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40 [Ca] C. Camacho. On the structure of conformal mappings and holomorphic vector fields in C2 . Astérisque 59-60 (1978), 83–94. [CM] D. Cerveau, R. Moussu. Groupes d’automorphismes de (C, 0) et équations différentielles ydy + · · · = 0. Bull. Soc. Math. France 116 (1988), no.4, 459–488. [H1] M. Hakim. Analytic transformations of (Cp , 0) tangent to the identity. Duke Math. J. 92 (1998), 403–428. [H2] M. Hakim, Transformations tangent to the identity, Stable pieces of manifolds. Prepublicación. [MR] J. Martinet, J.P Ramis. Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre. Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983), no. 4, 571–621. [Vo] S.M. Voronin. Analytic classification of germs of conformal mappings (C, 0) → (C, 0). Funktsional. Anal. i Prilozhen 15 (1981), no. 1, 1–17. [Yo] J.C. Yoccoz. Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques, Astérisque 231 (1995), 3–88. Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Belo Horizonte, MG CEP 30123-970 Brasil email: fbrocher@mat.ufmg.br Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 33–40
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 41–48 Dicriticidad de foliaciones holomorfas de codimensión uno Felipe Cano IMPA. Noviembre 2007 A Alcides En estas notas 1 actualizaremos el concepto de dicriticidad para gérmenes de foliaciones holomorfas singulares de codimensión uno, en un espacio ambiente de dimensión tres. Este concepto ha sido estudiado en [Ca1] y utilizado en [CaCe]. La existencia de una reducción de singularidades, en dimensión tres, para foliaciones de codimensión uno, probada en [Ca2], permite una aproximación más simple al concepto de dicriticidad. El caso de dimensión ambiente igual a dos Sea F un germen de foliación holomorfa singular sobre (C 2 , 0), que está dada por ω = 0, donde ω = b(x, y)dx−a(x, y)dy. Decimos que F es dicrítica si tiene una infinidad de gérmenes de curvas analíticas invariantes (separatrices). Por otro lado, sabemos que en dimensión dos existe la reducción de singularidades de F, como consecuencia de los resultados de Seidenberg [Sei]. Esto nos permitirá dar una formulación equivalente del concepto de dicriticidad. Una observación sobre la descripción de una foliación: la forma diferencial ω describe F, pero también lo hace de igual manera la forma meromorfa (f/g)ω. Siempre se puede, multiplicando y dividiendo, elegir un generador holomorfo cuyos coeficientes no tengan un divisor común. Así, si consideramos la explosión del origen π : M1 → (C 2 , 0) el transformado σ ∗ F es la foliación descrita por la forma diferencial global π ∗ ω. El procedimiento se puede iterar, haciendo nuevas explosiones en puntos de M1. El teorema de reducción de singularidades afirma que existe un morfismo σ : M → (C 2 , 0), composición de una sucesión finita de explosiones con centro en puntos (C 2 , 0) π1 π2 π3 ← M1 ← M2 ← · · · πN ← MN = M de modo que todos los puntos de M sean simples para σ ∗ F con respecto del divisor excepcional D = σ −1 (0). 1 Estas notas son una revisión de antiguas conversaciones con Dominique Cerveau, y recientes con Jorge Vitório Pereira, estimulada por la permanente e inquieta curiosidad matemática de Alcides Lins Neto. 41
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