 394
Problemas y ejercicios<br />
Aquí resolverás situaciones diferentes a las de tu <strong>libro</strong> de<br />
texto y seguirás aplicando los conocimientos aprendidos.<br />
Estos problemas y ejercicios están ordenados <strong>del</strong> más<br />
sencillo al más difícil.<br />
Los problemas marcados con el icono tienen<br />
mayor grado de dificultad.<br />
78<br />
8. Otra manera de presentar el Teorema de Tales es con tres rectas paralelas que<br />
cortan a dos transversales, como en la figura.<br />
a) El teorema de Tales dice que las medi-<br />
das de los segmentos que se forman<br />
en una transversal son proporcionales<br />
a las medidas de los segmentos<br />
correspondientes que se forman en<br />
la otra transversal.<br />
Completa las igualdades que expresan<br />
lo que dice el teorema.<br />
AB<br />
A'B'<br />
____<br />
___<br />
AC<br />
____<br />
. .<br />
B'C'<br />
B<br />
A<br />
A'<br />
a<br />
e d<br />
E<br />
b B'<br />
g f c<br />
C G F C'<br />
C<br />
A A'<br />
b) Una manera de comprobar estas igualdades es trazar dos rectas paralelas a<br />
una de las rectas transversales como en la figura.<br />
Explica por qué los triángulos A’EB’, A’GC’ y B’FC’ son semejantes.<br />
Explica Explica por por qué qué AB AB A'E, A'E, AC AC A'G A'G y BC BC EG EG B'F. B'F.<br />
<br />
B<br />
B'<br />
C'<br />
8. Usa el triángulo equilátero con 2 cm de lado para determinar el valor de las<br />
razones trigonométricas en los ángulos de 30° y 60°.<br />
2 cm<br />
60°<br />
1 cm<br />
Razones trigonométricas<br />
<strong>del</strong> ángulo de 30°<br />
Razones trigonométricas<br />
<strong>del</strong> ángulo de 60°<br />
30°<br />
?<br />
<br />
Seno Coseno Tangente<br />
1<br />
= 0.5<br />
2<br />
9. En un acantilado que se encuentra situado a 32 m sobre el nivel <strong>del</strong> mar se<br />
observan dos barcos, uno con un ángulo de inclinación de 30° y otro con un<br />
ángulo de inclinación de 60°.<br />
¿Cuál es la distancia de cada barco al acantilado? y<br />
Y ALGO MÁS...<br />
30º<br />
60º<br />
32m<br />
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las relaciones<br />
entre los lados y los ángulos de los triángulos. Se sabe que los babilonios y<br />
los egipcios (ya desde el siglo X a. C.) usaban los ángulos y las razones trigonométricas<br />
para llevar a cabo cálculos en la agricultura y la construcción de pirámides.<br />
Los griegos utilizaron la trigonometría principalmente para resolver problemas<br />
en la navegación. En la actualidad se usa la trigonometría para encontrar la latitud<br />
y longitud de cualquier lugar en el mundo, la hora <strong>del</strong> día o la posición de<br />
una estrella.<br />
_<br />
113<br />
<br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera<br />
una inversión de $50000.00 durante los <strong>primer</strong>os seis meses <strong>del</strong> año en<br />
dos bancos diferentes.<br />
Cantidad de dinero<br />
en el banco (en pesos)<br />
Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2<br />
53076<br />
53500<br />
53000<br />
52550<br />
52500<br />
52030<br />
52000<br />
51500<br />
51515<br />
51000<br />
51005<br />
50500 (1,50500) 50500 (1,50500)<br />
50000<br />
50000<br />
(6,53000)<br />
(5,52500)<br />
(4,52000)<br />
(3,51500)<br />
(2,51000)<br />
Cantidad de dinero<br />
en el banco (en pesos)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Tiempo (en meses)<br />
Tiempo (en meses)<br />
Y algo más...<br />
Este apartado es como un cajón de sastre: hay<br />
de todo. Hallarás acertijos, nuevos desafíos,<br />
propiedades interesantes o datos históricos<br />
relacionados con las matemáticas.<br />
(2,51005)<br />
Con la información de la gráfica <strong>del</strong> banco 1, contesta lo siguiente.<br />
(3,51515)<br />
(5,52550)<br />
(4,52030)<br />
(6,53076)<br />
a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica?<br />
b) En el <strong>primer</strong> mes <strong>del</strong> año, ¿cuál fue la ganancia?<br />
c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el<br />
<strong>primer</strong> mes <strong>del</strong> año.<br />
50 500 - 50 000<br />
3-0<br />
____________<br />
1 - 0<br />
50 500 - 50 000<br />
____________<br />
5 000 1<br />
d) En los <strong>primer</strong>os tres meses <strong>del</strong> año, ¿cuál es la ganancia?<br />
e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los<br />
<strong>primer</strong>os tres meses <strong>del</strong> año.<br />
51 500 - 50 000<br />
3 - 0<br />
____________<br />
3 - 0<br />
51 500 - 50 000<br />
____________<br />
1 500 3<br />
Con la información de la gráfica <strong>del</strong> banco 2, contesta lo siguiente.<br />
a) En el <strong>primer</strong> mes <strong>del</strong> año, ¿cuál fue la ganancia?<br />
b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el <strong>primer</strong> mes<br />
<strong>del</strong> año.<br />
50 500 - 50 000<br />
1 - 0<br />
____________<br />
1 - 0<br />
50 000 - 50 000<br />
____________<br />
5 000 1<br />
c) En los <strong>primer</strong>os tres meses <strong>del</strong> año, ¿cuál fue la ganancia?<br />
d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los <strong>primer</strong>os<br />
tres meses <strong>del</strong> año.<br />
51 515 - 50 000<br />
3 - 0<br />
____________<br />
3 - 0<br />
51 515 - 50 000<br />
____________<br />
1 515 3<br />
31<br />
5
6<br />
ÍNDICE:<br />
Bloque 1 7<br />
Lección 1.1 Productos notables y factorización ........................................................................ 8<br />
Lección 1.2 Propiedades de los cuadriláteros ........................................................................... 11<br />
Lección 1.3 Posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.......... 17<br />
Lección 1.4 Ángulos inscritos y ángulos centrales ................................................................... 22<br />
Lección 1.5 Arcos, sectores circulares y coronas ...................................................................... 25<br />
Lección 1.6 Razón de cambio ................................................................................................. 29<br />
Lección 1.7 Diseño de un estudio y elección de la forma más adecuada de presentación<br />
de los datos ......................................................................................................... 34<br />
Bloque 2 37<br />
Lección 2.1 Plantear y resolver ecuaciones no lineales .............................................................. 38<br />
