Capīıtulo 3 Rotación de moléculas poliatómicas

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L3: Rotación de moléculas poliatómicas Mecánica clásica de un rotor rígido Diagonalización de la matriz de inercia Como sistema III buscaremos unos ejes propios de rotación que hagan diagonal la matriz de inercia: Transformación de semejanza: U −1 I U = I abc = • Valores propios o momentos principales de inercia Ia ≤ Ib ≤ Ic. • Vectores propios o ejes principales de rotación U = ua ub uc = ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ua1 ub1 uc1 ua2 ub2 uc2 ua3 ub3 uc3 Las propiedades de I (matriz real, simétrica, y Iii ≥ 0) garantizan que: • U es ortogonal: U −1 = t U; • todos los valores propios, {Ia, Ib, Ic}, son números reales. • 0 ≤ Ia ≤ Ib ≤ Ic. ⎞ ⎟ ⎠ Ia 0 0 0 Ib 0 0 0 Ic ⎞ ⎟ ⎠ . (144) (145) c○ Víctor Luaña, 2002–3 (114)
L3: Rotación de moléculas poliatómicas Mecánica clásica de un rotor rígido Diagonalización paso a paso (I U = U I abc ): de donde: ⎛ ⎜ ⎝ Ixx Ixy Ixz Iyx Iyy Iyz Izx Izy Izz I ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33 u a u b u c Al igualar las columnas obtenemos el ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ = ⎝ = u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33 ⎞ ⎛ ⎟ ⎠ Iau a Ibu b Icu c Ia 0 0 ⎜ ⎟ ⎝ 0 Ib 0 ⎠ , (146) 0 0 Ic ⎞ . (147) sistema secular: (I − λ 1)u = 0. (148) Por el teorema de Rouché-Frobenius, para que el sistema tenga una solución diferente de la trivial (u = 0) debe cumplirse la ecuación secular: I − λ 1 = 0, (149) que proporciona λ : Ia ≤ Ib ≤ Ic. Al sustituir cada valor en el sistema secular deberíamos obtener los vectores propios pero hemos perdido información. La podemos recuperar usando la ortonormalidad de U: t U U = 1 =⇒ (150) aunque subsiste el problema de la fase. t ui u j = δij c○ Víctor Luaña, 2002–3 (115)
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