TOPOLOGÍA GENERAL II - Universidad de Zaragoza

Espacios Hausdorff ó T2-espacios.
Un e.t. X se dice T2-espacio ó que es Hausdorff si para todo par de puntos
distintos existen abiertos disjuntos que los contienen (es decir, para todo x = y
en X, existen U, V ∈ τ t.q. x ∈ U, y ∈ V , U ∩ V = ∅).
Es claro que todo T2-espacio es un T1-espacio. Un conjunto de cardinal infinito
X con la topología cofinita es T1 pero no T2. La propiedad de ser un Tk-espacio
(k = 0, 1, 2) es hereditaria: subespacios de un Tk-espacio son Tk-espacios.
4.2 Proposición Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) X es Hausdorff.
(2) Sea x ∈ X, para todo y = x existe U ∈ τ t.q. x ∈ U, y /∈ U.
(3) Para todo x ∈ X, {U|U ∈ τ, x ∈ U} = {x}.
(4) La diagonal ∆ = {(x, x)|x ∈ X} es cerrado en X × X.
Dem. Sea x = y y suponer que X es Hausdorff, entonces existen U, V ∈ τ t.q.
x ∈ U, y ∈ V , U ∩ V = ∅, en particular y ∈ Int(X − U) = X − U. Que (2)
implica (3) es inmediato. Notar que U ∩ V = ∅ sí y sólo si U × V ∩ ∆ = ∅.
Sea (x, y) ∈ X × X − ∆ y supongamos que existe U entorno abierto de
x t.q. y ∈ X − U, entonces (x, y) ∈ U × (X − U) ⊂ X × X − ∆, luego
X ×X −∆ es abierto y por tanto ∆ es cerrado. Finalmente, si ∆ es cerrado su
complementario es abierto, entonces dados x = y existirán abiertos U, V t.q.
(x, y) ∈ U × V ⊂ X × X − ∆, por tanto U × V ∩ ∆ = ∅ ó equivalentemente
U ∩ V = ∅ y se sigue que X es Hausdorff.
Ejercicio 15 Sea X un espacio Hausdorff y F = {x1, ....xn} un conjunto
finito. Probar que existen entornos Ui de xi, 1 ≤ i ≤ n, disjuntos dos a dos.
4.3 Proposición Sea Y Hausdorff y f, g : X −→ Y continuas, entonces
C = {x ∈ X|f(x) = g(x)} es cerrado en X. En particular, si D es denso en
X y f|D = g|D entonces se sigue que f = g.
Dem. Veamos que X −C es abierto. Si x ∈ X −C entonces f(x) = g(x) y como
Y es Hausdorff existirán U, V abiertos t.q. f(x) ∈ U, g(x) ∈ V y U ∩ V = ∅.
Como f y g continuas se sigue que f −1 (U) ∩ g −1 (V ) abierto y es claro que
x ∈ f −1 (U) ∩ g −1 (V ) ⊂ X − C (en efecto, si z ∈ f −1 (U) ∩ g −1 (V ) entonces
f(z) = g(z), ya que f(z) ∈ U, g(z) ∈ V y U ∩ V = ∅, luego z ∈ X − C). Sea
D denso en X y f|D = g|D entonces D ⊂ C y X = D, como C es cerrado se
sigue que X = C, es decir f(x) = g(x) para todo x ∈ X y por tanto f = g.
Ejercicio 16 Diremos que un A ⊂ X es un retracto de X si existe r : X −→ A
continua t.q. ri = 1A, siendo i : A −→ X la inclusión. Probar que A es
un retracto de X si y sólo si para todo espacio Y , toda aplicación continua
f : A −→ Y se extiende a X, es decir existe g : X −→ Y continua t.q. gi = f.
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