Lección 2.2 Ecuaciones cuadráticas y factorización .................................................................. 42<br />
Lección 2.3 Figuras semejantes ................................................................................................ 45<br />
Lección 2.4 Criterios de semejanza ...........................................................................................51<br />
Lección 2.5 Análisis de índices ................................................................................................. 55<br />
Lección 2.6 Simulación .............................................................................................................61<br />
Bloque 3 67<br />
Lección 3.1 Cantidades que cambian y se relacionan en situaciones de economía ...................68<br />
Lección 3.2 Fórmula general .................................................................................................... 72<br />
Lección 3.3 Teorema de Tales .................................................................................................. 75<br />
Lección 3.4 Homotecia ............................................................................................................80<br />
Lección 3.5 Gráficas de funciones lineales y no lineales ........................................................... 84<br />
Lección 3.6 Funciones no lineales ............................................................................................ 87<br />
Lección 3.7 Gráficas que cambian por secciones ...................................................................... 97<br />
Bloque 4 101<br />
Lección 4.1 Sucesiones y expresiones cuadráticas .................................................................. 102<br />
Lección 4.2 El teorema de Pitágoras ..................................................................................... 106<br />
Lección 4.3 Seno, coseno, tangente........................................................................................110<br />
Lección 4.4 Gráficas de crecimiento lineal y exponencial .........................................................114<br />
Lección 4.5 Distintos tipos de datos sobre un mismo fenómeno ............................................ 120<br />
Bloque 5 125<br />
Lección 5.1 Problemas y ecuaciones ...................................................................................... 126<br />
Lección 5.2 Conos, cilindros, cortes y sólidos de revolución ................................................... 129<br />
Lección 5.4 Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas<br />
<strong>del</strong> cálculo <strong>del</strong> volumen de cilindros y conos........................................................ 133<br />
Lección 5.5 Gráfica de caja-brazos ......................................................................................... 139
LA QUÍMICA, LA TECNOLOGÍA Y TÚ<br />
Aprendizajes esperados<br />
Se espera que los alumnos…<br />
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.<br />
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justifi cación de propiedades<br />
de fi guras geométricas.<br />
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una<br />
circunferencia.<br />
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla<br />
algebraicamente y representarla gráfi camente.<br />
BLOQUE<br />
BLOQUE 1<br />
1<br />
7
8<br />
1.1<br />
Efectuar o simplificar<br />
cálculos con expresiones<br />
algebraicas tales como:<br />
(x + a) 2 ; (x + a) (x + b);<br />
(x + a) (x – a). Factorizar<br />
expresiones algebraicas<br />
tales como: x 2 + 2ax +<br />
a 2 ; ax 2 + bx; x 2 + bx + c;<br />
x 2 – a 2 .<br />
LECCIÓN 1.1<br />
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN<br />
REPASEMOS<br />
1. Analiza lo que se hizo en el inciso a). Haz lo mismo con los otros productos.<br />
a) (a 3) (a 3) (a 3) 2 a 2 6a 9<br />
b) (2a 1) (2a 1) <br />
c) (2a 3) (2a 3) <br />
d) (x y) (x y) <br />
e) (a 3) (a 3) <br />
f) (2a 1) (2a 1) <br />
g) (2a 3) (2a 3) <br />
h) (x y) (x y) <br />
i) (x 2y) (x 2y) <br />
j) (5x 3y) (5x 3y) <br />
2. Calcula los siguientes binomios al cuadrado. Escribe sólo el resultado<br />
ya simplificado.<br />
a) (x 5) 2 x 2 10x 25<br />
b) (x 3) 2 <br />
c) (4x 2) 2 <br />
d) (2x 4) 2 <br />
e) (2x 7) 2 <br />
f) (4x 1) 2 <br />
3. Calcula los siguientes productos.<br />
a) (a 2) (a 4) <br />
b) (2a 1) (2a 2) <br />
c) (a 5) (a 1) <br />
d) (2x y) (x y) <br />
e) (x 2y) (x 2y) <br />
f) (5x 3y) (5x 3y) <br />
4. Expresa los siguientes productos como una diferencia de cuadrados.<br />
a) (x y) (x y) <br />
b) (5a 3b) (5a 3b) <br />
c) (2u v) (2u v) <br />
d) (w 2 z 2 ) (w 2 z 2 )
5. Determina a qué binomio al cuadrado corresponde cada uno de los trinomios<br />
cuadrados perfectos.<br />
a) u 2 2uv v 2 ( ) 2 b) 4n 2 8nm 4m 2 ( ) 2<br />
c) a 2 4ab 4b 2 ( ) 2 d) x 2 2xy y 2 ( ) 2<br />
e) 4p 2 8pq 4q 2 ( ) 2 f) a 2 4ab 4b 2 ( ) 2<br />
g) c 2 6cd 9d 2 ( ) 2 h) w 2 6wz 9z 2 ( ) 2<br />
6. Factoriza las siguientes expresiones.<br />
a) u 2 v 2 ( ) ( )<br />
b) u 2 5u 6 ( ) ( )<br />
c) a 2 4b 2 ( ) ( )<br />
d) a 2 6a 16 ( ) ( )<br />
e) 4p 2 4q 2 ( ) ( )<br />
f) a 2 6a 16 ( ) ( )<br />
g) w 2 9z 2 ( ) ( )<br />
h) m 2 8m 15 ( ) ( )<br />
7. Factoriza las siguientes expresiones encontrando el factor común.<br />
a) x 2 5x <br />
b) m 2 8m <br />
c) z 2 10z <br />
d) x 2 1.5x <br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
8. Usando los siguientes resultados; (x 1) 2 x 2 2x 1, y (x 1) 2 <br />
x 2 2x 1, resuelve las operaciones:<br />
a) 19 2 <br />
b) 49 2 <br />
c) 131 2 <br />
d) 401 2 <br />
e) 199 2 <br />
f) 61 2 <br />
g) 99 2 <br />
h) 101 2 <br />
9
10<br />
9. Considera el rectángulo A<br />
formado por tres rectángulos<br />
y un cuadrado.<br />
a) Relaciona los incisos para establecer el área de cada una de las figuras.<br />
( ) Área <strong>del</strong> cuadrado azul ( ) Área <strong>del</strong> rectángulo rojo<br />
( ) Área <strong>del</strong> rectángulo verde ( ) Área <strong>del</strong> rectángulo morado<br />
(a) 2x (b) 6 (c) x 2 (d) (x + 3) (x + 2) (e) 3x (f) (x +3) 2<br />
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área <strong>del</strong> rectángulo A.<br />
=<br />
10. Considera el cuadrado B que está formado por dos rectángulos de igual<br />
área y dos cuadrados.<br />
a) Usando los datos de la figura calcula el área de las figuras que se indican.<br />
