Volumen completo en PDF - Centro Tordesillas de Relaciones con ...

44
Primeras consideraciones en dimensión ambiente tres Sea F un germen
de foliación holomorfa singular sobre (C 3 , 0). Sabemos que F está dada por
ω = 0, donde
ω = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz
es un germen de 1-forma holomorfa integrable, es decir: ω ∧ dω = 0. Del mismo
modo que antes, seleccionamos ω con coeficientes sin factor común, aunque para
definir la foliación es suficiente considerar cualquier forma meromorfa integrable
múltiplo de ω. Decimos que un germen de superficie f = 0 es invariante para F
si ω ∧ df es divisible por f (cuando ω no lo es).
Existen foliaciones que no tienen gérmenes de superficie invariantes. Para
verlo se puede usar el ejemplo de Darboux-Jouanolou de foliación P 2 C
que no
tiene curva algebraica (proyectiva) invariante. Dicho ejemplo se construye del
siguiente modo. Si consideramos una 1-forma diferencial
W = A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz
cuyos coeficientes sean polinomios homogéneos del mismo grado y que satisfagan
xA + yB + zC = 0, se tiene automáticamente la condición de integrabilidad y
la foliación correspondiente es cónica en el sentido de que toda recta pasando
por el origen es invariante. En estas condiciones, la explosión del origen
π : M → (C 3 , 0)
da una foliación π∗F transversal al divisor excepcional D = π−1 (0) = P2 C ; se
induce por restricción una foliación G = π∗F|D sobre D = P2 C . Esta construcción
es completamente general y se pueden construir de este modo todas las
foliaciones holomorfas sobre el plano proyectivo. Si ahora elegimos el ejemplo de
Darboux-Jouanolou, que no tiene curva algebraica invariante, concluimos que
la foliación cónica de (C3 , 0) correspondiente no puede tener una superficie invariante,
ya que sería un cono, por consiguiente algebraica, cuyo proyectivizado
daría una curva invariante en el plano proyectivo.
En el ejemplo anterior es notable que el divisor excepcional después de una
explosión es transversal y sin embargo, al contrario de lo que ocurre en dimensión
ambiente dos, no aparecen infinitas hipersuperficies invariantes, de hecho en
algunos casos no hay ninguna. Así pues, la dicriticidad en el sentido de que
aparezca un divisor transversal después de una o varias explosiones no está ligada
a la existencia de infinitas hipersuperficies invariantes.
Si tomamos como criterio la aparición de un divisor transversal, debemos
ser cuidadosos en el sentido de que podríamos percibir una falsa dicriticidad si
el divisor está producido por la explosión de un centro no invariante. El caso
más claro, en palabras de Thom, es el de la explosión del eje de las z, dado
por x = y = 0 en C3 y la foliación horizontal dada por dz = 0; el centro de la
explosión es transversal y el divisor excepcional también.
Un criterio correcto es la aparición, después de explosiones con centros invariantes,
de un divisor excepcional transversal. Veremos que en dimensión tres
este criterio no solamente es correcto sino que es verificable de modo completo
con solo efectuar el número finito de explosiones correspondiente a la desingularización.
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 41–48