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una nueva transversal Σx de manera que x pertenezca al conjunto de Delone
el subconjunto abierto y cerrado
de algún elemento de Σx. Denotemos Bx M
de Σx determinado por M. Si además sustituimos M por B(0, r), entonces la
aplicación
ϕx : (v, T ′ ) ∈ B(0, r) × B x M ↦−→ T ′ + v ∈ T(P)
es un homeomorfismo sobre un abierto distinguido de T(P). Cada cambio de
carta está dado por una traslación: la que envía el punto base xT en el interior
de T sobre el punto x ∈ ∂T .
3.3. Envoltura de un mosaico aperiódico y repetitivo
El espacio de Gromov-Hausdorff T(P) puede ser extremadamente grande,
por lo que nos interesan aquellos cerrados saturados que son minimales por
inclusión. Nuestro propósito es caracterizar esta propiedad.
Definición 3.8. Dado un mosaico T , llamamos envoltura de T a la clausura
ΩT de la órbita LT = {T + v/v ∈ R 2 }. Recordemos que ΩT es un conjunto
minimal si y sólo si todas las órbitas contenidas en ΩT son densas.
Definición 3.9. i) Un mosaico T es repetitivo [BBG] o tiene la propiedad de
isomorfismo local [RW] si para cada motivo M, existe R = R(M) > 0 tal que
cualquier bola de radio R contiene una copia por traslación de M.
ii) Un mosaico T es uniformemente repetitivo si dado r > 0, existe R = R(r) > 0
tal que cualquier bola de radio R contiene una copia por traslación de cualquier
motivo M de diámetro < r.
Teorema 3.10. Para cualquier mosaico T ∈ T(P), las siguientes condiciones
son equivalentes:
i) T es repetitivo;
ii) T es uniformemente repetitivo;
iii) ΩT es minimal.
Demostración. Comenzamos por la prueba de la implicación (i) ⇒ (iii). Hemos
de probar que la órbita de cualquier mosaico T ′ ∈ ΩT es densa, es decir,
su envoltura ΩT ′ = ΩT . Como sabemos que ΩT ′ ⊂ ΩT , nos basta comprobar
que T ∈ ΩT ′ y por tanto ΩT ⊂ ΩT
′. Fijemos un número r > 0 y consideremos
un motivo M que contenga a la bola BT (0, r). Por hipótesis, hay una constante
R = R(M) ≥ r > 0 tal que para cada punto x ∈ R 2 , existe un vector v ∈ R 2
verificando:
BT (0, r) + v = BT (v, r) ⊂ M + v ⊂ BT (x, R).
Por otra parte, como T ′ ∈ ΩT , existe x ∈ R 2 tal que:
BT ′(0, R) = BT −x(0, R) = BT (x, R) − x.
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32