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32 [LP] J. C. Lagarias y P. A. B. Pleasants, Repetitive Delone sets and quasicrystals. Ergodic Theory Dynam. Systems, 23 (2003), 831–867. [LR] A. Lozano Rojo, The dynamics of the Ghys-Kenyon lamination, in Foliations. ̷Lodz, 2005. [P] R. Penrose, The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. Bull. Inst. Math. Appl., 10 (1974), 266–271. [R] C. Radin, Miles of tiles. Student Math. Library, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1999. [RW] C. Radin y M. Wolff, Space tilings and local isomorphism, Geom. Dedicata, 42 (1992), 355–360. [Ro] R. M. Robinson, Undecidability and Nonperiodicity of Tilings of the Plane. Inventiones Math., 12 (1971), 177–209. [S] B. Solomyak, Dynamics of self-similar tilings, Ergodic Theory Dynam. Systems, 17 (1997), 695–738. Dpto. Xeometría e Topoloxía Universidade de Santiago de Compostela 15782 Santiago de Compostela Trabajo financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología BFM2002-04439- C01 y el Ministerio de Educación y Ciencia MTM2004-08214. Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 33–40 DINÁMICA DE DIFEOMORFISMOS DICRÍTICOS EN (C n , 0) FABIO ENRIQUE BROCHERO MART ÍNEZ Resumen. Dado F : (C n , 0) → (C n , 0) difeomorfismo analítico tangente a la identidad y dicrítico, con el origen como punto fijo aislado, mostraremos que existen dominios U + y U − tales que U + es estable por F + y las órbitas positivas de todos los puntos de U + convergen al origen, y U − es estable por F − y las órbitas negativas de todos los puntos de U − convergen al origen. Además mostraremos que U + ∪ U − contiene todas las direcciones partiendo del origen salvo un número finito. 1. Introducción Un difeomorfismo analítico en 0 ∈ C n es una aplicación F definida en un entorno de 0 tal que F (0) = 0 y DF (0) es invertible. Un germen de difeomorfismo analítico en (C n , 0) es una clase de equivalencia de difeomorfismos analíticos en 0 ∈ C n dada por F ∼ G si y solamente si existe un entorno U de 0 con F |U = G|U . Denotaremos por Diff(C n , 0) el conjunto de gérmenes de difeomorfismos analíticos y por Diff1(C n , 0) el subconjunto de elementos de Diff(C n , 0) tangentes a la identidad, esto es, F ∈ Diff1(C n , 0) si Df(0) = I. Observemos que Diff(C n , 0) y Diff1(C n , 0) son grupos con respecto a la composición, así es natural definir el conjunto de gérmenes de difeomorfismos F ◦n y analizar el posible comportamiento de las órbitas con punto inicial cercano a 0. Genéricamente, el comportamiento local de las órbitas de un elemento F ∈ Diff(C n , 0) depende de su parte lineal. De hecho, si x ↦→ DF (0)x es una transformación lineal hiperbólica o, equivalentemente, si todos los autovalores de DF (0) tienen módulo diferente de 1, entonces el teorema de Hartman-Grobman nos garantiza que F es topológicamente conjugado con su parte lineal, esto es, existe un homeomorfismo ϕ : U → ϕ(U) tal que ϕ(0) = 0 y ϕ ◦ F (x) = DF (0)ϕ(x), y en dicho caso el comportamiento topológico depende únicamente de la dimensión de las variedades estable e inestable; además, si el espectro de DF (0) es no resonante, Sternberg probó que es posible encontrar una conjugación de clase C ∞ entre F y su parte lineal. En el caso en que DF (0) cumple la condición de Brjuno, usando técnicas de pequeños divisores (ver por ejemplo [Ar]), tenemos además que F es conjugado analíticamente con su parte lineal. Por el contrario, si DF (0) no cumple la condición de Brjuno, la dinámica de las órbitas de F puede ser muy complicada, incluso en dimensión 1. Por ejemplo, en [Yo] Yoccoz muestra que si f(z) = λ(z + z 2 ) no es analíticamente linealizable entonces f posee órbitas periódicas de órdenes arbitrariamente grandes. 2000 Mathematics Subject Classification. 32H50, 58D05, 37Fxx. El autor fue financiado por CAPES, Brasil, Proceso: BEX3083/05-5. 33
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