Capīıtulo 3 Rotación de moléculas poliatómicas

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L3: Rotación de moléculas poliatómicas Mecánica cuántica de un rotor rígido y En cualquier caso: ˆLx = i¯h ˆLy = i¯h cos φ cot θ ∂ ∂φ sen φ cot θ ∂ ∂φ − cos φ cosec θ ∂ ∂χ − sen φ cosec θ ∂ ∂χ ∂ + sen φ ∂θ − cos φ ∂ ∂θ (167) (168) ˆLz = −i¯h ∂ . (169) ∂φ Las relaciones de conmutación clave son: ˆL 2 = ˆ L 2 a + ˆ L 2 b + ˆ L 2 c = ˆ L 2 x + ˆ L 2 y + ˆ L 2 z . (170) [ ˆ L 2 , ˆ Lx] = 0, ... [ ˆ Lx, ˆ Ly] = i¯h ˆ Lz, ... (171) [ ˆ L 2 , ˆ La] = 0, ... [ ˆ La, ˆ Lb] = −i¯h ˆ Lc, ... (172) [ ˆ Lx, ˆ La] = 0, ... (173) de modo que { ˆ Lx, ˆ Ly, ˆ Lz} forman un grupo de operadores de momento angular, lo mismo que { ˆ La, ˆ Lb, ˆ Lc}, y ambos grupos son compatibles entre sí. c○ Víctor Luaña, 2002–3 (124)
L3: Rotación de moléculas poliatómicas Mecánica cuántica de un rotor rígido Podemos construir funciones propias de ˆ L 2 , ˆ Lz y ˆ Lc simultáneamente. Estas funciones de Wigner, |J, K, M〉, son una generalización de los armónicos esféricos a 3D: ˆL 2 |J, K, M〉 = J(J + 1) ¯h 2 |J, K, M〉 , (J : 0, 1, 2, 3, . . .), ˆLc |J, K, M〉 = K ¯h |J, K, M〉 , (K : 0, ±1, . . . ± J), ˆLz |J, K, M〉 = M ¯h |J, K, M〉 , (M : 0, ±1, . . . ± J). Finalmente, examinemos la energía del sistema: ˆHrot = ˆ Trot = ˆ L 2 a 2Ia + ˆ L 2 b 2Ib (174) + ˆ L 2 c . (175) 2Ic ˆHrot conmuta con ˆ L 2 y con ˆ Lz, pero la conmutación con las componentes según los ejes Oabc dependerá del tipo de trompo que sea la molécula. Por ejemplo, ˆ Hrot y ˆ Lc conmutan si y sólo si Ia = Ib. Debemos examinar caso a caso los diferentes tipos de trompos moleculares. c○ Víctor Luaña, 2002–3 (125)
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