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Teorema 4.8 ([GSeq]). La dinámica boreliana del espacio de los mosaicos de
Robinson repetitivos R está representada por una máquina de sumar binaria,
es decir, hay una equivalencia orbital estable entre la suma de 1 en los enteros
2-ádicos y la relación de equivalencia inducida sobre R ∩ Σ.
La prueba combina las proposiciones 4.4 y 4.7 con el siguiente resultado:
Proposición 4.9 ([GSeq]). El espacio foliado R posee:
i) una infinidad no numerable de hojas planas, dotadas de mosaicos obtenidos
como unión de bloques, que forman un conjunto residual;
ii) una infinidad no numerable de hojas planas, dotadas de mosaicos obtenidos
por réplica y pegado de semiplanos, que forman un conjunto magro;
iii) cuatro hojas planas especiales, dotadas de mosaicos obtenidos por réplica y
pegado de cuartos de plano.
Estos resultados admiten versiones relativas a una medida invariante. Dada
una relación de equivalencia medible y discreta R definida sobre un espacio
boreliano estándar X, se llama transformación parcial de R a cualquier isomorfismo
boreliano T : A → A ′ entre borelianos A y A ′ de X cuyo grafo
{(x, y) ∈ X × X/y = T (x)} esté contenido en R. Una medida boreliana µ sobre
X se dice invariante por R si T∗µ(B ′ ) = µ(T −1 (B ′ )) = µ(B ′ ) para cada
transformación parcial T : A → A ′ y cada boreliano B ′ ⊂ A ′ . El siguiente resultado
explicita el tipo de relación considerado (respecto de la clasificación de
las relaciones de equivalencia ergódicas establecida por F. J. Murray y J. von
Neumann):
Teorema 4.10. La relación de equivalencia R inducida por el espacio foliado R
sobre R∩Σ es de tipo II1, es decir, posee una medida de probabilidad invariante.
Demostración. Para demostrar el teorema, aplicamos el método habitual de
construcción de medidas invariantes por medio de sucesiones de Fölner (véase
[GP]). Dado un mosaico T ∈ R ∩ Σ, cada motivo cuadrado Bn centrado en el
origen y de lado 2n + 1 determina un conjunto Bn ⊂ R ∩ Σ, que está formado
por los trasladados de T por los puntos base de Bn. Si µn es la distribución
uniforme sobre Bn y M es un motivo de T , entonces:
µn(BM ) = # BM ∩ Bn
#Bn
= A(M, n)
V (n)
donde A(M, n) es el número de copias por traslación del motivo M que están
contenidas en Bn y V (n) = (2n + 1) 2 es el número de teselas contenidas en
Bn. Por compacidad, extrayendo una subsucesión si fuese necesario, podemos
suponer que las medidas de probabilidad µn convergen débilmente a una medida
de probabilidad µ. Luego
µ(BM ) = límn→∞ µn(BM ) = límn→∞
A(M, n)
V (n)
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32