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{Tn,m} de {Tn,m−1} tal que las bolas BTn,m (0, mδ) contienen un mismo motivo
Mm y por tanto una misma bola BTn,m (0, εm) donde límm→+∞ εm = +∞.
Construimos así una sucesión exhaustiva de motivos
M1 ⊂ M2 ⊂ · · · ⊂ Mm−1 ⊂ Mm ⊂ · · · ⊂
m≥1
Mm = R 2
que define un mosaico T de R 2 . Ahora la subsucesión {Tm,m} de {Tn} converge
a T . En efecto, dado N ≥ 1 , cualquier motivo Mm con εm ≥ N verifica que:
BTm,m (0, N) ⊂ Mm ⊂ T
y por tanto R(Tm,m, T ) ≥ N, lo que garantiza la convergencia.
En la literatura sobre mosaicos, suele afirmarse que la envoltura de un mosaico
con número finito de patrones locales es compacta. Ahora bien, un mosaico
con esa propiedad no tiene por qué ser localmente finito, según hemos probado
en § 2.1, de manera que el argumento usado antes no es válido.
3.2. Estructura foliada
El grupo de traslaciones R 2 opera de manera natural como grupo de transformaciones
del espacio de mosaicos T(P). En efecto, se puede comprobar fácilmente
que la acción natural
(v, T ) ∈ R 2 × T(P) ↦−→ T + v ∈ T(P)
es continua. Además, si el conjunto P es finito, la acción es localmente libre, es
decir, cualquier grupo de isotropía Iso(T ) = {v ∈ R 2 /T + v = T } es discreto.
Esto implica que la acción define una foliación de T(P), lo que significa que
las hojas son las órbitas de la acción. No obstante, por su interés, vamos a
mostrar este hecho de manera directa. Para ello, comenzamos construyendo lo
que después va a ser una transversal completa, es decir, un subespacio que corta
a todas las hojas. Como ya hemos dicho, un conjunto de puntos base D de las
prototeselas de P determina un conjunto de puntos base DT = {xT /T ∈ T }
para cualquier mosaico T ∈ T(P).
Definición 3.5. Llamamos transversal al conjunto Σ = Σ(D) formado por
todos los mosaicos T ∈ T(P) tales que 0 ∈ DT .
Proposición 3.6. Si el conjunto P es finito, entonces Σ = Σ(D) es un subespacio
compacto y totalmente disconexo de T(P).
Demostración. La prueba del carácter compacto de Σ es justamente la usada
en el caso de T(P).Para probar que Σ es un subespacio totalmente disconexo
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32