• Área <strong>del</strong> cuadrado verde:<br />
• Área <strong>del</strong> cuadrado amarillo:<br />
• Área de cada uno de los rectángulos rojos:<br />
x<br />
x 1<br />
b) Escribe dos expresiones diferentes para el área <strong>del</strong> cuadrado verde.<br />
=<br />
x 1<br />
x<br />
x 2<br />
11. Relaciona las columnas para establecer las expresiones que son equivalentes.<br />
Si hace falta, desarrolla los productos.<br />
( ) (x y) 2 ( a ) x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3<br />
( ) x 2 3xy 2y 2 ( b ) x 2 2xy y 2<br />
( ) x 3 y 3 ( c ) x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3<br />
( ) (x y) 3 ( d ) (x y) (x y)<br />
( ) x 2 y 2 ( e ) (x y) 2<br />
1<br />
x<br />
x 3<br />
( ) x 2 2xy y 2 ( f ) (x y) (x 2 xy y 2 )<br />
( ) (x y) 3 ( g ) (x y) (x 2y)<br />
1<br />
2<br />
x<br />
3<br />
Rectángulo A
LECCIÓN 1.2<br />
PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS<br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS.<br />
1. A continuación aparecen tres cuadriláteros: un rombo, un trapecio isósceles<br />
y un rectángulo.<br />
Toma una hoja blanca de papel. En ella, debes dibujar tres figuras iguales a las<br />
anteriores, con una condición: no se vale calcarlas. Para ello, <strong>primer</strong>o anota qué<br />
datos necesitas saber respecto a cada uno de los cuadriláteros.<br />
Rectángulo Rombo Trapecio isósceles<br />
Ahora, con los instrumentos que necesites (regla, transportador, compás, etc.)<br />
intenta trazar las tres figuras teniendo en cuenta sólo los datos que escribiste<br />
anteriormente. Una vez hechas, recórtalas y superponlas para verificar si son<br />
iguales a las que están dibujadas aquí. ¿Cuáles de tus figuras resultaron idénticas<br />
a las originales?<br />
2. Efectúa la misma actividad anterior, pero ahora con los siguientes<br />
cuadriláteros. Esta vez, sólo puedes tomar un máximo de tres datos para<br />
cada figura.<br />
1.2<br />
Aplicar los criterios de<br />
congruencia de triángulos<br />
en la justificación de<br />
propiedades de los<br />
cuadriláteros.<br />
11
12<br />
Romboide Papalote<br />
3. Sebastián, Julia e Inés han previsto tomar las siguientes medidas<br />
para reproducir el trapecio isósceles <strong>del</strong> problema 1.<br />
Sebastián Julia Inés<br />
Lado C Base mayor (B) Diagonal D1<br />
Los dos ángulos Lado C Diagonal D2<br />
adyacentes al lado C Diagonal D1 Angulo formado por<br />
ambas diagonales (a)<br />
a) ¿A quiénes les saldrá un trapecio idéntico al original?<br />
¿A quiénes no?<br />
B a b<br />
D 1<br />
C<br />
b) En los casos en que pienses que la figura no quedará igual, cambia sólo uno<br />
de los tres datos por otro, de tal manera que sí se pueda dibujar un trapecio<br />
idéntico.<br />
Sebastián Inés<br />
c) Para cada uno de los tres alumnos, toma las medidas correspondientes de la<br />
figura (considerando las correcciones que hiciste en el inciso b) y, con ellas,<br />
dibuja otro trapecio en una hoja blanca. Recórtalo y verifica si es igual al que<br />
está dibujado en esta lección.<br />
D 2
d) Si la base mayor y la menor no miden lo mismo, entonces las diagonales de<br />
un trapecio isósceles no se cortan en los puntos medios. Explica por qué esta<br />
propiedad implica que si se toman únicamente las medidas que ha previsto<br />
Inés, se puede construir varios trapecios distintos.<br />
e) Prueba que, en cualquier trapecio isósceles cuyas bases mayor y menor son<br />
distintas, las diagonales no se cortan en los puntos medios. Para ello, utiliza<br />
un criterio de congruencia de triángulos para probar que, si esa característica<br />
no se cumpliera, entonces la base mayor y la base menor serían iguales.<br />
4. Para reproducir el romboide <strong>del</strong> problema 2, Sebastián, Inés y Julia han<br />
decidido tomar las siguientes medidas.<br />
c<br />
V<br />
Sebastián Julia Inés<br />
d<br />
a<br />
Lado a La diagonal D1 Las dos diagonales<br />
Altura (h) Distancia d (<strong>del</strong> vértice Un ángulo formado<br />
Distancia c (de un V al punto en que por las diagonales (A)<br />
vértice a la altura las dos diagonales<br />
marcada en la figura) se cruzan)<br />
Un ángulo formado por<br />
las diagonales (A)<br />
A<br />
D 1<br />
h<br />
C<br />
x<br />
y<br />
b<br />
a<br />
a'<br />
B<br />
x'<br />
y'<br />
13
14<br />
a) Resuelve las preguntas análogas a las que se plantean en los incisos a) y c) <strong>del</strong><br />
problema anterior (el inciso c) sólo en los casos en los que piensas que los datos sí<br />
son suficientes para reproducir el romboide).<br />
b) Las medidas que ha previsto Julia no permiten reproducir el romboide, pero<br />
sí serían suficientes para reproducir el trapecio <strong>del</strong> problema anterior. Verifica<br />
esto de la siguiente manera.<br />
• Toma las medidas y construye con ellas un romboide distinto al que<br />
aparece en la página anterior.<br />
• Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Julia para el romboide;<br />
construye con ellas un trapecio, recórtalo y empálmalo con el que está<br />
dibujado aquí para verificar que son iguales.<br />
c) Las medidas que ha previsto Inés sí son suficientes para reproducir el romboide<br />
pero no serían suficientes para reproducir el trapecio <strong>del</strong> problema anterior.<br />
Verifica esto de la siguiente manera.<br />
• Toma las medidas, construye con ellas un romboide; recórtalo y empálmalo<br />
con el que está dibujado aquí para verificar que son iguales.<br />
• Toma en el trapecio las medidas que ha solicitado Inés para el romboide<br />
y construye con ellas un trapecio distinto al que aparece en el problema 3.<br />
d) Identifica si los romboides y los trapecios isósceles satisfacen lo siguiente.<br />
• ¿Las diagonales se cortan en los puntos medios?<br />
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )<br />
• ¿Las diagonales son iguales o no?<br />
Romboides ( ) Trapecios isósceles ( )<br />
e) La diferencia entre las dos características distinguen al romboide <strong>del</strong> trapecio<br />
isósceles y permiten explicar por qué sucede lo descrito en los incisos b) y c).<br />
Explica por qué.<br />
f) Emplea los criterios de congruencia de triángulos para probar que las características<br />
que has identificado en el inciso d) se cumplen en cualquier romboide<br />
y cualquier trapecio isósceles (siempre y cuando no sean rectángulos).
