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2. La lista z = (x, y) da un sistema regular de parámetros de O y los valores
ν(xi), i = 1, 2, . . . , r son Q-independientes.
Definición 1 Dado un elemento formal ˆ f ∈ O, con ˆ f = 0, diremos que la
valoración ν tiene contacto maximal con ˆ f si existe una sucesión de elementos
fi ∈ O tales que ν(fi) es una sucesión de valores estrictamente creciente y
además fi → ˆ f en la topología de Krull.
Observación 1 La sucesión de valores estrictamente creciente ν(fi) no puede
estar acotada superiormente. La prueba de esto se basa en que la valoración es
arquimediana. Supongamos que la sucesión de valores estuviera acotada superiormente
por un valor δ; como la valoración es arquimediana, existe una potencia
común N ∈ Z≥0, tal que xN i , yN j tienen valor superior a δ, para i = 1, 2, . . . , r,
j = r + 1, r + 2, . . . , n. Se concluye que el ideal maximal M de O satisface
M N ⊂ Pδ = {g ∈ O; ν(g) ≥ δ}.
Se tendría una cadena descendente estricta de módulos de longitud finita
lo que es una contradicción.
· · · ⊃ P ν(fi)/M N ⊃ P ν(fi+1)/M N ⊃ · · ·
El objeto problema es una lista finita L = {fα; α ∈ Λ} de funciones racionales
fα ∈ K con valores no negativos ν(fα) ≥ 0. Diremos que la lista L es simple
en el modelo A si se cumplen las condiciones siguientes:
1. Todos los elementos de L son regulares, esto es fα ∈ O para todo α ∈ Λ.
2. Cada fα es de la forma fα = x aα Uα, donde Uα es una unidad del anillo
local O y x aα es el monomio
x aα = x aα 1
1 xaα 2
2 · · · x aαr
r .
3. Si ν(fα) ≤ ν(fβ), entonces fα divide fβ en el anillo O. Esto es, se tiene
que aα,j ≤ aβ,j para cada j = 1, 2, . . . , r.
Nuestro objetivo es, partiendo de un modelo local regular parametrizado,
probar que después de una sucesión de transformaciones adecuada se tiene que
o bien aparece una serie formal ˆ f tal que ν tiene contacto maximal con ˆ f o bien
obtenemos una lista simple.
Antes de establecer el enunciado, introduzcamos el tipo de transformaciones
que vamos a considerar. Dado el modelo local regular parametrizado A y un
conjunto A ⊂ {1, 2, . . . , n}, vamos a definir la explosión
A ′ = πAA = (O ′ ; z ′ = (x ′ , y ′ ); ν)
de A con centro A. Para construir O ′ definiremos primero las funciones racionales
z ′ i que conforman el sistema de parámetros z′ = (x ′ , y ′ ). El anillo O ′
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 49–64