Volumen completo en PDF - Centro Tordesillas de Relaciones con ...

8
Aunque ninguno de los dos ejemplos anteriores es lado con lado, no cabe
esperar que estos mosaicos sean localmente finitos:
2.2. Conjuntos de Delone
Ahora nos interesamos por las versiones discretas de las propiedades anteriores:
Definición 2.9. Sea T un mosaico de tipo P. La elección de un punto base
en cada prototesela determina una familia DT de puntos base xT de cualquier
tesela T ∈ T . Diremos que DT es un conjunto de puntos base de T .
Proposición 2.10. Un mosaico T es localmente finito si y sólo si cualquier
conjunto de puntos base DT es discreto y cerrado.
Demostración. Si T es localmente finito, cualquier conjunto de puntos base
DT es discreto, ya que # B(x, ε)∩DT ≤ # {T ∈ T /T ∩B(x, ε) = ∅} < +∞ para
cada x ∈ DT y cada ε > 0. Para comprobar que DT es cerrado, consideramos
una sucesión xn ∈ DT convergente a un punto x ∈ R 2 y distinguimos dos casos:
i) Si el conjunto {xn/n ∈ N} es infinito, entonces {xn} posee una subsucesión
de términos distintos, convergente a x, lo que implica que cualquier bola B(x, ε)
es cortada por una infinidad de teselas, en contra de lo supuesto.
ii) Si el conjunto {xn/n ∈ N} es finito, entonces {xn} posee una subsucesión
estacionaria convergente a x y por tanto x ∈ DT .
Para probar el recíproco, razonamos por redución al absurdo suponiendo que
existen x ∈ R 2 y ε > 0 tales que la bola B(x, ε) es cortada por una infinidad
de teselas. De hecho, según hemos visto, podemos suponer que representan una
infinidad de tipos de isometría distintos. Por consiguiente, el punto base de
cada tesela se puede sustituir por un punto perteneciente a B(x, ε) de manera
que la intersección del nuevo conjunto base DT y de la bola B(x, ε) es infinita.
Ahora bien, como el conjunto DT es discreto y cerrado, esa intersección debe
ser finita.
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32