Las diagonales de un romboide se cruzan en los puntos medios<br />
Los lados a y b son iguales. Los ángulos C y C’ están formados por una recta<br />
que cruza a dos paralelas, por eso son iguales. Lo mismo sucede con los<br />
ángulos D y D’. Entonces, por el criterio ALA, el triángulo amarillo y el verde<br />
son congruentes. Entonces x es igual a x’, y y es igual a y’. Es decir, las diagonales<br />
se cortan en los puntos medios.<br />
a<br />
D<br />
C<br />
y'<br />
x y<br />
Las diagonales de un romboide no son iguales<br />
Si las diagonales fueran iguales, por el criterio LLL, los triángulos ABC y DCB<br />
serían congruentes. Entonces los ángulos adyacentes a BC serían iguales, es<br />
decir, rectos, y el romboide sería un rectángulo.<br />
A<br />
D<br />
B<br />
Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales<br />
Como el trapecio es isósceles, los lados AB y DC son iguales, y también lo<br />
son los ángulos adyacentes a los vértices A y D. Entonces los triángulos DAB<br />
y ADC son congruentes, por el criterio LAL. De ahí que los lados DB y AC es<br />
decir, las dos diagonales, sean iguales.<br />
A<br />
D<br />
B<br />
5. Haz nuevamente lo que se pide en los problemas 1 y 2, pero sólo para el<br />
rombo <strong>del</strong> problema 1 y el papalote <strong>del</strong> problema 2. Esta vez, sólo puedes<br />
tomar información sobre las diagonales en cada figura.<br />
Rombo Papalote<br />
Las dos diagonales Las dos diagonales<br />
La distancia a la que la diagonal menor corta<br />
a la diagonal mayor.<br />
x'<br />
C<br />
C'<br />
C<br />
b<br />
D'<br />
15
16<br />
6. Tania, Leonel y Javier tomaron algunas medidas para construir un cuadrilátero.<br />
Los tres se equivocaron al usar la regla graduada o el transportador y tomaron<br />
mal por lo menos una de las medidas. Encuentra cuál o cuáles fueron las me-<br />
didas que cada uno tomó mal:<br />
• Tania: un romboide cuyas parejas de lados miden 10 y 13 centímetros,<br />
dos ángulos interiores miden 50 grados y los otros dos 100 grados.<br />
• Leonel: un rectángulo cuyas diagonales miden 5 centímetros y uno de los<br />
ángulos que forman las diagonales mide 90 grados.<br />
• Javier: un rombo cuyos lados miden 3 centímetros y una diagonal<br />
mide 7 centímetros.<br />
En cada caso, explica qué propiedad <strong>del</strong> cuadrilátero correspondiente hace que<br />
no se pueda construir con las medidas que tienen Tania, Leonel y Javier.<br />
• Tania:<br />
Leonel:<br />
• Javier:<br />
Y ALGO MÁS...<br />
Encuentra todas las figuras congruentes en el siguiente dibujo. Cada vez que encuentres<br />
dos o más figuras congruentes, marca sus contornos <strong>del</strong> mismo color:
LECCIÓN 1.3<br />
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS<br />
Y UNA CIRCUNFERENCIA Y ENTRE CIRCUNFERENCIAS<br />
REPASEMOS<br />
1. ¿Cuál es la distancia <strong>del</strong> punto P a la recta m?<br />
Explica el procedimiento que empleaste<br />
para calcular la distancia.<br />
a) Señala el punto en la recta m que está justamente a esa distancia de P.<br />
b) Señala otros dos puntos sobre la recta m. ¿Cuál es la distancia de estos<br />
puntos a P?<br />
c) ¿Qué ocurre con la distancia entre P y los demás puntos en la recta, en<br />
comparación con la distancia que calculaste entre el punto y la recta?<br />
2. Observa el dibujo y completa las frases:<br />
Respecto a la circunferencia Q:<br />
• la recta m es porque<br />
(secante / tangente / exterior)<br />
• la recta n es porque<br />
(secante / tangente / exterior)<br />
• la recta o es porque<br />
P<br />
m<br />
Q<br />
(secante / tangente / exterior)<br />
m<br />
n<br />
o<br />
1.3<br />
Determinar mediante<br />
construcciones las<br />
posiciones relativas<br />
entre rectas y una<br />
circunferencia y<br />
entre circunferencias.<br />
Caracterizar la recta<br />
secante y la tangente a<br />
una circunferencia.<br />
17
18<br />
3. Responde las preguntas. O es el centro de una circunferencia de 2 cm de<br />
radio.<br />
a) Una recta p se encuentra a una distancia de 3.5 cm de O. ¿En cuántos pun-<br />
tos interseca a la circunferencia?<br />
b) Una recta q se encuentra a una distancia de 2 cm de O. ¿En cuántos puntos<br />
interseca a la circunferencia?<br />
b) Una recta r se encuentra a una distancia de 1.7 cm de O. ¿En cuántos pun-<br />
tos interseca a la circunferencia?<br />
4. Las circunferencias C y D son tangentes. Encuentra el centro de cada una.<br />
C<br />
Une los centros y verifica que ese segmento pasa por el punto de tangencia.<br />
5. Traza dos circunferencias tangentes como las <strong>del</strong> ejercicio anterior. Para cada<br />
uno de los siguientes incisos traza otra circunferencia que cumpla con lo que<br />
se pide.<br />
C<br />
a) Una circunferencia que sea secante a C y a D.<br />
b) Una circunferencia que sea tangente interior a D y exterior a C.<br />
c) Una circunferencia concéntrica a C y secante a D.<br />
D<br />
D
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
6. Responde las preguntas respecto a una circunferencia y un punto P fuera de ella.<br />
a) ¿Cuántas rectas exteriores a la circunferencia pasan por P?<br />
b) ¿Cuántas rectas tangentes a la circunferencia pasan por P?<br />
c) ¿Cuántas rectas secantes a la circunferencia pasan por P?<br />
7. Por el punto T se trazaron las dos tangentes a la circunferencia. Completa<br />
la demostración de que TA y TB miden lo mismo.<br />
T<br />
• OA y OB miden lo mismo porque<br />
• El ángulo OAT mide porque<br />
• El ángulo OBT mide porque<br />
• Los ángulos OAB y OBA miden los mismo porque<br />
