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48 Algunas cuestiones Sea F un germen de foliación holomorfa singular sobre (C 3 , 0) y S ⊂ (C 3 , 0) una superficie no invariante. Si el lugar singular de S es invariante para F, se puede hacer una desingularización simultánea de F y de S en ese caso la no dicriticidad de F impediría la existencia de infinitas curvas invariantes sobre S. Tampoco es difícil, a partir de una inmersión proyectiva del espacio total de una desingularización de F (y una aplicación del teorema de Bertini), ver que en el caso dicrítico existe una superficie S con lugar singular invariante y con infinitas curvas invariantes(en el sentido de la definición de dicriticidad, no necesariamente en el origen). Queda pendiente estudiar más profundamente las implicaciones de la condición de dicriticidad (o no) estricta en el origen, así como el caso de dimensión superior en ausencia (por ahora) de un resultado de desingularización. Referencias [Ca1] F. Cano: Dicriticalness of a singular foliation, pp. 73–94 en Holomorphic Dynamics (México 1986), Lecture Notes in Mathematics 1345, Springer- Verlag, 1988. [Ca2] F. Cano: Reduction of the singularities of codimension one singular foliations in dimension three, Annals of Mathematics (2), 160(3):907– 1011, 2004. [CaCe] F. Cano y D. Cerveau: Desingularization of nondicritical holomorphic foliations and existence of separatrices, Acta Mathematica, 169(1-2):1– 103, 1992. [Sei] A. Seidenberg: Reduction of the singularities of the differential equation Ady = Bdx, American Journal of Mathematics, 90(1):248–269, 1968. Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 41–48
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 49–64 Uniformización local en característica cero. Caso arquimediano Felipe Cano Claude Roche Mark Spivakovsky 1. Introducción En estas notas presentamos una prueba de la uniformización local clásica (característica cero sobre un cuerpo algebraicamente cerrado) con respecto a una valoración arquimediana (es decir, de rango uno). La prueba se apoya fuertemente en una presentación del problema en términos del polígono de Newton-Puiseux y en la dicotomía básica de la reducción de singularidades entre el comportamiento combinatorio (descrito por el juego de Hironaka) y las situaciones de contacto maximal, también en el sentido de Hironaka. No pretendemos dar ningún resultado nuevo, sino únicamente resaltar los métodos, con la esperanza de que puedan ser útiles en otros contextos. De hecho los métodos presentados aquí son una simplificación al caso que nos ocupa del método general utilizado por Spivakovsky en su tratamiento de la característica positiva y que, por otro lado, se está mostrando satisfactorio para el estudio del problema de uniformización local de campos de vectores. 2. Enunciados Sea K el cuerpo de funciones racionales de una variedad algebraica proyectiva de dimensión n, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k de característica cero y consideremos sobre él una valoración ν : K → Γ ⊂ R con cuerpo residual kν = k. Un modelo local regular parametrizado para K, ν es una terna A = (O; z = (x = (x1, x2, . . . , xr), y = (yr+1, . . . , yn)); ν) donde r es el rango racional de ν y se tienen las siguientes propiedades: 1. Existe un modelo proyectivo M de K tal que el centro P de ν en M es no singular y O = OM,P . (Nótese que la hipótesis kν = k implica que el centro de ν es un punto racional). 49
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