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siendo S = r + x. Así pues, T ′ pertenece al conjunto US. Observemos que el
recubrimiento {US}S≥r es monótono creciente. Luego, por compacidad, existe
R ≥ r tal que UR = ΩT . Para cada punto y ∈ R 2 , existe v ∈ R 2 tal que:
BT (0, r) + v = BT −y(v, r) ⊂ BT −y(0, R).
Mediante la traslación por y, deducimos que:
BT (0, r) + v + y = BT −y(v, r) + y ⊂ BT −y(0, R) + y = BT (y, R).
Por tanto, el vector w = v + y ∈ R 2 verifica que:
BT (0, r) + w ⊂ BT (y, R).
Como cualquier motivo M está contenido en alguna bola centrada en el origen
de radio suficientemente grande r > 0, hemos probado que T es repetitivo.
Por último, probamos la implicación (iii) ⇒ (ii). En la prueba de (iii) ⇒ (i),
hemos obtenido una constante R = R(M) > 0 que depende del motivo M. Ahora
nos interesa obtener una nueva constante R = R(r) > 0 válida para cualquier
motivo M de diámetro < r. Dados r > 0 y x ∈ R 2 , definimos un conjunto
US,x = {T ′ ∈ ΩT / ∃ v ∈ R 2 : BT (x, r
2
) + v = BT ′(x r + v, 2 ) ⊂ BT ′(0, S)}
asociado a cada S ≥ r
2 . Como antes, deducimos que existe R = R(x) > 0 tal
que para cada punto y ∈ R2 , existe v ∈ R2 verificando:
BT (x, r
2 ) + v ⊂ BT (y, R).
Lo mismo ocurre para cualquier motivo M que esté contenido en BT (x, r
2 ).
Ahora bien, como T tiene un número finito de patrones locales, sólo hay un
número finito de motivos de diámetro < r salvo traslación. Fijemos representantes
M1, . . . , Mn de dichas clases de traslación, contenidos en bolas de radio r
2
centradas en puntos x1, . . . , xn. Para cada i ∈ {1, . . . , n} y cada punto y ∈ R2 ,
existe vi ∈ R2 tal que Mi + vi ⊂ BT (y, R(xi)). Como cualquier motivo M de
diámetro < r se obtiene por traslación a partir de algún motivo Mi, tomando
R = máx{R(x1), . . . , R(xn)}, tendremos que:
M + vi − v = Mi + vi ⊂ BT (y, R(xi)) ⊂ BT (y, R)
donde v ∈ R 2 verifica que M = Mi + v.
El enunciado de la equivalencia (i) ⇔ (iii) puede verse en [BBG] y [RW]. La
prueba en [ALM], [B] y [LR], aunque el contexto es algo diferente. La equivalencia
(ii) ⇔ (iii) aparece en [ALM] y [LR] en ese mismo contexto.
Para terminar a sección, vamos a interesarnos por la caracterización de los
conjuntos minimales sin holonomía.
Rev. Semin. Iberoam. Mat. 3 fasc. V-VI (2008) 3–32