• Los ángulos TAB y TBA miden los mismo porque<br />
• El triángulo TBA es isósceles porque<br />
• Entonces TA y TB miden los mismo porque<br />
A<br />
B<br />
O<br />
19
20<br />
8. Cuando una circunferencia está dentro de un polígono y es tangente a<br />
todos sus lados, se le llama circunferencia inscrita. En el dibujo se muestra la<br />
circunferencia inscrita al cuadrilátero ABCD.<br />
Explica por qué AB CD BC DA<br />
A<br />
D<br />
B<br />
9. En el siguiente diagrama las dos circunferencias, O 1 y O 2 , tienen su centro<br />
sobre la línea r. Las circunferencias se intersecan en los puntos A y B.<br />
r<br />
T 1<br />
T 4<br />
O 1<br />
T 3<br />
A<br />
B<br />
T 2<br />
O 2<br />
C
Explica por qué la recta que pasa por A y B es perpendicular a la recta r.<br />
Y ALGO MÁS...<br />
¿Alguna vez has visto un eclipse? ¿Sabías que hay tanto eclipses solares como<br />
eclipses lunares?<br />
Un eclipse solar ocurre cuando la luna se interpone entre la Tierra y el Sol; el más<br />
espectacular es el eclipse solar total: la luna tapa completamente al Sol, lo que<br />
provoca que, por unos minutos, todo se oscurezca; e incluso puede bajar la temperatura.<br />
En México se vio un eclipse solar total el 11 de julio de 1991; habrá otro<br />
el 8 de abril de 2024.<br />
También hay eclipses lunares cuando la Tierra se interpone entre la Luna y el Sol.<br />
En un eclipse lunar la luna se oscurece y adquiere un color rojizo.<br />
Eclipse solar<br />
Eclipse lunar<br />
21
22<br />
1.4<br />
Determinar la relación<br />
entre un ángulo inscrito y<br />
un ángulo central de una<br />
circunferencia, si ambos<br />
abarcan el mismo arco.<br />
LECCIÓN 1.4<br />
ÁNGULOS INSCRITOS Y ÁNGULOS CENTRALES<br />
REPASEMOS<br />
1. Ilumina con algún color el arco que subtiende cada ángulo. Escribe debajo<br />
de cada circunferencia si el ángulo es inscrito o central.<br />
2. En cada circunferencia, traza dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo<br />
arco que el ángulo central señalado.<br />
3. Sin usar transportador, indica cuánto miden los ángulos marcados en rojo.<br />
37º<br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
61º<br />
4. En los espacios coloca alguna de las siguientes medidas: 45°, 90°, 135°,<br />
180°, 270°, 360°.<br />
El ángulo central El ángulo central El ángulo inscrito mide<br />
en rojo mide más en rojo mide más más de …pero<br />
101º<br />
de … pero de …pero menos de<br />
menos de menos de
5. Sin usar transportador, traza en cada circunferencia el ángulo que se indica.<br />
140º<br />
Ángulo inscrito de 45° Ángulo inscrito de 110° Ángulo central de 270°<br />
6. Hay tres posiciones básicas en las que pueden estar un ángulo inscrito y un<br />
ángulo central.<br />
a) En cada posición mide los dos ángulos con tu transportador y verifica que la<br />
medida <strong>del</strong> ángulo central sea el doble que la medida <strong>del</strong> ángulo inscrito.<br />
Posición I Posición II Posición III<br />
Ángulo central Ángulo central Ángulo central<br />
Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito<br />
b) Dibuja otro ejemplo de cada posición. Mide el ángulo central y el ángulo inscrito<br />
en cada caso.<br />
Posición I Posición II Posición III<br />
Ángulo central Ángulo central Ángulo central<br />
Ángulo inscrito Ángulo inscrito Ángulo inscrito<br />
7. ¿A cuál de las tres posiciones corresponde la siguiente figura. Explica tu<br />
respuesta.<br />
23
24<br />
8. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. Usa el ángulo central<br />
para explicar por qué los dos ángulos inscritos miden lo mismo.<br />
9. Para trazar las tangentes a una circunferencia con centro O por un punto P<br />
fuera de ella, se hace la siguiente construcción: con centro en el punto medio<br />
(M) <strong>del</strong> segmento OP se dibuja una circunferencia con radio MP. A y B son<br />
los puntos de intersección de las circunferencias. Se trazan las rectas PA y<br />
PB, estas rectas son las tangentes buscadas. Explica por qué estas rectas son<br />
perpendiculares a los radios OA y OB.<br />
O<br />
B<br />
A<br />
10. Los dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco. El área que abarca cada<br />
ángulo dentro de la circunferencia está sombreada. ¿Estas áreas son iguales<br />
o diferentes? Explica tu respuesta.<br />
M<br />
P
LECCIÓN 1.5<br />
ARCOS, SECTORES CIRCULARES Y CORONAS<br />
REPASEMOS<br />
1. Coloca en los espacios el número que corresponde a cada elemento.<br />
1. Arco 2. Corona circular 3. Cuerda<br />
4. Diámetro 5. Sector circular 6. Semicircunferencia<br />
2. En cada circunferencia dibuja un sector circular que tenga el ángulo indicado.<br />
70° 150°<br />
3. Calcula lo que se pide.<br />
2 cm<br />
45°<br />
1.5 cm<br />
300°<br />
60° 2 cm<br />
Área sombreada Longitud <strong>del</strong> arco Perímetro <strong>del</strong> área<br />
sombreada<br />
1.5<br />
Calcular la medida<br />
de ángulos inscritos y<br />
centrales, así como de<br />
arcos, el área de sectores<br />
circulares y de la corona.<br />
25
26<br />
4. El señalamiento está hecho con una<br />
circunferencia de 45 cm de radio y otra<br />
de 36 cm, ¿cuánto mide el área en color<br />
rojo?<br />
5. La rebanada que me comí es 15% de<br />
un pastel circular. ¿Qué ángulo abarca la a<br />
rebanada?<br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
6. Un campo de beisbol está construido sobre parte de un sector circular con<br />
un ángulo de 90° y radio de 80 m. La barda azul tiene una altura de 2 m.<br />
¿Cuánto mide la superficie de la barda azul?
