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Demostración. Supongamos que α y β son cofinales, es decir, existe n ∈ N tal
que αi = βi para cada i ≥ n. También podemos suponer que n es par. Ahora
cada par de códigos αiαi+1 (con 0 ≤ i < n par) corresponde al cruce central
de un bloque de (2 i+1 − 1) × (2 i+1 − 1) teselas de Φ(α). El cruce central de
cualquier otro bloque de (2 i+1 −1)×(2 i+1 −1) teselas (codificado por βiβi+1) se
obtiene a partir del primero mediante traslación por un vector vi. Las sucesións
de códigos α0 . . . , αn−1 y β0, . . . , βn−1 determinan bloques de (2 n −1)×(2 n −1)
teselas relacionados por
Φ(β0, . . . , βn−1) = Φ(α0, . . . , αn−1) + v
donde v = v0 + v2 + · · · + vn−2. Teniendo en cuenta la hipótesis de partida,
deducimos que Φ(β) = Φ(α) + v.
Para probar el recíproco, razonamos por reducción al absurdo, suponiendo
que existe v ∈ R2 tal que Φ(β) = Φ(α) + v, pero hay una sucesión de enteros
mn tales que mn ≥ n y αmn = βmn para cada n ∈ N. Fijemos un entero n
suficientemente grande para que los bloques Φ(α0, . . . , αmn) y Φ(β0, . . . , βmn)
verifiquen que:
Φ(β0, . . . , βmn ) = Φ(α0, . . . , αmn ) + v.
Por otra parte, si w = w0 + · · · + wmn−1 es el vector construido antes, entonces:
Φ(β0, . . . , βmn) = Φ(α0, . . . , αmn) + w.
Luego v = w, pero esto implicaría que v → +∞ cuando n → ∞.
Si R denota la relación de equivalencia inducida por el espacio foliado R
sobre R∩Σ, el resultado anterior muestra que R es isomorfa a la relación cofinal
Rcof en restricción a R1∩Σ. Esto sugiere que la dinámica transversa de R puede
describirse por medio de Rcof . Antes de precisar el sentido de esta afirmación,
debemos recordar algunas interpretaciones usuales del conjunto {0, 1} N y la
relación Rcof . Empezamos dotando a {0, 1} N de la topología producto, generada
por los cilindros C i0,...,in
β0,...,βn = {α ∈ {0, 1}N / αi0 = β0, . . . , αin = βn} donde ij ∈ N
y βj ∈ {0, 1}.
Definición 4.5. Llamamos máquina de sumar binaria al sistema dinámico
generado por la transformación T : {0, 1} N → {0, 1} N definida por:
i) si α0 = 0, entonces T (α)0 = 1 y T (α)n = αn para cada n ≥ 1,
ii) si α0 = 1, entonces T (α)0 = 0 y T (α)1 = T (σ(α))0,
donde σ(α)n = αn+1 para cada α ∈ {0, 1} N .
La transformación T es conjugada a la transformación
S : x ∈ Z2 ↦−→ x + 1 ∈ Z2
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32