7. En el espacio dibuja una circunferencia de radio de 3 cm. En ella traza<br />
un ángulo inscrito de 40°.<br />
¿Cuál es la longitud <strong>del</strong> arco que subtiende el ángulo inscrito?<br />
8. La circunferencia tiene un radio de 2.5 cm. Su centro coincide con un vértice<br />
<strong>del</strong> pentágono regular ¿Cuánto mide el área de la sección de la circunferencia<br />
que está fuera <strong>del</strong> pentágono?<br />
9. El triángulo ABC fue rotado alrededor <strong>del</strong> vértice A para obtener el triángulo<br />
AB’C’. ¿Cuál es el área <strong>del</strong> sector circular en color verde?<br />
C<br />
72°<br />
B'<br />
B A C'<br />
27
28<br />
10. Un carpintero hizo el molde para una pieza que necesita. Trazó una<br />
circunferencia de 4 cm de radio y otra de 1.5 cm de radio para hacer<br />
una corona, luego trazó un sector circular.<br />
¿Cuánto mide el área de la pieza? =<br />
¿Cuánto mide su perímetro?<br />
A<br />
D<br />
100°<br />
11. El área <strong>del</strong> cuadrado ABCD es 1. ¿Cuánto mide el área sombreada?<br />
a) 1 1 __ π b) 1 c) 1<br />
4 1 __<br />
2<br />
B<br />
C<br />
d) 1 1 __ π<br />
4<br />
12. Para dibujar la flor se trazaron seis arcos con centro en cada vértice de un<br />
hexágono regular y radio igual a 3 cm. ¿Cuánto mide el perímetro de la flor?<br />
a) 2 π cm b) 3 π cm c) 6 π cm d) 12 π cm
LECCIÓN 1.6<br />
RAZÓN DE CAMBIO<br />
REPASEMOS<br />
1. En cada tabla están anotadas las coordenadas de dos puntos de una recta.<br />
Anota en la línea la razón de cambio de la recta.<br />
x y x y x y x y<br />
2 2 1 5 1 1 4 5<br />
4 4 2 8 3 3 6 8<br />
2. Anota la razón de cambio de las rectas.<br />
Ecuación de la recta y 5x 1 y 2x 9 y x 6 y 7x<br />
4. Considera las siguientes gráficas.<br />
y<br />
6 Gráfica 1<br />
y<br />
6<br />
5 5<br />
4 4<br />
3 3<br />
2 2<br />
1 1<br />
y<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Razón de cambio<br />
3. Anota la ecuación de una recta que tenga la razón de cambio indicada.<br />
Razón de cambio 3 4 1 1<br />
Ecuación de una recta<br />
x x<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
y<br />
Gráfica 3<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Gráfica 4<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
9<br />
x<br />
10 1<br />
Gráfica 2<br />
2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
a) ¿En qué gráficas la razón de cambio permanece siempre constante?<br />
y Justifica tu respuesta.<br />
b) Anota una característica común entre las gráficas que tienen razón de cam-<br />
bio siempre constante.<br />
x<br />
1.6<br />
Analizar la razón de<br />
cambio de un proceso<br />
que se mo<strong>del</strong>a con<br />
una función lineal y<br />
relacionarla con la<br />
inclinación o pendiente<br />
de la recta que lo<br />
representa.<br />
29
30<br />
c) Anota una diferencia entre las gráficas cuya razón de cambio permanece<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
constante respecto a las que no lo hacen.<br />
5. Considera las siguientes gráficas de rectas y sus ecuaciones.<br />
y y<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
4<br />
4<br />
5<br />
5<br />
Gráfica 1<br />
y 2x 1<br />
x x<br />
1 2 3 4 5<br />
y y<br />
Gráfica 3<br />
y x 2<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Gráfica 2<br />
y 2x<br />
Gráfica 4<br />
y x __ 1<br />
2<br />
x x<br />
6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
a) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a uno?<br />
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?<br />
b) ¿Qué gráfica tiene razón de cambio constante igual a un medio?<br />
¿Qué pendiente tiene la recta graficada?<br />
c) ¿Qué gráficas tienen razón de cambio constante igual a dos?<br />
y<br />
• ¿Qué pendiente tienen sus respectivas expresiones? y<br />
• ¿Cómo es la pendiente de estas expresiones, igual o diferente?<br />
• ¿Qué ordenada al origen tienen estás expresiones? y<br />
• ¿Cómo es la ordenada al origen de estas expresiones, igual o diferente?<br />
d) ¿Qué gráfica tiene la menor razón de cambio?
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
6. Las siguientes gráficas muestran el tiempo y la cantidad de dinero que genera<br />
una inversión de $50000.00 durante los <strong>primer</strong>os seis meses <strong>del</strong> año en<br />
dos bancos diferentes.<br />
Rendimiento de $50 000 en el banco 1 Rendimiento de $50 000 en el banco 2<br />
Cantidad de dinero<br />
en el banco (en pesos)<br />
53076<br />
(6,53076)<br />
53500<br />
53000<br />
(6,53000)<br />
52550<br />
(5,52550)<br />
52500<br />
(5,52500)<br />
52030<br />
(4,52030)<br />
52000<br />
(4,52000)<br />
51500<br />
(3,51500)<br />
51515<br />
(3,51515)<br />
51000 (2,51000)<br />
51005 (2,51005)<br />
50500 (1,50500) 50500 (1,50500)<br />
50000<br />
50000<br />
Cantidad de dinero<br />
en el banco (en pesos)<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8<br />
Tiempo (en meses)<br />
Tiempo (en meses)<br />
Con la información de la gráfica <strong>del</strong> banco 1, contesta lo siguiente.<br />
a) ¿Qué cantidades se relacionan en la gráfica?<br />
b) En el <strong>primer</strong> mes <strong>del</strong> año, ¿cuál fue la ganancia?<br />
c) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco durante el<br />
<strong>primer</strong> mes <strong>del</strong> año.<br />
50 ____________<br />
500 - 50 000<br />
3-0<br />
1 - 0<br />
____________<br />
50 500 - 50 000<br />
d) En los <strong>primer</strong>os tres meses <strong>del</strong> año, ¿cuál es la ganancia?<br />
5 000 1<br />
e) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero a través durante los<br />
<strong>primer</strong>os tres meses <strong>del</strong> año.<br />
____________<br />
51 500 - 50 000<br />
3 - 0<br />
3 - 0<br />
____________<br />
51 500 - 50 000<br />
1 500 3<br />
Con la información de la gráfica <strong>del</strong> banco 2, contesta lo siguiente.<br />
a) En el <strong>primer</strong> mes <strong>del</strong> año, ¿cuál fue la ganancia?<br />
b) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante el <strong>primer</strong> mes<br />
<strong>del</strong> año.<br />
50 ____________<br />
500 - 50 000<br />
1 - 0<br />
1 - 0<br />
____________<br />
50 000 - 50 000<br />
c) En los <strong>primer</strong>os tres meses <strong>del</strong> año, ¿cuál fue la ganancia?<br />
5 000 1<br />
d) Subraya la razón de cambio de la cantidad de dinero durante los <strong>primer</strong>os<br />
tres meses <strong>del</strong> año.<br />
____________<br />
51 515 - 50 000<br />
3 - 0<br />
3 - 0<br />
____________<br />
51 515 - 50 000<br />
1 515 3<br />
31
32<br />
Usando la información de las gráficas, en las siguientes afirmaciones marca con<br />
la letra V las que sean verdaderas y con la letra F las que sean falsas.<br />
• El banco 1 tiene un rendimiento constante porque cada mes<br />
se incrementa $500.00 la cantidad de dinero en el banco. ( )<br />
• La razón de cambio de la cantidad de dinero en el banco a través<br />
<strong>del</strong> tiempo en el banco 2 es constante. ( )<br />
• El banco 2 no tiene un rendimiento constante. ( )<br />
7. El uso <strong>del</strong> carbón es una alternativa para producir gas. Éste se obtiene<br />
cuando el carbón es quemado mediante un proceso en presencia de aire,<br />
oxígeno o vapor de agua. El gas producido mediante este proceso<br />
se utiliza en la generación de electricidad, en la producción de hidrógeno<br />
y de combustibles como la gasolina y el diesel.<br />
La siguiente gráfica muestra la relación entre la temperatura a la que se encuentra<br />
el vapor de agua y el tiempo transcurrido durante la producción de un gas.<br />
Temperatura<br />
(en grados centígrados)<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
(20,30)<br />
(40,40)<br />
(60,50)<br />
(80,60)<br />
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100<br />
Tiempo (en segundos)<br />
Con la información de la gráfica, contesta lo siguiente.<br />
(100,70)<br />
a) Una vez transcurridos los <strong>primer</strong>os 20 segundos, ¿cuántos grados centígra-<br />
dos aumenta la temperatura <strong>del</strong> vapor de agua?<br />
b) Del segundo 20 al segundo 40, ¿cuántos grados aumenta la temperatura <strong>del</strong><br />
vapor de agua? Del segundo 40 al segundo 60, ¿cuántos grados<br />
aumenta? grados.<br />
c) En periodos de 20 segundos, ¿cuántos grados centígrados aumenta la tem-<br />
peratura <strong>del</strong> vapor de agua?<br />
d) Di si la siguiente afirmación es correcta: "en periodos de 20 segundos la tem-<br />
peratura <strong>del</strong> vapor de agua aumenta de manera constante”.<br />
Argumenta tu respuesta.
e) Cuando transcurren los <strong>primer</strong>os 40 segundos, ¿cuántos grados centígrados<br />
aumenta la temperatura <strong>del</strong> vapor de agua?<br />
f) Di si la siguiente afirmación es correcta: “En periodos de 40 segundos<br />
la temperatura <strong>del</strong> vapor de aguas aumenta de manera constante”.<br />
Argumenta tu respuesta.<br />
En los siguientes dos incisos subraya la frase adecuada para que la afirmación<br />
sea correcta.<br />
g) La gráfica establece la relación que hay entre...<br />
• la temperatura y el tiempo.<br />
• el gas producido y el tiempo.<br />
• la temperatura <strong>del</strong> vapor de agua y el tiempo en el que alcanza<br />
esa temperatura.<br />
h) La gráfica representa...<br />
• la velocidad de calentamiento <strong>del</strong> vapor de agua.<br />
• la densidad <strong>del</strong> agua.<br />
• la aceleración <strong>del</strong> vapor de agua.<br />
i) La razón de cambio <strong>del</strong> aumento en la temperatura <strong>del</strong> vapor de agua respecto<br />
al periodo de tiempo en que se mide este aumento es...<br />
• el cociente <strong>del</strong> aumento <strong>del</strong> tiempo entre el aumento de la temperatura<br />
en ese periodo de tiempo.<br />
• el aumento en la temperatura <strong>del</strong> gas.<br />
• el cociente <strong>del</strong> aumento en la temperatura entre el periodo de tiempo<br />
en que aumenta su temperatura.<br />
Y ALGO MÁS...<br />
La razón de cambio es un concepto que se utiliza principalmente al mo<strong>del</strong>ar fenómenos,<br />
estudiados en Física como el <strong>del</strong> movimiento.<br />
Al hacer experimentos en los que un cuerpo mantenía una rapidez constante (es<br />
decir, un movimiento uniforme), notaron que el cociente de cualquier distancia<br />
recorrida por el cuerpo entre el tiempo que tardaba en recorrerla era siempre el<br />
mismo (constante).<br />
A esta razón de cambio la llamaron rapidez; es decir, la rapidez de un cuerpo es el<br />
cociente de la distancia recorrida entre el tiempo <strong>del</strong> recorrido.<br />
33
34<br />
1.7<br />
Diseñar un estudio o<br />
experimento a partir<br />
de datos obtenidos de<br />
diversas fuentes y elegir<br />
la forma de organización<br />
y representación tabular<br />
o gráfica más adecuada<br />
para presentar la<br />
información.<br />
LECCIÓN 1.7<br />
DISEÑO DE UN ESTUDIO Y ELECCIÓN DE LA FORMA<br />
MÁS ADECUADA DE PRESENTACIÓN DE LOS DATOS<br />
PROBLEMAS Y EJERCICIOS<br />
1. En equipos de dos o tres personas harán una encuesta para conocer lo que<br />
podría ahorrar anualmente una persona si, en lugar de tener automóvil<br />
propio, opta por utilizar el sistema de transporte público. Para preparar<br />
la encuesta, <strong>primer</strong>o hagan lo que se pide.<br />
a) La <strong>primer</strong>a de las siguientes tres preguntas es la más adecuada para estimar<br />
el gasto anual de gasolina que hace una persona al viajar en automóvil.<br />
• ¿Más o menos cuánto gastas en gasolina cada semana?<br />
• ¿Más o menos cuánto gastas en gasolina al año?<br />
• Exactamente, ¿cuánto gastas en gasolina al año?<br />
Expliquen por qué las otras dos preguntas no son tan adecuadas.<br />
Ahora expliquen cómo, al tener una idea <strong>del</strong> gasto por semana, se puede calcular<br />
el gasto anual de una persona en gasolina.<br />
b) Decidan cuál o cuáles de las siguientes tres preguntas, relativas al costo <strong>del</strong><br />
automóvil, les parecen adecuadas para plantearlas a diferentes personas.<br />
• ¿Aproximadamente cuánto cuesta un carro?<br />
• ¿Cuánto te costó el carro cuando lo compraste?<br />
• ¿Cuánto cuesta ahora en la agencia un carro <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>o que tienes?<br />
Para conocer el gasto promedio anual de una persona por la compra de un carro,<br />
además <strong>del</strong> costo, necesitan saber el tiempo de vida <strong>del</strong> carro. Con ambos datos,<br />
¿cómo se puede calcular el gasto anual?<br />
c) Para aproximar el gasto anual por usar un automóvil, necesitan recabar los<br />
datos que aparecen a continuación. Para cada uno, en la <strong>primer</strong>a línea formulen<br />
una pregunta que consideren pertinente para el dueño de un automóvil<br />
en una entrevista. En la segunda línea expliquen cómo emplearán ese<br />
dato para tener una aproximación <strong>del</strong> costo anual.<br />
Gasolina:
Estacionamientos:<br />
Mantenimiento <strong>del</strong> auto:<br />
Llantas:<br />
Seguro <strong>del</strong> automóvil:<br />
Tenencia:<br />
Compra <strong>del</strong> carro:<br />
Comenten si hay algún otro dato que se pueda preguntar para calcular el gasto<br />
anual por usar un automóvil<br />
d) Formulen preguntas que permitan estimar, a partir de entrevistas a distintas<br />
personas, el gasto anual por usar el sistema de transporte público. Consideren<br />
que la mayoría de las personas hace viajes de rutina, es decir, los hace diariamente<br />
o cada semana (por ejemplo, toman la misma ruta para ir al trabajo)<br />
y hacen otros que no lo son (por ejemplo, paseos los fines de semana).<br />
35
36<br />
e) Ahora que han diseñado el cuestionario, aplíquenlo al menos a siete personas<br />
que tengan un automóvil y a otras siete que usen transporte público.<br />
Registren cuidadosamente todos los datos de cada entrevista.<br />
f) Una vez que hayan efectuado las entrevistas, deben elegir una manera de<br />
presentar cada uno de los siguientes datos.<br />
• La variación en el gasto anual por uso de un carro de una persona a otra.<br />
• La variación en el gasto anual por uso <strong>del</strong> sistema de transporte público de<br />
una persona a otra.<br />
• Comparación <strong>del</strong> promedio <strong>del</strong> gasto anual por uso de un carro con el<br />
promedio <strong>del</strong> gasto anual por uso <strong>del</strong> sistema de transporte público.<br />
g) En uno de los siguientes tipos de gráficas no es posible presentar ninguno de los<br />
tres datos anteriores. ¿Cuál es?<br />
Gráfica de barras Gráfica de línea Gráfica circular o de pastel<br />
h) Elijan qué tipo de gráfica utilizarán para presentar cada uno de sus datos,<br />
después háganlas en su cuaderno.<br />
Y ALGO MÁS...<br />
Es probable que el nombre estadística provenga<br />
<strong>del</strong> término latino status: el estado. En efecto,<br />
las <strong>primer</strong>as herramientas de la estadística desarrolladas<br />
en épocas muy antiguas se originaron<br />
por las necesidades <strong>del</strong> estado. Por ejemplo, para<br />
poder construir pirámides, los faraones egipcios<br />
<strong>del</strong> tercer milenio antes de Cristo ordenaban que<br />
se hicieran registros de la riqueza y la población.<br />
Además de finalidades tributarias, la estadística<br />
ha tenido usos militares: el emperador Augusto<br />
(63 a. C.-14 d. C.) mandó recopilar datos sobre la<br />
cantidad de soldados, naves y recursos <strong>del</strong> imperio<br />
romano. Además <strong>del</strong> uso para las decisiones<br />
políticas <strong>del</strong> estado, ha tenido una importante<br />
utilidad en diferentes ciencias.<br />
Men<strong>del</strong> es uno de los <strong>primer</strong>os científicos<br />
que hizo una aportación importante<br />
de la estadística a las ciencias naturales